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2013北京朝阳区高三数学(理)一模试题及答案


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北京市朝阳区高三年级第一次综合练习

数学学科测试(理工类)
2013.4 (考试时间 120 分钟 满分 150 分) 本试卷分为选择题(共 40 分)和非选择题(共 110 分)两部分

第一部分(选择题 共 40 分)
一、选择题

:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项. (1) i 为虚数单位,复数 A.
1 2 1 1? i

的虚部是 B. ?
1 2

C. ?

1 2

i

D.

1 2

i

(2)已知集合 M ? ? x ? 2 ? x ? 3? , N ? ? x lg ( x ? 2 ) ? 0 ? ,则 M ? N ? A. ( ? 2, ? ? )
??? ? ??? ?

B. ( ? 2, 3)
????

C.

( ? 2 , ? 1]

D. [ ? 1, 3)
??? ? ????

(3)已知向量 O A ? ? 3, ? 4 ? , O B ? ? 6 , ? 3 ? , O C ? ? 2 m , m ? 1 ? .若 A B / / O C ,则实数 m 的值为 A. ? 3 B. ?
1 2 1 7

C. ?

3 5

D.

3 5

(4) 在极坐标系中,直线 ? c o s ? ? 大小为 A.
? 3

与曲线 ? ? 2 co s ? 相交于 A , B 两点, O 为极点,则 ? A O B 的

B.
? 2

? 2

C.

?? 3

D.

?? 6

(5)在下列命题中, ①“ ? ?
x
3

”是“ sin ? ? 1 ”的充要条件;

1 1

②(

?

1 x

) 的展开式中的常数项为 2 ;

4

2


2 2

③设随机变量 ? ~ N (0 ,1) ,若
P ( ? ? 1) ? p ,则 P ( ? 1 ? ? ? 0 ) ?
1 2 ? p.
2

正视图

侧视图

其中所有正确命题的序号是 A.② B.③ C.②③ D.①③ (6)某个长方体被一个平面所截,得到的几何体的三 视图如图所示,则这个几何体的体积为 A. 4 B. 4 2 C. 6 2

2

俯视图

D. 8

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(7)抛物线 y ? 2 p x ( p > 0 )的焦点为 F ,已知点 A , B 为抛物线上的两个动点,且满足
2

? A F B ? 1 2 0 ? .过弦 A B 的中点 M 作抛物线准线的垂线 M N ,垂足为 N ,则

| MN | | AB |

的最大

值为 A.
3 3
*

B. 1

C.
*

2 3 3

D. 2

(8)已知函数 f ( x ) ? 2 x ? 1, x ? N .若 ? x 0 , n ? N ,使 f ( x 0 ) ? f ( x 0 ? 1) ? ? ? f ( x0 ? n ) ? 6 3 成 立,则称 ( x 0 , n ) 为函数 f ( x ) 的一个“生成点”.函数 f ( x ) 的“生成点”共有 A. 1 个 B .2 个 C .3 个 D .4 个

第二部分(非选择题 共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡上. (9)在等比数列 ? a n ? 中, 2 a 3 ? a 2 a 4 ? 0 ,则 a 3 ? 数列 ? b n ? 的前 5 项和等于 . , ? b n ? 为等差数列,且 b3 ? a 3 ,则

(10)在 ? A B C 中, a ,b , c 分别为角 A , B ,C 所对的边.已知角 A 为锐角,且 b ? 3 a sin B , 则 tan A ? . (11)执行如图所示的程序框图,输出的结果 S= . 开始

C D O A

i=0

S=0

S=S+2i-1

i=i+2

B
i≥6 (12)如图,圆 O 是 ? A B C 的外接圆,过点 C 作圆 O 的切 线交 B A 的延长线于点 D .若 C D ?
AB ? AC ? 2 , 则线段 A D 的长是

是 输出 S



3 ,

; O的 圆

半径是

. 结束

(13)函数 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,且满足

f ( x ? 2 ) ? f ( x ) .当 x ? [0 ,1] 时,f ( x ) ? 2 x .若在区间 [ ? 2, 3] 上方程 a x ? 2 a ? f ( x ) ? 0 恰有

四个不相等的实数根,则实数 a 的取值范围是

.

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(14)在平面直角坐标系 x O y 中,已知点 A 是半圆 x ? 4 x ? y ? 0 ( 2 ≤ x ≤ 4 )上的一个动点,
2 2

点 C 在线段 O A 的延长线上.当 O A ? O C ? 2 0 时,则点 C 的纵坐标的取值范围是 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. (15) (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ?
3 2 s in ? x ? s in
2

??? ???? ?



?x
2

?

1 2

( ? ? 0 )的最小正周期为 ? .

(Ⅰ)求 ? 的值及函数 f ( x ) 的单调递增区间; (Ⅱ)当 x ? [ 0 ,
? 2 ] 时,求函数 f ( x ) 的取值范围.

(16) (本小题满分 13 分)
1 盒子中装有四张大小形状均相同的卡片,卡片上分别标有数字 ? 1, 0,,2 .称“从盒中随机抽取

一张,记下卡片上的数字后并放回”为一次试验(设每次试验的结果互不影响) . (Ⅰ)在一次试验中,求卡片上的数字为正数的概率; (Ⅱ)在四次试验中,求至少有两次卡片上的数字都为正数的概率; (Ⅲ)在两次试验中,记卡片上的数字分别为 ? , ? ,试求随机变量 X = ? ? ? 的分布列与数学期望
EX .

(17) (本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? A B C D 中,平面 P A C ? 平面 A B C D ,且 PA ? AC , P A ? A D ? 2 .四 边形 A B C D 满足 B C ? A D , A B ? A D , A B ? B C ? 1 .点 E , F 分别为侧棱 P B , P C 上的点,且
PE PB ? PF PC ? ? .

P

(Ⅰ)求证: E F ? 平面 P A D ; (Ⅱ)当 ? ?
1 2

时,求异面直线 B F 与 C D 所成角的余弦值; E F

(Ⅲ)是否存在实数 ? ,使得平面 A F D ? 平面 P C D ?若存在, 试求出 ? 的值;若不存在,请说明理由. (18) (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ? x ? ( a ? 2 ) x ? a ln x ? 2 a ? 2 ,其中 a ? 2 .
2

A B C

D

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 在 ? 0 , 2 ? 上有且只有一个零点,求实数 a 的取值范围.

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(19) (本小题满分 14 分) 已知中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆 C 过点 (1,
3 2 ) ,离心率为 3 2

,点 A 为其右顶点.过点

B (1,) 作直线 l 与椭圆 C 相交于 E , F 两点,直线 A E , A F 与直线 x ? 3 分别交于点 M , N . 0

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)求 E M ? F N 的取值范围. (20) (本小题满分 13 分) 设 ? ? ( x1 , x 2 , ? , x1 0 ) 是 数 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 的 ,任 意 8一, 个 ,全 排 列 , 定 义 6 7 , 9 1 0
S (? ) ?

???? ???? ?

? | 2x
k ?1

10

k

? 3 x k ? 1 | ,其中 x1 1 ? x1 .

(Ⅰ)若 ? ? (1 0, 9, 8, 7 , 6, 5, 4, 3, 2,1) ,求 S (? ) 的值; (Ⅱ)求 S (? ) 的最大值; (Ⅲ)求使 S (? ) 达到最大值的所有排列 ? 的个数.

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数学学科测试答案(理工类)
2013.4 一、选择题: 题号 答案 (1) A (2) D (10)
2 4

(3) A

(4) C (11)
20

(5) C (12) 1, 2

(6) D

(7) A

(8) B (14)
[ ? 5, 5 ]

二、填空题: 题号 (9) 答案
2 ,1 0

(13)
( 2 2 , ) 5 3

(注:两空的填空,第一空 3 分,第二空 2 分) 三、解答题: (15) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ) f ( x ) ?
3 2 3 2
? s in ( ? x ? ? 6

s in ? x ?

1 ? cos ? x 2 1 2

?

1 2

?

s in ? x ?

cos ? x

).

????????????????4 分 ????????????6 分

因为 f ( x ) 最小正周期为 ? ,所以 ? ? 2 . 所以 f ( x ) ? s in ( 2 x ? 由 2k ? ?
? 2 ? 2x ? ? 6 ? 6 ? 2k ? ? ? 2 ? 3 ,k? ? ? 6 ).

, k ? Z ,得 k ? ?

? 3

? x ? k? ?

? 6

.

所以函数 f ( x ) 的单调递增区间为[ k ? ? (Ⅱ)因为 x ? [ 0 , 所以 ?
1 2 ? 2 ? s in ( 2 x ? ? 6 ? 2 ] ,所以 2 x ? ? 6 ) ?1. ?[ ? 7? , ], 6 6

], k ? Z . ??????8 分

?????????????10 分 ???????????????12 分
1 2 ,1 ].

所以函数 f ( x ) 在 [ 0 , (16) (本小题满分 13 分)

] 上的取值范围是[ ?

???????????13 分

解: (Ⅰ)设事件 A:在一次试验中,卡片上的数字为正数,则
P ( A) ? 2 4 ? 1 2 1 2
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. .??????????3 分

答:在一次试验中,卡片上的数字为正数的概率是

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(Ⅱ)设事件 B:在四次试验中,至少有两次卡片上的数字都为正数. 由(Ⅰ)可知在一次试验中,卡片上的数字为正数的概率是 所以 P ( B ) ? 1 ? [ C 4 ( ) ? ( ) ? C 4
0 0 4 1

1 2



1

1

1

2

2

1 3 11 ?( ) ] ? . 2 2 16

答:在四次试验中,至少有两次卡片上的数字都为正数的概率为

11 16

.?????7 分

? 1 01 (Ⅲ) 由题意可知, , ? 的可能取值为 ? 1, 0,,2 , 所以随机变量 X 的可能取值为 ? 2, ? 1,,,2 , 4 .
P ( X= ? 2) ? P ( X= 0) ? P ( X =2) ? 2 4?4 7 4?4 2 4?4 ? ? 1 8 ? 7 16 1 8



P ( X = ? 1) ? P ( X = 1) ? P ( X =4) ?

2 4?4 2 4?4 1 ?

? ? 1 16

1 8 1 8

; ;





4?4



所以随机变量 X 的分布列为
X ?2 ?1

0
1
P

1
1 8 ? 4? 1 8

2

4

1 8 1 8

7 16 ? 2?

1 8 1 16 ? 1 4

1 16

8 7 16 ? 1?

所以 E ( X ) = ? 2 ?

1 8

? 1?

1 8

? 0?

.????????13 分

(17) (本小题满分 14 分) 证明: (Ⅰ)由已知, 所以 E F ? B C . 因为 B C ? A D ,所以 E F ? A D . 而 E F ? 平面 P A D , A D ? 平面 P A D , 所以 E F ? 平面 P A D . (Ⅱ)因为平面 A B C D ? 平面 P A C , 平面 A B C D ? 平面 P A C ? A C ,且 P A ? A C , 所以 P A ? 平面 A B C D . 所以 P A ? A B , P A ? A D . 又因为 A B ? A D , 所以 P A , A B , A D 两两垂直. ????????????????????5 分 ????????????????????4 分
PE PB ? PF PC ? ? ,

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如图所示,建立空间直角坐标系, 因为 A B ? B C ? 1 , P A ? A D ? 2 , 所以 A ? 0, 0, 0 ? , B ? 1, 0, 0 ? ,
C ? 1,1, 0 ? , D ? 0, 2, 0 ? , P ? 0, 0, 2 ? .

z x P

当? ?

1 2

时, F 为 P C 中点,

E

F

所以 F ( ,
??? ?

1 1 2 2

,1) ,

A
???? 1 1 , ,1), C D ? ( ? 1,1, 0 ) . 2 2

D C

B x

y x

所以 B F ? ( ?

设异面直线 B F 与 C D 所成的角为 ? ,
1 1 | ( ? , ,1) ? ( ? 1,1, 0 ) | ??? ???? ? 3 2 2 ? 所以 c o s ? ? | c o s ? B F , C D ? | ? , 3 1 1 ? ?1? 2 4 4
3 3

所以异面直线 B F 与 C D 所成角的余弦值为
??? ?

.?????????????9 分

(Ⅲ)设 F ( x 0 , y 0 , z 0 ) ,则 P F ? ( x 0 , y 0 , z 0 ? 2 ), P C ? (1,1, ? 2 ) . 由已知 P F ? ? P C ,所以 ( x 0 , y 0 , z 0 ? 2 ) ? ? (1,1, ? 2 ) ,
? x0 ? ? , ? 所以 ? y 0 ? ? , ? z ? 2 ? 2?. ? 0
????

????

??? ?

??? ?

所以 A F ? ( ? , ? , 2 ? 2 ? ) .

设平面 A F D 的一个法向量为 n 1 ? ( x1 , y 1 , z 1 ) ,因为 A D ? ? 0 , 2 , 0 ? ,
???? ? n1 ? A F ? 0, ? 所以 ? ???? ?n1 ? AD ? 0. ?

????

即?
?

? ? x1 ? ? y 1 ? ( 2 ? 2 ? ) z 1 ? 0 , 2 y1 ? 0 .

令 z 1 ? ? ,得 n 1 ? ( 2 ? ? 2, 0, ? ) . 设平面 P C D 的一个法向量为 n 2 ? ( x 2 , y 2 , z 2 ) ,因为 P D ? ? 0, 2, ? 2 ? , C D ? ? ? 1,1, 0 ? ,
???? ? n 2 ? P D ? 0, ? 所以 ? ???? ? n 2 ? C D ? 0. ?
???? ????

即?

? 2 y2 ? 2 z2 ? 0, ? ? x2 ? y2 ? 0.
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令 x 2 ? 1 ,则 n 2 ? (1,1,1) . 若平面 A F D ? 平面 P C D ,则 n 1 ? n 2 ? 0 ,所以 ( 2 ? ? 2 ) ? ? ? 0 ,解得 ? ? 所以当 ? ?
2 3

2 3



时,平面 A F D ? 平面 P C D .????????????????14 分

(18) (本小题满分 1 3 分) 解:函数定义域为 ? x x ? 0 ? , 且 f ? ( x ) ? 2 x ? ( a ? 2 ) ? ①当 a ? 0 ,即
a 2 a x ? ( 2 x ? a )( x ? 1) x . ????2 分

? 0 时,令 f ? ( x ) ? 0 ,得 0 ? x ? 1 ,函数 f ( x ) 的单调递减区间为 (0,1) ,

令 f ? ( x ) ? 0 ,得 x ? 1 ,函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (1, ? ? ) . ②当 0 ?
a 2 ? 1 ,即 0 ? a ? 2 时,令 f ? ( x ) ? 0 ,得 0 ? x ? a a 2 2

或x ?1,

函数 f ( x ) 的单调递增区间为 ( 0 , ) , (1, ? ? ) . 令 f ? ( x ) ? 0 ,得 ③当
a 2 a 2 ? x ? 1 ,函数 f ( x ) 的单调递减区间为 ( a 2 ,1) .

? 1 ,即 a ? 2 时, f ? ( x ) ? 0 恒成立,函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0, ? ? ) . ?7 分

(Ⅱ)①当 a ? 0 时,由(Ⅰ)可知,函数 f ( x ) 的单调递减区间为 (0 ,1) , f ( x ) 在 (1, 2 ] 单调递增. 所以 f ( x ) 在 ? 0 , 2 ? 上的最小值为 f (1) ? a ? 1 , 由于 f (
1 e
2

)?

1 e
4

?

2 e
2

?

a e
2

?2 ? (

1 e
2

? 1) ?
2

a e
2

?1? 0 ,

要使 f ( x ) 在 ? 0 , 2 ? 上有且只有一个零点, 需满足 f (1) ? 0 或 ?
? f (1) ? 0 , ? f (2) ? 0,

解得 a ? ? 1 或 a ? ?

2 ln 2

.

②当 0 ? a ? 2 时,由(Ⅰ)可知, (ⅰ)当 a ? 2 时,函数 f ( x ) 在 ( 0 , 2 ] 上单调递增; 且 f (e ) ?
?4

1 e
8

?

4 e
4

? 2 ? 0 , f ( 2 ) ? 2 ? 2 ln 2 ? 0 ,所以 f ( x ) 在 ? 0 , 2 ? 上有且只有一个零点. a

(ⅱ)当 0 ? a ? 2 时,函数 f ( x ) 在 ( ,1) 上单调递减,在 (1, 2 ] 上单调递增;
2

又因为 f (1) ? a ? 1 ? 0 ,所以当 x ? ( , 2 ] 时,总有 f ( x ) ? 0 .
2
? 2a?2 a

a

因为 e

?1? a? 2,

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所以 f (e ?

2a?2 a

)? e

?

2a?2 a

?

2a?2 a

[e

? ( a ? 2 )] ? ( a ln e

?

2a?2 a

? 2a ? 2) ? 0 .
a

所以在区间 ( 0 , ) 内必有零点.又因为 f ( x ) 在 ( 0 , ) 内单调递增,
2 2

a

从而当 0 ? a ? 2 时, f ( x ) 在 ? 0 , 2 ? 上有且只有一个零点. 综上所述, 0? a ? 2 或 a ? ?
2 ln 2

或 a ? ?1 时 , f ( x) 在 ? 0, 2 ? 上 有 且 只 有 一 个 零

点. ??????????????????????????????????13 分 (19) (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)设椭圆的方程为
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1?a ? b ? 0 ? ,

? 2 2 2 ?a ? b ? c , ? 3 ? c 2 2 依题意得 ? ? , 解得 a ? 4 , b ? 1 . 2 ? a 3 ? 1 ?1 2 ? 2 ? 4b ?a
x
2

所以椭圆 C 的方程为 (Ⅱ)显然点 A ( 2 , 0 ) .

? y ? 1 . ??????????????????4 分
2

4

( 1 ) 当 直 线 l 的 斜 率 不 存 在 时 , 不 妨 设 点 E 在 x 轴 上 方 , 易 得 E (1,

3 2

), F (1, ?

3 2

) ,

M (3, ?

3 2

), N (3,

3 2

???? ???? ? ) ,所以 E M ? F N ? 1 .

????????????????6 分

(2)当直线 l 的斜率存在时,由题意可设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,显然 k ? 0 时,不符合题意.
?
2

由?

y ? k ( x ? 1),
2

?x ? 4y ? 4 ? 0

得 ( 4 k ? 1) x ? 8 k x ? 4 k ? 4 ? 0 .
2 2 2 2

设 E ( x1 , y 1 ), F ( x 2 , y 2 ) ,则 x1 ? x 2 ?

8k
2

2

4k ? 1
y1

, x1 x 2 ?

4k ? 4
2

4k ? 1
2

.

直线 A E , A F 的方程分别为: y ?

x1 ? 2

( x ? 2 ), y ?

y2 x2 ? 2

( x ? 2) ,

令 x ? 3 ,则 M (3,

y1 x1 ? 2

), N (3,

y2 x2 ? 2

).

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所以 E M ? (3 ? x1 ,
???? ???? ?

???? ?

y 1 (3 ? x1 ) x1 ? 2

???? y (3 ? x 2 ) ) , F N ? (3 ? x 2 , 2 ). x2 ? 2 y 1 (3 ? x1 ) x1 ? 2 y1 y 2 ( x1 ? 2 )( x 2 ? 2 ) y 2 (3 ? x 2 ) x2 ? 2

????????10 分

所以 E M ? F N ? (3 ? x1 )(3 ? x 2 ) ?

?

? (3 ? x1 )(3 ? x 2 )(1 ?

)

? (3 ? x1 )(3 ? x 2 )(1 ? k ?
2

( x1 ? 1)( x 2 ? 1) ( x1 ? 2 )( x 2 ? 2 )

)

? [ x1 x 2 ? 3( x1 ? x 2 ) ? 9 ] ? [1 ? k ?
2

x1 x 2 ? ( x1 ? x 2 ) ? 1 x1 x 2 ? 2 ( x1 ? x 2 ) ? 4

]
2

?1 2 2 4k ? 1 4k ? 1 ?( ? 3? ? 9 ) ? (1 ? k ? ) 2 2 2 2 4k ? 4 8k 4k ? 1 4k ? 1 ? 2? ?4 2 2 4k ? 1 4k ? 1 4k ? 4
2

4k ? 4
2

8k

2

?

8k

2

? (

16k ? 5
2

4k ? 1
2 2

) ? (1 ?

?3k 4k 1
2

2

)

?

16k ? 5 16k ? 4
2

? 1?

16k ? 4
2

.

?????????????????12 分

因为 k ? 0 ,所以 1 6 k ? 4 ? 4 ,所以 1 ?
2 2

16k ? 5
2

16k ? 4
2

?

5 4

,即 E M ? F N ? (1, ) .
4

???? ???? ?

5

综上所述, E M ? F N 的取值范围是 [1, ) . ??????????????14 分
4

???? ???? ?

5

(20) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ) S (? ) ?

? | 2x
k ?1

10

k

? 3 x k ?1 | ? 7 ? 6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 ? 0 ? 1 ? 2 8 ? 5 7 .

??3 分

(Ⅱ)数 1 0, 9, 8, 7 , 6, 5, 4, 3, 2,1 的 2 倍与 3 倍分别如下:
2 0,1 8,1 6,1 4,1 2,1 0, 8, 6, 4, 2, 3 0, 2 7 , 2 4, 2 1,1 8,1 5,1 2, 9, 6, 3

其中较大的十个数之和与较小的十个数之和的差为 2 0 3 ? 7 2 ? 1 3 1 ,所以 S (? ) ? 1 3 1 . 对于排列 ? 0 ? (1, 5, 6, 7 , 2, 8, 3, 9, 4,1 0 ) ,此时 S (? 0 ) ? 1 3 1 ,

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所以 S (? ) 的最大值为 1 3 1 . ???????????????????????8 分 (Ⅲ)由于数 1, 2, 3, 4 所产生的 8 个数都是较小的数,而数 7 , 8, 9,1 0 所产生的 8 个数都是较大的数, 所以使 S (? ) 取最大值的排列中, 必须保证数 1, 2, 3, 4 互不相邻, 7 , 8, 9,1 0 也互不相邻; 数 而数 5 和 6 既不能排在 7 , 8, 9,1 0 之一的后面,又不能排在 1, 2, 3, 4 之一的前面.设 x1 ? 1 ,并参照下面 的符号排列 1 △○□△○□△○□△○ 其中 2, 3, 4 任意填入 3 个□中,有 6 种不同的填法; 7 , 8, 9,1 0 任意填入 4 个圆圈○中,共有 2 4 种不同的填法; 5 填入 4 个△之一中,有 4 种不同的填法; 6 填入 4 个△中,且当与 5 在同一个 △时,既可以在 5 之前又可在 5 之后,共有 5 种不同的填法,所以当 x1 ? 1 时,使 S (? ) 达到最 大值的所有排列 ? 的个数为 6 ? 2 4 ? 4 ? 5 ? 2 8 8 0 ,由轮换性知,使 S (? ) 达到最大值的所有排列
? 的个数为 2 8 8 0 0 . ???????????13 分

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