nbhkdz.com冰点文库

2013年高考数学(理)二轮复习 专题五 解析几何(带解析)

时间:2013-03-01


解析几何内容主要包括两大知识模块——直线和圆模块以及圆锥曲线模块, 复习该部分内容 要抓住“两个基本一个结合”:一个基本方法——坐标法,一个基本思想——方程的思想,一 个完美结合——数与形的结合.这三个方面是平面解析几何核心内容的体现,也贯穿了该部 分知识复习的主线. 坐标法贯穿了该部分复习的第一条主线——方程 (1)直线的点斜式方程是直线方程各种形式推导的源泉,注意直线各种形式

方程之间的关系, 这几种形式的方程都有各自的约束条件, 如截距式方程不能表示与两坐标轴平行的直线、 过 坐标原点的直线等;

(2)圆的标准方程直接表示出了圆心和半径,而圆的一般方程则表示出了曲线与二元二次方 程的关系,在求解圆的方程时,经常结合圆的性质直接确定圆心和半径;

(3)圆锥曲线的定义是推导方程的基础,要熟练掌握椭圆、双曲线和抛物线的定义,灵活利 用定义求解有关动点的轨迹问题. 椭圆和双曲线都有两种形式的标准方程, 注意这两种曲线 中 a,b,c 的几何意义以及三者之间关系的区别与联系,准确把握抛物线的标准方程的焦点 坐标、准线方程等.

数形结合贯穿了该部分复习的第二条主线——圆锥曲线的几何性质 (1)判定直线与圆、圆与圆的位置关系都可借助于几何图形,特别是求圆的弦长问题,要充 分利用由半径、弦心距以及半弦长构成的直角三角形,这些都是考查的重点; x2 y2 (2)几何性质中的范围、对称性与顶点是圆锥曲线特点的完美体现,如椭圆a2+b2=1(a>b>0) x2 y2 中,|x|≤a,|y|≤b 就是由a2≤1,b2≤1 解出的;圆锥曲线的范围体现了曲线上点的横、纵坐 标的取值范围, 注意其在求解有关最值问题中的限制作用; 准确把握离心率的定义和求解方 程,这是命题的重点. 方程的思想贯穿了该部分复习的第三条主线——直线与直线、直线和圆、直线和圆锥曲线的 位置关系 (1)两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种,准确记忆两条直线平行、重合以及垂直 的条件, 尤其是利用直线方程的一般形式讨论位置关系的结论时, 不要忽视斜率为 0 或斜率 不存在的情况; (2)直线和圆的位置关系可从两个角度进行讨论,代数法是方程思想的直接体现,通过直 线方程与圆的方程联立, 消元转化为一元二次方程, 然后利用其判别式讨论直线和圆的位置 关系; 几何法借助圆的特殊性, 将问题转化为圆心到直线的距离与圆的半径的大小比较问题; (3)直线和圆锥曲线的位置关系是该部分的核心内容,熟练掌握直线和圆锥曲线位置关系的 一般思路——即将位置关系转化为方程组的解的个数,进而转化为方程的解的个数进行讨 论,准确记忆相关公式——如直线被圆锥曲线所截得的弦长公式 1+k2· |x1-x2|等.直线 和圆锥曲线中的有关最值、范围、定点、定值问题的解决,关键在于条件的灵活转化.

第一节

直线与圆

1.夯实直线方程的五种形式 (1)点斜式:y-y1=k(x-x1)(直线过点 P1(x1,y1),且斜率为 k,不包括 y 轴和平行于 y 轴的 直线). (2)斜截式:y=kx+b(b 为直线 l 在 y 轴上的截距,且斜率为 k,不包括 y 轴和平行于 y 轴的 直线). y-y1 x-x1 (3)两点式: = (直线过点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),且 x1≠x2,y1≠y2,不包括坐 y2-y1 x2-x1 标轴和平行于坐标轴的直线). x y (4)截距式:a+b=1(a,b 分别为直线的横、纵截距,且 a≠0,b≠0,不包括坐标轴、平行于 坐标轴和过原点的直线). (5)一般式:Ax+By+C=0(其中 A,B 不同时为 0). 2.熟记圆的三种方程 (1)圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2.

(2)圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0). (3)圆的直径式方程: (x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0(圆的直径的两端点是 A(x1, y1), B(x2, y2)). 3.活用判定直线与圆位置关系的两种方法 (1)代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况):Δ>0?相交,Δ<0?相离,Δ= 0?相切. (2)几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小):设圆心到直线的距离为 d,则 d<r?相 交,d>r?相离,d=r?相切.(主要掌握几何方法).

直线的方程 [考情分析] 直线的方程是平面解析几何的基础,属于高考必考内容,且要求较高.纵观近 几年的高考试题,一般以选择题、填空题的形式出现.求直线的方程要充分利用平面几何知 识,采用数形结合法、待定系数法、轨迹法等方法;平行与垂直是平面内两条直线特殊的位 置关系,高考一般考查平行或垂直的判断、平行或垂直条件的应用. [例 1] (1)若直线 l1: x+ay+6=0 与 l2: (a-2)x+3y+2a=0 平行, l1 与 l2 间的距离为( 则 ) A. 2 C. 3 8 3 D. 3 8 2 B. 3

(2)过点(1,0)且倾斜角是直线 x-2y-1=0 的倾斜角的两倍的直线方程是________. [思路点拨] (1)由平行关系确定 a 的值,再利用点到直线的距离公式求距离; (2)关键找出直线的斜率,而斜率与直线的倾斜角有关. [解析] (1)由 l1∥l2, 知 3=a(a-2)且 2a≠6(a-2),2a2≠18, 求得 a=-1, 2 所以 l1:x-y+6=0,l2:x-y+3=0,两条平行直线 l1 与 l2 间的距离为

d=

?6-2? ? 3?
12+? -1? 2

8 2 = 3 .

(2)设直线 x-2y-1=0 的倾斜角为 α,则所求直线的倾斜角为 2α. 1 由已知得 tan α=2, 1 2×2 2tan α 4 则 tan 2α= = 1? =3, 1-tan2α ? 1- 2 2

? ?

4 所以所求直线方程为 y-0=3(x-1), 即 4x-3y-4=0. [答案] (1)B (2)4x-3y-4=0 [类题通法]

1.求直线方程的方法 (1)直接法:直接选用恰当的直线方程的形式,写出结果; (2)待定系数法:即先由直线满足的一个条件设出直线方程,使方程中含有一待定系数,再 由题目中另一条件求出待定系数. 2.两条直线平行与垂直的判定 (1)若两条不重合的直线 l1,l2 的斜率 k1,k2 存在,则 l1∥l2?k1=k2,l1⊥l2?k1k2=-1. (2)两条不重合的直线 a1x+b1y+c1=0 和 a2x+b2y+c2=0 平行的充要条件为 a1b2-a2b1 =0 且 a1c2≠a2c1 或 b1c2≠b2c1. (3)垂直的充要条件为 a1a2+b1b2=0. 判定两直线平行与垂直的关系时, 如果给出的直线方程中存在字母系数, 不仅要考虑斜率存 在的情况,还要考虑斜率不存在的情况. [冲关集训] 1.过点(1,0)且与直线 x-2y-2=0 平行的直线方程是( ) A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 解析:选 A 与直线 x-2y-2=0 平行的直线方程可设为:x-2y+c=0,将点(1,0)代入 x- 2y+c=0,解得 c=-1,故直线方程为 x-2y-1=0. 2.(2012· 济南三模)直线 l1:kx+(1-k)y-3=0 和 l2:(k-1)x+(2k+3)y-2=0 互相垂直, 则 k=( ) A.-3 或-1 B.3 或 1 C.-3 或 1 D.3 或-1 解析:选 C ∵l1⊥l2,∴k(k-1)+(1-k)(2k+3)=0, 解得 k1=-3,k2=1.∴k=-3 或 1. 圆的方程 [考情分析] 对 于圆的方程,高考要求能根据所给的条件选取恰当的方程形式,利用待 定系数法求出圆的方程, 并结合圆的几何性质解决与圆相关的问题. 该部分在高考中常以填 空题、选择题的形式直接考查,或是在解答题中综合轨迹问题进行考查. [例 2] (2012· 河南三市第二次调研)已知圆 C 的圆心与抛物线 y2=4x 的焦点关于直线 y=x 对称,直线 4x-3y-2=0 与圆 C 相交于 A,B 两点,且|AB|=6,则圆 C 的方程为________. [思路点拨] 先确定圆心坐标,再利用公式求圆心到直线的距离,得圆的半径即可. [解析] 设所求圆的半径是 R.依题意得, 抛物线 y2=4x 的焦点坐标是(1,0), 则圆 C 的圆心坐 |4×0-3×1-2| ?|AB|? 标是(0,1),圆心到直线 4x-3y-2=0 的距离 d= =1,则 R2=d2+ 2 2 ? ? 42+? -3? 2 =10,因此圆 C 的方程是 x2+(y-1)2=10. [答案] x2+(y-1)2=10 [类题通法] 求圆的方程有两种方法: (1)几何法:通过研究圆的几何性质,直线与圆、圆与圆的位置关系,确定出圆的圆心和半 径,进而求得圆的标准方程; (2)代数法:即待定系数法,求圆的方程必须具备三个独立的条件,从圆的标准方程来讲, 关键是确定出圆心坐标和半径,从圆的一般方程来讲,能知道圆上的三个点即可求得. [冲关集训] 3.过点 P(4,2)作圆 x2+y2=4 的两条切线,切点分别为 A,B,坐标原点为 O,则△OAB 的 外接圆方程是( )

A.(x-2)2+(y-1)2=5 B.(x-4)2+(y-2)2=20 C.(x+2)2+(y+1)2=5 D.(x+4)2+(y+2)2=20 解析:选 A 由条件知 O,A,B,P 四点共圆,从而 OP 中点(2,1)为所求圆的圆心,半径 r 1 =2|OP|= 5. 4.已知圆 C 经过点 A(1,3),B(2,2),并且直线 m:3x-2y=0 平分圆的面积.则圆 C 的方程 为________. 3-2 ?3 5? 解析:由已知得,线段 AB 的中点 E 2,2 ,kAB= =-1,故线段 AB 的中垂线方程为 y ? ? 1-2 5 3 -2=x-2,即 x-y+1=0.因为圆 C 经过 A,B 两点,故圆心在线段 AB 的中垂线上.又因 为直线 m:3x-2y=0 平分圆的面积,所以直线 m 经过圆心.
? ? ?x-y+1=0, ?x=2, 由? 解得? 即圆心的坐标为 C(2,3), ?3x-2y=0, ?y=3, ? ?

而圆的半径 r=|CB|= ? 2-2? 2+? 2-3? 2=1, 所以圆 C 的方程为:(x-2)2+(y-3)2=1. 答案:(x-2)2+(y-3)2=1. 5.我们把圆心在一条直线上且相邻两圆彼此外切的一组圆叫做“串圆”.在如 图所示的“串圆”中,圆 C1 和圆 C3 的方程分别为 x2+y2=1 和(x-3)2+(y- 4)2=1,则圆 C2 的方程为________. 解析:由题设知:C1(0,0),C3(3,4), ∴|C1C3|=5,又∵r1=r3=1, 5-1-1 3 ∴r2= 2 =2.

?3 ? 又∵C2 是 C1C3 的中点,∴C2 2,2 . ? ?
9 ? 3? ∴圆 C2 的方程为 x-2 2+(y-2)2=4. ? ? 9 ? 3? 答案: x-2 2+(y-2)2=4 ? ? 直线与圆的方程 [考情分析] 弦长问题是高考命题的热点,同时,对于这部分知识,高考常有创新,如 与向量知识联袂等,层次要求较高.从近年来的命题趋势看,命题形式以选择题、填空题为 主,在复习时,要熟练掌握由半径、半弦长、弦心距所构成的直角 三角形,从而准确地解 答问题。 [例 3] (1)(2012· 天津高考)设 m,n∈R,若直线 l:mx+ny-1=0 与 x 轴相交于点 A,与 y 轴相交于点 B,且 l 与圆 x2+y2=4 相交所得弦的长为 2,O 为坐标原点,则△AOB 面积的 最小值为________. (2)(2012· 江西高考)过直线 x+y-2 2=0 上点 P 作圆 x2+y2=1 的两条切线,若两条切线的 夹角是 60°,则点 P 的坐标是________. [思路点拨] (1)由圆心到弦的距离可得 m, 的关系, n 再利用基本不等式求解; (2)作出草图, 判定圆心到 P 点的距离,联立方程组求解.

? 1 ? ? 1? [解析] (1)由题意知 A m,0 ,B 0,n ,圆的半径为 2,且 l 与圆的相交弦长为 2,则圆心 ? ? ? ?
到弦所在直线的距离为 3, 即 ≥ 1 1? 1 ??1? ? 1 ? = 3?m2+n2 =3, S△AOB=2 m n = 2mn 且 ? ?? ? ? ? m2+n2 1

1 =3,即三角形面积的最小值为 3. m2+n2

(2)直线与圆的位置关系如图所示,设 P(x,y),则∠APO=30°,且 OA=1. 在直角三角形 APO 中,OA=1,∠APO=30°,则 OP=2,即 x2+y2=4. 又 x+y-2 2=0,联立解得 x=y= 2,即 P( 2, 2). [答案] (1)3 (2)( 2, 2) [类题通法] 1.涉及直线与圆、圆与圆的位置关系的问题时,应多考虑圆的几何性质, 利用几何法直观求解. 2. 直线与圆的位置关系的题目要注意圆的一些几何性质在解题中的应用, 如研究圆的切线、 弦长等问题时通常考虑圆心到直线的距离,弦心距、半径、半弦构成的直角三角形,垂径定 理等. [冲关集训] 6.过点 P(1,1)的直线,将圆形区域{(x,y)|x2+y2≤4}分为两部分,使得这两部分的面积之差 最大,则该直线的方程为( ) A.x+y-2=0 B.y-1=0 C.x-y=0 D.x+3y-4=0 解析:选 A 当圆心与 P 的连线和过点 P 的直线垂直时,符合条件.圆心 O 与 P 点连线的斜 率 k=1, 所以直线 OP 垂直于 x+y-2=0. 7. (2012· 长春调研)已知直线 l1 与圆 x2+y2+2y=0 相切,且与直线 l2: 3x+4y-6=0 平行, 则直线 l1 的方程是________. 解析:依题意,设所求直线 l1 的方程是 3x+4y+b=0,则由直线 l1 与圆 x2+(y+1)2=1 相 |b-4| 切,可得圆心(0,-1)到直线 3x+4y+b=0 的距离为 1,即有 5 =1,解得 b=-1 或 b =9.因此,直线 l1 的方程是 3x+4y-1=0 或 3x+4y+9=0. 答案:3x+4y-1=0 或 3x+4y+9=0 8.若圆 x2+y2=r2(r>0)上有且只有两个点到直线 x-y-2=0 的距离为 1,则实数 r 的取值 范围是________. 解析:注意到与直线 x-y-2=0 平行且距离为 1 的直线方程分别是 x-y-2+ 2=0、x-y -2- 2=0,要使圆上有且只有两个点到直线 x-y-2=0 的距离为 1,需满足在两条直线 | 2-2| x-y-2+ 2=0、 x-y-2- 2=0 中, 一条与该圆相交且另一条与该圆相离, 所以 2 |-2- 2| <r< ,即 2-1<r< 2+1. 2 答案:( 2-1, 2+1) [配套课时作业] 1.(2011· 广东高考)已知集合 A={(x,y)|x,y 为实数,且 x2+y2=1},B={(x,y)|x,y 为实

数,且 y=x},则 A∩B 的元素个数为( A.0 B.1 C.2 D.3

)

? ?x2+y2=1, 解析:选 C 法一:由? 得 2x2=1, ? ?x=y

2 2 解得 x= 2 或 x=- 2 , 2 2 这时 y= 2 或 y=- 2 ,即 A∩B 中有两个元素. 法二: 由集合 A、 集合 B 表示的几何意义知, 集合 A 表示圆心为(0,0)的圆, 集合 B 表示过(0,0) 的直线,故有两个交点,即 A∩B 的元素个数为 2. 2.已知点 P(3,2)与点 Q(1,4)关于直线 l 对称,则直线 l 的方程为( ) A.x-y+1=0 B.x-y=0 C.x+y+1=0 D.x+y=0 解析:选 A 由题意知直线 l 与直线 PQ 垂直, 1 1 所以 kl=-kPQ=- =1, 4-2 1-3 又直线 l 经过 PQ 的中点(2,3), 所以直线 l 的方程为 y-3=x-2,即 x-y+1=0. 3. (2012· 广东高考)在平面直角坐标系 xOy 中, 直线 3x+4y-5=0 与圆 x2+y2=4 相交于 A、 B 两点,则弦 AB 的长等于( ) A.3 3 B.2 3 C. 3 D.1 解析:选 B 圆 x2+y2=4 的圆心(0,0)到直线 3x+4y-5=0 的距离 d=1,圆的半径为 2,所 以弦长|AB|=2 22-12=2 3. 4. (2012· 安徽高考) 若直线 x-y+1=0 与圆(x-a)2+y2=2 有公共点, 则实数 a 的取值范围 是( ) A.[-3,-1] B.[-1,3] C.[-3,1] D.(-∞,-3]∪[1,+∞) 解析:选 C 欲使直线 x-y+1=0 与圆(x-a)2+y2=2 有公共点,只需使圆心到直线的距离 |a-0+1| 小于等于圆的半径 2即可,即 ≤ 2,化简得|a+1|≤2, 12+? -1? 2 解得-3≤a≤1. 1 5.若直线 xcos θ+ysin θ-1=0 与圆(x-1)2+(y-sin θ)2=16相切,且 θ 为锐角,则该直线 的斜率是( 3 A.- 3 3 C. 3 ) B.- 3 D. 3

解析:选 A 依题意得,圆心到直线的距离等于半径,

1 1 1 1 即有|cos θ+sin2θ-1|=4,|cos θ-cos2θ|=4,cos θ-cos2θ=4或 cos θ-cos2θ=-4(不符 1 1 3 合题意,舍去).由 cos θ-cos2θ=4,得 cos θ=2,又 θ 为锐角,所以 sin θ= 2 ,故该直线 cos θ 3 的斜率是- sin θ =- 3 . 3 6.(2012· 豫东、豫北名校阶段测试)圆心在曲线 y=x (x>0)上,且与直线 3x+4y+3=0 相切 的面积最小的圆的方程为( 3 A.(x-2)2+(y-2)2=9 )

?16? B.(x-3)2+(y-1)2= 5 2 ? ? ?18? C.(x-1)2+(y-3)2= 5 2 ? ?
D.(x- 3)2+(y- 3)2=9

? 3? ? 3? 解析:选 A 设所求圆的圆心坐标是 a,a (a>0),则点 a,a (a>0)到直线 3x+4y+3=0 的 ? ? ? ?
12 12 |3a+ a +3| 3a+ a +3 2 距离 d= = ≥ 5 5 12 3a× a +3 12 =3,当且仅当 3a= a ,即 a=2 时取等 5

? 3? ? 3? 号,因此所求圆的圆心坐标是 2,2 ,半径是 3,即所求圆的方程为(x-2)2+ y-2 2=9. ? ? ? ?
7.经过圆 x2+2x+y2=0 的圆心 C,且与直线 x+y=0 垂直的直线方程是________. 解析:所求直线过圆:x2+2x+y2=0 的圆心 C(-1,0),斜率为 1,故方程为 x-y+1=0. 答案:x-y+1=0 8.若圆 x2+y2=4 与圆 x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共弦长为 2 3 ,则 a=________. 1 1 1 解析:由题意得公共弦所在直线的方程为 y=a,圆 x2+y2=4 的圆心到 y=a的距离为a,由

?1? 22=( 3)2+ a 2,a>0,得 a=1. ? ?
答案:1 9.(2012· 海淀区期末练习)已知圆 C:(x-1)2+y2=2,过点 A(-1,0)的直线 l 将圆 C 分成弧 长之比为 1∶3 的两段圆弧,则直线 l 的方程为________. |k+k| 解析:设直线 l 的方程为 y=k(x+1), kx-y+k=0,圆心 C(1,0)到直线 l 的距离为 即 , k2+1 ∵直线 l 将圆 C 分成弧长之比为 1∶3 的两段圆弧, ∴直线 l 被圆所截得的弦所对的圆心角为 π 2,又圆 C 的半径为 2, π |k+k| 3 ∴ 2×cos4= ,解得,k=± 3 , k2+1 3 3 ∴直线 l 的方程为 y= 3 (x+1)或 y=- 3 (x+1).

3 3 答案:y= 3 (x+1)或 y=- 3 (x+1) 10.已知点 A(3,3),B(5,2)到直线 l 的距离相等,且直线 l 经过两直线 l1:3x-y-1=0 和 l2: x+y-3=0 的交点,求直线 l 的方程.
? ?3x-y-1=0, 解:解方程组? 得交点 P(1,2). ? ?x+y-3=0,

(1)若点 A,B 在直线 l 的同侧,则 l∥AB. 3-2 1 而 kAB= =-2, 3-5 1 由点斜式得直线 l 的方程为 y-2=-2(x-1), 即 x+2y-5=0;

? 5? (2)若点 A,B 分别在直线 l 的异侧,则直线 l 经过线段 AB 的中点 4,2 , ? ?
5 2-2 y-2 由两点式得直线 l 的方程为 = , x-1 4-1 即 x-6y+11=0. 综上所述,直线 l 的方程为 x+2y-5=0 或 x-6y+11=0. 11.如图所示,已知圆 O:x2+y2=4,直线 m:kx-y+1=0. (1)求证:直线 m 与圆 O 有两个相异交点; (2)设直线 m 与圆 O 的两个交点为 A,B,求△AOB 面积 S 的最大值. 解: (1)证明: 直线 m: kx-y+1=0 可化为 y-1=kx, 故该直线恒过点(0,1), 而(0,1)在圆 O: x2+y2=4 的内部, 所以直线 m 与圆 O 恒有两个相异交点. 1 (2)圆心 O 到直线 m 的距离为 d= ,而圆 O 的半径 r=2, 1+k2 故弦 AB 的长为|AB|=2 r2-d2=2 4-d2, 1 1 故△AOB 面积 S=2|AB|×d=2×2 4-d2×d= 4d2-d4= -? 1 1 而 d2= ,因为 1+k2≥1,所以 d2= ∈(0,1]. 1+k2 1+k2 显然当 d2∈(0,1]时,S 单调递增, 所以当 d2=1,即 k=0 时,S 取得最大值 3,此时直线 m 的方程为 y-1=0. 12.在直角坐标系 xOy 中,以 O 为圆心的圆与直线 x- 3y-4=0 相切. (1)求圆 O 的方程;
??? ??? ? ? (2)圆 O 与 x 轴相交于 A、 两点, O 内的动点 P 使|PA|, B 圆 |PO|, |PB|成等比数列, PA ·PB 求

d2-2? 2+4.

的取值范围. 解:(1)依题设,圆 O 的半径 r 等于原点 O 到直线 x- 3y-4=0 的距离,即 r= 故圆 O 的方程为 x2+y2=4. (2)不妨设 A(x1,0),B(x2,0),x1<x2. 由 x2=4,即得 A(-2,0),B(2,0). 4 =2, 1+3

设 P(x,y),由|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,得 ? x+2? 2+y2· ? x-2? 2+y2=x2+y2, 即 x2-y2=2. ??? ??? ? ? PA ·PB =(-2-x,-y)· (2-x,-y) =x2-4+y2=2y2-2.
?x2+y2<4, ? 由于点 P 在圆 O 内,故? 由此得 y2<1, ? ?x2-y2=2,

??? ??? ? ? 所以 PA ·PB 的取值范围为[-2,0).

第二节

椭圆、双曲线、抛物线

牢记三种曲线的定义及性质 名称 定义 标准方程 椭圆 |PF1| + |PF2| 2a(2a>|F1F2|) x2 y2 a2+b2=1(a>b>0) = 双曲线 ||PF1| - |PF2|| = 2a(2a<|F1F2|) x2 y2 a2-b2=1(a>0,b>0) 抛物线 |PF|=|PM|点 F 不在直 线 l 上,PM⊥l 于 M y2=2px(p>0)

图形 几 何 性 质 轴 离心率 长轴长 2a,短轴长 2b c e = a = (0<e<1) 渐近线 b2 1-a2 实轴长 2a,虚轴长 2b c e=a= b y=±ax b2 1+a2(e>1) e=1

圆锥曲线的定义及标准方程 [考情分析] 圆锥曲线的定义及标准方程是高考的热点,高考对圆锥曲线标准方程的考查方 式有两种: ①在解答题中作为试题的入口进行考查; ②在选择题和填空题中结合圆锥曲线的 简单几何性质进行考查.学习时应注意圆锥曲线的定义及性质的结合. x2 y2 3 [例 1] (2012· 山东高考)已知椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的离心率为 2 .双曲线 x2-y2=1 的 渐近线与椭圆 C 有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16,则椭圆 C 的方程 为( )

x2 y2 A. 8 + 2 =1 x2 y2 C.16+ 4 =1

x2 y2 B.12+ 6 =1 x2 y2 D.20+ 5 =1

[思路点拨] 利用椭圆离心率的概念和双曲线渐近线求法求解. a2-b2 3 c 3 [解析] ∵椭圆的离心率为 2 ,∴a= =2 , a ∴a=2b.∴椭圆方程为 x2+4y2=4b2. ∵双曲线 x2-y2=1 的渐近线方程为 x±y=0, ∴渐近线 x±y=0 与椭圆 x2+4y2=4b2 在第一象限的交点为?

?2 5 2 5 ? b, 5 b?, ? 5 ?

2 5 2 5 ∴由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为 5 b× 5 b=4,∴b2=5,∴a2 =4b2=20. x2 y2 ∴椭圆 C 的方程为20+ 5 =1. [答案] D [类题通法] 1.圆锥曲线的定义: (1)椭圆:|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|); (2)双曲线:||PF1|-|PF2||=2a(2a<|F1F2|); (3)抛物线:|PF|=d. 2.求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型,后计算”.所谓“定型”,就是指确定类型,也 就是确定椭圆、双曲线的焦点所在的坐标轴是 x 轴还是 y 轴,抛物线的焦点是在 x 轴的正半 轴、负半轴上,还是在 y 轴的正半轴、负半轴上,从而设出相应的标准方程的形式;所谓“计 算”,就是指利用待定系数法求出方程中的 a2,b2,p 的值,最后代入写出椭圆、双曲线、 抛物线的标准方程. [冲关集训] 1.(2012· 唐山统考)已知双曲线的渐近线为 y=± 3x,焦点坐标为(-4,0),(4,0),则双曲线方 程为( ) x2 y2 A. 4 -12=1 x2 y2 C.24- 8 =1 x2 y2 B.12- 4 =1 x2 y2 D. 8 -24=1

?b= 3, ? x2 y2 解析:选 A 由题意可设双曲线方程为a2-b2=1(a>0,b>0),由已知条件可得:?a ?c=4, ? ?b= 3, ? 即?a ? ?a2+b2=42,
? ?a2=4, x2 y2 则? 故双曲线方程为 4 -12=1. ?b2=12. ?

2.(2012· 四川高考)已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点 O,并且经过点 M(2, y0).若点 M 到该抛物线焦点的距离为 3,则|OM|=( ) A.2 2 B.2 3 C.4 D.2 5 p 解析:选 B 依题意,设抛物线方程是 y2=2px(p>0),则有 2+2=3,得 p=2,故抛物线方 程是 y2=4x,点 M 的坐标是(2,±2 2),|OM|= 22+8=2 3. x2 y2 3.已知 F1,F2 为椭圆12+ 3 =1 的两个焦点,点 P 在椭圆上,如果线段 PF1 的中点在 y 轴 上,且|PF1|=t|PF2|,则 t 的值为( ) A.3 B.4 C.5 D.7 解析:选 D 设 N 为 PF1 的中点,则 NO∥PF2, b2 3 故 PF2⊥x 轴,故|PF2|= a = 2 , 而|PF1|+|PF2|=2a=4 3, 7 3 所以|PF1|= 2 ,t=7. 圆锥曲线的性质 [考情分析] 圆锥曲线的简单几何性质是圆锥曲线的重点内容,主要考查椭圆与双曲线 的离心率的求解、双曲线的渐近线方程的求解,试题一般以圆锥曲线的标准方程、直线与圆 锥曲线的位置关系等为主进行命题. [例 2] (2012· 新课标全国卷)等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,C 与抛物线 y2= 16x 的准线交于 A,B 两点,|AB|=4 3,则 C 的实轴长为( ) A. 2 B.2 2 C.4 D.8 [思路点拨] 利用抛物线及双曲线的对称性可求 A,B 的坐标,问题便可求解. x2 y2 x2 y2 [解析] 设 C:a2-a2=1.∵抛物线 y2=16x 的准线为 x=-4,联立a2-a2=1 和 x=-4 得 A(-4, 16-a2), B(-4,- 16-a2), ∴|AB|=2 16-a2=4 3,∴a=2,∴2a=4. ∴C 的实轴长为 4. [答案] C [类题通法] (1)求椭圆、双曲线的离心率,关键是根据已知条件确定 a,b,c 的等量关系,然后把 b 用 a, c ?b? c 代换,求a的值;在双曲线中由于 e2=1+ a 2,故双曲线的渐近线与离心率密切相关.

? ?

(2)研究圆锥曲线时,应明确圆锥曲线的对称性. [冲关集训] x2 y2 4.(2012· 安徽名校模拟)过双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的右焦点 F,作圆 x2+y2=a2 的切线
???? ?

????

??? ?

FM 交 y 轴于点 P,切圆于点 M,2 O M = O F + O P ,则双曲线的离心率是(

)

A. 2 B. 3 C.2 D. 5 解析:选 A 由已知条件知,点 M 为直角三角形 OFP 斜边 PF 的中点,故 OF= 2OM,即 c = 2a,所以双曲线的离心率为 2. x2 y2 x2 y2 5.(2012· 天津高考)已知双曲线 C1:a2-b2=1(a>0,b>0)与双曲线 C2: 4 -16=1 有相同的 渐近线,且 C1 的右焦点为 F( 5,0),则 a=________b=________. x2 y2 b 解析:双曲线 4 -16=1 的渐近线为 y=±2x,则a=2,即 b=2a,又因为 c= 5,a2+b2= c2,所以 a=1,b=2. 答案:1 2 6.(2012· 陕西高考)如图所示是抛物线形拱桥, 当水面在 l 时, 拱顶离水面 2 m,水面宽 4 m.水位下降 1 m 后,水面宽________m. 解析: 建立如图所示的平面直角坐标系, 设抛物线方程为 x2=-2py(p>0), 则 A(2,-2),将其坐标代入 x2=-2py,得 p=1. 故 x2=-2y. 当水面下降 1 m,得 D(x0,-3)(x0>0), 将其坐标代入 x2=-2y,得 x2=6, 0 则 x0= 6.所以水面宽|CD|=2 6 m. 答案:2 6 直线与圆锥曲线 [考情分析] 关于此类问题,高考主要考查直线与椭圆、抛物线相交,涉及求弦长、范 围(最值)、定点、定值的问题,试题多以解答题的形式出现,一般难度较大. x2 y2 [例 3] (2012· 北京东城区综合练习)已知椭圆a2+b2=1(a>b>0)的一个顶点为 M(0,1), 离心率 6 e= 3 . (1)求椭圆的方程; 3 (2)设直线 l 与椭圆交于 A,B 两点,坐标原点 O 到直线 l 的距离为 2 ,求△AOB 面积的最大 值. [思路点拨] (1)利用顶点坐标和离心率可求出 b,进而求 a,从而求得方程;(2)设出直线方 程,表示出△AOB 的面积,借助不等式求解,注意直线 l 斜率存在性的讨论. a2-b2 a2-1 c 6 6 [解] (1)依题意得 b=1,e=a= = 3 ,即 a = 3 ,解得 a= 3,所以椭圆的 a x2 方程为 3 +y2=1. 3 3 x2 (2)①当直线 l 的斜率不存在时,l 的方程为 x=± 2 ,将 x=± 2 代入椭圆方程 3 +y2=1,得 3 y=± 2 ,故此时|AB|= 3. ②当直线 l 的斜率存在且不为零时,设直线 l 的方程为 y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),

由已知可得

|m|

3 3 = 2 ,整理得:m2=4(k2+1), 1+k2

把 y=kx+m 代入椭圆方程,整理得(3k2+1)x2+6kmx+3m2-3=0, -6km 3? m2-1? 于是 x1+x2= ,x1x2= , 3k2+1 3k2+1

? 36k2m2 故|AB|2=(1+k2)(x2-x1)2=(1+k2) ? 3k2+1? 2- ?
12? m2-1? ? 12? ?= 3k2+1 ? 1+k2? ? 3k2+1-m2? = ? 3k2+1? 2 12 12 ≤3+ =4. 1 2×3+6 9k2+k2+6

3? k2+1? ? 9k2+1? 12k2 =3+ =3+ ? 3k2+1? 2 9k4+6k2+1 1 3 当且仅当 9k2=k2,即 k=± 3 时,等号成立, 故|AB|max=2.

3 ③当直线 l 的斜率为零时,l 的方程为 y=± 2 , 3 3 将 y=± 2 代入椭圆方程得 x=± 2 , 故此时|AB|= 3. 综上:|AB|max=2, 1 3 3 所以△AOB 面积的最大值 S=2|AB|max× 2 = 2 . [类题通法] 在涉及直线与二次曲线的两个交点坐标时, 一般不是求出这两个点的坐标, 而是设出这两个 点的坐标, 根据直线方程和曲线方程联立后所得方程的根情况, 使用根与系数的关系进行整 体代入,这种设而不求的思想是解析几何中处理直线和二次曲线相交问题的最基本方法. [冲关集训] b x2 y2 7.(2012· 重庆高考)设 P 为直线 y=3ax 与双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)左支的交点,F1 是左 焦点,PF1 垂直于 x 轴,则双曲线的离心率 e=________. b2? b ? 解析:由 PF1⊥x 轴且 P 点在双曲线的左支上,可得 P -c,- a .又因为点 P 在直线 y=3ax ? ? b2 b 上,所以- a =3a×(-c),整理得 c=3b,根据 c2=a2+b2 得 a=2 c 3b 3 2 心率 e=a= = 4 . 2 2b 3 2 答案: 4 x2 y2 3 8.(2012· 安徽名校模拟)已知椭圆 C1: 4 +b2=1(0<b<2)的离心率为 2 ,抛物线 C2:x2= 2b,所以双曲线的离

2py(p>0)的焦点是椭圆的顶点. (1)求抛物线 C2 的方程; (2)过点 M(-1,0)的直线 l 与抛物线 C2 交于 E,F 两点,过 E,F 作抛物线 C2 的切线 l1,l2, 当 l1⊥l2 时,求直线 l 的方程. 4-b2 c 3 解:(1)∵椭圆 C1 的长半轴长 a=2,半焦距 c= 4-b2.由 e=a= 2 = 2 得 b2=1, ∴椭圆 C1 的上顶点为(0,1), ∴抛物线 C2 的焦点为(0,1), ∴抛物线 C2 的方程为 x2=4y. (2)由已知可得直线 l 的斜率必存在,设直线 l 的方程为 y=k(x+1),E(x1,y1),F(x2,y2). 1 由 x2=4y 得 y=4x2, 1 ∴y′=2x. 1 1 ∴切线 l1,l2 的斜率分别为2x1,2x2. 1 1 当 l1⊥l2 时,2x1· x2=-1,即 x1x2=-4. 2
?y=k? x+1? , ? 由? 得 x2-4kx-4k=0, ? ?x2=4y

∴Δ=(4k)2-4×(-4k)>0,解得 k<-1 或 k>0,① 且 x1x2=-4k=-4,即 k=1,满足①式,∴直线 l 的方程为 x-y+1=0.

细解离心率问题 离心率是圆锥曲线重要的几何性质, 在圆锥曲线的基础类试题中占有较大的比重, 是高考考 查圆锥曲线几何性质中的重要题目类型. 关于椭圆、双曲线的离心率问题,主要有两类试题.一类是求解离心率的值,一类是求解离 心率的取值范围.基本的解题思路是建立椭圆和双曲线中关于 a,b,c 的关系式,求值问题 就是建立关于 a,b,c 的等式,求取值范围问题就是建立关于 a,b,c 的不等式. x2 y2 [典例] 已知点 F 是双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的左焦点,点 E 是该双曲线的右顶点,过点 F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A,B 两点,△ABE 是锐角三角形,则该双曲线的离心 率 e 的取值范围是( ) A.(1,+∞) B.(1,2) C.(1,1+ 2) [思路点拨] D.(2,1+ 2)

[解析] 由 AB⊥x 轴,可知△ABE 为等腰三角形,又△ABE 是锐角三角形,所以∠AEB 为锐 b2 角,即∠AEF<45°,于是|AF|<|EF|, a <a+c,于是 c2-a2<a2+ac,即 e2-e-2<0,解得- 1<e<2.又双曲线的离心率 e>1,从而 1<e<2. [答案] B [名师支招] 离心率是圆锥曲线的重要几何性质,求解椭圆或者双曲线的离心率的关键是建立一个关于 a,b,c 的方程(不等式),通过这个方程(不等式)和 b 与 a,c 的关系消掉 b 后,建立 a,c 之 c 间的方程(不等式),只要能通过这个方程求出a即可,不一定具体求出 a,c 的数值. [高考预测] x2 y2 x2 y2 1.若双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的离心率为 3,则椭圆a2+b2=1 的离心率为( 1 A.2 3 C. 3 2 B. 2 3 D. 2 )

a2+b2 解析:选 B 由题意 a2 =( 3)2, 化简,得 a2+b2=3a2,即 b2=2a2,故 b>a>0. 所以 e= b2-a2 = b a2 1-b2= 1 2 1-2= 2 .

x2 y2 a2 2.设 F1,F2 分别是椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左、右焦点,若在直线 x= c 上存在 P,使线段 PF1 的中垂线过点 F2,则椭圆离心率的取值范围是( 2? ? ? 2? ? ? 2 ? C.? ,1? ?2 ? A.?0, 3? ? ? 3? ? ? 3 ? D.? ,1? ?3 ? B.?0, )

cy cy ?a2 ? F1P ?b2 y? 则 解析: D 设 P c ,y , 的中点 Q 的坐标为 2c ,2 , kF1P= 选 , kQF2= , ? ? ? ? b2+2c2 b2-2c2 4c4-b4 ? 由 kF1P· kQF2=-1 得 y2= c2 = 2c2-b2? ? 2c2+b2? , y2≥0, 但注意到 b2-2c2≠0, c2

1 3 即 2c2-b2>0 ,即 3c2-a2>0,即 e2>3,故 3 <e<1.当 b2-2c2=0 时,y=0,此时 kQF2 不 a2 3 存在,此时 F2 为中点, c -c=2c 得 e= 3 , 3 综上得 3 ≤e<1. [配套课时作业] y2 x2 1.抛物线的顶点在坐标原点,焦点与双曲线 5 - 4 =1 的一个焦点重合,则该抛物线的标 准方程可能是( A.x2=4y ) B.x2=-4y

C.y2=-12x

D.x2=-12y

解析:选 D 由题意 c= 5+4=3, 故抛物线的焦点坐标为(0,3)或(0,-3). 所以抛物线的标准方程为 x2=12y 或 x2=-12y. x2 y2 2.(2012· 湖南高考)已知双曲线 C:a2-b2=1 的焦距为 10,点 P(2,1)在 C 的渐近线上,则 C 的方程为( x2 y2 A.20- 5 =1 x2 y2 C.80-20=1 ) x2 y2 B. 5 -20=1 x2 y2 D.20-80=1

b 解析:选 A 根据已知列出方程即可.c=5,双曲线的一条渐近线方程为 y=ax 经过点(2,1), x2 y2 所以 a=2b,所以 25=4b2+b2,由此得 b2=5,a2=20,故所求的双曲线方程是20- 5 = 1. x2 y2 3.(2012· 江西高考)椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别是 A,B,左、右焦点分别是 F1, F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为( 1 A.4 1 C.2 5 B. 5 D. 5-2 )

解析:选 B 依题意得|F1F2|2=|AF1|· |F1B|, 即 4c2=(a-c)(a+c)=a2-c2,整理得 5c2=a2, c 5 所以 e=a= 5 . 4. (2012· 大纲全国卷)已知 F1、F2 为双曲线 C:x2-y2=2 的左、右焦点,点 P 在 C 上, |PF1| =2|PF2|,则 cos∠F1PF2=( ) 1 A.4 3 C.4 3 B.5 4 D.5

解析: C 因为 c2=2+2=4, 选 所以 c=2,2c=|F1F2|=4.由题可知|PF1|-|PF2|=2a=2 2, |PF1| = 2|PF2| , 所 以 |PF2| = 2 2 , |PF1| = 4 2 . 由 余 弦 定 理 可 知 cos ∠ F1PF2 = ? 4 2? 2+? 2 2? 2-42 3 =4. 2×4 2×2 2

5.(2011· 新课标全国卷)设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点,且与 C 的一条对称轴垂直,l 与 C 交于 A,B 两点,|AB|为 C 的实轴长的 2 倍,则 C 的离心率为( ) A. 2 C.2 B. 3 D.3

x2 y2 解析:选 B 设双曲线 C 的方程为a2-b2=1,

焦点 F(-c,0). x2 y2 b4 将 x=-c 代入a2-b2=1 可得 y2=a2, b2 所以|AB|=2× a =2×2a. 所以 b2=2a2,c2=a2+b2=3a2, c 所以 e=a= 3. x2 y2 6.(2012· 山东高考)已知双曲线 C1:a2-b2=1(a>0,b>0)的离心率为 2.若抛物线 C2:x2= 2py(p>0)的焦点到双曲线 C1 的渐近线的距离为 2,则抛物线 C2 的方程为( 8 3 A.x2= 3 y C.x2=8y 16 3 B.x2= 3 y D.x2=16y a2+b2 a2 = b ?b? 1+ a 2=2,所以a ? ? )

b c 解析:选 D 双曲线的渐近线方程为 y=±ax,由于a=

p 2 p = 3,所以双曲线的渐近线方程为 y=± 3x.抛物线的焦点坐标为(0,2),所以2=2,所以 p =8,所以抛物线方程为 x2=16y. x2 y2 7.(2012· 江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线 m - =1 的离心率为 5,则 m2+4 m 的值为________. c 解析:由题意得 m>0,所以 a= m,b= m2+4,所以 c= m2+m+4,由 e=a= 5得 m2+m+4 =5,解得 m=2. m 答案:2 8.(2012· 安徽高考)过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A,B 两点.若|AF|=3, 则|BF|=________. 解析:法一:抛物线 y2=4x 准线为 x=-1,焦点为 F(1,0),设 A(x1,y1),B(x2,y2).由抛 物线的定义可知|AF|=x1+1=3,所以 x1=2,所以 y1=±2 2,由抛物线关于 x 轴对称,假 设 A(2,2 2),由 A,F,B 三点共线可知直线 AB 的方程为 y-0=2 2(x-1),代入抛物线方 1 1 程消去 y 得 2x2-5x+2=0,求得 x=2 或2,所以 x2=2, 3 故|BF|=x2+1=2. 法二:易得抛物线 y2=4x 的准线为 x=-1,焦点 F(1,0).则|AF|=xA+1=3,故 xA=2.又 p2 1 1 3 抛物线过焦点,且 p=2,故 xA· xB= 4 =1,故 xB=2.故|BF|=2+1=2. 3 答案:2 2 9.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1,F2 在 x 轴上,离心率为 2 .

过 F1 的直线 l 交 C 于 A,B 两点,且△ABF2 的周长为 16,那么 C 的方程为______________. x2 y2 解析:设椭圆方程为a2+b2=1(a>b>0), 因为 AB 过 F1 且 A,B 在椭圆上,如图,

则△ABF2 的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=16,解得 a =4. c 2 又离心率 e=a= 2 ,故 c=2 2. x2 y2 所以 b2=a2-c2=8,所以椭圆 C 的方程为16+ 8 =1. x2 y2 答案:16+ 8 =1 x2 y2 3 10.设椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)过点(0,4),离心率为5. (1)求 C 的方程; 4 (2)求过点(3,0)且斜率为5的直线被 C 所截线段的中点坐标. 16 解:(1)将(0,4)代入 C 的方程得b2=1, 解得 b=4. a2-b2 9 c 3 16 9 又 e=a=5,得 a2 =25,即 1-a2=25, x2 y2 则 a=5.所以 C 的方程为25+16=1. 4 4 (2)过点(3,0)且斜率为5的直线方程为 y=5(x-3), 设直线与 C 的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2), 4 将直线方程 y=5(x-3)代入 C 的方程, x2 ? x-3? 2 得25+ =1,即 x2-3x-8=0,所以 x1+x2=3. 25 - - - x1+x2 3 设 AB 的中点坐标为( x , y ),则 x = 2 =2, 6 - y1+y2 2 y = 2 =5(x1+x2-6)=-5, 6? ?3 即中点为 2,-5 . ? ? x2 y2 11.(2012· 安徽高考)如图,F1,F2 分别是椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)

的左、右焦点,A 是椭圆 C 的顶点,B 是直线 AF2 与椭圆 C 的另一个交点,∠F1AF2=60°. (1)求椭圆 C 的离心率; (2)已知△AF1B 的面积为 40 3,求 a,b 的值. 解:(1)由题意可知,△AF1F2 为等边三角形,a=2c, 1 所以 e=2. (2)法一:a2=4c2,b2=3c2, 直线 AB 的方程可为 y=- 3(x-c). 3 3 ? ?8 将其代入椭圆方程 3x2+4y2=12c2,得 B? c,- ?. 5 5 c? ? 8 16 所以|AB|= 1+3· 5c-0|= 5 c. | 1 1 16 3 2 3 由 S△AF1B=2|AF1|· |AB|sin ∠F1AB=2a·5 c· 2 = 5 a2=40 3,解得 a=10,b=5 3. 法二:设|AB|=t. 因为|AF2|=a,所以|BF2|=t-a. 由椭圆定义|BF1|+|BF2|=2a 可知,|BF1|=3a-t. 再由余弦定理(3a-t)2=a2+t2-2atcos 60°可得, 8 t=5a. 1 8 3 2 3 由 S△AF1B=2a· a· 2 = 5 a2=40 3, 5 解得 a=10,b=5 3. x2 12.(2012· 陕西高考)已知椭圆 C1: 4 +y2=1,椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴,且与 C1 有相 同的离心率. (1)求椭圆 C2 的方程;
??? ? ??? ?

(2)设 O 为坐标原点,点 A,B 分别在椭圆 C1 和 C2 上, O B =2 O A ,求直线 AB 的方程. y2 x2 解:(1)由已知可设椭圆 C2 的方程为a2+ 4 =1(a>2), a2-4 3 3 其离心率为 2 ,故 a = 2 ,则 a=4, y2 x2 故椭圆 C2 的方程为16+ 4 =1. (2)法一:A,B 两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB),
??? ? ??? ? O B =2 O A 及(1)知,O,A,B 三点共线且点 A,B 不在 y 轴上,因此可设直线 AB 的方程 由

为 y=kx. x2 将 y=kx 代入 4 +y2=1 中,得(1+4k2)x2=4, 4 所以 x2 = A , 1+4k2

y2 x2 16 将 y=kx 代入16+ 4 =1 中,得(4+k2)x2=16,所以 x2 = B , 4+k2
??? ? ??? ?

又由 O B =2 O A ,得 x2 =4x2 ,即 B A

16 16 = , 4+k2 1+4k2

解得 k=±1,故直线 AB 的方程为 y=x 或 y=-x. 法二:A,B 两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB),
??? ? ??? ? O B =2 O A 及(1)知,O,A,B 三点共线且点 A,B 不在 y 轴上,因此可设直线 AB 的方程 由

为 y=kx. x2 将 y=kx 代入 4 +y2=1 中,得(1+4k2)x2=4, 4 所以 x2 = A , 1+4k2
??? ? ??? ?

由 O B =2 O A ,得 x2 = B

16 16k2 ,y2 = B , 1+4k2 1+4k2

4+k2 y2 x2 将 x2 ,y2 代入16+ 4 =1 中,得 B B =1, 1+4k2 即 4+k2=1+4k2, 解得 k=±1,故直线 AB 的方程为 y=x 或 y=-x.

第三节

圆锥曲线的综合问题

明确求曲线方程的三种方法 1.定义法 如果能够根据所给条件,确定出轨迹是哪种类型的曲线,那么只需求出参数的值,便得到轨 迹方程,这种方法称为定义法. 2.直接法 如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系,这些条件简单明确,直接表述成含 x,y 的等式,就得到轨迹方程,这种方法称为直接法. 3.代入法 如果轨迹中的点 P(x,y)依赖于另一动点 Q(a,b),而 Q(a,b)又在某已知曲线上,则可先列 出关于 x,y,a,b 的方程组,利用 x,y 表示出 a,b,把 a,b 代入已知曲线方程便得点 P 的轨迹方程,这种方法称为代入法(也称相关点法).

求轨迹方程 [考情分析] 曲线与方程是解析几何中的基本问题之一,高考对曲线与方程的要求不是很 高,但高考中经常会有一些试题是以建立曲线方程作为命题点的.从近几年高考试题看,试 题还是存在一定难度的,因此考生在复习时不应忽视.

[例 1] (2011· 陕西高考) 如图,设 P 是圆 x2+y2=25 上的动点,点 D 是 P 在 4 x 轴上的投影,M 为 PD 上一点,且|MD|=5|PD|. (1)当 P 在圆上运动时,求点 M 的轨迹 C 的方程; 4 (2)求过点(3,0)且斜率为5的直线被 C 所截线段的长度. [思路点拨] 第(1)问利用已知点与未知点的关系再结合已知点所满足的方程求解; 第(2)问主 要利用弦长公式求解. [解] (1)设 M 的坐标为(x,y),P 的坐标为(xP,yP),

?xP=x, ? 由已知得? 5 ?yP=4y, ? ?5 ? ∵P 在圆上,∴x2+ 4y 2=25. ? ?
x2 y2 即轨迹 C 的方程为25+16=1. 4 4 (2)过点(3,0)且斜率为5的直线方程为 y=5(x-3), 设直线与 C 的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2), 4 将直线方程 y=5(x-3)代入 C 的方程,得 x2 ? 25+ x-3? 2 =1,即 x2-3x-8=0. 25

3- 41 3+ 41 所以 x1= 2 ,x2= 2 . 所以|AB|= ? = x1-x2? 2+? y1-y2? 2 41 41 25×41= 5 .

?1+16?? x1-x2? 2= ? 25?

[类题通法] (1)求轨迹方程时,先看轨迹的形状能否预知,若能预先知道轨迹为圆锥曲线,则可考虑用 定义法或待定系数法求解. (2)讨论轨迹方程的解与轨迹上的点是否对应,即应注意字母的取值范围. [冲关集训] y2 x2 1.(2012· 武汉适应性训练)已知双曲线 2 - 3 =1 的两个焦点分别为 F1,F2,则满足△PF1F2 的周长为 6+2 5的动点 P 的轨迹方程为( ) x2 y2 x2 y2 A. 4 + 9 =1 B. 9 + 4 =1 x2 y2 C. 4 + 9 =1(x≠0) x2 y2 D. 9 + 4 =1(x≠0)

解析: C 依题意得, 选 |F1F2|=2 2+3=2 5, |PF1|+|PF2|=6>|F1F2|, 因此满足△PF1F2 的周长为 6+2 5的动点 P 的轨迹是以点 F1,F2 为焦点,长轴长是 6 的椭圆(除去长轴的端

x2 y2 点),即动点 P 的轨迹方程是 4 + 9 =1(x≠0). 2.已知平面上一定点 C(2,0)和直线 l:x=8,P 为该平面上一动点,作 PQ⊥l 于 Q,且

? P C +1 P Q ?· P C -1 P Q ?=0. ? ? ?? ? 2 2 ? ?? ?
问点 P 在什么曲线上?并求出该曲线的方程. 解:设 P(x,y),则 Q(8,y).
???? ???? ???? ???? P C +1 P Q )· P C -1 P Q )=0, 由( ( ???? ???? P C |2-1| P Q |2=0, 得|

????

????

????

????

2

2

4

1 即(x-2)2+y2-4(x-8)2=0, x2 y2 化简,得16+12=1. x2 y2 所以点 P 在椭圆上,其方程为16+12=1. 圆锥曲线中的存在性问题 [考情分析] 此考点多以解答题的形式考查,一般试题难度较大,多考查点或参数是否 存在,常与距离、斜率或方程等问题综合考查,形成知识的交汇问题。 [例 2] (2012· 山东高考改编)在平面直角坐标系 xOy 中,F 是抛物线 C:x2=2py(p>0)的焦点, M 是抛物线 C 上位于第一象限内的任意一点,过 M,F,O 三点的圆的圆心为 Q,点 Q 到抛 3 物线 C 的准线的距离为4. (1)求抛物线 C 的方程; (2)是否存在点 M,使得直线 MQ 与抛物线 C 相切于点 M?若存在,求出点 M 的坐标;若不 存在,说明理由. [思路点拨] (1)圆心 Q 在 OF 的垂直平分线上,列方程可解;(2)用点 M 的横坐标 x0 表示抛 1 物线在点 M 处的切线方程,与 y =4联立,可用 x0 表示点 Q 的坐标,根据|OQ|=|QM|列方 程求得 x0 的值. p p [解] (1)依题意知 F(0,2),圆心 Q 在线段 OF 的垂直平分线 y=4上,因为抛物线 C 的准线 p 3p 3 方程为 y=-2,所以 4 =4,即 p=1, 因此抛物线 C 的方程为 x2=2y. x2 0 (2)假设存在点 M(x0, 2 )(x0>0)满足条件,抛物线 C 在点 M 处的切线斜率为 y′|x=x0= x2 ( 2 )′|x=x0=x0, x2 0 所以直线 MQ 的方程为 y- 2 =x0(x-x0). 1 x0 1 令 y=4得 xQ= 2 +4x0,

?x0 1 1? 所以 Q 2 +4x0,4 . ? ?
又|QM|=|OQ|, 0 1 ? 1 x0? ?1 x2? ? 1 x0? 故 4x0- 2 2+ 4- 2 2= 4x0+ 2 2+16, ? ? ? ? ? ? 0 9 ?1 x2? 因此 4- 2 2=16,又 x0>0, ? ? 所以 x0= 2,此时 M( 2,1). 故存在点 M( 2,1),使得直线 MQ 与抛物线 C 相切于点 M. [类题通法] 存在性问题主要体现在以下几方面: (1)点是否存在; (2)曲线是否存在; (3)命题是否成立. 解决这类问题的一般思路是先假设存在满足题意的元素, 经过推理论证, 如果可以得到成立 的结果,就可以作出存在的结论;若得到与已知条件、定义、公理、定理、性质相矛盾的结 论,则说明假设不成立. [冲关集训]

? 1? 3.(2012· 江西重点中学联考)已知椭圆的焦点 F1(1,0),F2(-1,0),过 P 0,2 作垂直于 y 轴的 ? ?
直线被椭圆所截线段长为 6,过 F1 作直线 l 与椭圆交于 A,B 两点. (1)求椭圆的标准方程; ??? ? ??? ? ???? ? (2)是否存在实数 t,使 PA + PB =t P F 1 ,若存在,求 t 的值和直线 l 的方程;若不存在, 说明理由. x2 y2 ? 6 1? 解:(1)设椭圆方程为a2+b2=1(a>b>0),由题意知点? , ?在椭圆上,且 a2=b2+1, ? 2 2? 6 1 1 则 +4b2=1,解得 b2=1 或 b2=-4(舍去), 4? 1+b2? x2 所以 2 +y2=1. (2)①当直线 l 的斜率不存在时,

? ? ??? ? ? 则 PA =?1, ?

2? 2? ? ?,B?1,- 2 ?, 2? ? ? ??? ? ???? ? 1 2-1? 2+1? ? ?, PB =?1,- 2 ?, P F 1 =?1,-2?, ? ? 2 ? ? ? ??? ? ??? ? ???? ? 由 PA + PB =t P F 1 得 t=2,此时,直线 l 的方程为 x=1. 易求得 A?1, ②当直线 l 的斜率存在时,设 A(x1,y1),B(x2,y2), 直线 l 的斜率为 k,直线 l 的方程为 y=k(x-1), ??? ? ? 1? ??? ? 1? ? 则 PA = x1,y1-2 , PB = x2,y2-2 ,

?

?

?

?

???? ? 1 P F 1 =?1,- ?, 2? ?

??? ? ??? ? ???? ?x1+x2=t, ? ? PA + PB =t P F 1 得? 由 1 1 t ?y1-2+y2-2=-2, ?

?x1+x2=t, ? 即? t ?y1+y2=1-2, ?
1 因为 y1+y2=k(x1+x2-2),所以 k=-2, 1 此时,直线 l 的方程为 y=-2(x-1),

?y=-2? x-1? 联立方程,得? x2 ? 2 +y2=1,
1 可得 3x2-2x-3=0, 2 2 则 x1+x2=3,故 t=3.

, 消去 y,

圆锥曲线中的定点定值问题 [考情分析] 此类问题以直线、 圆锥曲线为载体, 结合其他条件探究直线和曲线过定点, 计算一些数量积或代数式的值为定值,试题以解答题为主,突出考查学生的运算能力,该类 题型是近几年高考的热点. [例 3] (2012· 上海高考)在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 C1:2x2-y2=1. (1)过 C1 的左顶点引 C1 的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐近线及 x 轴围成的三 角形的面积; (2)设斜率为 1 的直线 l 交 C1 于 P、Q 两点.若 l 与圆 x2+y2=1 相切,求证:OP⊥OQ; (3)设椭圆 C2:4x2+y2=1.若 M、N 分别是 C1、C2 上的动点,且 OM⊥ON,求证:O 到直 线 MN 的距离是定值. [思路点拨] (1)求出交点坐标,再利用三角形的面积公式求解;(2)利用直线与圆相切、求出 b 的值,将直线方程与曲线方程联立,利用数量积的坐标运算,根与系数的关系等知识,以 算代证;(3)联立直线方程和圆锥曲线的方程,解出交点坐标,再计算距离平方的倒数,以 算代证. x2 2 ? ? [解] (1)双曲线 C1: 1 -y2=1,左顶点 A?- ,0?,渐近线方程:y=± 2x. 2 ? ? 2 过点 A 与渐近线 y= 2x 平行的直线方程为 y= 2?x+

? ?

2? ?,即 y= 2x+1. 2?

?y=- 2x, 解方程组? ?y= 2x+1,

?x=- 42, ? 得? 1 ?y=2. ?

1 2 所以所求三角形的面积为 S=2|OA|· |y|= 8 ; (2)证明:设直线 PQ 的方程是 y=x+b,因直线 PQ 与已知圆相切, |b| 故 =1,即 b2=2. 2
? ?y=x+b, 由? 得 x2-2bx-b2-1=0. ?2x2-y2=1, ? ? ?x1+x2=2b, 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则? ? ?x1x2=-1-b2.

又 y1y2=(x1+b)(x2+b),
??? ???? ? O P ·O Q =x1x2+y1y2=2x1x2+b(x1+x2)+b2=2(-1-b2)+2b2+b2=b2-2=0, 所以

故 OP⊥OQ. (3)证明:当直线 ON 垂直于 x 轴时, 2 3 |ON|=1,|OM|= 2 ,则 O 到直线 MN 的距离为 3 . 当直线 ON 不垂直于 x 轴时, 2 设直线 ON 的方程为 y=kx (显然|k|> 2 ), 1 则直线 OM 的方程为 y=-k x. 1 ?x2=4+k2, ? ? k2 ?y2=4+k2, ?

?y=kx, ? 由? 得 ? ?4x2+y2=1,

1+k2 所以|ON|2= . 4+k2

1+k2 同理|OM|2= . 2k2-1 设 O 到直线 MN 的距离为 d. 因为(|OM|2+|ON|2)d2=|OM|2· |ON|2, 3k2+3 1 1 1 3 所以d2=|OM|2+|ON|2= =3,即 d= 3 . k2+1 综上,O 到直线 MN 的距离是定值. [类题通法] 1.定值问题的求解策略 在解析几何中, 有些几何量与参数无关, 这就是“定值”问题, 解决这类问题常通过取特殊值, 先确定“定值”是多少,再进行证明,或者将问题转化为代数式,再证明该式是与变量无关的

常数或者由该等式与变量无关,令其系数等于零即可得到定值. 2.定点问题的求解策略 把直线或曲线方程中的变量 x,y 当作常数看待,把方程一端化为零,既然直线或曲线过定 点,那么这个方程就要对任意参数都成立,这时参数的系数就要全部等于零,这样就得到一 个关于 x,y 的方程组,这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点. [冲关集训] x2 4.(2012· 山西四校联考)已知椭圆 C:a2+y2=1(a>1)的上顶点为 A,右焦点为 F,直线 AF 与 圆 M:(x-3)2+(y-1)2=3 相切. (1)求椭圆 C 的方程;
??? ???? ? (2)若不过点 A 的动直线 l 与椭圆 C 交于 P,Q 两点,且 AP ·A Q =0.求证:直线 l 过定点,

并求出该定点的坐标. 解:(1)圆 M 的圆心为(3,1),半径 r= 3. 由题意知 A(0,1),F(c,0)(c= a2-1). x 解得直线 AF 的方程为c+y=1,即 x+cy-c=0. |3+c-c| 由直线 AF 与圆 M 相切得 = 3, c2+1 解得 c2=2,a2=c2+1=3. x2 故椭圆 C 的方程为 3 +y2=1.
??? ???? ? (2)由 AP ·A Q =0 知 AP⊥AQ,从而直线 AP 与坐标轴不垂直,故可设直线 AP 的方程为 y=

1 kx+1,直线 AQ 的方程为 y=-kx+1, 将 y=kx+1 代入椭圆 C 的方程, 整理得(1+3k2)x2+6kx=0, -6k 解得 x=0 或 x= , 1+3k2

? -6k 1-3k2? 故点 P 的坐标为?1+3k2,1+3k2?. ? ?
k2-3? ? 6k 同理,点 Q 的坐标为?k2+3,k2+3?. ? ? k2-3 1-3k2 - k2+3 1+3k2 k2-1 所以直线 l 的斜率为 = 4k . -6k 6k - k2+3 1+3k2 6k ? k2-3 k2-1? 则直线 l 的方程为 y= 4k x-k2+3 + ? ? k2+3, k2-1 1 即 y= 4k x-2. 1? ? 所以直线 l 过定点 0,-2 . ? ?

破解圆锥曲线中的最值与范围问题 圆锥曲线的最值与范围问题是历年高考的热点, 又是试题的难点. 求解范围与最值问题的关 键是构造目标函数或构造与所求问题相关的不等式, 利用函数的性质或解不等式求解相应的 最值与范围,常用的方法有:转化法、参数法、函数法和基本不等式法等.在处理过程中要 注意题中的一些隐含条件, 如直线和曲线相交于不同的两点, 需要转化为二次方程的判别式 大于零. x2 [典例] (2011· 北京高考)已知椭圆 G: 4 +y2=1,过点(m,0)作圆 x2+y2=1 的切线 l 交椭圆 G 于 A,B 两点. (1)求椭圆 G 的焦点坐标和离心率; (2)将|AB|表示为 m 的函数,并求|AB|的最大值. [思路点拨] (1)先根据椭圆的标准方程确定 a,b 的值,然后求 c 即可;(2)首先确定 m 的取 值范围,然后引入直线的斜率 k,利用直线 l 与圆相切建立 k 与 m 的关系式;利用弦长公式 把|AB|表示成 k,m 的式子,利用 k 与 m 的关系消掉 k,建立|AB|关于 m 的目标函数,根 据解析式的特征利用基本不等式求其最值. [解] (1)由已知,得 a=2,b=1, 所以 c= a2-b2= 3. 所以椭圆 G 的焦点坐标为(- 3,0),( 3,0), c 3 离心率为 e=a= 2 . (2)由题意,知|m|≥1. 当 m=1 时,切线 l 的方程为 x=1,点 A,B 的坐标分别为?1, = 3. 当 m=-1 时,同理可得|AB|= 3. 当|m|>1 时,设切线 l 的方程为 y=k(x-m).

? ?

3? ? 3? ?,?1,- 2 ?,此时|AB| 2? ? ?

?y=k? x-m? , ? 由?x2 得(1+4k2)x2-8k2mx+4k2m2-4=0, ? 4 +y2=1, ?
设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则 4k2m2-4 8k2m x1+x2= ,x1x2= . 1+4k2 1+4k2 又由 l 与圆 x2+y2=1 相切,得 即 m2k2=k2+1. 所以|AB|= ? x2-x1? 2+? y2-y1? 2 = ? 1+k2? [? x1+x2? 2-4x1x2] 4? 4k2m2-4? ? 64k4m2 = ? 1+k2? ?? 1+4k2? 2- 1+4k2 ? 由于当 m=±1 时,|AB|= 3, |km| =1, k2+1

? 4 3|m| ?= m2+3 . ?

4 3|m| 所以|AB|= ,m∈(-∞,-1]∪[1,+∞). m2+3 4 3|m| 因为|AB|= = m2+3 3 ≤2, |m|+|m| 4 3

当且当 m=± 3时,|AB|=2, 所以|AB|的最大值为 2. [名师支招] 利用设参数建立目标函数求解最值与范围时, 应注意两方面的问题: 一是参数取值范围的限 制,如该题中把直线的斜率作为参数时,要考虑斜率不存在的情况,也可根据直线 l 和圆相 切,从而确定 m 的取值范围,并根据其取值的不同情况进行分类讨论;二是求解目标函数 的最值或范围时, 应该根据解析式的特征通过灵活变形采用相应的方法求解, 这也是解决此 类问题的难点之一,通常以基本不等式、配方、分离常数等方法为主. 在利用基本不等式求解最值时, 要注意基本不等式的使用条件, 特别是等号成立条件的检验. [高考预测] 2 椭圆 C 的中心为坐标原点 O,焦点在 y 轴上,短轴长为 2,离心率为 2 ,直线 l 与 y 轴交 ??? ? ??? ? 于点 P(0,m),与椭圆 C 交于相异两点 A,B,且 AP =3 PB (1)求椭圆方程; (2)求 m 的取值范围. y2 x2 解:(1) 设椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0), c 2 设 c>0,c2=a2-b2,由条件,知 2b= 2,a= 2 , 2 x2 所以 a=1,b=c= 2 .故椭圆 C 的方程为 y2+ 1 =1. 2 (2)设 l 与椭圆 C 的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 l 的方程为 y=kx+m,
?y=kx+m, ? 由? 得(k2+2)x2+2kmx+(m2-1)=0, ? ?2x2+y2=1,

则 Δ=(2km)2-4(k2+2)(m2-1)=4(k2-2m2+2)>0,(*) -2km m2-1 x1+x2= ,x1x2= . k2+2 k2+2
??? ? ??? ? ?x1+x2=-2x2, ? 因为 AP =3 PB ,所以-x1=3x2,则? ? x2=-3x2. 2 ?x1·

消去右端,得 3(x1+x2)2+4x1x2=0, m2-1 ?-2km? 所以 3? k2+2 ?2+4· =0. k2+2 ? ? 整理,得 4k2m2+2m2-k2-2=0, 2-2m2 1 1 当 m2=4时,上式不成立;当 m2≠4时,k2= , 4m2-1

由(*)式,得 k2>2m2-2, 2-2m2 又因为 k≠0,所以 k2= >0. 4m2-1 1 1 故-1<m<-2或2<m<1. 1? ?1 ? ? 即所求 m 的取值范围为 -1,-2 ∪ 2,1 . ? ? ? ? [配套课时作业] 1.(2011· 广东高考)设圆 C 与圆 x2+(y-3)2=1 外切,与直线 y=0 相切,则 C 的圆心轨迹为 ( ) A.抛物线 C.椭圆 B.双曲线 D.圆 x-0? 2+? y-3? 2=y+1(y>0),化简得 x2=

解析:选 A 设圆心 C(x,y),由题意得 ? 8y-8.

x2 y2 2.已知双曲线 C:a2-b2=1(b>a>0),其半焦距为 c,过焦点且斜率为 1 的直线与双曲线 C 2 2 的左右两支各有一个交点,若抛物线 y2=4cx 的准线被双曲线 C 截得的弦长为 3 be2(e 为 双曲线 C 的离心率),则 e 的值为( 6 A. 2 或 3 3 C.3 或2 B. 3 6 D. 2 )

b 解析:选 B 由题意得a>1,∴e> 2.∵抛物线 y2=4cx 的准线为 x=-c,被双曲线截得的弦 长恰为其通径, 2b2 2 2 6 ∴ a = 3 be2,解得 e= 2 或 3. 又∵e> 2,∴e= 3. x2 y2 3.若点 O 和点 F 分别为椭圆 4 + 3 =1 的中心和左焦点,点 P 为椭圆上的任意一点,则 ??? ??? ? ? O P ·FP 的最大值为( ) A.2 B.3 C.6 D.8 解析:选 C 设 P(x0,y0),则 x2 y2 0 0 3x2 0 0 4 + 3 =1,即 y2=3- 4 , 又因为 F(-1,0), ??? ??? ? ? 1 O P ·FP =x0· 所以 (x0+1)+y2=4x2+x0+3 0 0 1 =4(x0+2)2+2,又 x0∈[-2,2], ??? ??? ? ??? ??? ? ? ? O P ·FP )∈[2,6],所以( O P ·FP )max=6. 即(

x2 y2 4.(2012· 哈师大附中模拟)存在两条直线 x=±m 与双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)相交于 A,B, C,D 四点,若四边形 ABCD 为正方形,则双曲线的离心率的取值范围为( ) A.(1, 2) B.(1, 3) C.( 2,+∞) D.( 3,+∞) 解析:选 C 依题意,不妨设直线 AC 的倾斜角为锐角,则直线 AC 的倾斜角为 45°,该直线 a2+b2 b 与双曲线有两个不同的交点,因此有 a >tan 45°=1,双曲线的离心率 e= = a

?b? 1+ a 2> ? ?

1+12= 2,即该双曲线的离心率的取值范围是( 2,+∞).

5.设抛物线 x2=4y 的焦点为 F,经过点 P(1,4)的直线 l 与抛物线相交于 A,B 两点,且点 P ???? ??? ? 恰为 AB 的中点,则| AF |+| BF |=________. 解析:∵x2=4y,∴p=2.设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1+x2=2,y1+y2=8. ???? ??? ? p p ∵| A F |=y1+2,| BF |=y2+2,
???? ??? ? ∴| AF |+| BF |=y1+y2+p=8+2=10.

答案:10 6.(2011· 北京高考)曲线 C 是平面内与两个定点 F1(-1,0)和 F2(1,0)的距离的积等于常数 a2(a >1)的点的轨迹.给出下列三个结论: ①曲线 C 过坐标原点; ②曲线 C 关于坐标原点对称; 1 ③若点 P 在曲线 C 上,则△F1PF2 的面积不大于2a2. 其中,所有正确结论的序号是________. 解析:因为原点 O 到两个定点 F1(-1,0),F2(1,0)的距离的积是 1,而 a>1,所以曲线 C 不 过原点,即①错误;因为 F1(-1,0),F2(1,0)关于原点对称,所以|PF1|· |PF2|=a2 对应的轨 1 1 1 迹关于原点对称,即②正确;因为 S△F1PF2=2|PF1||PF2|· sin∠F1PF2≤2|PF1|· |PF2|=2a2, 1 即面积不大于2a2,所以③正确. 答案:②③ x2 y2 2 7.(2012· 北京高考)已知椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的一个顶点为 A(2,0),离心率为 2 .直线 y =k(x-1)与椭圆 C 交于不同的两点 M,N. (1)求椭圆 C 的方程; 10 (2)当△AMN 的面积为 3 时,求 k 的值.

?a=2, ?c 2 解:(1)由题意得? = , a 2 ?a2=b2+c2, ?
x2 y2 所以椭圆 C 的方程为 4 + 2 =1.

解得 b= 2,

?y=k? x-1? , ? (2)由?x2 y2 得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0. ? + =1, ?4 2
设点 M,N 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则 4k2 y1=k(x1-1),y2=k(x2-1),x1+x2= , 1+2k2 2k2-4 x1x2= , 1+2k2 所以|MN|= ? x2-x1? 2+? y2-y1? 2 = ? 1+k2? [? x1+x2? 2-4x1x2] 2 ? 1+k2? ? 4+6k2? = 1+2k2 . |k| , 1+k2

又因为点 A(2,0)到直线 y=k(x-1)的距离 d= 所以△AMN 的面积为 |k| 4+6k2 1 S=2|MN|·d= . 1+2k2

|k| 4+6k2 10 由 = 3 ,化简得 7k4-2k2-5=0, 1+2k2 解得 k=±1. x2 y2 8.(2012· 北京西城期末考试)已知椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的一个焦点是 F(1,0),且离心率 1 为2. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设经过点 F 的直线交椭圆 C 于 M,N 两点,线段 MN 的垂直平分线交 y 轴于点 P(0,y0), 求 y0 的取值范围. 解:(1)设椭圆 C 的半焦距是 c.依题意,得 c=1. 1 因为椭圆 C 的离心率为2, 所以 a=2c=2,b2=a2-c2=3. x2 y2 故椭圆 C 的方程为 4 + 3 =1. (2)当 MN⊥x 轴时,显然 y0=0. 当 MN 与 x 轴不垂直时,

可设直线 MN 的方程为 y=k(x-1)(k≠0).

?y=k? x-1? , ? 由?x2 y2 消去 y 并整理得 ? 4 + 3 =1, ?
(3+4k2)x2-8k2x+4(k2-3)=0. 设 M(x1,y1),N(x2,y2),线段 MN 的中点为 Q(x3,y3), 8k2 则 x1+x2= . 3+4k2 x1+x2 -3k 4k2 所以 x3= 2 = ,y3=k(x3-1)= . 3+4k2 3+4k2 线段 MN 的垂直平分线的方程为 4k2 ? 3k 1? y+ =-k x-3+4k2 . 3+4k2 ? ? k 1 在上述方程中,令 x=0,得 y0= =3 . 3+4k2 k+4k 3 3 当 k<0 时,k+4k≤-4 3;当 k>0 时,k+4k≥4 3. 3 3 所以- 12 ≤y0<0 或 0<y0≤ 12 . 综上,y0 的取值范围是?- 3 3? ? , ?. ? 12 12 ?

x2 y2 9.(2012· 辽宁高考)如图,椭圆 C0:a2+b2=1(a>b>0,a,b 为常数),动圆 C1:x2+y2=t2,b<t1<a.点 A1,A2 分别为 C0 1 的左,右顶点,C1 与 C0 相交于 A,B,C,D 四点. (1)求直线 AA1 与直线 A2B 交点 M 的轨迹方程; (2)设动圆 C2:x2+y2=t2与 C0 相交于 A′,B′,C′,D′ 2 四点,其中 b<t2<a,t1≠t2.若矩形 ABCD 与矩形 A′B′C′D′的面积相等,证明:t2+t2为 1 2 定值. y1 解:(1)设 A(x1,y1),B(x1,-y1),又知 A1(-a,0),A2(a,0),则直线 A1A 的方程为 y= x1+a (x+a),① -y1 直线 A2B 的方程为 y= (x-a).② x1-a -y2 1 由①②得 y2= (x 2-a2).③ x2-a2 1 x2 y2 1 1 x2 1 x2 y2 由点 A(x1, y1)在椭圆 C0 上, a2+b2=1, 故 从而 y2=b2(1-a2), 1 代入③得a2-b2=1(x<-a, y<0). (2)设 A′(x2, 由矩形 ABCD 与矩形 A′B′C′D′的面积相等, 4|x1||y1|=4|x2||y2|, y2), 得 故 x2y2=x2y2. 1 1 2 2 因为点 A,A′均在椭圆上,所以

1 x2 2 ? x2? b2x2 1-a2 =b2x2(1-a2). 1 2 ? ? 由 t1≠t2,知 x1≠x2,所以 x2+x2=a2. 1 2 从而 y2+y2=b2, 1 2 因此 t2+t2=a2+b2 为定值. 1 2 x2 y2 10.(2012· 福建高考)如图,椭圆 E:a2+b2=1(a>b>0)的左焦点为 F1, 1 右焦点为 F2,离心率 e=2.过 F1 的直线交椭圆于 A、B 两点,且△ABF2 的周长为 8. (1)求椭圆 E 的方程. (2)设动直线 l:y=kx+m 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P,且与直线 x=4 相交于点 Q.试探 究:在坐标平面内是否存在定点 M,使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,说明理由. 解:(1)因为|AB|+|AF2|+|BF2|=8, 即|AF1|+|F1B|+|AF2|+|BF2|=8, 又|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a, 所以 4a=8,a=2. 1 c 1 又因为 e=2,即a=2,所以 c=1, 所以 b= a2-c2= 3. x2 y2 故椭圆 E 的方程是 4 + 3 =1.

?y=kx+m, ? (2)由?x2 y2 ? 4 + 3 =1, ?
得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0. 因为动直线 l 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P(x0,y0), 所以 m≠0 且 Δ=0, 即 64k2m2-4(4k2+3)(4m2-12)=0, 化简得 4k2-m2+3=0.(*) 4km 4k 3 4k 3 此时 x0=- =- m ,y0=kx0+m=m,所以 P(- m ,m). 4k2+3
? ?x=4, 由? 得 Q(4,4k+m). ? ?y=kx+m,

假设平面内存在定点 M 满足条件,由图形对称性知,点 M 必在 x 轴上. ? ???? ???? M P ·M Q =0 对满足(*)式的 m,k 恒成立. 设 M(x1,0),则
???? ? ???? 4k 3 M P =?- -x1, ?, M Q =(4-x1,4k+m), 因为 m m

?

?

? ???? ???? MQ 由 MP · =0,

16k 4kx1 12k 得- m + m -4x1+x2+ m +3=0, 1 k 整理,得(4x1-4)m+x2-4x1+3=0.(**) 1
? ?4x1-4=0, 由于(**)式对满足(*)式的 m,k 恒成立,所以? 解得 x1=1. ? 1 ?x2-4x1+3=0,

故存在定点 M(1,0),使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M.


2013年高考数学(课标版)原创预测题(理科):专题五 解析几何

2013年高考数学(课标版)原创预测题(理科):专题五 解析几何_高考_高中教育_教育...专题五:解析几何(新课标理)一、选择题 1.若抛物线的焦点坐标为 (2, 0) ,...

2016届高考数学(理)二轮专题复习演练:专题五+第4讲+解...

2016届高考数学(理)二轮专题复习演练:专题五+第4讲+解析几何真题体验(人教版含答案)(浙江专用)_初三数学_数学_初中教育_教育专区。专题五 解析几何 真题体验?...

...高三数学(理)二轮复习试题:解析几何专题检测(五)(北...

(导学教程)2012届高三数学(理)二轮复习试题:解析几何专题检测(五)(北师大版))_数学_高中教育_教育专区。(导学教程)2012届高三数学(理)二轮复习试题:解析几何专题...

2016届高考数学(理)二轮专题复习演练:专题五+第3讲+解...

2016届高考数学(理)二轮专题复习演练:专题五+第3讲+解析几何模拟演练(人教版含答案)(浙江专用)_初三数学_数学_初中教育_教育专区。专题五 解析几何 经典模拟?...

2015年高三高考(文科)数学复习专题五:解析几何

2015年高三高考(文科)数学复习专题五:解析几何_数学_高中教育_教育专区。平面解析....同理,点 Q ? ? . 三点 M 、 F1 、 N 共线,? x1 ? 2 x2 ? 2...

...数学(数学理科专用)二轮专题精练:专题五 解析几何5-...

《创新设计》2016高考数学(数学理科专用)二轮专题精练:专题五 解析几何5-1 Word版含解析_总结/汇报_实用文档。专题五 第1讲一、选择题 解析几何 直线与圆 (...

【高考领航】2015人教数学(理)总复习 专题五平面解析几...

高考领航】2015人教数学(理)总复习 专题五平面解析几何综合题的解答Word版含解析]_高中教育_教育专区。【高考领航】2015人教数学(理)总复习 专题五平面解析几何综...

2013年高考数学(课标版)原创预测题(理科):专题五 解析...

2013年高考数学(课标版)原创预测题(理科):专题五 解析几何 隐藏>> 专题五:解析几何(新课标理)一、选择题 1.若抛物线的焦点坐标为 (2, 0) ,则抛物线的标准...

2014届高考数学(文)二轮复习专题突破讲义专题五 解析几...

2014届高考数学()二轮复习专题突破讲义专题五 解析几何 第1讲直线与圆_高考_...3 3 B.- 3 3 C .± 3 3 D.- 3 ( ) (2)(2013· 重庆)已知圆 ...

高三二轮复习数学 专题5 解析几何 第2讲

高三二轮复习数学 专题5 解析几何 第2讲_高三数学_数学_高中教育_教育专区。专题...3 ) ) B.6 5 D.5 2 3 5.(文)(2013· 广东理,7)已知中心在原点的...