nbhkdz.com冰点文库

第一章 导数及其应用 章末综合检测


(时间:100 分钟;满分:120 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的) 1.函数 f(x)在 x=1 处的导数为 1,则 A.3 1 C. 3 解析:选 D.由题意知 f′(1)= ∴ = 1 3 f?1-x?-f?1+x? 的值为( 3x 3 B.- 2 2 D.- 3 f?1+x?-f?1? =1, x )

>
f?1-x?-f?1+x? 3x f?1-x?-f?1?-[f?1+x?-f?1?] x
[来源 :Zxxk.Com]

1 2 = [-f′(1)-f′(1)]=- . 3 3 2.对任意的 x,有 f′(x)=4x3,f(1)=-1,则此函数解析式可以为( ) A.f(x)=x4 B.f(x)=x4+1 C.f(x)=x4-2 D.f(x)=-x4 3 解析:选 C.由 f′(x)=4x ,可设 f(x)=x4+c(c 为常数),由 f(1)=-1 得-1=1+c,∴c =-2. 3.设函数 f(x)=g(x)+x2,曲线 y=g(x)在点(1,g (1))处的切线方程为 y=2x+1,则曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为( ) 1 A.4 B.- 4 1 C.2 D.- 2 解析:选 A.由已知 g′(1)=2,而 f′(x)=g′(x)+2x, 所以 f′(1)=g′(1)+2×1=4,故选 A. - 4.曲线 y=e 2x+1 在点(0,2)处的切线与直线 y=0 和 y=x 围成的三角形面积为( ) 1 1 A. B. 3 2 2 C. D.1 3 -2x 解析:选 A.y′=-2e ,y′|x=0=-2, 点(0,2)处的切线方程为 y-2=-2x. 令 y=0 得 x=1. 2 x= , ? 3 ?y-2=-2x 由? 得 2 ?y=x ? y= , 3 1 2 1 ∴S= × ×1= . 2 3 3 5.下列函数中,在区间(-1,1)上是减函数的是( ) 2 A.y=2-3x B.y=ln x 1 C.y= D.y=sin x x-2

? ? ?

-1 1 解析:选 C.对于函数 y= ,其导数 y′= <0, x-2 ?x-2?2 1 且函数在区间(-1,1)上有意义,所以函数 y= 在区间(-1,1)上是减函数,其余选项 x-2 都不符合要求. 6.如图,抛物线的方程是 y=x2-1,则阴影部分的面积是( )

A.?2(x2-1)dx B.|?2(x2-1)dx| C.? |x -1|dx D.?1(x2-1)dx-?2(x2-1)dx

?0

?0

0 2 2

?

?0

?1

解析:选 C.由图形可知阴影部分的面积为: 2 1 2 2 ? (1-x )dx+? (x -1)dx.

?0

而? |x -1|dx=?1(1-x2)dx+?2(x2-1)dx.故选 C.

?0

2 2

?1

?0

7.已知函数 f(x)=x -px -qx 的图象与 x 轴相切于点(1,0),则 f(x)的极值情况为( ) 4 A.极大值 ,极小值 0 27 4 B.极大值 0,极小值 27 4 C.极大值 0,极小值- 27 4 D.极大值- ,极小值 0 27 ? ? ?f?1?=0, ?1-p-q=0, 解 析 : 选 A.f′(x) = 3x2 - 2px - q. 根 据 题 意 , 得 ? 则? ?f′?1?=0. ?3-2p-q=0, ? ?
? ?p=2, 1 ∴? ∴f(x)=x3-2x2+x,f′(x)=3x2-4x+1,令 f′(x)=0,得 x= 或 x=1.通过分 3 ? ?q=-1. 1 4 析得,当 x= 时,y 取极大值 ;当 x=1 时,y 取极小值 0. 3 27

3

2

?1

8.已知曲线方程 f(x)=sin2x+2ax(a∈R),若对任意实数 m,直线 l:x+y+m=0 都不 是曲线 y=f(x)的切线,则 a 的取值范围是( ) A.(-∞,-1) ∪(-1, 0) B.(-∞,-1)∪(0,+∞) C.(-1,0)∪(0,+∞) D.a∈R 且 a≠0,a≠-1 解析:选 B.若存在实数 m,使直线 l 是曲线 y=f(x)的切线,∵f′(x)=2sin xcos x+2a= sin 2x+2a,∴方程 sin 2x+2a=-1 有解,∴-1≤a≤0,故所求 a 的取值范围是(-∞,- 1)∪(0,+∞),选 B. 9. 设 f(x)、 g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数, g(x)恒不为 0, 当 x<0 时, f′(x)g(x) -f(x)g′(x)>0,且 f(3)=0,则不等式 f(x)g(x)<0 的解集是( )

A.(-3,0)∪(3,+∞) B.(-3,0)∪(0,3) C.(-∞,-3)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(0,3) f?x? 解析:选 D.令 F(x)= ,则 F(x)为奇函数, g?x? f′?x?g?x?-f?x?g′?x? F′(x)= . g2?x? ∵当 x<0 时,F′(x)>0. ∴F(x)在区间(-∞,0)上为增函数. f?3? 又 F(3)= =0, g?3? ∴F(-3)=0. ∴当 x<-3 时,F(x)<0; 当-3<x<0 时,F(x)>0. 又 F(x)为奇函数, ∴当 0<x<3 时,F(x)<0; 当 x>3 时,F(x)>0. f?x? 而不等式 f(x)g(x)<0 和 <0 为同解不等式(g(x)恒不为 0), g?x? ∴不等式 f(x)g(x)<0 的解集为(-∞,-3)∪(0,3). 10. 函数 f(x)=axm(1-x)n 在区间[0,1]上的图象如图所示,则 m,n 的值可能是(
[来源 :学科网 ZXXK]

)

A.m=1,n=1 B.m=1,n=2 C.m=2,n=1 D.m=3,n=1 1? 解析:选 B.观察图象易知,a>0,f(x)在[0,1]上先增后减,但在? ?0,2?上有增有减且不对 称. 1 对于选项 A,m=1,n=1 时,f(x)=ax(1-x)是二次函数,图象应关于直线 x= 对称, 2 不符合题意. 对于选项 B,m=1,n=2 时,f(x)=ax(1-x)2=a(x3-2x2+x),f′(x)=a(3x2-4x+1)= a(x-1)(3x-1), 1 令 f′(x)≥0,得 x≥1 或 x≤ , 3 1 ? ∴f(x)在? ?0,3?上单 调递增,符合题意,选 B. 对于选项 C, m=2, n=1 时, f(x)=ax2(1-x)=a(x2-x3), f′(x)=a(2x-3x2)=ax(2-3x), 2 令 f′(x)≥0,得 0≤x≤ , 3 2 ? ∴f(x)在? ?0,3?上单调递增,不符合题意. 对于选项 D,m=3,n=1 时,f(x)=ax3(1-x)=a(x3-x4),f′(x)=a(3x2-4x3)=ax2(3- 4x),

3 令 f′(x)≥0,得 0≤x≤ , 4 3 ? ∴f(x)在? ?0,4?上单调递增,不符合题意. 二、填空题(本大题共 5 小题,把答案填在题中横线上) 11.设函数 f(x)是 R 上以 5 为周期的可导偶函数,则曲线 y=f(x)在 x=5 处的切线的斜 率为________. 解析:f(x)=f(-x)?f′(x)=-f′(-x)?y=f′(x)为奇函数,故 f′(0)=0.又 f(x)=f(x+ 5)?f′(x)=f′(x+5)?y=f′(x)为周期函数,周期为 5. 由于 f′(0)=0,从而 f′(5)=0. 答案:0 1 12.?2 dx=________. ? x?x+1?
[来源:学科网 ]

1

1 1 1 解析:f(x)= = - , x?x+1? x x+1 x 取 F(x)=ln x-ln(x+1)=ln , x+1 1 1 则 F′(x)= - , x x+1 1 所以?2 dx x ? x + 1? ?
1

1 1 =?2?x-x+1?dx ? ??
1

4 =ln . 3 4 答案:ln 3 13.已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的导数为 f′(x),f′(0)>0,对于任意实数 x 都有 f?1? f(x)≥0,则 的最小值为________. f′?0? 解析:f′(x)=2ax+b,有 f′(0)>0?b>0.由于对于任意实数 x 都有 f(x)≥0,从而 ? ?a>0, a+c a+c f?1? a+b+c 2 ac ? 得 c>0,从而 = =1+ ≥1+ ≥1+ =2,当且 2 b b f ′ ? 0 ? 2 ac 2 ac ?Δ=b -4ac≤0, ? = 仅当 a=c 时取等号. 答案:2 14. 如图所示,A1,A2,?,Am-1(m≥2)将区间[0,1]m 等分,直线 x=0,x=1,y=0 和 曲线 y=ex 所围成的区域为 Ω1,图中 m 个矩形构成的阴影区域为 Ω2.在 Ω1 中任取一点,则 该点取自 Ω2 的概率等于________.

解 析 : 依 题 意 , 阴 影 区 域 Ω2 的 面 积 为 SΩ2 =

m-1 1 2 1 (1 + e m + e m + ? + e m ) = m

1 · m

; 区域 Ω1 的面积为: SΩ1=?1exdx=e-1, 由几何概型的概率计算公式,

?0

得所求的概率 答案: 15.若以曲线 y=f(x)任意一点 M(x,y)为切点作切线 l,曲线上总存在异于 M 的点 N(x1, y1),以点 N 为切点作切线 l1,且 l∥l1,则称曲线 y=f(x)具有“可平行性”.下列曲线具有 可平行性的编号为________.(写出所有满足条件的函数的编号) 1 ①y=x3-x ②y=x+ ③y=sin x ④y=(x-2)2+ln x x 解析:由题意可知,对于函数定义域内的任意一个 x 值,总存在 x1(x1≠x)使得 f′(x1) 2 =f′(x).对于①,由 f′(x1)=f′(x)可得 x2 1=x ,但当 x=0 时不符合题意,故不具有可平行 1 1 性;对于②,由 f′(x1)=f′(x)可得 2= 2,此时对于定义域内的任意一个 x 值,总存在 x1 x1 x =-x,使得 f′(x1)=f′(x);对于③,由 f′(x1)=f′(x)可得 cos x1=cos x,?x1=x+2kπ(k 1 1 ∈Z),使得 f′(x1)=f′(x);对于④,由 f′(x1)=f′(x)可得 2(x1-2)+ =2(x-2)+ ,整理 x1 x 1 2 得 x1x= ,但当 x= 时不符合题意,综上,答案为②③. 2 2 答案:②③

三、解答题(本题共 5 小题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.求由曲线 xy=1 及直线 x =y,y=3 所围成平面图形的面积.

解:作出曲线 xy=1,直线 x=y,y=3 的草图,所求面积为图中阴影部分的面积. 1 ? ?xy=1 ?x=3 ? 1 由? 得? ,故 A( ,3); 3 ?y=3 ? ? ?y=3
? ? ? ?xy=1 ?x=1 ?x=-1 由? 得? 或? (舍去),故 B(1,1); ? ? ? ?y=x ?y=1 ?y=-1 ?y=x ?x=3 ? ? 由? 得? ,故 C(3,3). ?y=3 ?y=3 ? ?

17.已知 f(x)=x3+3ax2+bx+ a2 在 x=-1 时有极值 0,求常数 a,b 的值. 解:∵f(x)在 x=-1 时有极值 0, 且 f′(x)=3x2+6ax+b, ?f′?-1?=0, ?3-6a+b=0, ? ? ∴? 即? 2 ? ? ?f?-1?=0, ?-1+3a-b+a =0,

? ? ?a=1, ?a=2, 解得? 或? ?b=3, ?b=9. ? ? 当 a=1,b=3 时, f′(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0, ∴f(x)在 R 上为增函数,无极值,故舍去. 当 a=2,b=9 时, f′(x)=3x2+12x+9=3(x+1)(x+3), 当 x∈(-∞,-3)时,f(x)为增函数; 当 x∈(-3,-1)时,f(x)为减函数; 当 x∈(-1,+∞)时,f(x)为增函数; ∴f(x)在 x=-1 时取得极小值. ∴a=2,b=9. 18.设曲线 f(x)=x2+1 和 g(x)=x3+x 在其交点处两切线的夹角为 θ,求 cos θ. 2 ? ?y=x +1, 解:由? 得 x3-x2+ x-1=0, 3 ?y=x +x, ? 即(x-1)(x2+ 1)=0,∴x=1,∴交点为(1,2). 又 f′(x)=2x, ∴f′(1)=2, ∴曲线 y=f(x)在交点处的切线 l1 的方程为 y-2=2(x-1),即 y=2x,又 g′(x)=3x2+1. ∴g′(1)=4. ∴曲线 y=g(x)在交点处的切线 l2 的方程为 y-2=4(x-1),即 y=4x-2. 取切线 l1 的方向向量为 a=(1,2),切线 l2 的方向向量为 9 9 85 a· b b=(1,4),则 cos θ= = = . |a|· |b| 85 5× 17
[来源 :学科网 ZXXK]

19.设函数 f(x)=a2ln x-x2+ax(a>0). (1)求 f(x)的单调区间; (2)求所有的实数 a,使 e-1≤f(x)≤e2 对 x∈[1,e]恒成立. 解:(1)因为 f(x)=a2ln x-x2+ax,其中 x>0, ?x-a??2x+a? a2 所以 f′(x)= -2x+a=- . x x 由于 a> 0,所以 f(x)的增区间为(0,a),减区间为(a,+∞). (2)由题意得 f(1)=a-1≥e-1,即 a≥e. 由(1)知 f(x)在[1,e]内单调递增, 要使 e-1≤f(x)≤e2 对 x∈(1,e)恒成立. ? ?f?1?=a-1≥e-1, 只要? 2 2 2 ? ?f?e?=a -e +ae≤e , 解得 a=e. 1 20.设函数 f(x)=aex+ x+b(a>0). ae (1)求 f(x)在[0,+∞)内的最小值; 3 (2)设曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 y= x,求 a,b 的值. 2 1 解:(1)f′(x)=aex- x, ae 当 f ′(x)>0,即 x>-ln a 时,f(x)在(-ln a,+∞)上递增; 当 f′(x)<0,即 x<-ln a 时,f(x)在(-∞,-ln a)上递减. ①当 0<a<1 时,-ln a>0,f(x)在(0,-ln a)上递减,在(-ln a,+∞)上递增,从而 f(x) 在[0,+∞)上的最小值为 f(-ln a)=2+b;
[来源:学科网 ZXXK]

②当 a≥1 时, -ln a≤0, f(x)在[0, +∞)上递增, 从而 f(x)在[0, +∞)上的最小值为 f(0) 1 =a+ +b. a 1 3 1 (2)依题意 f′(2)=ae2- 2= ,解得 ae2 =2 或 ae2=- (舍去), ae 2 2 2 1 1 所以 a= 2,代 入原函数可得 2+ +b=3,即 b= , e 2 2 2 1 故 a= 2,b= . e 2


第一章导数及其应用章末综合检测(人教A版选修2-2)

第一章导数及其应用章末综合检测(人教A版选修2-2)_高二数学_数学_高中教育_教育专区。第一章导数及其应用 (时间:100 分钟,满分:120 分) 一、选择题(本大题...

第一章导数及其应用章末综合检测(人教A版选修2-2)ok

第一章导数及其应用章末综合检测(人教A版选修2-2)ok_数学_高中教育_教育专区。第一章导数及其应用、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在...

第一章 导数及其应用_章末综合检测(人教A版选修2-2)

第一章 导数及其应用_章末综合检测(人教A版选修2-2)_高二数学_数学_高中教育_教育专区。第一章综合检测时间 120 分钟,满分 150 分。 一、选择题(本大题共 ...

第一章 导数及其应用 章末综合检测

第​一​章​ ​导​数​及​其​应​用​ ​章​末​综​合​检​测(时间:100 分钟;满分:120 分) 一、选择题(本大题共 10...

2015-2016高中数学 第一章 导数及其应用章末过关检测卷 新人教A版选修2-2

2015-2016高中数学 第一章 导数及其应用章末过关检测卷 新人教A版选修2-2_数学_高中教育_教育专区。2015-2016 高中数学 第一章 导数及其应用章末过关检测卷 新...

新课标选修2-2 第一章 导数及应用章末检测

新课标选修2-2 第一章 导数及应用章末检测_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 新课标选修2-2 第一章 导数及应用章末检测_数学_...

第一章 导数及其应用综合检测

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 第一章 导数及其应用综合检测时间 120 分钟,满分 150 分。一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在...

第一章导数及其应用测试题

第一章导数及其应用测试题—。选择题 1 下列式子中与 f ' ( x0 ) 相等的是 () A. lim ?x → 0 f ( x 0 ) ? f ( x 0 ? 2 ?x ) ; 2?...

第一章 导数及其应用综合检测

专题12 导数及其应用专题12 导数及其应用隐藏>> 导数及其应用综合检测 第一章 导数及其应用综合检测一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分....

第一章_导数及其应用综合检测

第一章_导数及其应用综合检测_数学_高中教育_教育专区。单元测试卷 导数及其应用综合检测时间 120 分钟,满分 150 分。一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题...