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江苏省12市2015届高三上学期期末考试数学试题分类汇编:统计与概率


江苏省 12 市 2015 届高三上学期期末考试数学试题分类汇编 统计与概率
一、填空题 1、 (常州市 2015 届高三)现有 5 道试题,其中甲类试题 2 道,乙类试题 3 道,现从中随机 取 2 道试题,则至少有 1 道试题是乙类试题的概率为 ▲ . 2、 (连云港、徐州、淮安、宿迁四市 2015 届高三)如图,茎叶图记录了甲、乙两组各 3 名 同学在期末考试中的

数学成绩,则方差较小的那组同学成绩的方差为 ▲

3、 (南京市、盐城市 2015 届高三)在一次射箭比赛中,某运动员 5 次射箭的环数依次 是 9,10,9, 7,10 ,则该组数据的方差是 ▲ .

4、 (南通市 2015 届高三) 某中学共有学生 2800 人, 其中高一年级 970 人, 高二年级 930 人, 900 280 高三年级 人,现采用分层抽样的方法,抽取 人进行体育达标检测,则抽取高二年 级学生人数为 5、 (苏州市 2015 届高三上期末)某课题组进行城市空气质量监测,按地域将 24 个城市分成 甲、乙、丙三组,对应区域城市数分别为 4、12、8.若用分层抽样抽取 6 个城市,则乙组中 应该抽取的城市数为 6、 (泰州市 2015 届高三上期末)袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球,从中任取两 个球,则这两个球颜色相同的概率为 ▲

, 9 的平均数为 10 ,则该组样本 7、 (无锡市 2015 届高三上期末)若一组样本数据 8, x, 10, 11
数据的方差为 8、 (扬州市 2015 届高三上期末)知样本 6,7,8,9,m 的平均数是 8,则标准差是___ _ 9、 (连云港、徐州、淮安、宿迁四市 2015 届高三)某用人单位从甲、乙、丙、丁共 4 名应 聘者中招聘 2 人,若每个应聘者被录用的机会均等,则甲、乙 2 人中至少有 1 人被录用的概 率为 ▲ . 10、 (南京市、盐城市 2015 届高三)甲、乙两位同学下棋,若甲获胜的概率为 0.2 ,甲、乙 下和棋的概率为 0.5 ,则乙获胜的概率为 ▲ . 11、 (南通市 2015 届高三) 同时抛掷两枚质地均匀的骰子 ( 一种各面上分别标有1, 2,3, 4,5,6 个点的正方体玩具 ) ,观察向上的点数,则两个点数之积不小于 4 的概率为 12、 (苏州市 2015 届高三上期末)设 x ?{?1,1}, y ?{?2,0, 2} ,则以 ( x, y ) 为坐标 的点落在不等式 x ? 2 y ? 1 所表示的平面区域内的概率为

13、 (无锡市 2015 届高三上期末) 将 2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行, 则 2 本数学书相邻的概率为 14、 (扬州市 2015 届高三上期末)在三张奖券中有一、二等奖各一张,另一张无奖,甲乙两 人各抽取一张(不放回) ,两人都中奖的概率为__

二、解答题 1、 (常州市 2015 届高三)一位网民在网上光顾某淘宝小店,经过一番浏览后,对该店铺中 的 A, B, C , D, E 五种商品有购买意向 . 已知该网民购买 A, B 两种商品的概率均为
C , D 两种商品的概率均为

3 ,购买 4

2 1 , 购买 E 种商品的概率为 .假设该网民是否购买这五种商品相 3 2

互独立. (1)求该网民至少购买 4 种商品的概率; (2)用随机变量 h 表示该网民购买商品的种数,求 h 的概率分布和数学期望. 2、 (连云港、徐州、淮安、宿迁四市 2015 届高三)某校现有 8 门选修课程,其中 4 门人文 社会类课程,4 门自然科学类课程,学校要求学生在高中 3 年内从中任选 3 门课程选修,假 设学生选修每门课程的机会均等. (1)求某同学至少选修 1 门自然科学类课程的概率; (2)已知某同学所选修的 3 门课程中有 1 门人文社会类课程,2 门自然科学类课程,若 该同学通过人文社会类课程的概率都是

4 3 ,自然科学类课程的概率都是 ,且各门 5 4

课程通过与否相互独立. 用 ? 表示该同学所选的 3 门课程通过的门数, 求随机变量 ? 的概率分布列和数学期望. 3、 (苏州市 2015 届高三上期末)某公司有 10 万元资金用于投资,如果投资甲项目,根据市 场分析知道:一年后可能获利 10%,可能损失 10%,可能不陪不赚,这三种情况发生的概率 分别为 , , ;如果投资乙项目,一年后可能获利 20%,可能损失 20%,这两种情况发生 的概率分别为α 和β (α +β =1). (1)如果把 10 万元投资甲项目,用 X 表示投资收益(收益=回收资金-投资资金) ,求 X 的 概率分布列及数学期望 E(X). (2) 若 10 万元资金投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益, 求α 的取值范围. 4、 (泰州市 2015 届高三上期末)记 Cir 为从 i 个不同的元素中取出 r 个元素的所有组合的个 数. 随机变量 ? 表示满足 Ci ?
r

1 1 1 2 4 4

1 2 i 的二元数组 (r , i) 中的 r , 其中 i ??2,3,4,5,6,7,8,9,10? , 2

每一个 Cir ( r ? 0,1,2,?, i )都等可能出现.求 E? .

5、 (扬州市 2015 届高三上期末))射击测试有两种方案,方案 1:先在甲靶射击一次,以后 都在乙靶射击;方案 2:始终在乙靶射击,某射手命中甲靶的概率为 命中乙靶的概率为

2 ,命中一次得 3 分; 3

3 ,命中一次得 2 分,若没有命中则得 0 分,用随机变量 ? 表示该射手 4

一次测试累计得分, 如果 ? 的值不低于 3 分就认为通过测试, 立即停止射击; 否则继续射击, 但一次测试最多打靶 3 次,每次射击的结果相互独立。 (1)如果该射手选择方案 1,求其测试结束后所得部分 ? 的分布列和数学期望 E ? ; (2)该射手选择哪种方案通过测试的可能性大?请说明理由。

参考答案
一、填空题 1、

9 10

2、

14 3 5 6

3、

6 5

4、93 5、3 6、 11、

1 3

7、2 12、

8、 2

9、

10、 0.3

31 36

1 2

13、

2 3

14、

1 3

二、解答题

3 3 2 2 1 1 1、解: (1)记“该网民购买 i 种商品”为事件 Ai , i ? 4,5 ,则: P( A5 ) ? ? ? ? ? ? , 4 4 3 3 2 8

3 3 2 2 1 3 2 2 1 2 3 3 1 1 1 3 1 2 P( A4 ) ? ? ? ? ? (1 ? ) ? C2 ? (1 ? ) ? ? ? ? C2 ? (1 ? ) ? ? ? ? , ? ? ? 4 4 3 3 2 4 4 3 3 2 3 3 4 4 2 3
??2 分

1 1 11 所以该网民至少购买 4 种商品的概率为 P( A5 ) ? P( A4 ) ? ? ? . 8 3 24

11 . 24 (2)随机变量 h 的可能取值为 0,1, 2,3, 4,5 ,
答:该网民至少购买 4 种商品的概率为

?????????3 分

3 3 2 2 1 1 , P(h ? 0) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? 4 4 3 3 2 288 3 2 2 1 2 3 3 1 1 3 1 2 P(h ? 1) ? C2 ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? C2 ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? 4 4 3 3 2 3 3 4 4 2 1 3 3 2 2 11 , ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? 2 4 4 3 3 288 3 3 2 2 1 2 2 3 3 1 P(h ? 2) ? ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? 4 4 3 3 2 3 3 4 4 2

2 2 3 3 1 3 2 2 1 1 1 3 C2 (1 ? ) ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? C2 ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? 3 3 4 4 2 4 4 3 3 2 3 2 1 47 1 3 1 2 , ?C2 ? (1 ? ) ? C2 ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? 4 4 3 3 2 288 P(h ? 3) ? 1 ? P(h ? 0,1,2,4,5) ? 1 ? 1 P(h ? 4) ? P( A4 ) ? , 3 1 P(h ? 5) ? P( A5 ) ? . 8 所以:随机变量 h 的概率分布为: h 0 1 2
?????????8 分

1 11 47 1 1 97 , ? ? ? ? ? 288 288 288 3 8 288

3

4

5

P
故 Eh ? 0 ?

1 288

11 288

47 288

97 288

1 3

1 8

1 11 47 97 1 1 10 ? 1? ? 2? ? 3? ? 4 ? ? 5 ? ? .?????????10 分 288 288 288 288 3 8 3 2、(1) 记“某同学至少选修 1 门自然科学课程”为事件 A,
则 P(A)=1 ?
3 C4 1 13 ? 1 ? ? ,?????????????????????2 分 3 C8 14 14

所以该同学至少选修 1 门自然科学课程的概率为

13 .???????????3 分 14

(2)随机变量 ? 的所有可能取值有 0,1, 2,3 .?????????????????4 分

1 ?1? 1 4 ?1? 1 1 3 1 1 因为 P(? =0)= ? ? ? = , P(? =1)= ? ? ? + ? C2 ? ? ? , 5 ? 4 ? 80 5 ?4? 5 4 4 8 4 1 3 1 ? 3 ? 33 4 ? 3? 9 1 ,????8 分 P(? =2)= ? C2 ? ? + ? ? ? = , P(? =3)= ? ? ? ? 5 4 4 5 ? 4 ? 80 5 ? 4 ? 20
所以 ? 的分布列为
2 2

2

2

?
P

0

1
1 8

2

3

33 9 80 20 1 10 33 36 ? 1? ? 2 ? ? 3? ? 2.3 .????????????10 分 所以 E (? )=0 ? 80 80 80 80
3、

1 80

4、解:∵ Ci ?
r

1 2 i , 2

当 i ? 2 时,

1 1 i (i ? 1) 1 2 52 3 Ci0 ? Cii ? 1 ? i 2 , Ci1 ? Cii ?1 ? i ? i 2 , Ci2 ? Cii ? 2 ? ? i , C5 ? , 2 2 2 2 2

1 2 i 的解为 r ? 0,1, , i . ??????3 分 2 i ?1 r ?1 r 当 6 ? i ? 10, i ? N * , Ci ? Ci ? r ? , 2 i (i ? 1)(i ? 2) 1 2 3 ? i ? i ? 3, 4,5 可知: 由 Ci ? 6 2 1 2 r 当 r ? 0,1, 2, i ? 2, i ? 1, i 时, Ci ? i 成立, 2 1 1 2 r 3 2 r 当 r ? 3, , i ? 3 时, Ci ? Ci ? i (等号不同时成立) ,即 Ci ? i .?????6 分 2 2
∴当 2 ? i ? 5, i ? N * 时, Ci ?
r

?



















9 0



P (? )

3 16

3 16

3 16

1 16

1 16

1 16

1 16

1 16

1 16

1 24

1 48

????????????????8 分 ∴ E? ? (0 ? 1 ? 2) ?

3 1 1 1 77 ? (3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8) ? ? 9 ? ? 10 ? ? . 16 16 24 48 24

???????????????10 分 5、在甲靶射击命中记作 A ,不中记作 A ;在乙靶射击命中记作 B ,不中记作 B , 其中 P ( A) ?

2 2 1 3 3 1 , P( A) ? 1 ? ? , P( B) ? , P( B) ? 1 ? ? 3 3 3 4 4 4

??2 分

⑴ ? 的所有可能取值为 0, 2,3, 4 ,则

1 1 1 1 P(? ? 0) ? P( ABB) ? P( A) P( B) P( B) ? ? ? ? , 3 4 4 48
P(? ? 2) ? P( ABB ) ? P( ABB ) ? P ( A) P ( B ) P ( B ) ? P ( A) P ( B ) P ( B )

1 3 1 1 1 3 6 ? ? ? ? ? ? ? 3 4 4 3 4 4 48 ,
P(? ? 3) ? P( A) ? 2 3,

1 3 3 9 . P(? ? 4) ? P( ABB) ? P( A) P( B) P( B) ? ? ? ? 3 4 4 48

? 的分布列为:

?
P

0

2

3

4

1 48 1 6 2 9 E? ? 0 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ?3 48 48 3 48
??7 分

6 48

2 3


9 48

⑵射手选择方案 1 通过测试的概率为 P 1 ,选择方案 2 通过测试的概率为 P 2 ,

2 9 31 P ? ? ; 1 ? P (? ? 3) ? 3 48 48 1 3 3 3 1 3 3 3 27 P2 ? P(? ? 3) ? P( BBB) ? P( BBB) ? P( BB) ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 4 4 4 4 4 4 4 32
?9 分 因为 P2 ? P 1 ,所以应选择方案 2 通过测试的概率更大. ??10 分 ,


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