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几个常用函数的导数(教案)


3.2.1 几个常用函数导数
教学目标: 1、能根据导数的定义推导部分基本初等函数的导数公式;
2、能利用导数公式求简单函数的导数。 教学重难点:能利用导数公式求简单函数的导数,基本初等函数的导数公式的应用

教学过程:
【合作探究】 探究任务一:函数 y ? f ( x) ? c 的导数. 问题:如何求函数 y ? f ( x)

? c 的导数? 新知: y ? ? 0 表示函数 y ? c 图象上每一点处的切线斜率为 . 若 y ? c 表示路程关于时间的函数,则 y ? ? ,可以解释为 即一直处于静止状态. 试试:求函数 y ? f ( x) ? x 的导数 反思: y ? ? 1 表示函数 y ? x 图象上每一点处的切线斜率为 . 若 y ? x 表示路程关于时间的函数,则 y ? ? ,可以解释为 探究任务二:在同一平面直角坐标系中,画出函数 y ? 2 x, y ? 3x, y ? 4 x 的图象,并根据导数 定义,求它们的导数. (1)从图象上看,它们的导数分别表示什么? (2)这三个函数中,哪一个增加得最快?哪一个增加得最慢? (3)函数 y ? kx(k ? 0) 增(减)的快慢与什么有关? 【典型例题】 1.函数 y ? f ( x) ? c 的导数 根据导数定义,因为

?y f ( x ? ?x) ? f ( x) c ? c ? ? ?0 ?x ?x ?x ?y ? lim 0 ? 0 所以 y? ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0
函数 导数

y?c

y? ? 0

y? ? 0 表示函数 y ? c 图像上每一点处的切线的斜率都为 0. 若 y ? c 表示路程关于时间的函
数,则 y? ? 0 可以解释为某物体的瞬时速度始终为 0,即物体一直处于静止状态. 2.函数 y ? f ( x) ? x 的导数 因为

?y f ( x ? ?x) ? f ( x) x ? ?x ? x ? ? ?1 ?x ?x ?x ?y ? lim 1 ? 1 所以 y? ? lim ?x ? 0 ?x ?x ? 0
函数 导数

y?x

y? ? 1

1

y ? ? 1 表示函数 y ? x 图像上每一点处的切线的斜率都为 1. 若 y ? x 表示路程关于时间的函
数,则 y ? ? 1 可以解释为某物体做瞬时速度为 1 的匀速运动. 3.函数 y ? f ( x) ? x2 的导数

因为

?y f ( x ? ?x) ? f ( x) ( x ? ?x)2 ? x 2 ? ? ?x ?x ?x x 2 ? 2 x?x ? (?x)2 ? x 2 ? ? 2 x ? ?x ?x

所以 y? ? lim

?y ? lim (2 x ? ?x) ? 2 x ?x ?0 ?x ?x ?0
函数 导数

y ? x2

y? ? 2 x

y? ? 2 x 表示函数 y ? x2 图像上点 ( x , y ) 处的切线的斜率都为 2 x ,说明随着 x 的变化,切
线的斜率也在变化.另一方面,从导数作为函数在一点的瞬时变化率来 看,表明:当 x ? 0 时,随着 x 的增加,函数 y ? x2 减少得越来越慢;当 x ? 0 时,随着 x 的增加,函数 y ? x2 增加得越来越快.若 y ? x2 表 示路程关于时间的函数,则 y? ? 2 x 可以解释为某物体做变速 运动,它在时刻 x 的瞬时速度为 2 x . 4.函数 y ? f ( x ) ?

1 的导数 x

1 1 ? ?y f ( x ? ?x) ? f ( x) x ? ?x x 因为 ? ? ?x ?x ?x
? x ? ( x ? ?x) 1 ?? 2 x( x ? ?x)?x x ? x ? ?x

所以 y? ? lim

?y 1 1 ? lim (? 2 )?? 2 ?x ? 0 ?x ?x ? 0 x ? x ? ?x x
函数 导数

y?
5.函数 y ?

1 x

y? ? ?

1 x2

[来源:学科网]

x 的导数

2

6.推广:若 y ? f ( x) ? xn (n ? Q* ) ,则 f ?( x) ? nxn?1 【反思总结】 1. 利用定义求导法是最基本的方法,必须熟记求导的三个步骤: , , . 2. 利用导数求切线方程时,一定要判断所给点是否为切点,一定要记住它们的求法是不同 的. 【当堂检测】 1. f ( x) ? 0 的导数是( ) A.0 B.1 C.不存在 2 2.已知 f ( x) ? x ,则 f ?(3) ? ( ) A.0 B.2 x C.6 D.9 3. 在曲 线 y ? x 2 上的切线的倾斜角为 A. (0, 0) 4. 过曲线 y ? B. (2, 4) D.不确定

? 的点为( 4 1 1 1 1 C. ( , ) D. ( , ) 4 16 2 4



1 上点 (1,1) 且与过这点的切线平行的直线方程是 x 5. 物体的运动方程为 s ? t 3 ,则物体在 t ? 1 时的速度为 为 . 【板书设计】
1.函数 y ? f ( x) ? c 的导数 2.函数 y ? f ( x) ? x 的导数 3.函数 y ? f ( x) ? x 的导数
2

,在 t ? 4 时的速度

5.函数 y ? 6.推广:

x 的导数

4.函数 y ? f ( x ) ?

1 的导数 x

【课后作业】P82 探讨

3


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