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2015高考数学(理)一轮课件:5-1平面向量的概念及其线性运算


第 1讲

平面向量的概念及其线性运算

知识梳理

1.向量的有关概念
名称 定义 既有 大小 又有 方向的 向量 量;向量的大小叫做向量 的 长度 (或称 模 ) 零向 长度为 零 的向量;其方 量 向是任意的 单位 向量 长度等于 1个单位 的向量 备注 平面向量是自由 向量 记作0 非零向量a的单位

向量为 ±a |a|

续表
定义 备注 方向 相同 或 相反 的非 平行向量 零向量 0与任一向量平行或 方向相同或相反的非零 共线 共线向量 向量又叫做共线向量 两向量只有相等或 长度 相等 且方向相同的 相等向量 不等,不能比较大 向量 小 长度相等且方向相反 的 0的相反向量为0 相反向量 向量 名称

2.向量的线性运算
向量 定义 运算 法则(或几何意义) 运算律

求两 个向 加法 量和 的运 算

三角形法则

(1)交换律: a+b= b+a . (2)结合律: (a+b)+c= a+(b+c) .

平行四边形法则

续表
向量 运算 定 义 法则(或几何意义) 运算律

求a与b的相 反向量-b 减法 的和的运算 叫做a与b的 差

a-b=a+(-b) 三角形 法则 (1)|λa|= |λ||a| ; (2)当λ>0时,λa的方 向与a的方向 相同 ;当 λ<0时,λa的方向与a 相反 的方向 ;当 λ=0 0 时,λa= . λ(μa)= λμa ; (λ+μ)a= λa+μa ; λ(a+b)= λa+λb .

求实数λ与 数乘 向量a的积 的运算

3.共线向量定理
向量 a(a≠0) 与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数 λ ,使 得 b=λa .

辨 析 感 悟 1.对共线向量的理解 (1)若向量 a,b 共线,则向量 a,b 的方向相同. (×) (2)若 a∥b,b∥c,则 a∥c. (×)

(3)(2013· 郑州调研改编)设 a 与 b 是两个不共线向量,且向量 1 a+λb 与 2a-b 共线,则 λ=-2. (√)

2.对向量线性运算的应用 → → → → (4)AB+BC+CD=AD. (√)

1 → → (5)(教材习题改编)在△ABC 中, D 是 BC 的中点, 则AD=2(AC → +AB). (√)

[感悟·提升]
1.一个区别 两个向量共线与两条线段共线不同,前者的起点

可以不同,而后者必须在同一直线上.同样,两个平行向量 与两条平行直线也是不同的,因为两个平行向量可以移到同 一直线上. 2.两个防范 一是两个向量共线,则它们的方向相同或相反;

如(1);二是注重零向量的特殊性,如(2).

考点一 【例 1】 给出下列命题:

平面向量的有关概念

①若|a|=|b|,则 a=b;②若 A,B,C,D 是不共线的四点, → =DC → 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件; 则AB ③若 a =b,b=c,则 a=c;④a=b 的充要条件是|a|=|b|且 a∥b. 其中真命题的序号是________.

解析 同.

①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相

→ =DC →, ②正确.∵AB → → → → ∴|AB|=|DC|且AB∥DC, 又∵A,B,C,D 是不共线的四点, ∴四边形 ABCD 为平行四边形; → → → → 反之,若四边形 ABCD 为平行四边形,则AB∥DC且|AB|=|DC|, → =DC →. 因此,AB

③正确.∵a=b,∴a,b的长度相等且方向相同;
又b=c,∴b,c的长度相等且方向相同, ∴a,c的长度相等且方向相同,故a=c. ④不正确.当a∥b且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到a= b ,故 |a| = |b| 且 a∥b 不是 a = b 的充要条件,而是必要不充分条 件.综上所述,正确命题的序号是②③. 答案 ②③

规律方法 对于向量的概念应注意以下几条:
(1)向量的两个特征:有大小和方向,向量既可以用有向线段和 字母表示,也可以用坐标表示; (2)相等向量不仅模相等,而且方向要相同,所以相等向量一定 是平行向量,而平行向量则未必是相等向量; (3)向量与数量不同,数量可以比较大小,向量则不能,但向量 的模是非负实数,故可以比较大小.

【训练1】 设a0为单位向量,①若a为平面内的某个向量,则a=
|a|a0;②若a与a0平行,则a=|a|a0;③若a与a0平行且|a|=1, 则a=a0.上述命题中,假命题的序号是________. 解析 向量是既有大小又有方向的量,a与|a|a0的模相等,但 方向不一定相同,故①是假命题;若a与a0平行,则a与a0的 方向有两种情况:一是同向,二是反向,反向时a=-|a|a0, 故②③也是假命题.

答案 ①②③

考点二

平面向量的线性运算

【例 2】 (1) (2013· 四川卷)如图,在平行四边形 ABCD 中,对角 → +AD → =λ AO → ,则 λ=________. 线 AC 与 BD 交于点 O,AB → (2)(2013· 泉州模拟)已知 P,A,B,C 是平面内四点,且PA+ → → → → → PB+PC=AC,那么PB=________AP.

→ +AD → =AC → =2AO → ,∴λ=2. 解析 (1)∵AB → +PB → +PC → =AC → =PC → -PA →, (2)∵PA → → → ∴PB=-2PA=2AP.
答案 (1)2 (2)2

规律方法 (1)进行向量运算时,要尽可能地将它们转化到三角形
或平行四边形中,充分利用相等向量、相反向量,三角形的中 位线及相似三角形对应边成比例等性质,把未知向量用已知向 量表示出来. (2)向量的线性运算类似于代数多项式的运算,实数运算中的去 括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算 中同样适用.

【训练 2】 如图,D,E,F 分别是△ABC 的边 AB,BC,CA 的 → 可用AD → 与BE → 表示为________. 中点,则CF

→ =FE → ,BE → =DF → ,CF → =ED → ,而FE → +ED → 解析 由题意知:AD → =0,∴AD → +BE → +CF → =0.∴CF → =-AD → -BE →. +DF
答案 → → → CF=-AD-BE

考点三 向量共线定理及其应用 【例 3】 (2013· 郑州一中月考)设两个非零向量 a 与 b 不共线. → → → (1)若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b).求证:A,B, D 三点共线; (2)试确定实数 k,使 ka+b 和 a+kb 共线.

→ =BC → +CD → ?用 a,b 表示BD → 审题路线 (1)由向量的加法,得BD → → → → ?得到BD与AB的关系式?由向量共线定理, 得BD与AB共线?再 看是否有公共点?得到证明的结论. (2)假设存在实数 k?利用向量共线定理?列出方程?根据 a、b 是两个不共线的向量?得出方程组?解得 k 值.

→ → → (1)证明 ∵AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b). → =BC → +CD → =2a+8b+3(a-b)=5(a+b)=5AB →. ∴BD → ,BD → 共线,又它们有公共点 B, ∴AB ∴A,B,D 三点共线. (2)解 假设 ka+b 与 a+kb 共线,

则存在实数 λ,使 ka+b=λ(a+kb), 即(k-λ)a=(λk-1)b. 又 a,b 是两不共线的非零向量, ∴k-λ=λk-1=0.∴k2-1=0.∴k=± 1.

规律方法 (1)证明三点共线问题,可用向量共线解决,但应注意
向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点 时,才能得出三点共线. (2)向量a,b共线是指存在不全为零的实数λ1,λ2,使λ1a+λ2b=0 成立,若λ1a+λ2b=0,当且仅当λ1=λ2=0时成立,则向量a, b 不共线.

【训练3】 (2014·西安模拟)已知向量a,b不共线,且c=λa+

b,d=a+(2λ-1)b,若c与d同向,则实数λ的值为
________.
解析 由于 c 与 d 同向,所以 c=kd(k>0),

于是 λa+b=k[a+(2λ-1)b], 整理得 λa+b=ka+(2λk-k)b. 由于 a,b
? ?λ=k, 不共线,所以有? ? ?2λk-k=1,

1 整理得 2λ -λ-1=0,所以 λ=1 或 λ=-2.
2

又因为 k>0,所以 λ>0,故 λ=1.

答案 1

1.向量的加、减法运算,要在所表达的图形上多思考,多联系

相关的几何图形,比如平行四边形、菱形、三角形等,可多
记忆一些有关的结论. 2.对于向量共线定理及其等价定理,关键要理解为位置(共线 或不共线)与向量等式之间所建立的对应关系.要证明三点 共线或直线平行都是先探索有关的向量满足向量等式b=

λa,再结合条件或图形有无公共点证明几何位置.

方法优化3——准确把握平面向量的概念和运算
【典例】 (2012· 浙江卷改编 ) 设 a , b 是两个非零向量.对于结 论:①若|a + b| =|a| -|b| ,则 a⊥b ;②若 a⊥b ,则 |a + b| = |a| -|b|;③若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ,使得b=λa;④若 存在实数λ,使得b=λa,则|a+b|=|a|-|b|.正确结论的序号是 ________.

[一般解法] 结论①,若b=-a,则等式|a+b|=|a|-|b|成立,显
然a⊥b不成立; 结 论 ② , 若 a⊥b 且 |a| = |b| , 则 |a| - |b| = 0 , 显 然 , |a + b| = |a|≠0,故|a+b|=|a|-|b|不成立;结论③正确; 结论④,若b=a,则|a|-|b|=0,显然,|a+b|=2|a|≠0,故|a+ b|=|a|-|b|不成立.

[优美解法] (数量积法)把等式|a+b|=|a|-|b|两边平方,得(a+b)2 =(|a|-|b|)2,

即2a·b=-2|a|·|b|,而a·b=|a||b|cos〈a,b〉,
所以cos〈a,b〉=-1.又因为〈a,b〉∈[0,π], 所以〈a,b〉=π,即a,b为方向相反的共线向量.故③正确. [答案] ③ [反思感悟] 部分学生做错的主要原因是:题中的条件“|a+b|=

|a| - |b|” 在处理过程中误认为 “ |a + b| = |a - b|” ,从而得到
“a⊥b”这个错误的结论.

【自主体验】 → → → 在△OAB 中,OA=a,OB=b,OD 是 AB 边上的高,若AD= → ,则实数 λ=________. λAB a· ?a-b? a· ?b-a? a· ?a-b? a· ?b-a? ① ;② ;③ 2 ;④ |a-b| |a-b| |a-b| |a-b|2

解析

→ → → → 由AD=λAB,∴|AD|=λ|AB|.

a· ?a-b? a· ?a-b? → 又∵|AD|=|a|cos A=|a|· = , |a||a-b| |a-b| a· ?a-b? → |AB|=|a-b|,∴λ= 2 . |a-b|

答案 ③


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