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2011届高考数学难点突破难点40 探索性问题


难点 40

探索性问题

高考中的探索性问题主要考查学生探索解题途径, 解决非传统完备问题的能力, 是命题 者根据学科特点,将数学知识有机结合并赋予新的情境创设而成的,要求考生自己观察、分 析、创造性地运用所学知识和方法解决问题. ●难点磁场? 1.(★★★★)已知三个向量 a、b、c,其中每两个之间的夹角为 120°,若|a|=3, |

b|=2,|c|=1,则 a 用 b、c 表示为 . 2.(★★★★★)假设每一架飞机引擎在飞行中故障率为 1–p,且各引擎是否有故障 是独立的,如有至少 50%的引擎能正常运行,飞机就可成功飞行,则对于多大的 p 而言,4 引擎飞机比 2 引擎飞机更为安全? ●案例探究? [例 1]已知函数 f ( x) ?

bx ? c (a,c∈R,a>0,b 是自然数)是奇函数,f(x)有最大值 ax2 ? 1

1 2 ,且 f(1)> . 2 5
(1)求函数 f(x)的解析式; (2)是否存在直线 l 与 y=f(x)的图象交于 P、Q 两点,并且使得 P、Q 两点关于点(1, 0)对称,若存在,求出直线 l 的方程,若不存在,说明理由. 命题意图:本题考查待定系数法求 函数解析式、最值问题、直线方程及综合分析问题 的能力,属★★★★★级题目. 知识依托:函数的奇偶性、重要不等式求最值、方程与不等式的解法、对称问题. 错解分析:不能把 a 与 b 间的等量关系与不等关系联立求 b;忽视 b 为自然数而导致求 不出 b 的具体值;P、Q 两点的坐标关系列不出解. 技巧与方法:充分利用题设条件是解题关键.本题是存在型探索题目,注意在假设存在 的条件下推理创新,若由此导出矛盾,则否定假设,否则,给出肯定的结论,并加以论证. 解: (1)∵f(x) 是奇函数 ∴f(–x)=–f(x),即

? bx ? c bx ? c ∴–bx+c=–bx–c ?? 2 2 ax ? 1 ax ? 1
∴c=0 ∴f(x)=

bx ax2 ? 1

由 a>0,b 是自然数得当 x≤0 时,f(x)≤0, 当 x>0 时,f(x)>0 ∴f(x)的最大值在 x>0 时取得. ∴x>0 时, f ( x) ?

1 a 1 x? b bx

? 2

1 a b2

当且仅当

a 1 x? b bx

用心

爱心

专心

1

即x?

1 时,f(x)有最大值 a

1 2 a b2

?

1 2



a 2 =1,∴a=b b2



2 b 2 ,∴ > ,∴5b>2a+2 ② 5 a ?1 5 1 2 把①代入②得 2b –5b+2<0 解得 <b<2 2 x 又 b∈N,∴b=1,a=1,∴f(x)= 2 x ?1
又 f(1)> (2)设存在直线 l 与 y=f(x)的图象交于 P、Q 两点,且 P、Q 关于点(1,0)对称,

? x0 ? x 2 ? 1 ? y0 ? 0 2 P(x0,y0)则 Q(2–x0,–y0),∴ ? ,消去 y0,得 x0 –2x0–1=0 ? 2 ? x0 ? ? y0 ? ( 2 ? x0 ) 2 ? 1 ?
解之,得 x0=1± 2 , ∴P 点坐标为( 1? 2 ,

2 2 2 )或( 1 ? 2 ,? )进而相应 Q 点坐标为 Q( 1 ? 2 ,? ) 4 4 4

或 Q( 1? 2 ,

2 ). 4

过 P、Q 的直线 l 的方程:x–4y–1=0 即为所求. [例 2]如图,三条直线 a、b、c 两两平行,直线 a、

b 间的距离为 p,直线 b、c 间的距离为

p ,A、B 为直线 a 2

上两定点,且|AB|=2p,MN 是在直线 b 上滑动的长度为 2p 的线段. (1)建立适当的平 面直角坐标系,求△AMN 的外心 C 的轨迹 E; (2)接上问,当△AMN 的外心 C 在 E 上什么位置时,d+|BC|最小,最小值是多少? (其中 d 是外心 C 到直线 c 的距离). 命题意图: 本题考查轨迹方程的求法、 抛物线的性质、 数形结合思想及分析、 探索问题、 综合解题的能力.属★★★★★级题目. 知识依托:求曲线的方程、抛物线及其性质、直线的方程. 错解分析:①建立恰当的直角坐标系是解决本题的关键,如何建系是难点,②第二问中 确定 C 点位置需要一番分析. 技巧与方法:本题主要运用抛物线的性质,寻求点 C 所在位置,然后加以论证和计算, 得出正确结论,是条件探索型题目. 解: (1)以直线 b 为 x 轴,以过 A 点且与 b 直线垂直的直线为 y 轴建立直角坐标系.
用心 爱心 专心

2

设△AMN 的外心为 C(x,y),则有 A(0,p)、M(x–p,0),N(x+p,0), 由题意,有|CA|=|CM|
2 2 ∴ x ? ( y ? p) ?

( x ? x ? p ) 2 ? y 2 ,化简,得

x2=2py
它是以原点为顶点,y 轴为对称轴,开口向上的抛物线. (2)由(1)得,直线 C 恰为轨迹 E 的准线. 由抛物线的定义知 d=|CF|,其中 F(0,

p )是抛物线的焦点. 2

∴d+|BC|=|CF|+|BC| 由两点间直线段最短知,线段 BF 与轨迹 E 的交点即为所求的点 直线 BF 的方程为 y ?

1 1 x ? p 联立方程组 4 2

1 ? x ? p (1 ? 17 ) 1 1 ? y ? x? p ? 4 ? ? . 4 2 得? ? ? y ? 9 ? 17 p. ? x 2 ? 2 py ? ? 16 ?
即 C 点坐标为(

1 ? 17 9 ? 17 p, p ). 4 16

此时 d+|BC|的最小值为|BF|=

17 p. 2

●锦囊妙计? 如果把一个数学问题看作是由条件、依据、方法和结论四个要素组成的一个系统,那么 把这四个要素中有两个是未知的数学问题称之为探索性问题.条件不完备和结论不确定是探 索性问题的基本特征. 解决探索性问题,对观察、联想、类比、猜测、抽象、概括诸方面有较高要求,高考题 中一般对这类问题有如下方法: (1)直接求解; (2)观察——猜测——证明; (3)赋值推断; (4)数形结合; (5)联想类比; (6)特殊——一般——特殊. ●歼灭难点训练? 一、选择题 1.(★★★★)已知直线 l⊥平面α ,直线 m ? 平面β ,有下面四个命题,其中正确命 题是( ) ①α ∥β ? l⊥m ②α ⊥β ? l∥m ③l∥m ? α ⊥β ④l⊥m ? α ∥β A.①与② B.①与③ C.②与④ D.③与④ 2.(★★★★)某邮局只有 0.60 元,0.80 元,1.10 元的三种邮票.现有邮资为 7.50 元的邮件一件,为使粘贴邮票的张数最少,且资费恰为 7.50 元,则最少要购买邮票( ) A.7 张 B.8 张 C.9 张 D.10 张 二、填空题 3.( ★ ★ ★ ★ ) 观 察 sin 20 ° +cos 50 ° +sin20 ° cos50 ° = +sin15°
用心 爱心 专心
2 2

3 2 2 ,sin 15 ° +cos 45 ° 4

3

?cos45°=

3 ,写出一个与以上两式规律相同的一个等式 4

.

三、解答题 4.(★★★★)在四棱锥 P—ABCD 中, 侧棱 PA⊥底面 ABCD, 底面 ABCD 是矩形,问底面的边 BC 上是否存在点 E.(1)使 ∠PED=90°; (2)使∠PED 为锐角.证明你的结论. 5.(★★★★★)已知非零复数 z1,z2 满足|z1|=a,|z2| =b ,|z1+z2|=c(a、b、c 均大于零) ,问是否根据上述条件求出

z2 ?请说明理由. z1
6.(★★★★★)是否存在都大于 2 的一对实数 a、b(a>b)使得 ab,

b ,a–b,a+b 可 a

以按照某一次序排成一个等比数列,若存在,求出 a、b 的值,若不存在,说明理由. 2 7.(★★★★★)直线 l 过抛物线 y =2px(p>0)的焦点且与抛物线有两个交点,对于 抛物线上另外两点 A、B 直线 l 能否平分线段 AB?试证明你的结论. 8.(★★★★★)三个元件 T1、T2、T3 正常工作的概率分别为 0.7、0.8、0.9,将它们 的某两个并联再和第三个串联接入电路,如图甲、乙、丙所示,问哪一种接法使电路不发生 故障的概率最大?

参 考 答 案 ●难点磁场 1.解析:如图–a 与 b,c 的夹角为 60°,且|a|=|–a|=3. 由平行四边形关系可得–a=3c+ 答案:a=–3c–

3 3 b,∴a=–3c– b. 2 2

3 b 2

2.解析:飞机成功飞行的概率分别为:4 引擎飞机为:

C 2 P 2 (1 ? P) 2 ? C3 P 3 (1 ? P) ? C 4 P ? 6 P 2 (1 ? P) 2 ? 4 P 2 (1 ? P) ? P 4 4 4 4
2 引擎飞机为 C 2 ? P(1 ? P) ? C 2 P ? 2 P(1 ? P) ? P .
1 2 2 2

要使 4 引擎飞机比 2 引擎飞机安全,则有: 6P (1–P) +4P (1–P)+P ≥2P(1–P)+P ,解得 P≥ 即当引擎不出故障的概率不小于
2 2 2 4 2

2 . 3

2 时,4 引擎飞机比 2 引擎飞机安全. 3
爱心 专心 4

用心

●歼灭难点训练 一、1.解析:①l⊥α 且α ∥β ? l⊥β ,m ? β ? l⊥m. ②α ⊥β 且 l⊥α ? l∥β ,但不能推出 l∥m. ③l∥ m,l⊥α ? m⊥α ,由 m ? β ? α ⊥β . ④l⊥m,不能推出α ∥β . 答案:B 2.解析:选 1.1 元 5 张,0.6 元 2 张,0.8 元 1 张.故 8 张. 答案: B 二、3.解析:由 50°–20°=(45°–15°)=30°

3 . 4 3 2 2 答案:sin α +cos ( α +30°)+sinα cos(α +30°)= 4 1 1 三、4.解:(1)当 AB≤ AD 时,边 BC 上存在点 E,使∠PED=90°;当 AB> AD 时,使∠ 2 2
可得 sin α +cos (α +30°)+sinα cos(α +30°)=
2 2

PED=90°的点 E 不存在.(只须以 AD 为直径作圆看该圆是否与 BC 边有无交点) (证略) (2)边 BC 上总存在一点,使∠PED 为锐角,点 B 就是其中一点. 连接 BD,作 AF⊥BD,垂足为 F,连 PF,∵PA⊥面 AB CD,∴PF⊥BD,又△ABD 为直角三 角形,∴F 点在 BD 上,∴∠PBF 是锐角. 同理,点 C 也是其中一点.
5.解:∵|z1+z2| =(z1+z2)( z1 + z 2 )=|z1| +|z2| +(z1 z 2 + z1 z2) ∴c =a +b +(z1 z 2 + z1 z2) 即:z1 z 2 + z1 z2=c –a –b
2 2 2 2 2 2 2 2 2

∵z1≠0,z2≠0,∴z1 z 2 + z1 ?z2=

z1 z 2 z 2 z1 z1 z 2 z z 2 2 ? =|z2| ( 1 )+|z1| ( 2 ) z2 z1 z2 z1

即有:b (

2

z1 z 2 )+a ( 2 )=z1 z2+z1z2 z2 z1

∴b (

2

z1 z 2 2 2 2 )+a ( 2 )=c –a –b z2 z1 z2 2 2 2 2 z2 2 ) +(a +b –c )( )+b =0 z1 z1 z2 z 的一元二次方程,解此方程即得 2 的值. z1 z1

∴a (

2

这是关于

6.解:∵a>b,a>2,b>2,∴ ab,

b b ,a–b,a+b 均为正数,且有 ab>a+b> ,ab>a+b>a–b. a a

用心

爱心

专心

5

假设存在一对实数 a,b 使 ab,

b ,a+b,a–b 按某一次序排成一个等比数列,则此数列必 a

是单调数列.不妨设该数列为单调减数列, 则存在的等比数列只能有两种情形, 即①ab,a+b,

a–b,

b b b 2 ,或②ab,a+b, ,a–b 由( a+b) ≠ab? 所以②不可能是等比数列,若①为等比 a a a
?a ? 7 ? 5 2 ? 解得? 10 ? 7 2 ?b ? 2 ?

数列,则有:

?(a ? b) 2 ? ab(a ? b) ? ? b ?(a ? b)( a ? b) ? ab ? a ?

经 检 验 知 这 是 使 ab,a+b,a – b,

b 成等比数列的惟一的一组值.因此当 a

a=7+ 5 2 ,b=

10 ? 7 2 b 时,ab,a+b,a–b, 成等比数列. 2 a

p ,0)∈l.∴|FA|=|FB|,设 2 p p A(x1,y1),B(x2,y2),显然 x1>0,x2>0,y1≠y2,于是有(x1– )2+y12=(x2– )2+y22,整理得: 2 2
7.解:如果直线 l 垂直平分线段 AB,连 AF、BF,∵F( (x1+x2–p)(x1–x2)=y2 –y1 =–2p(x1–x2).显然 x1≠x2(否则 AB⊥x 轴,l 与 x 轴重合,与题 设矛盾)得:x1+x2–p=–2p 即 x1+x2=–p< 0,这与 x1+x2>0 矛盾,故直线 l 不能垂直平分线段 AB. 8.解:设元件 T1、T2、T3 能正常工作的事件为 A1、A2、A3,电路不发生故障的事件为 A, 则 P(A1)=0.7,P(A2)=0.8,P(A3)=0.9. (1) 按图甲的接法求 P A) A= A1+A2) A3, A1+A2 与 A3 相互独立, P A) P A1+A2) P ( :( ? 由 则 ( =( ? (A3) 又 P(A1+A2)=1–P( A1 ? A2 )=1–P( A1 ? A2 )由 A1 与 A2 相互独立知 A1 与 A2 相互 独立,得:P( A1 ? A2 )=P( A1 ) P( A2 )=[1–P(A1)? ? ][1–P(A2) ]=(1–0.7)? (1–0.8)=0.06,∴P(A1+A2)=0.1–P( A1 ? A2 )=1–0.06=0.94, ∴P(A)=0.94?0.9=0.846. (2)按图乙的接法求 P(A) A=(A1+A3) A2 且 A1+A3 与 A2 相互独立,则 P(A)=P(A1+A3) : ? ? P(A2) ,用另一种算法求 P(A1+A3).∵A1 与 A3 彼此不互斥,根据容斥原理 P(A1+A3)= P(A1)+P(A3)–P(A1A3) A1 与 A3 相互独立,则 P(A1?A3)=P(A1) P(A3)=0.7? ,∵ ? 0.9=0.63,P(A1+A3)=0.7+0.9–0.63=0.97.∴P(A)=P(A1+A3)?P(A2)=0.97?0.8=0.776. (3)按图丙的接法求 P(A) ,用第三种算法. A=(A2+A3)A1=A2A1+A3A1,∵A2A1 与 A3A1 彼此不互斥,据容斥原理,则 P(A)=P(A1A2)+P (A1A3) P A1A2A3) 又由 A1、 2、 3 相互独立, P A1? 2) P A1) (A2) –( , A A 得 ( A =( P =0.8?0.7=0.56, P(A3A1)=P(A3)?P(A1)=0.9?0.7=0.63, P(A1A2A3)=P(A1)?P(A2)?P(A3)=0.7?0.8?0.9=0.504, ∴P(A)=0.56+0.63–0.504=0.686. 综合(1) (2) (3)得,图甲、乙、丙三种接法电路不发生故障的概率值分别为 、 、
用心 爱心 专心
2 2

6

0.846,0.776,0.686. 故图甲的接法电路不发生故障的概率最大.

用心

爱心

专心

7

用心

爱心

专心

8


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