nbhkdz.com冰点文库

圆锥曲线的经典结论


解析几何专题·经典结论

有关解析几何的经典结论
一、椭 圆

P 处的外角. (椭圆的光学性质) 1. 点 P 处的切线 PT 平分 ?PF 1F 2 在点
2.

PT 平分 ?PF1F2 在点 P 处的外角,则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,
除去长轴的两个

端点. (中位线)

3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离. (第二定义) 4. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. (第二定义) 5. 若 P 0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 方程组法) 6. 若 P 0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 线方程是

x0 x y0 y x2 y 2 ? 2 ? 1 .(求导或用联立 ? 2 ? 1 上,则过 P 0 的椭圆的切线方程是 2 a2 b a b

x2 y 2 ? ? 1 外 ,则过 P 1 2 的直 0 作椭圆的两条切线切点为 P 1, P 2 ,则切点弦 PP a 2 b2

x0 x y0 y ? 2 ?1 a2 b

7.

椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的左右焦点分别为 F1 , F2 ,点 P 为椭圆上任意一点 ?F1PF2 ? ? , a 2 b2
2

则椭圆的焦点角形的面积为 S ?F1PF2 ? b tan 8. 椭圆

?
2

.(余弦定理+面积公式+半角公式)

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的焦半径公式: a 2 b2 | MF1 |? a ? ex0 , | MF2 |? a ? ex0 ( F1 (?c,0) , F2 (c,0) , M ( x0 , y0 ) ).(第二定义)

9. 设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P, Q 两点, A 为椭圆长轴上一个顶点,连结 AP 和 AQ 分别交 相应于焦点 F 的椭圆准线于 M , N 两点,则 MF ? NF . 证明: x ? ky ? c ,

x2 y 2 ? ? 1 ? ? a 2 ? b2 k 2 ? y 2 ? 2b 2cky ? b 2c 2 ? a 2b 2 ? 0 a 2 b2 yP yO ? b 2 c 2 ? a 2b 2 ?2b 2cky , y ? y ? , P O a 2 ? b2 k 2 a 2 ? b2 k 2 a 2 c 2 ? a 2b 2 k 2 2a 2c , x ? x ? , P O a 2 ? b2 k 2 a 2 ? b2k 2

xP xO ?

第 1 页,共 15 页

解析几何专题·经典结论

a2 a2 ?a ?a yN yM c c ? , ? , MF ? NF ? MF NF ? 0 ? ? xM ? c ?? xN ? c ? ? yM yN ? 0 , yP a ? xP yQ a ? xQ
b4 易得: ? xM ? c ?? xN ? c ? ? ? 2 c
10. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P, Q ,且 A 1, A 2 为椭圆长轴上的顶点, A 1P 和 A2Q 交 于点 M , A2 P 和 AQ 1 交于点 N ,则 MF ? NF .( MN 其实就在准线上,下面证明他在准线上) 证明:首先证明准线, A 1P 和 PA2 公共点, 设 P ? xP , yP ? , Q xQ , yQ ,不妨设 xP ? xQ ,

?

?

k1 ?

yQ yP , k2 ? , xP ? a xQ ? a

由?

? ? y ? k1 ? x ? a ? , ? ? y ? k2 ? x ? a ?

? y ? k ? x ? c? xP yQ ? xQ yP ? a ? yP ? yQ ? a ? k1 ? k2 ? ? ?a 得交点 x ? ,由 ? x 2 y 2 , k1 ? k2 ? xP yQ ? xQ yP ? a ? yP ? yQ ? ? ? 1 ? 2 ? a b2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 得 b ? a k x ? 2a k cx ? a c k ? a b ? 0 ,令 M ? b2 ? a2k 2,N ? b2 ? a2k 2 ? c2k 2 ,

?

?

xP xQ ?

2abkN a 2 c 2 k 2 ? a 2b 2 ?2a 2 k 2c 2b2ck x ? x ? y ? y ? , P , P , yP ? yQ ? , Q Q M M M M

?2a 2b2 k 2a 2bkN ? ?2abckN ?2a 2b2 k a2 M M xP yQ ? xQ yP ? , ? xP yQ ? xQ yP ? ,则 x ? , a ? ? M M ?2abckN 2ab2ck c ? M M
再根据上一条性质可得结论。

第 2 页,共 15 页

解析几何专题·经典结论

11. AB 是椭圆 即 K AB

x2 y 2 b2 AB k ? k ? ? ? ? 1 的不平行于对称轴的弦, 为 的中点,则 , M ( x , y ) OM AB 0 0 a2 a 2 b2 b2 x (点差法) ?? 2 0 。 a y0
x0 x y0 y x0 2 y0 2 x2 y 2 ? 2 ? 2 ? 2 . ? ? 1 内,则被 所平分的中点弦的方程是 P 0 a2 b a b a 2 b2

12. 若 P 0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 (点差法) 13. 若在椭圆 (点差法)

x2 y 2 x 2 y 2 x0 x y0 y ? ? 2 ? 2 . ? ? 1 内,则过 的弦中点的轨迹方程是 P 0 a 2 b2 a b a 2 b2

二、双曲线

P 处的内角. (同上) 1. 点 P 处的切线 PT 平分△ PF 1F 2 在点
2.

PT 平分△ PF1F2 在点 P 处的内角, 则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,
除去长轴的两个端点. (同上)

3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交. (同上) 4. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切: P 在右支;外切: P 在左支) (同上) 5. 若 P 0 ( x0 , y0 ) 在双曲线

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )上,则过 P 0 的双曲线的切线方程是: a 2 b2

x0 x y0 y ? 2 ? 1 .(同上) a2 b x2 y 2 ? ?1 6. 若 P 在双曲线 ( a ? 0, b ? 0 ) 外 , 则过 P ( x , y ) 0 0 0 0 作双曲线的两条切线切点为 P 1, P 2, a 2 b2 x0 x y0 y ? 2 ? 1 .(同上) 则切点弦 PP 1 2 的直线方程是 a2 b 2 2 x y 7. 双曲线 2 ? 2 ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的左右焦点分别为 F , F2 ,点 P 为双曲线上任意一点: a b

?F1PF2 ? ? ,则双曲线的焦点角形的面积为 S?F1PF2 ? b 2 co t
8. 双曲线

?

2

.(同上)

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的焦半径公式: F1 (?c,0) , F2 (c,0) a 2 b2 当 M ( x0 , y0 ) 在右支上时, | MF 1 |? ex0 ? a , | MF 2 |? ex0 ? a .
当 M ( x0 , y0 ) 在左支上时, | MF1 |? ?ex0 ? a , | MF2 |? ?ex0 ? a (同上)

Q 两点,A 为双曲线长轴上一个顶点, 9. 设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P 、 连结 AP 和 AQ
分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M 、 N 两点,则 MF ? NF .(同上)

第 3 页,共 15 页

解析几何专题·经典结论

10. 过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P 、 Q ,且 A 1, A 2 为双曲线实轴上的顶点, A 1P 和

N ,则 MF ? NF .(同上) A2Q 交于点 M , A2 P 和 AQ 1 交于点
11. AB 是双曲线

K OM ? K AB

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的不平行于对称轴的弦,M ( x0 , y0 ) 为 AB 的中点,则 a 2 b2 b2 x b2 x ? 2 0 ,即 K AB ? 2 0 。(同上) a y0 a y0 x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )内,则被 P 0 所平分的中点弦的方程是: a 2 b2

12. 若 P 0 ( x0 , y0 ) 在双曲线

x0 x y0 y x0 2 y0 2 ? 2 ? 2 ? 2 .(同上) a2 b a b x2 y 2 13. 若 P 0 ( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )内,则过 P 0 的弦中点的轨迹方程是: a b x 2 y 2 x0 x y0 y ? ? ? 2 .(同上) a 2 b2 a 2 b

椭圆与双曲线的对偶性质--(会推导的经典结论)

2 2



x y ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的两个顶点为 A1 (?a, 0) , A2 (a,0) ,与 y 轴平行的直线交椭圆于 2 a b x2 y 2 ? ? 1. 时, 与 交点的轨迹方程是 A P P , P A P 1 1 1 2 2 2 a 2 b2 y1 ? ? y ? x ? a ?x ?a ? ? y12 ? 1 2 证明: P , ,交点 ,由 ,得 y ? x 2 ? a2 ? , x , y P x , y P x , y ? ? ? ? ? ? ? 0 1 1 1 1 1 1 0 0 2 2 ? 0 ? y x ? a 2 1 ?y ? ? x ? a? ? x2 ? a ?
1. 椭圆 又

x0 2 y0 2 x12 y12 ? ?1 ? ? 1 ,则 a 2 b2 a 2 b2 x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 上任一点 A( x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于 B, C 两 a 2 b2 b2 x 点,则直线 BC 有定向且 kBC ? 2 0 (常数). a y0

2. 过椭圆

证明:

第 4 页,共 15 页

解析几何专题·经典结论

3. 若 P 为椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 上异于长轴端点的任一点, F1 、 F2 是焦点, ?PF1F2 ? ? , a 2 b2
a?c ? ? ? tan co t . a?c 2 2

?PF2 F1 ? ? ,则
证法 1(代数)

证法二(几何)

第 5 页,共 15 页

解析几何专题·经典结论

4. 设椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的两个焦点为 F1 、 F2 , P (异于长轴端点)为椭圆上任意一点, a 2 b2 sin ? c ? ?e. sin ? ? sin ? a

在△ PF 1 F2 P ? ? ,则有 1F 2 中,记 ?F 1 PF2 ? ? , ?PF 1 F2 ? ? , ?F (上条已证) 5. 若椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,左准线为 l ,则当 0 ? e ? 2 ? 1 时, a 2 b2

可在椭圆上求一点 P ,使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项.

6.

P 为椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 上任一点, F1 、 F2 是焦点, A 为椭圆内一定点,则 a 2 b2

2a? | AF2 |?| PA | ? | PF1 |? 2a? | AF1 | ,当且仅当 A, F2 , P 三点共线时,等号成立.
7. 椭圆

( x ? x0 )2 ( y ? y0 ) 2 ? ? 1 与直线 Ax ? By ? C ? 0 有公共点的充要条件是 a2 b2 A2a2 ? B2b2 ? ( Ax0 ? By0 ? C)2 .

8. 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? ,O 为坐标原点, P 、 Q 为椭圆上两动点,且 OP ? OQ . a 2 b2 1 1 1 1 ? ? 2? 2; (1) 2 2 | OP | | OQ | a b

4a 2 b 2 (2)|OP| +|OQ| 的最大值为 2 ; a ? b2 a 2b 2 (3) S?OPQ 的最小值是 2 . a ? b2
2 2

证明

第 6 页,共 15 页

解析几何专题·经典结论

9. 过椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于 M , N 两点, 弦 MN 的垂直平分 a 2 b2 | PF | e 线交 x 轴于 P ,则 ? . | MN | 2

证明

10. 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? , A, B 是椭圆上的两点,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点 a 2 b2 a 2 ? b2 a 2 ? b2 ? x0 ? . P( x0 ,0) , 则 ? a a x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 上异于长轴端点的任一点, F1 、 F2 是焦点,记 a 2 b2 2b2 . 1 ? cos ?
(2) S ?PF1F2 ? b tan
2

11. 设 P 点是椭圆

?F1PF2 ? ? ,则(1) | PF1 || PF2 |?

?
2

.

第 7 页,共 15 页

解析几何专题·经典结论

12. 设 A, B 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的长轴两端点, P 是椭圆上的一点, ?PAB ? ? , a 2 b2 ?PBA ? ? , ?BPA ? ? , c , e 分别是椭圆的半焦距离心率,则有:

2ab2 | cos ? | . a 2 ? c 2co s2 ? (2) tan ? tan ? ? 1 ? e2 .
(1) | PA |? (3) S?PAB

2a 2 b 2 ? 2 cot ? . b ? a2

x2 y 2 13. 已知椭圆 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的右准线 l 与 x 轴相交于点 E , 过椭圆右焦点 F 的直线与椭圆相 a b
交于 A, B 两点,点 C 在右准线 l 上,且 BC ? x 轴,则直线 AC 经过线段 EF 的中点.

证明

14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必 与切线垂直. 15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点, 则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 证

第 8 页,共 15 页

解析几何专题·经典结论

16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e (离心率). (注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.) (角分线定理+合比公式) 17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e .(角分线定理) 18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项. (角分线定理)

双曲线

x2 y 2 ? ? 1( a ? 0, b ? 0 )的两个顶点为 A1 (?a, 0) , A2 (a,0) ,与 y 轴平行的直线交双曲 a 2 b2 x2 y 2 A P ? ? 1. 线于 P 时, 与 交点的轨迹方程是 A P , P 2 2 1 1 1 2 a 2 b2 x2 y 2 2. 过双曲线 2 ? 2 ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )上任一点 A( x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线 a b b2 x0 于 B, C 两点,则直线 BC 有定向且 kBC ? ? 2 (常数). a y0
1. 双曲线 3. 若 P 为双曲线

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )右(或左)支上除顶点外的任一点, F1 、 F2 是焦点, a 2 b2
c?a ? ? c?a ? ? ? tan co t (或 ? tan co t ). c?a 2 2 c?a 2 2

?PF1F2 ? ? , ?PF2 F1 ? ? ,则
4. 设双曲线

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的两个焦点为 F1 、 F2 , P (异于长轴端点)为双曲线上任 a 2 b2

意一点,在△ PF 1 F2 P ? ? ,则有: 1F 2 中,记 ?F 1 PF2 ? ? , ?PF 1 F2 ? ? , ?F

sin ? c ? ?e. ?(sin ? ? sin ? ) a

第 9 页,共 15 页

解析几何专题·经典结论

5. 若双曲线

x2 y 2 ? ?1 ( a ? 0, b ? 0 ) 的左、 右焦点分别为 F 左准线为 l , 则当1 ? e ? 2 ? 1 F2 , 1、 a 2 b2

时,可在双曲线上求一点 P ,使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项.

6.

x2 y 2 P 为双曲线 2 ? 2 ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )上任一点, F1 、 F2 是焦点, A 为双曲线内一定点,则 a b

| AF2 | ?2a ?| PA | ? | PF1 | ,当且仅当 A, F2 , P 三点共线且 P 和 A, F2 在 y 轴同侧时,等号成立.
x2 y 2 7. 双曲线 2 ? 2 ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )与直线 Ax ? By ? C ? 0 有公共点的充要条件是: a b 2 2 A a ? B 2b 2 ? C 2 . x2 y 2 8. 已知双曲线 2 ? 2 ? 1(b>a >0) , O 为坐标原点, P 、 Q 为双曲线上两动点,且 OP ? OQ . a b 1 1 1 1 (1) ? ? 2? 2; 2 2 | OP | | OQ | a b
(2) OP ? OQ 的最小值为
2 2

4a 2 b 2 ; b2 ? a 2

a 2b 2 (3) S?OPQ 的最小值是 2 . b ? a2 x2 y 2 9. 过双曲线 2 ? 2 ? 1( a ? 0, b ? 0 ) 的右焦点 F 作直线交该双曲线的右支于 M , N 两点, 弦 MN a b | PF | e ? . 的垂直平分线交 x 轴于 P ,则 | MN | 2 x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 ), A, B 是双曲线上的两点,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴 a 2 b2 a 2 ? b2 a 2 ? b2 相交于点 P( x0 ,0) , 则 x0 ? 或 x0 ? ? . a a x2 y 2 11. 设 P 点是双曲线 2 ? 2 ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )上异于实轴端点的任一点, F 1 、 F2 是焦点,记 a b ?F1PF2 ? ? ,则:
10. 已知双曲线

2b2 (1) | PF1 || PF2 |? . 1 ? cos ? ? 2 (2) S ?PF1F2 ? b cot . 2 2 x y2 12. 设 A, B 是双曲线 2 ? 2 ? 1( a ? 0, b ? 0 )的长轴两端点, P 是双曲线上的一点,?PAB ? ? , a b ?PBA ? ? , ?BPA ? ? , c , e 分别是双曲线的半焦距离心率,则有:

2ab2 | cos ? | . | a 2 ? c 2co s2 ? | 2 (2) tan ? tan ? ? 1 ? e .
(1) | PA |?

第 10 页,共 15 页

解析几何专题·经典结论

(3) S?PAB ?

2a 2 b 2 cot ? . b2 ? a 2

13. 已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1( a ? 0, b ? 0 )的右准线 l 与 x 轴相交于点 E ,过双曲线右焦点 F 的直线 a 2 b2

与双曲线相交于 A, B 两点,点 C 在右准线 l 上,且 BC ? x 轴,则直线 AC 经过线段 EF 的中点. 14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连 线必与切线垂直. 15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相 垂直. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连 双曲线焦三角形 中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率).(同上) (注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).(同上) 16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e (离心率). (注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点). 17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比 e . 18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.

19. 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上一点 P 0M ? P 0 N ,则 0 ? x0 , y0 ? ,以直线与椭圆交于 M , N 两点,恒有 P a 2 b2

直线横过 ? x0

? ?

a 2 ? b2 b2 ? a 2 ? , y ? 0 a 2 ? b2 a 2 ? b2 ?

证明

第 11 页,共 15 页

解析几何专题·经典结论

19. 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ,不再椭圆上的一点 P ,过 P 做倾斜角互补的两直线,与椭圆交于 a 2 b2

A, B, C , D 四点,则 A, B, C , D 四点共圆
证明

其他常用公式:
1、连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦,利用方程的根与系数关系来计算弦长,常用的弦 长公式: AB ? 1 ? k
2

x1 ? x2 ? 1 ?

1 y1 ? y2 k2

2、直线的一般式方程:任何直线均可写成 Ax ? By ? C ? 0 ( A, B 不同时为 0)的形式。 3、知直线横截距 x0 ,常设其方程为 x ? my ? x0 (它不适用于斜率为 0 的直线), 与直线 l : Ax ? By ? C ? 0 垂直的直线可表示为 Bx ? Ay ? C1 ? 0 。

第 12 页,共 15 页

解析几何专题·经典结论

4、两平行线 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0 , l2 : Ax ? By ? C2 ? 0 间的距离为 d ? 5、若直线 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0 与直线 l2 : Ax ? By ? C2 ? 0 平行,

C1 ? C2 A2 ? B 2



y 轴上截距) (充要条件) 则A 1B2 ? A2 B 1 ? 0 (斜率)且 B 1C2 ? B2C1 ? 0 (在
2 2 2 2 6、圆的一般方程: x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 D ? E ? 4 F ? 0 ,特别提醒:只有当

?

?

? D E? D2 ? E 2 ? 4F ? 0 时,方程 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 才表示圆心为 ? ? , ? ? ,半径为 2? ? 2
1 D 2 ? E 2 ? 4 F 的圆。二元二次方程 Ax2 ? Bxy ? Cy 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 表示圆的充要条件是 2
A ? C ? 0 ,且 B ? 0 ,且 D2 ? E 2 ? 4 AF ? 0 。
7、圆的参数方程: ?

? x ? a ? r cos ? ( ? 为参数),其中圆心为 ? a, b ? ,半径为 r 。圆的参数方程的主 ? y ? b ? r sin ?

要应用是三角换元: x2 ? y 2 ? r 2 ? x ? r cos ? , y ? r sin ? ;

x2 ? y 2 ? t ? x ? r cos ? , y ? r sin ? ( 0 ? r ? t );
8、 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 为直径端点的圆方程 ? x ? x1 ?? x ? x2 ? ? ? y ? y1 ?? y ? y2 ? ? 0 ;
2 切线长:过圆 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? r )外一点 P ? x0 , y0 ? 引圆的切线 2 2

的长为: x0 ? y0 ? Dx0 ? Ey0 ? F ? 0 (
2 2

? x ? a? ? ? y ? b?
2

2

? r2 )

9、弦长问题:①圆的弦长的计算:常用弦心距 d ,弦长一半
2

1 a 及圆的半径 r 所构成的直角三角形来 2

解: r 2 ? d 2 ? ?

?1 ? a ? ;②过两圆 C1 : f ? x, y ? ? 0 、 C2 : g ? x, y ? ? 0 交点的圆(公共弦)系为 ?2 ?

f ? x, y ? ? ? g ? x, y ? ? 0 ,当 ? ? ?1 时,方程 f ? x, y ? ? ? g ? x, y ? ? 0 为两圆公共弦所在直线方程.。

第 13 页,共 15 页

解析几何专题·经典结论

抛物线焦点弦性质总结 30 条
1. 以 AB 为直径的圆与准线 l 相切;

p2 2. x1 x2 ? ; 4 3. y1 y2 ? ? p2 ;
4. ?AC?B ? 90 ;
0

5. ?A?FB?=90 ;
0

6. AB ? x1 ? x2 ? p ? 2 ? x3 ?

? ?

p? 2p ; ?? 2 ? sin 2 ?

1 1 2 ? ? ; AF BF p 8. A, O, B? 三点共线; 9. B, O, A? 三点共线;
7.

p2 ; 2sin ? 3 2 S? ? p? AOB ? 11. ? ? (定值); AB ?2?
10. S?AOB ?

p p ; BF ? ; 1 ? cos ? 1 ? cos ? 13. BC ? 垂直平分 B?F ; 14. AC ? 垂直平分 A?F ;
12. AF ? 15. C ?F ? AB 16. AB ? 2 p ; ;

1 1 AB ? ? AA? ? BB? ? ; 2 2 P 18. k AB ? ; y3 y2 19. tan ? ? ; p x2 ? 2 2 20. A?B? ? 4 AF BF ;
17. CC ? ? 21. C ?F ?

1 A?B? . 2

22. 切线方程 y0 y ? m ? x0 ? x ? 23、 AB 是抛物线 y ? 2 px ? p ? 0? 焦点弦,Q 是 AB 的中点,l 是抛物线的准线,AA 1 ? l ,BB 1 ?l ,
2

过 A, B 的切线相交于 P , PQ 与抛物线交于点 M .则有 结论 6 结论 7

PA ? PB PF ? AB .

第 14 页,共 15 页

解析几何专题·经典结论

结论 8 结论 9 结论 10 结论 11

M 平分 PQ . PA 平分 ?A1 AB , PB 平分 ?B1BA .

FA FB ? PF

2

? S?PAB ?min ? p2

二)非焦点弦与切线 思考:当弦 AB 不过焦点,切线交于 P 点时, 也有与上述结论类似结果: 结论 12 ① xP ?

y ? y2 y1 y2 , yP ? 1 2 2p

结论 13 结论 14 结论 15 结论 16

PA 平分 ?A1 AB ,同理 PB 平分 ?B1BA . ?PFA ? ?PFB
点 M 平分 PQ

FA FB ? PF

2

第 15 页,共 15 页


有关圆锥曲线的经典结论

有关圆锥曲线的经典结论_数学_高中教育_教育专区。解析几何专题·经典结论·常用技巧 ★说明:圆锥曲线我们并未学完, 有些内容 (如焦半径公式) , 将此资料发到群...

2013年圆锥曲线经典结论总结(教师版)

2013年圆锥曲线经典结论总结(教师版)_理学_高等教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 2013年圆锥曲线经典结论总结(教师版)_理学_高等教育_教育专区。...

高中数学 有关圆锥曲线的经典结论

a b a b 椭圆与双曲线的对偶性质--(会推导的经典结论) 椭圆 x2 y 2 ?...其他常用公式: 1、连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦,利用方程的根...

有关圆锥曲线的经典结论

有关圆锥曲线的经典结论_高二数学_数学_高中教育_教育专区。高中数学圆锥曲线的经典结论关于解析几何的经典结论 解析几何的一、椭圆 1. 点 P 处的切线 PT 平分△...

圆锥曲线常用结论

y0 y b 2 . 椭圆与双曲线的对偶性质--(会推导的经典结论) 椭圆 1. 椭圆...其他常用公式: 1、连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦,利用方程的根...

圆锥曲线的一些经典结论

圆锥曲线的一些经典结论_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档圆锥曲线的一些经典结论_数学_高中教育_教育专区。椭圆与双曲线的经典结论椭 1...

有关圆锥曲线的经典结论

有关圆锥曲线的经典结论_高三数学_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 有关圆锥曲线的经典结论_高三数学_数学_高中教育_教育专区。一、...

有关圆锥曲线的经典结论

有关圆锥曲线的经典结论_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档有关圆锥曲线的经典结论_数学_高中教育_教育专区。一、椭 圆 1. 点 P 处...

有关圆锥曲线的经典结论

有关圆锥曲线的经典结论_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档有关圆锥曲线的经典结论_数学_高中教育_教育专区。一、椭 圆 1. 点 P 处...