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2016高考数学理科二轮复习习题:专题综合检测卷(二)


专题综合检测(二)
(时间:120 分钟,满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小 题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知 α 为第二象限角,sin α +cos α = A.- 5 5 5 5 B.- C. D. 3 9 9 3 3 , 3 3 ,则 cos 2α =(A) 3

解析:sin α+cos α=

1 2 两边平方可得 1+sin 2α= ?sin 2α=- , 3 3 ∵α是第二象限角,因此 sin α>0,cos α<0, 所以 cos α - sin α =- (cos α-sin α)2=- - 15 . 3 ∴ cos 2α = cos2α- sin2α = (cos α+ sin α )(cos α -sin α ) =- 5 . 3 2 1+ = 3

2.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,已知 8b=5c,C=2B,则 cos C=(A) 7 7 7 24 A. B.- C.± D. 25 25 25 25 解析:∵8b=5c,由正弦定理得 8sin B=5sin C. 又∵C=2B, ∴8sin B=5sin 2B. 所以 8sin B=10sin Bcos B.易知 sin B≠0,
1

4 7 ∴cos B= ,cos C=cos 2B=2cos2 B-1= . 5 25 3.函数 y=2cos2?x-
? ?

π? ?-1 是(A) 4?

A.最小正周期为π 的奇函数 B.最小正周期为π 的偶函数 C.最小正周期为 D.最小正周期为 π 的奇函数 2 π 的偶函数 2

? ? π? π? 解析:因为 y=2cos2?x- ?-1=cos?2x- ?=sin 2x 为奇函数, 4? 2? ? ?

T=

2π =π.故选 A. 2 4.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a= 3,

b=

2,B=45°,则 A=(D) A.30° C.60° B.30°或 105° D.60°或 120°

5. (2014· 安徽卷)若将函数 f(x)=sin 2x+cos 2x 的图象向右平移 φ 个单位,所得图象关于 y 轴对称,则 φ 的最小正值是(C) π A. 8 B. π 4 C. 3π 8 D. 3π 4
? ?

解析:由题意 f(x)=sin 2x+cos 2x= 2sin?2x+ 右平移 φ 个单位,得 2sin?2(x-φ)+
? ?

π? ?,将其图象向 4?

? π? π? ?= 2sin?2x-2φ+ ?,要 4? 4? ?

使图象关于 y 轴对称,则

π π π kπ -2φ= +kπ,解得 φ=- - , 4 2 8 2 3π .故选 C. 8
2

当 k=-1 时,φ取最小正值

→ =(-4, 6.(2015· 新课标Ⅰ卷)已知点 A(0,1),B(3,2),向量AC → =(A) -3),则向量BC A.(-7,-4) C.(-1,4) B.(7,4) D.(1,4)

→ =(x,y-1)=(-4,-3), 解析:解法一:设 C(x,y),则AC
? ?x=-4, → =(-4,-2)-(3,2)=(-7,-4).故选 所以? 从而BC ?y=-2, ?

A. → =(3,2)-(0,1)=(3,1),BC → =AC → -AB → = ( - 4, 解法二:AB -3)-(3,1)=(-7,-4).故选 A. 7.在△ABC 中,a,b,c 分别为三个内角 A,B,C 所对的边, 设向量 m=(b-c,c-a),n=(b,c+a),若向量 m⊥n,则角 A 的大 小为(B) π A. 6 π C. 2 B. π 3 2π 3

D.

解析:∵m=(b-c,c-a), n=(b,c+a)且 m⊥n, ∴m· n=(b-c,c-a)· (b,c+a)=b(b-c)+c2-a2=0, 即 b2+c2-a2=bc, b2+c2-a2 bc 1 又∵cos A= = = ,0<A<π, 2bc 2bc 2 ∴A= π . 3 1-sin 2x=sin x-cos x,则 x 的取值范

8.设 0≤x<2π ,且

3

围是(B) A.0≤x≤π π 7π C. ≤x≤ 4 4 π 5π B. ≤x≤ 4 4 D. π 3π ≤x≤ 2 2

→ =3CD →, 9. (2015· 新课标Ⅰ卷)设 D 为△ABC 所在平面内一点, BC 则(A) → =-1AB → +4AC → A.AD 3 3 → =4AB → +1AC → C.AD 3 3 → =1AB → -4AC → B.AD 3 3 → =4AB → -1AC → D.AD 3 3

→ =AC → + CD → = AC → + 1BC → = AC → + 1(AC → - AB → )= 4AC → -1 解析: AD 3 3 3 3 → =-1AB → +4AC → .故选 A. AB 3 3 x2 2 10.(2015· 新课标Ⅰ卷)已知 M(x0,y0)是双曲线 C: -y =1 上 2 → ?MF → <0,则 y 的取值范 的一点,F1,F2 是 C 的两个焦点.若MF 1 2 0 围是(A) A.?-
? ? ?

3 3? , ? 3 3?

B.?-
?

?

3 3? , ? 6 6?

C.?-

2 2 2 2? ? , 3 3 ? ?

D.?-

?

2 3 2 3? ? , 3 3 ? ?

解析:由题意知 a= 2,b=1,c= 3, ∴ F1(- 3,0),F2( 3,0), → =(- 3-x ,-y ),MF → =( 3-x ,-y ). ∴ MF 1 0 0 2 0 0 → ·MF → <0, ∵ MF 1 2 ∴ (- 3-x0)( 3-x0)+y2 0<0,
4

2 即 x2 0-3+y0<0.

∵ 点 M(x0,y0)在双曲线上, x2 0 2 2 ∴ -y2 0=1,即 x0=2+2y0, 2
2 2 ∴ 2+2y0 -3+y0 <0,∴ -

3 3 <y0< .故选 A. 3 3

?π ? 3 11.已知 tan α =- ,则 cos2? +α?=(A) 5 ?4 ?

16 15 9 8 A. B. C. D. 17 17 17 17 1 12.若向量 a、b 满足|a|=|b|=1,且(a+b)· b= ,向量 a、b 的 2 夹角为(B) π A. 3 B. 2π 3 C. π 6 D. 5π 6

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确 答案填在题中横线上) 13.设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若(a +b-c)(a+b+c)=ab,则角 C= 2π . 3

解析:由(a+b-c)(a+b+c)=ab?a2+b2-c2=-ab,根据余弦 a2+b2-c2 2π 1 定理可得 cos C= =- ?C= . 2ab 2 3 14.(2015· 新课标Ⅱ卷)设向量 a,b 不平行,向量 λa+b 与 a+ 1 2b 平行,则实数λ = . 2 解析:∵ λa+b 与 a+2b 平行,∴ λa+b=t(a+2b),

5

即 λa+b=ta+2tb,∴

1 ? λ = , ? ? 2 ?λ=t, ? 解得? 1 ?1=2t, ? ? t = ? 2. 5π . 6

15. 当函数 y=sin x- 3cos x(0≤x<2π )取得最大值时, x=
? π? 解析:y=sin x- 3cos x=2sin?x- ?, 3? ?

0≤x<2π?-

π π 5π ≤x- < , 3 3 3 π? ?≤2. 3?

可知-2≤2sin?x-
?

?

当且仅当 x-

π π 5π = 时,即 x= 时取得最大值. 3 2 6

16. (2014· 江苏卷)若△ABC 的内角满足 sin A+ 2sin B=2sin C, 则 cos C 的最小值是 6- 2 . 4

解析:由已知 sin A+ 2sin B=2sin C 及正弦定理可得 a+ 2b
?a+ 2b?2 2 2 ? ? a + b - a2+b2-c2 3a2+2b2-2 2ab 2 ? ? = 2c, cos C= = = ≥ 2ab 2ab 8ab

2 6ab-2 2ab 6- 2 2 a = ,当且仅当 3a2=2b2 即 = 时等号成立. b 8ab 4 3 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出必要的文 字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10 分)(2015· 茂名一模)设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a=2bsin A. (1)求角 B 的大小; (2)若 a=3 3,c=5,求△ABC 的面积及 b. 解析:(1)∵a=2bsin A,由正弦定理得 sin A=2sin Bsin A,由于
6

sin A≠0, 1 故有 sin B= ,又∵B 是锐角, 2 ∴B=30°. 1 1 1 15 3 (2)依题意得:S△ABC= acsin 30°= ?3 3?5? = , 2 2 2 4 ∴由余弦定理 b2=a2+c2-2accos B 可得 b2=(3 3)2+52-2?3 3?5?cos 30° =27+25-45=7, ∴b= 7. 18.(12 分)已知函数 f(x)= (sin x-cos x)sin 2x . sin x

(1)求 f(x)的定义域及最小正周期; (2)求 f(x)的单调递增区间. 解析:f(x)= (sin x-cos x)sin 2x = sin x

(sin x-cos x)2sin xcos x =2(sin x-cos x)cos x=sin 2x-1- sin x cos 2x= 2sin?2x-
? ?

π? ?-1,{x|x≠kπ,k∈Z} 4?

(1)原函数的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z},最小正周期为π.
? π ? ? ? 3π ?kπ, (2)原函数的单调递增区间为?- +kπ,kπ?, +kπ? 8 ? 8 ? ? ?

(k∈Z). ωx 19.(12 分)函数 f(x)=6cos2 + 3cos ω x-3(ω>0)在一个周 2 期内的图象如图所示,A 为图象的最高点,B,C 为图象与 x 轴的交 点,且△ABC 为正三角形.

7

(1)求 ω 的值及函数 f(x)的值域; (2)若 f(x0)=
? 10 2? 8 3 ,且 x0∈?- 3 ,3?,求 f(x0+1)的值. 5 ? ?

解析:(1)由已知可得:f(x)=6cos2 x+

ωx
2

+ 3cos ωx-3=3cos ω

? π? 3sin ωx=2 3sin?ωx+ ?(ω>0). 3? ?

又由于正三角形 ABC 的高为 2 3,则 BC=4, 所以,函数 f(x)的周期 T=4?2=8, 即 2π

ω

=8,得ω=

π . 4

所以,函数 f(x)的值域为[-2 3,2 3 ]. (2)因为 f(x0)= 8 3 ,由(1)有 5

?πx0 π? 8 3 f(x0)=2 3sin? + ?= 5 , 3? ? 4 ?πx0 π? 4 即 sin? + ?=5. 3? ? 4 ?πx0 π? ? π π? ? 10 2? 由 x0∈?- 3 ,3?,得? + ?∈?- , ?, ? ? 3? ? 2 2? ? 4 ?πx0 π? 所以,即 cos? + ?= 3? ? 4 ?4?2 3 1-?5? = . 5 ? ?

?πx0 π π? 故 f(x0+1)=2 3sin? + + ? 4 3? ? 4
8

??πx0 π? π? =2 3sin?? + ?+ 4 ? 3? ?? 4 ? ? ?πx0 π? ?πx0 π? π π? =2 3?sin? + ?cos 4 +cos? + ?sin 4 ? 3? 3? ? 4 ? ? 4 ? ?4 2 3 2? 7 6 =2 3? ? + ? ?= . 5 2 5 2? ?5

→ ?AC → =3BA → ?BC →. 20.(12 分)在△ABC 中,已知AB (1)求证:tan B=3tan A; (2)若 cos C= 5 ,求 A 的值. 5

→· → =3BA →· →, 解析: (1)∵AB AC BC ∴AB· AC· cos A=3BA· BC· cos B,即 AC· cos A=3BC·cos B. 由正弦定理,得 AC BC = , sin B sin A

∴sin B·cos A=3sin A·cos B. 又∵0<A+B<π,∴cos A>0,cos B>0. ∴ sin B sin A =3· ,即 tan B=3tan A. cos B cos A 5 ,0<C<π, 5 1-?
? 5?2 2 5 ? = . 5 ? 5?

(2)∵cos C= ∴sin C= ∴tan C=2.

∴tan[π-(A+B)]=2,即 tan(A+B)=-2. tan A+tan B ∴ =-2. 1-tan A·tan B 4tan A 由 (1),得 =-2, 1-3tan2 A

9

1 解得 tan A=1 或 tan A=- . 3 ∵cos A>0,∴tan A=1.∴A= π . 4

? π ? 21. (12 分)已知函数 f(x)=sin x+acos x 的图象经过点?- ,0?. ? 3 ?

(1)求实数 a 的值; (2)求函数 f(x)的最小正周期与单调递增区间.
? π ? 解析:(1)因为函数 f(x)=sin x+acos x 的图象经过点?- ,0?, ? 3 ?

所以 f?-

?

π? ?=0. ? 3?
? ? π? π? ?+acos?- ?=0. ? 3? ? 3?

即 sin?- 即-

3 a + =0. 2 2

解得 a= 3. (2)由(1)得,
?1 ? 3 f(x)=sin x+ 3cos x=2? sin x+ cos x? 2 ?2 ?

=2?sin xcos
?

?

π π? +cos xsin ? 3 3?

=2sin?x+
?

?

π? ?. 3?

所以函数 f(x)的最小正周期为 2π. 因 为 函 数 y = sin x 的 单 调 递 增 区 间 为 [2k π - π ](k∈Z), 2 π , 2k π + 2

10

所以当 2kπ- 增, 即 2kπ-

π π π ≤x+ ≤2kπ+ (k∈Z)时,函数 f(x)单调递 2 3 2

5π π ≤x≤2kπ+ (k∈Z)时,函数 f(x)单调递增. 6 6
? ?

所以函数 f(x)的单调递增区间为?2kπ- (k∈Z).

5π π? ,2kπ+ ? 6 6?

x ? ? ? x ? 22.(12 分)已知向量 m=?2cos 2,1?,n=?sin2,1?(x∈R),设 ? ? ? ? 函数 f(x)=m· n-1. (1)求函数 f(x)的值域; (2)已知锐角三角形 ABC 的三个内角分别为 A,B,C,若 f(A) 5 3 = ,f(B)= ,求 f(C)的值. 13 5 x x ? ? ? ? x 解析:(1)f(x)=m· n-1=?2cos 2,1?·?sin 2,1?-1=2cos sin 2 ? ? ? ? x +1-1=sin x. 2 ∵x∈R, ∴函数 f(x)的值域为[-1,1]. (2)∵f(A)= ∴sin A= 5 3 ,f(B)= , 13 5

5 3 ,sin B= . 13 5

12 ∵A,B 都为锐角,∴cos A= 1-sin2 A= , 13 4 cos B= 1-sin2 B= . 5 ∴f(C)=sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sin Acos B+
11

5 4 12 3 56 cos Asin B= ? + ? = . 13 5 13 5 65 ∴f(C)的值为 56 . 65

12


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