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人教A版高中数学必修1 教材分析

时间:2012-09-20


人教 A 版高中数学必修 1 教材分析 【1.3.1】 函数的基本性质——单调性与最值 【本教材内容的地位和作用】 函数思想是贯穿高中数学的一根主线, 函数的基本性质又是函数一章的重点内容。 一方 面,它是对以前所学具体函数的一次总结,又是函数知识的一次拓展,对后续学习指、对数 函数、三角函数、导数有重要的指导作用。另一方面,函数的单调性是初等数学与高等数学 (导数)衔接的枢纽,

特别在应用意识日益加深的今天,函数的单调性在解决实际问题中有 着相当重要的作用。因此,函数单调性的教学,在教材体系中有着不可替代的位置,又有着 重要的现实意义。 函数的单调性是函数的重要性质之一, 它是研究函数值与自变量变化的一种关系, 既要 求学生结合函数的图象 (直观性) 来研究函数单调性, 也要求学生利用函数单调性和最大(小) 值的定义(严谨性)来研究函数单调性和最大(小)值。因此本节课的教学重点是函数的单调 性与最大(小)值的概念及其几何意义;判断、证明函数单调性;求函数的最大(小)值,利用 单调性和最大(小)值来解决实际问题, 培养学生的函数思想, 数形结合思想以及应用数学意 识。 【本教材内容的内部知识结构】 知识点: 1、单调性的概念 2、增函数、减函数的定义 内部知识结构: 1、函数的单调性定义 如果函数 y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数 y=f(x)在这一区 间具有(严格的)单调性,区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间: 2、 增函数: 一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I, 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数(increasing function) . 减函数:如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2),那么就说 f(x)在区间 D 上是减函数(decreasing function) . 单调性证明方法解析: 利用定义证明函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤: 1 ○ 任取 x1,x2∈D,且 x1<x2;○ 作差 f(x1)-f(x2);○ 变形(通常是因式分解 2 3

和配方) ○ 定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负) ○ 下结论(即指出函数 f(x)在给定的 ; 4 ; 5 区间 D 上的单调性) . 【教材内容要点】 *教学重点:掌握运用定义或图象进行函数的单调性的证明和判别,结合函数图形熟记 几种常见函数的基本性质 *教学难点:函数概念的理解。 【教学目标】

*兴趣:利用函数的单调性和图象求函数在闭区间上的最大(小)值,解决日常生活中 的实际问题,增进对数学应用价值的认识,激发学习数学兴趣与热情。 *能力:1、通过实例,使学生体会到函数的最大(小)值实际上是函数图象的最高(低) 点的纵坐标, 因而借助函数图象的直观性可得出函数的最大 (小) 由此得出函数最大 值, (小) 值的定义。 理解函数最值的定义, 掌握求最值的基本方法和基本步骤, 能解决相关实际问题。 2、学会运用函数图象理解和研究函数的性质, 利用函数的性质来画函数的图象 (草图) , 培养学生数形结合的思想和应用数学意识。 *知识:通过观察一些函数图象的特征,形成函数单调性的直观认识。 再通过具体函数 值的大小比较,认识函数值随自变量的增大(减小)的规律,由此得出函数单调性的定义。 理解函数单调性的定义,能够熟练应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性。 *情感、态度、价值观: 1、函数单调性和最大(小)值的研究经历了从直观到抽象,以图识数的过程,在这个 过程中,让学生通过自主探究活动,体验数学概念的形成过程。培养学生的探究能力和创新 精神,体验到思考与探索的乐趣,培养学生勇于探索,善于研究的精神,挖掘其非智力因素 的资源,培养学生良好的思维品质。 2、 .通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯,让 学生经历从具体到抽象,从特殊到一般,从感性到理性的认知过程. 【学情分析】学生在学习本节内容之前已经学习了函数的定义,表示法,图象,也学习 了一次函数,二次函数,反比例函数的函数值 y 与变量 x 之间的关系,特别是学习了二次函 数的最大(小)值,这为理解函数的单调性和最大(小)值奠定了一定的基础。但另一方面, 以前对函数的单调性和最大(小)值的研究是一种定性的研究,侧重于直观的思维,而本节 内容是要对函数单调性和最大(小)值的定量的研究,侧重于逻辑思维能力,这给学生的学 习带来了较大的困难。因此,在教学过程中,多创设熟悉的问题情景:如在引课中利用建造 一个长方形的花坛, 构造熟悉的二次函数, 上课中所举例子都是一些常见的函数来加以落实。 在定义教学中,多给学生思考问题的时间和空间,引导学生观察,归纳,总结。特别利用数 形结合,定性与定量相结合,尽量让学生用数学语言来描述,以便于学生的理解和掌握。利 用类比教学法:当介绍了增函数的定义之后,让学生自己得出相应减函数的定义;当介绍了 函数最大值的定义之后, 让学生自己得出函数最小值的定义; 便于学生进一步加深对定义的 理解。对于一些容易出错的问题采取纠错教学法:“函数 而减少,在 (0,+∞)上 y 随 x 的增大而减少,则函数 在(-∞,0)上 y 随 x 的增大 在定义域内是减函数”。“所有

函数是否都有最大(小)值?”、“函数在相应的区间内是否一定有单调性?”。还有一些 比较复杂的问题:“确定函数的单调区间”等问题让学生去讨论,去探究,教师积极引导, 培养学生的自主探究能力。


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