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江苏省青阳高级中学2013届高三3月份检测数学试题

时间:2013-04-28


江苏省青阳高级中学 2013 届高三 3 月份检测 数学试卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1. 复数 2+i 在复平面上对应的点在第 i 象限.

2. 某商场有四类食品, 其中粮食类、 植物油类、 动物性食品类及果蔬类分别有 40 种、 种、 种、 种, 10 30 20 从中抽取一个容量为 20 的样本进行食

品安全检测.若采用分层抽样的方法抽取样本,则抽取的植物油 类与果蔬类食品种数之和是 . 3. 已知集合 A ? {x | x ? 5} ,集合 B ? {x | x ? a} ,若命题“ x ? A ”是命题“ x ? B ”的充分不必要条件, 则实数 a 的取值范围是 . 4. 如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=1,BC=2,AC= 5 ,AA1=3,M 为线段 BB1 上的一动点,则当 AM+MC1 最小时,△AMC1 的面积为 .

5. 集合 A ? {3, log 2 a}, B ? {a, b}, 若 A ? B ? {2}, 则 A ? B ? . 6. 阅读如图所示的程序框,若输入的 n 是 100,则输出的变量 S 的值是
开始 输入 n
S ?0



n?2

S ?S ?n



输出 S

n ? n ?1

结束

7. 向量 a ? (cos10? ,sin10? ), b ? (cos 70? ,sin 70? ) , a ? 2b = 8. 方程 x lg( x ? 2) ? 1 有 是
2



个不同的实数根.

9. 设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若≤ a5 ≤ 4 , 2 ≤ a6 ≤ 3 ,则 S6 的取值范围 .

10.过双曲线

x y2 a2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点 F (?c, 0)(c ? 0) ,作圆: x 2 ? y 2 ? 的 a2 b 4 ??? 1 ??? ??? ? ? ? 切线,切点为 E ,直线 FE 交双曲线右支于点 P ,若 OE ? (OF ? OP ) ,则双曲线的 2


离心率为 . f ? x ? ? mx 2 ? ln x ? 2 x 在定义域内是增函数,则实数 m 的取值范围是 11.若函数

???? ? ? ??? ???? ? ? ??? ???? ? 1 ? ???? , ? , ON =(0,1),O 为坐标原点,动点 P(x,y)满足 0≤ OP ? OM ≤1,0≤ OP ? ON ≤1, 12.设 OM = ?1

?

2?

则 z=y-x 的最小值是 . 13.设周期函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,若 f ( x) 的最小正周期为 3,且满足 f (1) >-2, f (2) =m-

3 ,则 m 的取值范围是 m



14. 等差数列 ?an ? 的公差为 d, 关于 x 的不等式 前 n 项和 S n 最大的正整数 n 的值是 二、解答题:本大题共六小题,共计 90 分. 15.(本题满分 14 分)

d? d 2 ? x + ? a1 ? ? x +c≥0 的解集为[0, 22], 则使数列 ?an ? 的 2? 2 ? .

在锐角 ?ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c .已知 cos 2C ? ? (1)求 sin C ;(2)当 c ? 2a ,且 b ? 3 7 时,求 a .

3 . 4

16.(本题满分 14 分) 如图, ABCD 是边长为 3 的正方形, DE ? 平面 ABCD , AF // DE , DE ? 3 AF , BE 与平面 ABCD 所 成角为 60 0 . (1)求证: AC ? 平面 BDE ;(2)设点 M 是线段 BD 上一个动点,试确定点 M 的 位置,使得 AM // 平面 BEF ,并证明你的结论.

E

F

D

C

A

B

17.(本题满分 14 分)已知椭圆的中心为坐标原点,短轴长为 2,一条准线方程为 l: x ? 2 . ⑴ 求椭圆的标准方程;⑵ 设 O 为坐标原点,F 是椭圆的右焦点,点 M 是直线 l 上的动点,过点 F 作 OM 的垂线与以 OM 为直径的圆交于点 N,求证:线段 ON 的长为定值.

18.(本题满分 16 分)已知某种稀有矿石的价值 y (单位:元)与其重量 ? (单位:克)的平方成正比, 且 3 克该种矿石的价值为 54000 元。⑴写出 y (单位:元)关于 ? (单位:克)的函数关系式; ⑵若把一块该种矿石切割成重量比为 1: 3 的两块矿石,求价值损失的百分率; ⑶把一块该种矿石切割成两块矿石时,切割的重量比为多少时,价值损失的百分率最大。 (注:价值损失的百分率 ?

原有价值 ? 现有价值 原有价值

?100% ;在切割过程中的重量损耗忽略不计)

19.(本小题满分 16 分)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且满足 S n =2- an ,n=1,2,3,?. (1)求数列 ?an ? 的通项公式;(2)若数列 ?bn ? 满足 b1 =1,且 bn ?1 = bn + an ,求数列 ?bn ? 的通项公式; (3)设 cn =n (3- bn ),求数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn .

20.(本题满分 16 分) 已知 k ? R ,函数 f ( x) ? m x ? k ? n x (0 ? m ? 1,0 ? n ? 1) . (1) 如果实数 m, n 满足 m ? 1, mn ? 1 ,函数 f ( x) 是否具有奇偶性?如果有,求出相应的 k 值,如果没有,说明为什么? (2) 如果 m ? 1 ? n ? 0, 判断函数 f ( x) 的单调性; (3) 如果 m ? 2 , n ?
1 ,且 k ? 0 ,求函数 y ? f ( x) 的对称轴或对称中心. 2

参考答案 1. 四 9. 2. 6 3. a ? 5 10. 4.
3

5. {2,3,4} 11. m≥
1 2

6. 5049 12.-1

7. 3

8. 2

? ?12, 42?

10 2

13. (?? , ?1) ? (0 , 3) 14.11 二、解答题:本大题共六小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤. 15.(本题满分 14 分) 在锐角 ?ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c .已知 cos 2C ? ? (1)求 sin C ;(2)当 c ? 2a ,且 b ? 3 7 时,求 a .

3 . 4

3 7 .所以 sin 2 C ? . ?????? 2 分 4 8 14 因为在 ?ABC 中, sin C ? 0 ,所以 sin C ? . ……………………4 分 4 1 14 (2)因为 c ? 2a ,所以 sin A ? sin C ? . ………………………………6 分 2 8 2 5 2 因为 ?ABC 是锐角三角形,所以 cos C ? , cos A ? . ………………8 分 4 8 14 2 5 2 14 3 7 所以 sin B ? sin( A ? C ) ? sin A cos C ? cos A sin C ? . 11 分 ? ? ? ? 8 4 8 4 8 3 7 a 由正弦定理可得: ,所以 a ? 14 . …………………14 分 ? sin B sin A
解:(1)由已知可得 1 ? 2sin 2 C ? ? 说明:用余弦定理也同样给分. 16.(本题满分 14 分) 如图, ABCD 是边长为 3 的正方形, DE ? 平面 ABCD , AF // DE , DE ? 3 AF . (1)求证: AC ? 平面 BDE ; E (2)设点 M 是线段 BD 上一个动点,试确定点 M 的位置, 使得 AM // 平面 BEF ,并证明你的结论. 16.(1)证明:因为 DE ? 平面 ABCD , 所以 DE ? AC . ……………………2 分 因为 ABCD 是正方形, F D 所以 AC ? BD ,因为 DE ? BD ? D ………………4 分 从而 AC ? 平面 BDE . ……………………6 分 (2)当 M 是 BD 的一个三等分点,即 3BM=BD 时,AM∥ 平面 A B BEF. …………7 分

C

取 BE 上的三等分点 N,使 3BN=BE,连结 MN,NF,则 DE∥MN,且 DE=3MN, 因为 AF∥DE,且 DE=3AF,所以 AF∥MN,且 AF=MN, 故四边形 AMNF 是平行四边形. ??????????????10 分 所以 AM∥FN, 因为 AM ? 平面 BEF,FN ? 平面 BEF, ????????????????12 分 所以 AM∥平面 BEF. ????????????????14 分 17.(本题满分 14 分) 已知椭圆的中心为坐标原点,短轴长为 2,一条准线方程为 l: x ? 2 . ⑴ 求椭圆的标准方程; ⑵ 设 O 为坐标原点,F 是椭圆的右焦点,点 M 是直线 l 上的动点,过点 F 作 OM 的垂线与以 OM 为 直径的圆交于点 N,求证:线段 ON 的长为定值. 解:⑴∵椭圆 C 的短轴长为 2,椭圆 C 的一条准线为 l: x ? 2 ,

∴不妨设椭圆 C 的方程为 即 c ? 1 .(5 分) ∴椭圆 C 的方程为

x2 a2 1 ? c2 ? y 2 ? 1 .(2 分)∴ ? ? 2 ,( 4 分) a2 c c

x2 ? y 2 ? 1 .(6 分) 2 ⑵ F(1,0),右准线为 l: x ? 2 , 设 N ( x0 , y0 ) , y0 y 则直线 FN 的斜率为 k FN ? ,直线 ON 的斜率为 kON ? 0 ,(8 分) x0 ? 1 x0 x ?1 ∵FN⊥OM,∴直线 OM 的斜率为 kOM ? ? 0 ,(9 分) y0
∴直线 OM 的方程为: y ? ?

x0 ? 1 2( x0 ? 1) x ,点 M 的坐标为 M (2, ? ) .(11 分) y0 y0

∴直线 MN 的斜率为 k MN

∵MN⊥ON,∴ k MN ? kON

2( x0 ? 1) y0 .(12 分) ? x0 ? 2 2( x0 ? 1) y0 ? y0 y ∴ ? ?1 , ? 0 ? ?1 , x0 ? 2 x0 y0 ?

∴ y0 2 ? 2( x0 ? 1) ? x0 ( x0 ? 2) ? 0 ,即 x0 2 ? y0 2 ? 2 .(13 分) ∴ ON ? 2 为定值.(14 分) 说明:若学生用平面几何知识(圆幂定理或相似形均可)也得分,设垂足为 P,准线 l 与 x 轴交于 Q,则 有 ON 2 = OPgOM ,又 OPgOM = OF gOQ = 2 ,所以 ON =
2

2 为定值.

18、解⑴依题意设 y ? k? (? ? 0) ,又当 ? ? 3 时, y ? 54000 ,∴ k ? 6000 , 故 y ? 6000? (? ? 0) 。
2

⑵设这块矿石的重量为 a 克,由⑴可知,按重量比为 1: 3 切割后的价值 为 6000( a ) 2 ? 6000( a ) 2 ,价值损失为 6000a 2 ? (6000( a ) 2 ? 6000( a ) 2 ) ,

1 4

3 4

1 4

3 4

1 3 6000a 2 ? [6000( a) 2 ? 6000( a) 2 ] 4 4 价值损失的百分率为 ?100% ? 37.5% 。 2 6000a
⑶解法 1:若把一块该种矿石按重量比为 m : n 切割成两块,价值损失的百分率应为

m?n 2 ) 2mn 1 m 2 n 2 2mn 2 ? ? ,当且仅当 m ? n 时取等号,即重量 ,又 1 ? [( ) ?( ) ]? 2 2 2 ( m ? n) ( m ? n) 2 m?n m?n (m ? n) 2?(
比为 1:1 时,价值损失的百分率达到最大。 解法 2:设一块该种矿石切割成两块,其重量比为 x :1 ,则价值损失的百分率为

x 2 1 2 2x ,又 x ? 0 ,∴ x 2 ? 1 ? 2 x , 1 ? [( ) ?( ) ]? 2 1? x 1? x x ? 2x ?1 2x 2x 1 故 2 ? ? ,等号当且仅当 x ? 1 时成立。 x ? 2x ?1 2x ? 2x 2

答:⑴函数关系式 y ? 6000? 2 (? ? 0) ;

⑵价值损失的百分率为 37.5% ;

⑶故当重量比为 1:1 时,价值损失的百分率达到最大。 19.(1)因为 n=1 时, a1 + S1 = a1 + a1 =2,所以 a1 =1. 因为 S n =2- an ,即 an + S n =2,所以 an ?1 + S n ?1 =2. 两式相减: an ?1 - an + S n ?1 - S n =0,即 an ?1 - an + an ?1 =0,故有 2an ?1 = an . 因为 an ≠0,所以

an ?1 1 = ( n∈ N ? ). an 2

所以数列 ?an ? 是首项 a1 =1,公比为

1 ?1? 的等比数列, an = ? ? 2 ?2?

n?1

( n∈ N ? ).

?1? (2)因为 bn ?1 = bn + an ( n=1,2,3,?),所以 bn ?1 - bn = ? ? ?2?

n?1

.从而有

1 ?1? ?1? b2 ? b1 =1, b3 ? b2 = , b4 ? b3 = ? ? ,?, bn ? bn ?1 = ? ? 2 ?2? ?2?
将这 n-1 个等式相加,得
n?1

2

n? 2

( n=2,3,?).

1 ?1? ?1? bn - b1 =1+ + ? ? +?+ ? ? 2 ?2? ?2?
?1? 又因为 b1 =1,所以 bn =3- 2 ? ? ?2?

2

n? 2

?1? 1? ? ? ?2? = 1 1? 2

?1? =2- 2 ? ? ?2?

n?1



n?1

( n=1,2,3,?).
n ?1

?1? (3)因为 cn =n (3- bn )= 2n ? ? ?2?



2 n?2 n ?1 ?? 1 ? 0 ?1? ?1? ?1? ?1? ? 所以 Tn = 2 ?? ? ? 2 ? ? ? 3 ? ? ? ? ? ( n ? 1) ? ? ? n ? ? ? . ?2? ?2? ?2? ?2? ? ?? 2 ? ? ? 2 3 n ?1 n ?? 1 ?1 1 ?1? ?1? ?1? ?1? ? Tn = 2 ?? ? ? 2 ? ? ? 3 ? ? ? ? ? ( n ? 1) ? ? ? n ? ? ? . 2 ?2? ?2? ?2? ?2? ? ?? 2 ? ? ? n?1 n ?? 1 ? 0 ? 1 ? ? 1 ? 2 1 ?1? ? ?1? Tn = 2 ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - 2n ? ? . ①-②,得 2 ?2? ? ?2? ?? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? ?





?1? 1? ? ? n n ? 2 ? - 4n ? 1 ? =8- 8 - 4n ? 1 ? =8- (8 ? 4n) 1 ( n=1,2,3,?). 故 Tn = 4 ? ? ? ? 1 2n 2n ?2? ?2? 1? 2 20.(本题满分 16 分)

n

已知 k ? R ,函数 f ( x) ? m x ? k ? n x (0 ? m ? 1,0 ? n ? 1) . (1) 如果实数 m, n 满足 m ? 1, mn ? 1 ,函数 f ( x) 是否具有奇偶性?如果有,求出相应的 k 值;如果没有,说明为什么? (2) 如果 m ? 1 ? n ? 0, 判断函数 f ( x) 的单调性; 1 (3) 如果 m ? 2 , n ? ,且 k ? 0 ,求函数 y ? f ( x) 的对称轴或对称中心. 2 解:(1)如果 f ( x) 为偶函数,则 f (? x) ? f ( x), m ? x ? k ? n ? x ? m x ? k ? n x 恒成立,(1 分) 即: n x ? k ? m x ? m x ? k ? n x , (n x ? m x ) ? k (m x ? n x ) ? 0 , (n x ? m x )(k ? 1) ? 0 (2 分) 由 n x ? m x ? 0 不恒成立,得 k ? 1. (3 分) 如果 f ( x) 为奇函数,则 f (? x) ? ? f ( x), m ? x ? k ? n ? x ? ?m x ? k ? n x 恒成立,(4 分) 即: n x ? k ? m x ? ?m x ? k ? n x , (n x ? m x ) ? k (m x ? n x ) ? 0 , (5 分)

(n x ? m x )(k ? 1) ? 0 , 由 n x ? m x ? 0 恒成立,得 k ? ?1. (6 分)
(2)? m ? 1 ? n ? 0,

m ? 1 , ∴ 当 k ? 0 时,显然 f ( x) ? m x ? k ? n x 在 R 上为增函数;(8 分) n

m 当 k ? 0 时, f ?( x) ? m x ln m ? kn x ln n ? [( ) x ln m ? k ln n)]n x ? 0 , n m x m x ln n 由 n x ? 0, 得 ( ) ln m ? k ln n ? 0, 得 ( ) ? ?k ? ? k log m n, 得 x ? log m (?k log m n) .(9 分) n n ln m n ∴当 x ? (??, log m (?k log m n)] 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 为减函数; (10 分)
n

当 x ? [log m (?k log m n), ??) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 为增函数. (11 分)
n

1 时, f ( x) ? 2 x ? k ? 2? x , 2 如果k ? 0, f ( x) ? 2 x ? k ? 2? x ? 2 x ? (?k ) ? 2? x ? 2 x ? 2log2 ( ? k ) ? 2? x ? 2 x ? 2log2 ( ? k ) ? x ,(13 分) 1 则 f (log 2 (?k ) ? x) ? ? f ( x), ∴函数 y ? f ( x) 有对称中心 ( log 2 (?k ), 0). (14 分) 2 log 2 k log 2 k ? x x ?x x ?x x ?2 ? 2 ? 2 , (15 分) 如果 k ? 0, f ( x) ? 2 ? k ? 2 ? 2 ? 2 1 则 f (log 2 k ? x) ? f ( x), ∴函数 y ? f ( x) 有对称轴 x ? log 2 k .(16 分) 2

(3) 当 m ? 2, n ?


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