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2011高考数学专题复习:第4单元《数列》

时间:2010-12-26


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2011 年高考专题复习——数列 年高考专题复习—— ——数列
1.【2010?浙江理数】设 Sn 为等比数列 {an } 的前 n 项和, 8a2 + a5 = 0 ,则 (A)11 (B)5 (C) ?8 【答案】D 【解析】解析:通过 (D) ?11 ,设公比为 q ,将

该式转化为 8a 2 + a 2 q = 0 ,解得 q =-2,
3

S5 = S2

8a2 + a5 = 0

带入所求式可知答案选 D, 本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前 n 项和公 式,属中档题

2.【2010?全国卷 2 理数】如果等差数列 {an } 中, a3 + a4 + a5 = 12 ,那么 a1 + a2 + ... + a7 = (A)14 【答案】C (B)21 (C)28 (D)35

【解析】 a3 + a4 + a5 = 3a4 = 12, a4 = 4,∴ a1 + a2 + ? + a7 =

7( a1 + a7 ) = 7 a4 = 28 2

3.【2010?辽宁文数】设 Sn 为等比数列 {an } 的前 n 项和,已知 3S3 = a4 ? 2 , 3S 2 = a3 ? 2 , 则公比 q = (A)3 【答案】B 【解析】两式相减得, 3a3 = a4 ? a3 , a4 = 4a3 ,∴ q = (B)4 (C)5 (D)6

a4 = 4. a3

4. 【2010?辽宁理数】 设{an}是有正数组成的等比数列,Sn 为其前 n 项和。 已知 a2a4=1, S3 = 7 , 则 S5 = (A) 【答案】B 【解析】由 a2a4=1 可得 a1 q = 1 ,因此 a1 =
2 4

15 2

(B)

31 4

(C)

33 4

(D)

17 2

1 2 ,又因为 S3 = a1 (1 + q + q ) = 7 ,联力两式有 2 q

1 1 1 ( + 3)( ? 2) = 0 ,所以 q= ,所以 S5 = q q 2

4 ? (1 ?

1 ) 25 = 31 ,故选 B。 1 4 1? 2
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5.【2010?全国卷 2 文数】如果等差数列 {an } 中, a3 + a4 + a5 =12,那么 a1 + a2 +?…+ a7 = ? (A)14 【答案】C (B) 21 (C) 28 (D) 35

【解析】∵ ∵ 6.

a3 + a4 + a5 = 12

,∴

a4 = 4

1 a1 + a2 + ? + a7 = × 7 × (a1 + a7 ) = 7 a4 = 28 2

【 2010 ? 江 西 理 数 】 等 比 数 列

{an }

中 , a1 = 2 , a8 =4 , 函 数

f ( x ) = x( x ? a1 )( x ? a2 ) ? ( x ? a8 ) ,则 f ' ( 0 ) = ( )
A. 2
6

B. 2

9

C. 2

12

D. 2

15

【答案】C 【解析】考查多项式函数的导数公式,重点考查学生创新意识,综合与灵活地应用所学的数 学知识、思想和方法。考虑到求导中,含有 x 项均取 0,则 f 关;得: a1 ? a2 ? a3 ? a8 = ( a1a8 ) = 2 。
4 12

'

( 0 ) 只与函数 f ( x ) 的一次项有

1 ? 1 1 lim ?1 + + 2 + ? + n x→∞ 3 ? 3 3 7.【2010?江西理数】 5 A. 3 3 B. 2

? ?= ? (



C. 2

D. 不存在

【答案】B

1 1? n 3 )=3 【解析】考查等比数列求和与极限知识.解法一:先求和,然后对和取极限。 lim ( n→+∞ 1 2 1? 3
8.【2010?安徽文数】设数列 {an } 的前 n 项和 S n = n ,则 a8 的值为(
2



(A) 15 【答案】A

(B) 16

(C)

49

(D)64

【解析】 a8 = S8 ? S 7 = 64 ? 49 = 15 . 9. 【2010?重庆文数】在等差数列 {an } 中, a1 + a9 = 10 ,则 a5 的值为( (A)5 (C)8 【答案】A 【解析】由角标性质得 (B)6 (D)10 )

a1 + a9 = 2a5

,所以

a5

=5

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10. 【2010?浙江文数】设 sn 为等比数列 {an } 的前 n 项和, 8a2 + a5 = 0 则 (A)-11 (C)5 【答案】A 【解析】通过 (B)-8 (D)11

S5 = S2

8a2 + a5 = 0

,设公比为 q ,将该式转化为 8a 2 + a 2 q = 0 ,解得 q =-2,带入所
3

求式可知答案选 A,本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前 n 项和公式 11. 【2010?重庆理数】在等比数列 {an } 中, a2010 = 8a2007 ,则公比 q 的值为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 【答案】A 【解析】

a 2010 =q 3 = 8 a 2007

∴q = 2

12.【2010?北京理数】在等比数列 {an } 中, a1 = 1 ,公比 q ≠ 1 .若 am = a1a2 a3 a4 a5 ,则 m= ( ) (B)10 (C)11 (D)12

(A)9 【答案】C

13.【2010?四川理数】已知数列 {an } 的首项 a1 ≠ 0 ,其前 n 项的和为 Sn ,且 S n +1 = 2 S n + a1 , 则 lim

an = n →∞ S n
(B)

(A)0 【答案】B

1 2

(C) 1

(D)2

【解析】由 S n +1 = 2 S n + a1 ,且 S n + 2 = 2 S n +1 + a1 作差得 an+2=2an+1 又 S2=2S1+a1,即 a2+a1=2a1+a1 ? a2=2a1 故{an}是公比为 2 的等比数列 - Sn=a1+2a1+22a1+……+2n 1a1=(2n-1)a1 则 lim

an 2 n ?1 a 1 = lim n 1 = n →∞ S n →∞ (2 ? 1) a 2 n 1

且 14. 【2010?天津理数】 已知 {an } 是首项为 1 的等比数列,sn 是 {an } 的前 n 项和, 9 s3 = s6 ,
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则数列 ?

?1? ? 的前 5 项和为( ) ? an ?
15 或5 8
(B)

(A)

31 或5 16

(C)

31 16

(D)

15 8

【答案】C 【解析】本题主要考查等比数列前 n 项和公式及等比数列的性质,属于中等题。 显然 q ≠ 1,所以

9(1 ? q 3 ) 1-q 6 1 1 = ? 1 + q 3 ? q = 2 ,所以 { } 是首项为 1,公比为 的 1-q 1? q an 2

1 1 ? ( )5 2 = 31 . 等比数列, 前 5 项和 T5 = 1 16 1? 2
15. 【2010?广东理数】 已知 {an } 为等比数列,Sn 是它的前 n 项和。若 a2 ? a3 = 2a1 , 且 a4 与 2 a7 的等差中项为 A.35 【答案】C 【解析】设{

5 ,则 S5 =( ) 4
B.33 C.31 D.29

an }的公比为 q ,则由等比数列的性质知,a2 ? a3 = a1 ? a4 = 2a1 ,即 a4 = 2 。由 a4

与2

a7

5 5 1 5 1 5 1 a4 + 2a7 = 2 × a7 = (2 × ? a4 ) = (2 × ? 2) = 4 ,即 2 4 2 4 4. 的等差中项为 4 知,
a7 1 1 1 = q= a4 = a1q 3 = a1 × = 2 a = 16 a4 8 ,即 2. 8 ,即 1 .

q3 =


16.【2010?全国卷 1 文数】已知各项均为正数的等比数列{ an }, a1a2 a3 =5, a7 a8 a9 =10,则

a4 a5 a6 =( )
(A) 5 2 【答案】A 【解析】 由等比数列的性质知 a1a2 a3 = (a1a3 )ia2 = a2 = 5 , 7 a8 a9 = (a7 a9 )ia8 = a8 = 10, a
3 3

(B) 7

(C) 6

(D) 4 2

所以 a2 a8 = 50 3 ,
3 所以 a4 a5 a6 = (a4 a6 )ia5 = a5 = ( a2 a8 )3 = (50 6 )3 = 5 2 1

1

17.【2010?湖北文数】已知等比数列{ am }中,各项都是正数,且 a1 ,
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1 a3 , 2a2 成等差数列, 2
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a9 + a10 = a7 + a8
B. 1 ? 2 C. 3 + 2 2 D3? 2 2

A. 1 + 2

18. 【2010?安徽理数】设 {an } 是任意等比数列,它的前 n 项和,前 2n 项和与前 3n 项和分别 为 X , Y , Z ,则下列等式中恒成立的是( ) A、 X + Z = 2Y C、 Y 2 = XZ 【答案】D 【解析】取等比数列 1, 2, 4 ,令 n = 1 得 X = 1, Y = 3, Z = 7 代入验算,只有选项 D 满足。 对于含有较多字母的客观题,可以取满足条件的数字代替字母,代入验证,若能排除 3 个选 项,剩下唯一正确的就一定正确;若不能完全排除,可以取其他数字验证继续排除.本题也可 以首项、公比即项数 n 表示代入验证得结论. 19. 【2010?福建理数】设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 a1 = ?11 , a4 + a6 = ?6 ,则当 Sn 取最小值时,n 等于( ) A.6 B.7 【答案】A C.8 D.9 B、 Y (Y ? X ) = Z ( Z ? X ) D、 Y (Y ? X ) = X ( Z ? X )

【解析】 设该数列的公差为 d , a4 + a6 = 2a1 + 8d = 2 × ( ?11) + 8d = ?6 , 则 解得 d = 2 , 所以 S n = ?11n +

n(n ? 1) × 2 = n 2 ? 12n = (n ? 6) 2 ? 36 ,所以当 n = 6 时,Sn 取最小值。 2

20.【2010·大连市三月双基测试卷】若数列 {a n } 的前 n 项和为 S n = an 2 + n( a ∈ R ) ,则下列 关于数列 {a n } 的说法正确的是 A. {a n } 一定是等差数列 ( )

B. {a n } 从第二项开始构成等差数列

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C. a ≠ 0 时, {a n } 是等差数列 【答案】A

D.不能确定其为等差数列

【解析】依题意,当 n≥2 时,由 S n = an + n( a ∈ R ) ,得 an = an + n ? a ( n ? 1) ? ( n ? 1)
2
2 2

= 2an ? a + 1 ,当 n=1 时,a1=a+1,适合上式,所以 {a n } 一定是等差数列,选择 A

21.【2010·茂名市二模】在等差数列 {an } 中,已知 a1 = 1, a2 + a4 = 10, an = 39, 则 n = ( ) A.19 【答案】B

B.20

C.21

D.22

【解析】 依题意, 设公差为 d, 则由 ? 选择 B

?a1 = 1 得d = 2, 所以 1+2 (n-1) =39, 所以 n=20, ?2a1 + 4d = 10

22. 【2010·北京宣武一模】若 {an } 为等差数列, Sn 是其前 n 项和,且 S11 = 为( A. 3 【答案】B 【解析】由 a1 + a11 = a2 + a10 = ? = a5 + a7 = 2a6 ,可得 S11 = 11a6 ,∴ a6 = 选择 B ) B. ? 3 C. ± 3 D. ?

22π ,则 tan a6 的值 3

3 3 2 π . tan a6 = ? 3 , 3

23.【2010·蚌埠市三检】等差数列 {an }中, 若a4 + a6 + a8 + a10 + a12 = 120, 则a9 ? ( ) A.14 【答案】C

1 a11 的值是 3

B.15

C.16

D.17

得 所以 a9 ? 【解析】 依题意, a4 + a6 + a8 + a10 + a12 = 120 , a8 = 24 , 由

1 1 a11 = (3a9 ? a11 ) 3 3

1 1 2 = (a9 + a7 + a11 ? a11 ) = (a9 + a7 ) = a8 = 16 ,选择 C 3 3 3
24. 【 2010· 福 建 省 宁 德 三 县 市 一 中 第 二 次 联 考 】 已 知 等 比 数 列 {a n } 的 前 三 项 依 次 为 a ? 1, a + 1, a + 4 ,则 a n = ( ) A. 4 ? ? ? 【答案】C 3 【解析】依题意,(a+1)2=(a-1)(a+4),所以 a=5,等比数列 {a n } 首项 a1=4,公比 q= 2 ,所以
? 3? ? 2?
n

B. 4 ? ? ?

? 2? ? 3?

n

C. 4 ? ? ?

? 3? ? 2?

n ?1

D. 4 ? ? ?

? 2? ? 3?

n ?1

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? 3? an = 4?? ? ? 2?

n ?1

,选择 C;

25.【2010·北京丰台一模】已知整数以按如下规律排成一列: (1 , 1) 、 (1 , 2 ) 、 ( 2 , 1) 、 (1 , 3) 、

( 2 , 2 ) , ( 3 , 1) , (1 , 4 ) , ( 2 , 3) , ( 3 , 2 ) , ( 4 , 1) ,……,则第 60 个数对是(
A. (10 , 1) 【答案】C 【解析】 B. ( 2 , 10 ) C. ( 5 , 7 ) D. ( 7 , 5)



6 5 4 3 2 1 O 2 5 6

1

3

4

因此第 60 项为 ( 5 , 7 ) .

根据题中规律,有 (1 , 1) 为第 1 项, (1 , 2 ) 为第 2 项, (1 , 3) 为第 4 项,…, (1 , 11) 为第 56 项,

26. 2010·北京市海淀区第二学期期中练习】已知等差数列 1,a, b ,等比数列 3,a + 2, b + 5 , 【 则该等差数列的公差为 ( ) A.3 或 ?3 B.3 或 ?1 C.3 D.-3 【答案】C 【解析】依题意得 1+b=2a,(a+2)2=3(b+5),联立解得 a= -2, b= -5(舍)或 a=4, b=7,所以, 则该等差数列的公差为 3,选择 C; 27.【2010·北京顺义区二模】已知等比数列 {an } 中,a2 = A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 依题意, 设公比为 q, 则由 a2 = 选择 C;

1 1 1 ,a3 = ,ak = ,则 k = ( 2 4 64

)

1 1 1 1 k ?1 1 ,a3 = , q= ,ak = ( ) = 得 , 解得 k = 7 2 4 2 2 64

28. 2010·石家庄市教学质量检测(二) 【 】已知等比数列 {a n } 满足 a1 = 1, a 2 ? a8 = 16 ,则 a17 等 于( ) A.128 【答案】C

B.16

C.256

D.64

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【解析】依题意,设 {a n } 公比为 q,则由 a1 = 1, a 2 ? a8 = 16 得,q8=16,所以 a17 = ( q ) =256,
8 2

选择 C 29. 2010 武汉市四月调研】 【 已知等差数列 {an }前n项的和为S n , a3 = A.

3 , S3 = 9, 则a1 =( 2



3 2

B.

9 2

C.—3

D.6

【答案】B

3 ? 9 3 ?a1 + 2d = 【解析】依题意,设首项为 a1,公差为 d,则 ? 2 ,解得 a1 = , d = ? ,选择 B 2 2 ?3a1 + 3d = 9 ?

a 30. 【2010·河北隆尧一中五月模拟】 等差数列 {an } 中, n 是其前 n 项和, 1 = ?11, S
则 S11 = A.-11 【答案】A ( B.11 ) C.10 D.-10

S10 S8 ? = 2, 10 8

【 解 析 】 S n = na1 +

Sn S S (n ? 1) = a1 + d , 由 10 ? 8 = 2 , 得 n 2 10 8 10 ? 1 8 ?1 S11 (11 ? 1) a1 + d ? (a1 + )d = 2 , d = 2 , = a1 + d = ?11 + 5 × 2 = ?1 , 2 2 11 2

n(n ? 1) d , 得 2

∴ S11 = ?11 ,选 A。
31.【2010·北京海淀一模】已知等差数列 1 , a , b ,等比数列 3 , a + 2 , b + 5 ,则该等差数列的 公差为( ) A. 3 或 ?3 B. 3 或 ?1 C. 3 D. ?3 【答案】C ? 2a = 1 + b ? 2 ?a = 4 ?( a + 2 ) = 3 ? ( b + 5) 【解析】 ? ,解得 ? .因此该等差数列的公差为 3 . ?b = 7 ?a + b ≠ 0 ?b + 5 ≠ 0 ? 32.【2010·广东省四月调研模拟】公差不为零的等差数列 {a n } 中, a 2 , a 3 , a 6 成等比数列, 则其公比 q 为( A.1 【答案】 C ) B.2 C.3 D.4
2

【 解 析 】 ∵ 等 差 数 列 {a n } 中 a 2 , a 3 , a 6 成 等 比 数 列 , ∴ a2 ? a6 = a3 , 即

(a1 + d )(a1 + 5d ) = (a1 + 2d ) 2 ? d (d + 2a1 ) = 0 , ∵ 公 差 a a + 2d ?3a1 = =3 ∴ d + 2a1 = 0 ? d = ?2a1 ,∴所求公比 q = 3 = 1 a2 a1 + d ?a1
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33.【2010·湖南师大附中第二次月考试卷】在等比数列{an}中,已知 a3=

1 ,a9=8,则 a5·a6·a7 2

的值为 ( ) A.±8 B.-8 C. 8 D.64 【答案】A 【解析】因为{an}为等比数列,则 a62=a5·a7=a3·a9=4,所以 a6=±2,a5·a6·a7=±8,故选 A.
3 a9 的值 = 243 ,则 a 11

34.【2010·哈尔滨市第九中学第三次模拟】在等比数列中,已知 a1 a a 15 为( A. 3 【答案】B ) B. 9

3 8

C. 27

D. 81
3 3 a9 a8 q 3 = = a82 = 9 ,选择 B 3 a11 a8 q

【解析】依题意,由 a1 a 8 a 15 = 243 得 a8 = 3 ,
3

35.【2010·河北隆尧一中四月模拟】已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若

a1 OA + a2009 OB + 2OC = 0 ,且 A、B、C 三点共线(该直线不过原点),则 S 2009 = ( )
A. 2009 【答案】C 【解析】 由 a1 + a2009 + 2 = 0 , a1 + a2009 = ?2 ,得 S 2009 = 36. 【2010·邯郸市二模】 设 A. 13 【答案】B 【解析】依题意,由 选择B B. 14 B. 2010 C. -2009 D. -2010

a1 + a2009 × 2009 = ?2009 。 2

{an } 为等差数列,Sn 为其前 n 项和, a1 + a2 + a5 + a8 = 8 , S7 = 且 则
C. 15 D. 16

a1 + a2 + a5 + a8 = 8

得 a3 + a5 = 4, S7 =

7(a1 + a7 ) 7(a3 + a5 ) = = 14 , 2 2

37.【2010·南宁市二模】设数列 {an } 是等差数列,且 a2=-8, a15=5, Sn 是数列 {an } 的前 n 项和, 则( ) A. S10 = S11 【答案】C 5+8 【解析】设公差为 d,则 d= 15-2 =1 ,所以 an=n-10,因此 S9 = S10 是前 n 项和中的最小值,选 择 C; B. S10 > S11 C. S9 = S10 D. S9 < S10

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38. 【2010·抚州市四月质检】 等比数列 的公比 q 等于 ( )

{an } 的前 n 项和为 S n , S1 , S 3 , S 2 成等差数列, {an } 若 则

A. 1
【答案】C

1 B. 2

C.
2

?

1 2

D. 2

【解析】依题意,由 2 S3 = S1 + S 2 得 2( a1 + a1q + a1q ) = a1 + a1 + a1q ,解得 q = ? 39. 【2010·北京东城一模】 已知数列 {an } 的通项公式 an = log3 则使 Sn < ?4 成立的最小自然数 n 等于( A. 83 【答案】C B. 82 ) C. 81 D. 80

1 ,选择C 2

n (n ∈ N* ) , 设其前 n 项和为 Sn , n +1

【 解 析 】 Sn = log3 1 ? log 3 2 + log 3 2 ? log 3 3 + ? + log 3 n ? log 3 ( n + 1) = ? log 3 ( n + 1) < ?4 , 解 得
n > 34 ? 1 = 80 .

40. 【2010·青岛市二摸】已知在等比数列 {an } 中, a1 + a3 = 10, a4 + a6 = 公比 q 的值为 A.

5 ,则等比数列 {an } 的 4

1 4

B.

1 2

C. 2

D. 8

【答案】B 【解析】依题意,设公比为 q,由于 a1 + a3 = 10, a4 + a6 = B 【2010 重庆八中第一次月考】在等差数列 {an } 中, a1 + a2 + a3 = 9 , a4 + a5 + a6 = 27 , 41. 则 a7 + a8 + a9 = A. 36 【答案】B ( ) C. 63 D. 81 a4+a6 1 1 5 ,所以 q3= a +a =8 ,q=2 ,选择 1 3 4

B. 45

【 解 析 】 依 题 意 , a1 + a2 + a3 , a4 + a5 + a6 , a7 + a8 + a9 构 成 等 差 数 列 , 所 以

a7 + a8 + a9 = 9+2×18=45,选择 B
42. 【2010·宁波市二模】等比数列的首项为 1 ,项数是偶数,所有的奇数项之和为 85 ,所有的 偶数项之和为 170 ,则这个等比数列的项数为 ( ) (A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 10 【答案】C 【解析】设等比数列项数为 2n 项,所有奇数项之和为 S 奇,所有偶数项之和为 S 偶,则 S 奇=85,
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1-4n S 偶=170,所以 q=2,因此 1-4 =85 ,解得 n=4,这个等比数列的项数为 8 ,选择 C

43 . 2010· 成 都 石 室 中 学 高 三 “ 三 诊 ” 模 拟 考 试 】 设 等 差 数 列 {a n } 的 前 n 项 和 为 【

S n , 若S 3 = 9, S 6 = 36, 则 a 7 + a8 + a 9 =
A.63 【答案】B B.45

( C.36

) D.27

【解析】依题意,S3,S6-S3,S9-S6 也构成等差数列,所以 a 7 + a8 + a 9 = S9-S6=9+2×18=45,选 择 B; 44. 【2010·拉萨中学第七次月考】等差数列{an}的公差不为零,首项 a1 = 1 , a 2 是a1和a 5 的等比 中项,则数列{an}的前 10 项之和是 A.90 B.100 【答案】B ( ) D.190

C.145

10×9 2 所以 S10=10+ 2 ×2 【解析】 依题意, 设等差数列公差为 d (d≠0) 则 , (1+d) =1+4d,解得 d=2, =100,选择 B; 45. 【2010·河北唐山一中三月月考】用数学归纳法证明“ 1 +

1 1 1 + +? + n <n, 2 3 2 ?1


(n ∈ N * , n > 1) ”时,由 n = k (k > 1) 不等式成立推证 n = k + 1 ,左边应增加的项数是(
A. 2
k ?1

B. 2

k

C. 2 +1

k

D. 2 -1

k

【答案】B 【解析】增加的项数为 (2k +1 ? 1) ? (2 k ? 1) = 2k +1 ? 2 k = 2 k . 46. 【2010·河南郑州市二模】一个 n 层台阶,若每次可上一层或两层,设所有不同上法的总 数为 f ( n) ,则下列猜想中正确的是( A. f ( n) = n )

B. f ( n) = f ( n ? 1) + f ( n ? 2) D. f ( n) =

C. f ( n) = f ( n ? 1) f ( n ? 2) 【答案】D

{

n n =1,2 f ( n ?1) + f ( n ? 2) n ≥3

【解析】当 n = 1 时, f (1) = 1 ,当 n = 2 时, f (2) = 2 ,当 n ≥ 3 时,由于每次只能上一层或 者两层,因此 f ( n) = f ( n ? 1) f ( n ? 2) ,故选 D. 47. 【2010?辽宁文数】设 Sn 为等差数列 {an } 的前 n 项和,若 S3 = 3,S6 = 24 ,则
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a9 =
【答案】15



3× 2 ? ? S3 = 3a1 + 2 d = 3 ? a1 = ?1 ? 【解析】 ? ,解得 ? ,∴ a9 = a1 + 8d = 15. ?d = 2 ? S = 6a + 6 × 5 d = 24 1 ? 6 2 ?
48. 【 2010 ? 辽 宁 理 数 】 已 知 数 列 {an } 满 足 a1 = 33, an +1 ? an = 2n, 则 __________. 【答案】

an 的最小值为 n

21 2

【解析】an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2[1+2+…(n-1)]+33=33+n2-n

an 33 = + n ?1 n n 33 ?33 设 f ( n) = + n ? 1 ,令 f (n) = 2 + 1 > 0 ,则 f (n) 在 ( 33, +∞) 上是单调递增, n n
所以 在 (0, 33) 上是递减的,因为 n∈N+,所以当 n=5 或 6 时 f ( n) 有最小值。 又因为

a5 53 a6 63 21 a a 21 = , = = ,所以, n 的最小值为 6 = 5 5 6 6 2 n 6 2

49. 【2010?浙江文数】在如下数表中,已知每行、每列中的树都成等差数列, 那么,位于下表中的第 n 行第 n+1 列的数是 【答案】 n + n
2

50. 【 2010 ? 天 津 文 数 】 设 {an} 是 等 比 数 列 , 公 比 q =

2 , Sn 为 {an} 的 前 n 项 和 。 记


Tn =

17 S n ? S 2 n , n ∈ N * . 设 Tn0 为数列{ Tn }的最大项,则 n0 = an +1

【答案】4 【解析】本题主要考查了等比数列的前 n 项和公式与通项及平均值不等式的应用,属于中等 题。

17a1[1 ? ( 2) n ] a1[1 ? ( 2) 2 n ] ? 1 ( 2)2 n ? 17( 2) n + 16 1? 2 1? 2 Tn = = ? a1 ( 2) n 1? 2 ( 2) n
= 1 16 16 ? [( 2) n + ? 17] 因为 ( 2) n + ≧8,当且仅当 ( 2) n =4,即 n=4 时取等 n n 1? 2 ( 2) ( 2)
?

号,所以当 n0=4 时 Tn 有最大值。 51. 【2010?湖南理数】若数列 {an } 满足:对任意的 n ∈ N ,只有有限个正整数 m 使得 am<n
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成立,记这样的 m 的个数为 ( an ) ,则得到一个新数列 ( an )

?

{

?

} .例如,若数列 {a } 是
n

1, 2,3…,n, … ,则数列 (an )? 是 0,1, 2, …,n ? 1, … .已知对任意的 n ∈ N? , an = n 2 ,则 (a5 )? = ((an )? )? =
, .

{

}

52. 【2010?福建理数】在等比数列 {a n } 中,若公比 q=4 ,且前 3 项之和等于 21,则该数列的通 项公式 an = 【答案】 4n-1 【解析】由题意知 a1 + 4a1 + 16a1 = 21 ,解得 a1 = 1 ,所以通项 an = 4n-1 。 【命题意图】本题考查等比数列的通项公式与前 n 项和公式的应用,属基础题。 53. 【2010?江苏卷) 】函数 y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与 x 轴交点的横坐标为 ak+1,k 为正整数,a1=16,则 a1+a3+a5=_________ 【答案】21 【解析】考查函数的切线方程、数列的通项。 在点(ak,ak2)处的切线方程为: y ? ak = 2ak ( x ? ak ), 当 y = 0 时,解得 x =
2



ak , 2

所以 ak +1 =

ak , a1 + a3 + a5 = 16 + 4 + 1 = 21 。 2
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54.【2010·河北隆尧一中三月月考】在数列 {an } 中, a1 = 2 , 公式 an = 【答案】

nan +1 = (n + 1)an , 则 {an } 通项

an = 3n ? 1

an +1 an 1 = + na = (n + 1)an 【解析】 n +1 两边同除以 n(n+1) , 得 n + 1 n n( n + 1) ,
bn = an n bn +1 = bn +



, 得

1 a b1 = 1 = 2 n(n + 1) , 1 ,

于 是

bn

= 3?

1 n



1 ∴ an = nbn = n(3 ? ) = 3n ? 1. n
55. 【2010·北京丰台一模】 设等比数列{an } 的公比为 【答案】 15
2 3 S 4 a1 (1 + q + q + q ) 1 + q + q 2 + q 3 【解析】 = = = 15 . a4 a1q 3 q3

q=

1 2 , n 项和为 S , S 4 = 前 则 n a4



56. 【2010 黄冈中学 5 月第一模拟考试】在等比数列 {an } 中,若 a7 + a8 + a9 + a10 =

15 , 8

9 1 1 1 1 a8 a9 = ? ,则 + + + = 8 a7 a8 a9 a10
【答案】 ? 【解析】



5 3

a7 + a10 a8 + a9 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + =( + )+( + ) = + a7 a8 a9 a10 a7 a10 a8 a9 a7 a10 a8 a9

=

a7 + a8 + a9 + a10 5 =? a8 a9 3

57.【2010·河北隆尧一中五月模拟】定义:我们把满足 a n + a n ?1 = k ( n ≥ 2, k 是常数)的数 列叫做等和数列,常数 k 叫做数列的公和.若等和数列 {a n } 的首项为 1,公和为 3,则该 数列前 2010 项的和 S 2010 = 【答案】3015 【解析】 a2 + a1 = 3, a4 + a3 = 3, ……a2010 + a2009 = 3, 得 S 2010 = .

2010 × 3 = 3015 。 2

58. 【2010长沙市第一中学第九次月考】公比为 4 的等比数列{bn}中,若 Tn 是数列{bn}的前
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n 项积,则有

T20 T30 T40 , , 仍成等比数列,且公比为 4100;类比上述结论,在公差为 3 的等 T10 T20 T30

差数列{an}中,若 Sn 是{an}的前 n 项和,则有_____________________________也成等差数 列,该等差数列的公差为 【答案】S20-S10,S30-S20,S40-S30 300 【解析】依题意,S20-S10,S30-S20,S40-S30 也构成等差数列公差为 100d=300; 59 . 2010· 北 京 丰 台 一 模 】 设 等 比 数 列 {an } 的 公 比 为 q = 【
S4 = a4
1 , 前 n 项 和 为 Sn , 则 2





【答案】 15 【解析】
2 3 S 4 a1 (1 + q + q + q ) 1 + q + q 2 + q 3 = = = 15 . a4 a1q 3 q3

60. 【2010·浙江省宁波市二模】在计算“ 到了如下一种方法: 先改写第 k 项: 由此得

1 1 1 + + ??? + (n ∈ N ? ) ”时,某同学学 1× 2 2 × 3 n(n + 1)

1 1 1 = ? , k (k + 1) k k + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = ? , = ? ,…, = ? , 1× 2 1 2 2 × 3 2 3 n(n + 1) n n + 1

相加,得

n 1 1 1 1 + +?+ = 1? = . n(n + 1) n +1 n +1 1× 2 2 × 3

类比上述方法,请你计算“ 其结果为 【答案】 .

1 1 1 + + ??? + (n ∈ N ? ) ”, 1× 2 × 3 2 × 3 × 4 n(n + 1)(n + 2)

n 2 + 3n 4(n + 1)(n + 2)
1 1 1 1 n 2 + 3n = [ ? ] ,相消得 n(n + 1)(n + 2) 2 n(n + 1) (n + 1)(n + 2) 4(n + 1)(n + 2)
*

【解析】裂项

61. 【2010?上海文数】已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 S n = n ? 5a n ?85 , n ∈ N (1)证明: {an ? 1} 是等比数列; (2)求数列 {S n } 的通项公式,并求出使得 S n +1 > S n 成立的最小正整数 n .

5 an ? 1 = (an ?1 ? 1) 6 , 解:(1) 当 n=1 时,a1=?14;当 n≥2 时,an=Sn?Sn?1=?5an+5an?1+1,所以
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又 a1?1=?15≠0,所以数列{an?1}是等比数列;
?5? an ? 1 = ?15 ? ? ? ?6? (2) 由(1)知: ?5? ? ? 由 Sn+1>Sn,得 ? 6 ?
n?1 n ?1

?5? an = 1 ? 15 ? ? ? ?6? ,得

n ?1

?5? Sn = 75 ? ? ? ?6? ,从而

n ?1

+ n ? 90

(n∈N*);

<

2 2 n > log 5 + 1 ≈ 14.9 25 5, 6 ,最小正整数 n=15.

62. 【2010?陕西文数】已知{an}是公差不为零的等差数列,a1=1,且 a1,a3,a9 成等比数列. an (Ⅱ)求数列{2 }的前 n 项和 Sn. (Ⅰ)求数列{an}的通项; 解 (Ⅰ)由题设知公差 d≠0,

1 + 2d 1 + 8d 由 a1=1,a1,a3,a9 成等比数列得 1 = 1 + 2d ,
解得 d=1,d=0(舍去) , (Ⅱ)由(Ⅰ)知 2
am

故{an}的通项 an=1+(n-1)×1=n.

=2n,由等比数列前 n 项和公式得

2(1 ? 2 n ) Sm=2+22+23+…+2n= 1 ? 2 =2n+1-2.
63. 【2010?重庆文数】已知 {an } 是首项为 19,公差为-2 的等差数列,Sn 为 {an } 的前 n 项和. (Ⅰ)求通项 an 及 Sn ; (Ⅱ) {bn ? an } 是首项为 1, 设 公比为 3 的等比数列, 求数列 {bn } 的通项公式及其前 n 项 和 Tn .

64. 【2010?北京文数】已知 | an | 为等差数列,且 a3 = ?6 , a6 = 0 。 (Ⅰ)求 | an | 的通项公式; (Ⅱ)若等差数列 | bn | 满足 b1 = ?8 , b2 = a1 + a2 + a3 ,求 | bn | 的前 n 项和公式

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解: (Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差 d 。 因为 a3 = ?6, a6 = 0 所以 ?

?a1 + 2d = ?6 ?a1 + 5d = 0

解得 a1 = ?10, d = 2

所以 an = ?10 + ( n ? 1) ? 2 = 2n ? 12 (Ⅱ)设等比数列 {bn } 的公比为 q 因为 b2 = a1 + a 2 + a3 = ?24, b = ?8 所以 ?8q = ?24 即 q =3

b1 (1 ? q n ) = 4(1 ? 3n ) 所以 {bn } 的前 n 项和公式为 S n = 1? q
65. 【2010?北京理数】 已知集合 S n = { X | X = ( x1 , x2 , …,xn ), x1 ∈ {0,1}, i = 1, 2, …, n}( n ≥ 2) 】 对于 A = ( a1 , a2 , …an , ) , B = (b1 , b2 , …bn , ) ∈ S n ,定义 A 与 B 的差为

A ? B = (| a1 ? b1 |,| a2 ? b2 |, … | an ? b n |);
A 与 B 之间的距离为 d ( A, B ) =


i ?1

| a1 ? b1 |

(Ⅰ)证明: ?A, B, C ∈ S n , 有A ? B ∈ S n ,且 d ( A ? C , B ? C ) = d ( A, B ) ; (Ⅱ)证明: ?A, B, C ∈ S n , d ( A, B ), d ( A, C ), d ( B, C ) 三个数中至少有一个是偶数 (Ⅲ) 设 P ? S n ,P 中有 m(m≥2)个元素,记 P 中所有两元素间距离的平均值为 证明: (P)≤ (P).

d

d

mn . 2(m ? 1)

(考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效) 证明: (I)设 A = ( a1 , a2 ,..., an ) , B = (b1 , b2 ,..., bn ) , C = (c1 , c2 ,..., cn ) ∈ S n 因为 ai , bi ∈ {0,1} ,所以 ai ? bi ∈ {0,1} , (i = 1, 2,..., n) 从而 A ? B = (| a1 ? b1 |,| a2 ? b2 |,...,| an ? bn |) ∈ S n

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又 d ( A ? C, B ? C ) =

∑ || a ? c |? | b ? c ||
i =1 i i i i

n

由题意知 ai , bi , ci ∈ {0,1} (i = 1, 2,..., n) . 当 ci = 0 时, || ai ? ci | ? | bi ? ci ||=|| ai ? bi | ; 当 ci = 1 时, || ai ? ci | ? | bi ? ci ||=| (1 ? ai ) ? (1 ? bi ) |=| ai ? bi |

所以 d ( A ? C , B ? C ) =

∑ | a ? b | = d ( A, B)
i =1 i i

n

(II)设 A = ( a1 , a2 ,..., an ) , B = (b1 , b2 ,..., bn ) , C = (c1 , c2 ,..., cn ) ∈ S n

d ( A, B ) = k , d ( A, C ) = l , d ( B, C ) = h .
记 O = (0, 0,..., 0) ∈ S n ,由(I)可知

d ( A, B ) = d ( A ? A, B ? A) = d (O, B ? A) = k d ( A, C ) = d ( A ? A, C ? A) = d (O, C ? A) = l d ( B, C ) = d ( B ? A, C ? A) = h
所以 | bi ? ai | (i = 1, 2,..., n) 中 1 的个数为 k , | ci ? ai | (i = 1, 2,..., n) 的 1 的 个数为 l 。 设 t 是使 | bi ? ai |=| ci ? ai |= 1 成立的 i 的个数,则 h = l + k ? 2t 由此可知, k , l , h 三个数不可能都是奇数, 即 d ( A, B ) , d ( A, C ) , d ( B, C ) 三个数中至少有一个是偶数。 (III) d ( P ) =

1 2 Cm

A, B∈P



d ( A, B ) ,其中

A , B∈P



d ( A, B ) 表示 P 中所有两个元素间距离的总和,

设 P 种所有元素的第 i 个位置的数字中共有 ti 个 1, m ? ti 个 0 则

A , B∈P



d ( A, B ) = ∑ ti (m ? ti )
i =1

n

由于 ti ( m ? ti ) ≤
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m2 (i = 1, 2,..., n) 4
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所以

A , B∈P



d ( A, B ) ≤

nm 2 4
2

1 从而 d ( P ) = 2 Cm

nm mn ∑P d ( A, B) ≤ 4C 2 = 2(m ? 1) A , B∈ m
*

66. 【2010?四川理数】已知数列{an}满足 a1=0,a2=2,且对任意 m、n∈N 都有 a2m-1+a2n-1=2am+n-1+2(m-n)2 (1)求 a3,a5; * (2)设 bn=a2n+1-a2n-1(n∈N ),证明:{bn}是等差数列; - * (3)设 cn=(an+1-an)qn 1(q≠0,n∈N ),求数列{cn}的前 n 项和 Sn. 解:(1)由题意,零 m=2,n-1,可得 a3=2a2-a1+2=6 再令 m=3,n=1,可得 a5=2a3-a1+8=20 * (2)当 n∈N 时,由已知(以 n+2 代替 m)可得 a2n+3+a2n-1=2a2n+1+8 于是[a2(n+1)+1-a2(n+1)-1]-(a2n+1-a2n-1)=8 即 bn+1-bn=8 所以{bn}是公差为 8 的等差数列 (3)由(1)(2)解答可知{bn}是首项为 b1=a3-a1=6,公差为 8 的等差数列 则 bn=8n-2,即 a2n+=1-a2n-1=8n-2 另由已知(令 m=1)可得

a2 n +1 + a1 -(n-1)2. 2 a + a2 n ?1 那么 an+1-an= 2 n +1 -2n+1 2 8n ? 2 = -2n+1 2
an= =2n - 于是 cn=2nqn 1. 当 q=1 时,Sn=2+4+6+……+2n=n(n+1) - 当 q≠1 时,Sn=2·q0+4·q1+6·q2+……+2n·qn 1. 两边同乘以 q,可得 qSn=2·q1+4·q2+6·q3+……+2n·qn. 上述两式相减得 - (1-q)Sn=2(1+q+q2+……+qn 1)-2nqn

1 ? qn =2· -2nqn 1? q
=2·

1 ? (n + 1)q n + nq n +1 1? q

所以 Sn=2·
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nq n +1 ? (n + 1)q n + 1 (q ? 1) 2
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?n(n + 1) (q = 1) ? 综上所述,Sn= ? nq n +1 ? ( n + 1) q n + 1 (q ≠ 1) ?2i (q ? 1)2 ?
67. 【2010?天津文数】在数列 {a n } 中,a1 =0,且对任意 k ∈ N ,a 2k ?1 , a 2k , a 2k+1 成等差数列,
*

其公差为 2k. (Ⅰ)证明 a 4 , a 5 , a 6 成等比数列; (Ⅱ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅲ)记 Tn =

22 32 n2 3 + + iii+ ,证明 < 2n ? Tn ≤ (n ≥ 2) 2 . a2 a3 an 2

【解析】本小题主要考查等差数列的定义及前 n 项和公式、等比数列的定义、数列求和等基 础知识,考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法, 满分 14 分。 解: 证由题设可知,a2 = a1 + 2 = 2 ,a3 = a2 + 2 = 4 ,a4 = a3 + 4 = 8 ,a5 = a4 + 4 = 12 , (I)

a6 = a5 + 6 = 18 。
从而

a6 a5 3 = = ,所以 a4 , a5 , a6 成等比数列。 a5 a4 2

(II)由题设可得 a2 k +1 ? a2 k ?1 = 4k , k ∈ N * 所以 a2 k +1 ? a1 = ( a2 k +1 ? a2 k ?1 ) + ( a2 k ?1 ? a2 k ?3 ) + ... ( a3 ? a1 )

= 4k + 4 ( k ? 1) + ... + 4 × 1 = 2k ( k + 1) , k ∈ N * .
由 a1 = 0 ,得 a2 k +1 = 2k ( k + 1) ,从而 a2 k = a2 k +1 ? 2k = 2k .
2

? n2 ? 1 n , n为奇数 ? n 2 ( ?1) ? 1 ? 2 所以数列 {an } 的通项公式为 an = ? 2 或写为 an = + ,n∈ N *。 2 4 ? n , n为偶数 ?2 ?
(III)由(II)可知 a2 k +1 = 2k ( k + 1) , a2 k = 2k ,
2

以下分两种情况进行讨论: (1) 当 n 为偶数时,设 n=2m ( m ∈ N *)
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若 m = 1 ,则 2n ? 若 m ≥ 2 ,则

k2 ∑ a = 2, k =2 k
n
2

m ( 2k ) + m?1 ( 2k + 1) = m 4k 2 + m?1 4k 2 + 4k + 1 k2 =∑ ∑ a k =1 a ∑ a ∑ 2k 2 ∑ 2k ( k + 1) k =2 k k =1 k =1 k =1 2k 2 k +1 n 2 m ?1 ? m ?1 ? 4 k 2 + 4k 1 ? 1?1 1 ?? = 2m + ∑ ? + = 2m + ∑ ? 2 + ? ? ? ? 2k ( k + 1) ? 2 ? k k ? 1 ?? k =1 ? 2 k ( k + 1) k =1 ? ?

1? 1? 3 1 = 2m + 2 ( m ? 1) + ?1 ? ? = 2n ? ? . 2? m? 2 n
所以 2n ?

∑a
k =2

n

k2
k

=

n 3 1 3 k2 + ,从而 < 2n ? ∑ < 2, n = 4, 6,8,.... 2 n 2 k = 2 ak

(2) 当 n 为奇数时,设 n = 2m + 1( m ∈ N *) 。

( 2m + 1) k 2 2 m k 2 ( 2m + 1) 3 1 = 4m ? ? + ∑a =∑a + a 2 2m 2m ( m + 1) k =2 k k =2 k 2 m +1
n 2 2

1 1 3 1 = 4m + ? = 2n ? ? 2 2 ( m ? 1) 2 n +1
n k2 3 1 3 k2 所以 2n ? ∑ = + ,从而 < 2n ? ∑ < 2, n = 3,5, 7,.... 2 n +1 2 k = 2 ak k = 2 ak n

综合(1)和(2)可知,对任意 n ≥ 2, n ∈ N *, 有

3 < 2n ? Tn ≤ 2. 2
*

68. 【2010?天津理数】在数列 {an } 中, a1 = 0 ,且对任意 k ∈ N . a2 k ?1 , a2 k , a2 k +1 成等差 数列,其公差为 d k 。 (Ⅰ)若 d k = 2k ,证明 a2 k , a2 k +1 , a2 k + 2 成等比数列( k ∈ N )
*

(Ⅱ)若对任意 k ∈ N , a2 k , a2 k +1 , a2 k + 2 成等比数列,其公比为 qk 。
*

【解析】本小题主要考查等差数列的定义及通项公式,前 n 项和公式、等比数列的定义、数 列求和等基础知识,考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论 的思想方法。满分 14 分。 解: (Ⅰ)由题设,可得 a

2k + 1

?a = 4k , k ∈ N * 。 2k ? 1
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所以 a

2k + 1

? a1 = (a ?a ?a ) + (a ) + ... + (a3 ? a1 ) 2k + 1 2 k ? 1 2k ? 1 2k ? 3

= 4k + 4( k ? 1) + ... + 4 × 1 =2k(k+1) 由 a1 =0,得 a

2k + 1

= 2k (k + 1), 从而a = a ? 2k = 2k 2 , a = 2(k + 1)2 . 2k 2k + 1 2k + 2

a a a k + 1 a2k + 2 k + 1 于是 2k + 1 = , = , 所以 2k + 2 = 2k + 1 。 a 2k k a 2k + 1 k a 2k + 1 a 2k
所以 d k = 2k时,对任意k ∈ N , a
*

2k

,a ,a 成等比数列。 2 k + 1 2k + 2

(Ⅱ)证法一: (i)证明:由 a

2k ? 1

, a2 k , a 成等差数列,及 a , a ,a 成等 2k + 1 2 k 2 k + 1 2k + 2

比数列,得 2a

a a , 2 = 2 k ? 1 + 2 k + 1 = 1 + qk =a +a 2k 2k ? 1 2k + 1 a a q 2k 2k k ?1
*

当 q1 ≠1 时,可知 qk ≠1,k ∈ N 从而

1 q k ?1

= 2?

1 1 q k ?1 ?1

=

q ?1 k ?1

1

+ 1, 即

1 q k ?1

?

q ?1 k ?1

1

= 1(k ≥ 2)

所以 ?

? ? 1 ? ? ? 是等差数列,公差为 1。 ? qk ? 1 ? ? ?
4 = 2, 1 =1.由(Ⅰ)有 2 q ?1 1

(Ⅱ)证明: a1 = 0 , a2 = 2 ,可得 a3 = 4 ,从而 q1 =

1 = 1 + k ? 1 = k , 得q = k + 1 , k ∈ N * k q k k ?1
2 a a a ( ) 2k + 2 = 2k + 1 = k + 1 , 从而 2k + 2 = k + 1 ,k ∈ N * 所以 a a k a k2 2k + 1 2k 2k

因此,

a2 k =

a a k2 (k ? 1) 2 22 . 2k ? 2 .... 4 .a = . ... .2 = 2k 2 .a = a . k + 1 = 2k (k + 1), k ∈ N * 2 (k ? 1)2 (k ? 2) 2 12 2k + 1 2k k a a a 2k ? 2 2k ? 4 2

a 2k

以下分两种情况进行讨论: (1) 当 n 为偶数时,设 n=2m( m ∈ N )
*

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若 m=1,则 2n ? 若 m≥2,则

k2 ∑ a = 2. k =2 k
n

m m k2 (2k ) 2 m ?1 (2k + 1) 2 4k 2 =∑ 2 + ∑a =∑ a +∑ a k =2 k k =1 k =1 k =1 2 k 2k 2 k +1 n
m ?1 m ?1 ? 4k 2 + 4k ? 4 k 2 + 4k + 1 1 ? 1?1 1 ?? = 2m + ∑ ? + = 2m + ∑ ? 2 + ? ? ∑ 2k (k + 1) ? ? 2k (k + 1) ? 2 ? k k + 1 ?? k =1 k =1 ? 2 k ( k + 1) k =1 ? ? m ?1

1 1 3 1 = 2m + 2(m ? 1) + (1 ? ) = 2n ? ? 2 m 2 n.
所以 2n ?
n k2 3 1 3 k2 = + , 从而 < 2n ? ∑ < 2, n = 4, 6,8... ∑a 2 n 2 k =2 k k = 2 ak n
*

(2)当 n 为奇数时,设 n=2m+1( m ∈ N )

k 2 2 m k 2 (2m + 1) 3 1 (2m + 1) 2 =∑ + = 4m ? ? + ∑ a k =2 a a 2 2m 2m(m + 1) k =2 k k 2 m +1
n 2

= 4m +

1 1 3 1 ? = 2n ? ? 2 2(m + 1) 2 n +1

所以 2n ?

∑a
k =2

n

k2
k

=

n 3 1 3 k2 + , 从而 < 2n ? ∑ < 2, n = 3,5, 7 ·· · 2 n +1 2 k = 2 ak n 3 k2 < 2n ? ∑ ≤ 2 2 k = 2 ak

综合(1) (2)可知,对任意 n ≥ 2 , n ∈ N ,有

?

证法二: (i)证明:由题设,可得 d k = a2 k +1 ? a2 k = qk a2 k ? a2 k = a2 k ( qk ? 1),

d k +1 = a2 k + 2 ? a2 k +1 = qk 2 a2 k ? qk a2 k = a2 k qk (qk ? 1), 所以 d k +1 = qk d k

qk +1 =

a2 k +3 a2 k + 2 + d k +1 d d q ?1 = = 1 + 2k +1 = 1 + k = 1 + k a2 k + 2 a2 k + 2 qk a2 k qk a2 k qk q 1 1 = k ? =1, qk +1 ? 1 qk ? 1 qk ? 1 qk ? 1 1 ?

由 q1 ≠ 1 可知 qk ≠ 1, k ∈ N * 。可得

所以 ?

? 1 ? ? 是等差数列,公差为 1。 ? qk ? 1 ?

(ii)证明:因为 a1 = 0, a2 = 2, 所以 d1 = a2 ? a1 = 2 。
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所以 a3 = a2 + d1 = 4 ,从而 q1 =

? 1 ? a3 1 = 2, = 1 。于是,由(i)可知所以 ? ? 是公 a2 q1 ? 1 ? qk ? 1 ?
1 k +1 = 1 + ( k ? 1) = k ,故 qk = 。 qk ? 1 k

差为 1 的等差数列。由等差数列的通项公式可得

从而

d k +1 k +1 = qk = 。 dk k dk d d d k k ?1 2 = k . k ?1 ........ 2 = . ...... = k ,由 d1 = 2 ,可得 d1 d k ?1 d k ? 2 d1 k ? 1 k ? 2 1

所以

d k = 2k 。
于是,由(i)可知 a2 k +1 = 2k ( k + 1) , a2 k = 2k , k ∈ N *
2

以下同证法一。 69. 2010?山东理数】 【 已知等差数列 {an } 满足:a3 = 7 ,a5 + a7 = 26 , an } 的前 n 项和为 Sn . { (Ⅰ)求 an 及 Sn ; (Ⅱ)令 bn=

1 (n ∈ N*),求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . an ? 1
2

解:(Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差为 d,因为 a3 = 7 , a5 + a7 = 26 ,所以有

?a1 + 2d = 7 ,解得 a1 = 3,d = 2 , ? 2a1 + 10d = 26 ?
所以 an = 3 + (n ? 1)=2n+1 ; Sn = 3n+ 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 an = 2n+1 ,所以 bn=

n(n-1) × 2 = n 2 +2n 。 2 1 1 1 1 1 1 1 = = ? = ?( ), 2 an ? 1 (2n+1) ? 1 4 n(n+1) 4 n n+1
2

所以 Tn =

1 1 1 1 1 1 1 1 n ? (1- + ? + ? + ) = ? (1)= , 4 2 2 3 n n+1 4 n+1 4(n+1)

70.

【 2010 ? 湖 南 理 数 】 数 列

{an } (n ∈ N * )

中 ,

是 函 数

f n ( x) =

1 3 1 x ? (3an + n 2 ) x 2 + 3n 2 an x 的极小值点 3 2

(Ⅰ)当 a=0 时,求通项 an ;

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(Ⅱ)是否存在 a,使数列 {an } 是等比数列?若存在,求 a 的取值范围;若不存在,请 说明理由。

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71. 【2010?江苏卷】设各项均为正数的数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,已知 2a 2 = a1 + a 3 ,数 列

{ S }是公差为 d 的等差数列。
n

; (1)求数列 {a n } 的通项公式(用 n, d 表示) (2) c 为实数, 设 对满足 m + n = 3k且m ≠ n 的任意正整数 m, n, k , 不等式 S m + S n > cS k 都 成立。求证: c 的最大值为

9 。 2

【解析】本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识,考查探索、分 析及论证的能力。 解: (1)由题意知: d > 0 ,

S n = S1 + (n ? 1)d = a1 + (n ? 1)d

2a2 = a1 + a3 ? 3a2 = S3 ? 3( S 2 ? S1 ) = S3 , 3[( a1 + d ) 2 ? a1 ]2 = ( a1 + 2d ) 2 ,
化简,得: a1 ? 2 a1 ? d + d = 0, a1 = d , a1 = d
2 2

S n = d + (n ? 1)d = nd , S n = n 2 d 2 ,

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当 n ≥ 2 时, an = S n ? S n ?1 = n d ? ( n ? 1) d = (2n ? 1) d ,适合 n = 1 情形。
2 2 2 2 2

故所求 an = (2n ? 1) d (2) (方法一)

2

S m + S n > cS k ? m 2 d 2 + n 2 d 2 > c ? k 2 d 2 ? m2 + n 2 > c ? k 2 , c <

m2 + n2 恒成立。 k2

m2 + n2 9 又 m + n = 3k且m ≠ n , 2( m + n ) > ( m + n) = 9k ? > , k2 2
2 2 2 2

故c ≤

9 9 ,即 c 的最大值为 。 2 2 a1 + (n ? 1)d ,得 d > 0 , S n = n 2 d 2 。

(方法二)由 a1 = d 及 S n =

于是,对满足题设的 m, n, k , m ≠ n ,有

( m + n) 2 2 9 2 2 9 Sm + Sn = (m + n )d > d = d k = Sk 。 2 2 2
2 2 2

9 。 2 9 3 3 另一方面,任取实数 a > 。设 k 为偶数,令 m = k + 1, n = k ? 1 ,则 m, n, k 符合条件, 2 2 2 3 1 2 2 2 2 2 3 2 2 2 且 S m + S n = ( m + n ) d = d [( k + 1) + ( k ? 1) ] = d (9k + 4) 。 2 2 2
所以 c 的最大值 cmax ≥ 于是,只要 9k + 4 < 2ak ,即当 k >
2 2

2 1 2 2 时, S m + S n < d ? 2ak = aS k 。 2 2a ? 9

所以满足条件的 c ≤ 因此 c 的最大值为

9 9 ,从而 cmax ≤ 。 2 2

9 。 2

72.【2010·重庆八中第四次月考】设数列 {an } 满足: a1 + 2a2 + 3a3 + ? + nan = 2n (n ∈ N * ) . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn = n 2 an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn . 解: (1)∵ a1 + 2a2 + 3a3 + ? + nan = 2 ①,∴ n ≥ 2 时,
n

a1 + 2a2 + 3a3 + ? + (n ? 1)an ?1 = 2 n ?1 ②

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①—②得 nan = 2

n ?1

, an =

2n ?1 (n ≥ 2) ,在①中令 n = 1 得 a1 = 2 , n

?2(n = 1) ? ∴ an = ? 2 n ? 2 (n ≥ 2) ? ? n
(2)∵ bn = ?

? 2(n = 1)
n ?1 ? n ? 2 (n ≥ 2)

则当 n = 1 时, S1 = 2
2 n ?1

∴当 n ≥ 2 时, S n = 2 + 2 × 2 + 3 × 2 + ? + n × 2 则 2 S n = 4 + 2 × 2 + 3 × 2 + ? + ( n ? 1) ? 2
2 3 n ?1

+ n ? 2n

相减得 S n = n ? 2 ? (2 + 2 + 2 + ? + 2
n 2 3

n ?1

) = (n ? 1)2n + 2(n ≥ 2) (n ∈ N * )

又 S1 = 2

∴ S n = ( n ? 1) ? 2 + 2
n

73.【2010·福建省宁德三县市一中第二次联考】已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a3=5, S15=225。 (1)求数列{an}的通项 an; (2)设 bn= 2 n +2n,求数列{bn}的前 n 项和 Tn。
a

? a1 + 2 d = 5 ? 解: (1)设等差数列{an}首项为 a1,公差为 d,由题意,得 ? ,解得 15 × 14 ?15a1 + 2 d = 225 ?

?a1 = 1 ,∴an=2n-1 ; ? ?d = 2
(2) bn = 2 ∴
an

+ 2n =

1 n ? 4 + 2n , 2 = 1 ( 4 + 4 2 + ? + 4 n ) + 2(1 + 2 + ? + n) 2

Tn = b1 + b2 + ? + bn

=

4 n +1 ? 4 + n2 + n 6 = 2 n 2 ? 4 + n2 + n ? 3 3

74.【2010·北京石景山一模】在数列 {an } 中, a1 = 3 , an = ? an ?1 ? 2n + 1 (n ≥ 2 且 n ∈ N* ) .
⑴求 a2 , a3 的值;

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⑵证明:数列 {an + n} 是等比数列,并求 {an } 的通项公式;⑶求数列 {an } 的前 n 项和 Sn . 解:⑴∵ a1 = 3 ,an = ? an ?1 ? 2n + 1 (n ≥ 2 , n ∈ N* ) ,∴ a2 = ? a1 ? 4 + 1 = ?6 ,a3 = ? a2 ? 6 + 1 = 1 .
⑵∵
an + n (? an ?1 ? 2n + 1) + n ? an ?1 ? n + 1 = = = ?1 ,∴数列 {an + n} 是首项为 a1 + 1 = 4 , an ?1 + (n ? 1) an ?1 + n ? 1 an ?1 + n ? 1

公 比 为 ?1 的 等 比 数列 . ∴ an + n = 4 ? (?1)n ?1 , 即 an = 4 ? (?1) n ?1 ? n , ∴ {an } 的 通 项公 式为
an = 4 ? (?1) n ?1 ? n (n ∈ N* ) .

⑶∵ {an } 的通项公式为 an = 4 ? (?1) n ?1 ? n (n ∈ N* ) ,所以,
Sn = ∑ ak = ∑ [4 ? (?1) k ?1 ? k ] = ∑ [4 ? ( ?1) k ?1 ] ? ∑ k
k =1 k =1 k =1 k =1 n n n n

1 ? (?1) n n(n + 1) 1 n2 + n ? 4 = 4× ? = 2 ?1 ? ( ?1) n ? ? ( n 2 + n) = ? ? 2(?1)n . ? ? 2 1 ? (?1) 2 2

【 楚雄一中、 昆三中五月联考】 在等比数列 {a n } 中,a n > 0( n ∈ N *) , 75. 2010·云南省玉溪一中、 公比 q ∈ (0,1) ,且 a 3 + a 5 = 5 ,又 a3 与 a5 的等比中项为 2 。 (1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)设 b n = 5 ? log 2 a n ,数列 {bn } 的前 n 项和为 S n ,求数列 {S n } 的通项公式;

1 1 1 + +?+ ,求 Tn . S1 S 2 Sn 解: 1) a n > 0,∴ a3 + a 5 = 5 ,又 a3 与 a5 的等比中项为 2 ,∴ a 3 a 5 = 4 ( , 而 1 1 q ∈ (0,1) , ∴ a 3 > a 5 ,∴ a3 = 4, a 5 = 1 , ∴ q = , a1 = 16 , ∴ a n = 16 × ( ) n ?1 = 2 5? n 2 2
(3)设 Tn = ; (2) bn = 5 ? log 2 an = 5 ? (5 ? n) = n ,∴ bn +1 ? bn = 1 ,∴ {bn } 是以 b1 = 1 为首项,1 为公

n(n + 1) ; 2 2 (3)由(2)知 1 = = 2( 1 ? 1 ) S n n(n + 1) n n +1
差的等差数列∴ S n =

∴ Tn =

1 1 1 1 1 1 1 1 + +? + = 2[(1 ? ) + ( ? ) + ? + ( ? )] 2 2 3 S1 S 2 Sn n n +1 1 2n = 2(1 ? )= ; n +1 n +1

76.【2010·石家庄市教学质量检测(二) 】已知数列 {a n } 满足 S n + S n ?1 = ta n (t>0,n≥2) ,且
2

a1 = 0 ,n≥2 时, a n >0.其中 S n 是数列 a n 的前 n 项和.
(I)求数列 {a n } 的通项公式; (III)若对于 n≥2,n∈N *,不等式

1 1 1 + +?+ < 2 恒成立,求 t 的取值 a 2 a3 a3 a 4 a n a n +1

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范围.
2 ? ?S n + S n ?1 = ta n ; (n ≥ 2) 解: I) ( 依题意, ? 2 ?S n?1 + S n ? 2 = ta n?1 . ?

(1) ( 2)

, (1) (2) a n + a n ?1 = t a n ? a n ?1 ) - 得 (
2 2

1 (n≥3) ,由已知 a n + a n ?1 ≠ 0 ,故 a n ? a n ?1 = t (n≥3) ,



a1 = 0



1 2 2 S 2 + S1 = ta 2 ,得 a 2 = ta 2 , ∴ a 2 = 0(舍)或a 2 = . , 即数列 {a n } 从第二项开始 t 1 1 是首项为 ,公差为 t 的等差数列. t n ?1 n ?1 1?1 所以 an = (n ≥ 2) ,又当 n = 1 时, a1 = = 0. ,所以 a n = (n ∈ N * ). 。 t t t
( II ) 设

Tn =

1 1 1 + +?+ a 2 a3 a3 a 4 a n a n +1
要 使

t2 t2 t2 t2 1 = + + +?+ = t 2 (1 ? ) 1× 2 2 × 3 3 × 4 (n ? 1) × n n
Tn < 2 ,对于 n ≥ 2, n ∈ N * 恒成立,
只要 Tn = t (1 ?
2

1 ) < t 2 ≤ 2 成立, 所 n



0<t ≤ 2
77. 【2010·银川一中二模】在数列 {an } 中, a1 = 2 , an +1 = 4an ? 3n + 1 , n ∈ N .
*

(1)证明数列 {an ? n} 是等比数列; (2)设数列 {an } 的前 n 项和 Sn ,求 S n +1 ? 4 S n 的最大值。 解: (1)由题设 an +1 = 4an ? 3n + 1 ,得 an +1 ? ( n + 1) = 4( an ? n) , n ∈ N .又 a1 ? 1 = 1 ,所
*

以数列 {an ? n} 是首项为 1 ,且公比为 4 的等比数列. (2) (Ⅰ) 由 可知 an ? n = 4 的前 n 项和 S n =
n ?1

, 于是数列 {an } 的通项公式为 an = 4

n ?1

+n. 所以数列 {an }

4n ? 1 n(n + 1) + . 3 2

Sn +1 ? 4Sn =
最大 0.

? 4n ? 1 n(n + 1) ? 4n +1 ? 1 (n + 1)(n + 2) 1 2 + ? 4? + ? = ? (3n + n ? 4) , 故 n=1, 3 2 2 ? 2 ? 3

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78. 【2010·湖南师大附中第二次月考试卷】设数列 {a n } 的各项都为正数,其前 n 项和为 S n , 已知对任意 n ∈ N * , S n 是 a n 和 a n 的等差中项.
2

(Ⅰ)证明数列 {a n } 为等差数列,并求数列 {a n } 的通项公式; (Ⅱ)证明

1 1 1 + +?+ < 2; S1 S 2 Sn

(Ⅲ) 设集合 M = {m m = 2k , ∈ Z , 1000 ≤ k < 1500} , k 且 若存在 m ∈M, 使对满足 n > m
2 an 恒成立,求这样的正整数 m 共有多少个? 2 2 解: (Ⅰ)由已知, 2 S n = a n + a n ,且 an > 0 .,当 n = 1 时, 2a1 = a12 + a1 ,解得 a1 = 1 。

的一切正整数 n ,不等式 S n ? 1005 >

当 n ≥ 2 时 , 有 2 S n ?1 = a n ?1 + a n ?1 . 于 是 2 S n ? 2 S n ?1 = a n ? a n ?1 + a n ? a n ?1 , 即
2 2 2 2 2 2a n = a n ? a n ?1 + a n ? a n ?1

.





2 2 a n ? a n ?1 = a n + a n ?1





=n. 2 1 1 (Ⅱ)因为 a n = n ,则 S n = ) .,所以 = 2( ? n(n + 1) n n +1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + +?+ = 2( [(1 ? ) + ( ? ) + ? + ( ? ) < 2; )] = 2(1 ? S1 S 2 Sn 2 2 3 n n +1 n +1
(Ⅲ)由 S n ? 1005 >
2 an n(n + 1) n2 n ,得 ? 1005 > ,即 > 1005 ,所以 n > 2010 . ,由题 2 2 2 2

{a n }是首项为1 ,公差为1 的等差数列,且 a n

(a n + a n ?1 )(a n ? a n ?1 ) = a n + a n ?1 。因为 a n + a n?1 > 0 ,所以 a n ? a n ?1 = 1(n ≥ 2) .故数列

设, = { 2000 , M 2002 , 2008 ,2010 ,2012 , 2998 } , …, …, 因为 m ∈M, 所以 m = 2010 ,

2012 ,…, 2998 均满足条件,且这些数组成首项为 2010 ,公差为 2 的等差数列.设这个等差
数列共有 k 项, 2010 + 2( k ? 1) = 2998 , 则 解得 k = 495 . 故集合 M 中满足条件的正整数 m 共有 495 个。 79. 2010 青岛市二摸】 【 已知函数 f ( x ) = ax 2 + bx ( a ≠ 0) 的导函数 f ′( x ) = ?2 x + 7 ,数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,点 Pn ( n, S n )(n ∈ N ) 均在函数 y = f (x ) 的图象上. (Ⅰ)求数列 {a n } 的通项公式及 Sn 的最大值; (Ⅱ)令 bn =
?

2an ,其中 n ∈ N ? ,求 {nbn } 的前 n 项和.

解:(Ⅰ)∵ f ( x ) = ax 2 + bx ( a ≠ 0) ,∴ f ′( x ) = 2ax + b ,由 f ′( x ) = ?2 x + 7 得: a = ?1, b = 7 , 所以 f ( x ) = ? x 2 + 7 x ,又因为点 Pn ( n, S n )(n ∈ N ) 均在函数 y = f (x ) 的图象上,所以有
?

Sn = ?n 2 + 7n



当 n = 1 时 , a1 = S1 = 6



当 n ≥ 2 时 , an = S n ? S n ?1 = ?2n + 8 ,

∴ an = ?2n + 8(n ∈ N? ) -,令 an = ?2n + 8 ≥ 0 得 n ≤ 4 ,∴ 当 n = 3 或 n = 4 时, Sn 取得最大值

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12 ,综上, an = ?2n + 8(n ∈ N? ) ,当 n = 3 或 n = 4 时, Sn 取得最大值 12 ;
(Ⅱ)由题意得 b1 =

26 = 8, bn = 2?2 n +8 = 2? n + 4 ,所以

bn +1 1 = ,即数列 {bn }是首项为 8 ,公比 bn 2



1 3 2 ? n+ 4 的等比数列,故 {nbn } 的前 n 项和 Tn = 1× 2 + 2 × 2 + ? + n × 2 , ① 2

1 Tn = 1× 2 2 + 2 × 2 + ? + (n ? 1) × 2? n + 4 + n × 2? n +3 ② 2 1 所 以 ① ? ② 得 : Tn = 23 + 22 + ? + 2? n + 4 ? n × 2? n + 3 2 1 16[1 ? ( ) n ] 2 ? n ? 24 ? n = 32 ? (2 + n)2 4? n ∴Tn = 1 1? 2 。
80. 【2010·河北省石家庄市二模】各项都为正数的数列 {an } ,满足 a1 = 1, an +1 ? an = 2.
2 2



(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)证明

1 1 1 + + ? + ≤ 2n ? 1 对一切 n ∈ N ? 恒成立. a1 a2 an
2 2
2

解: (Ⅰ)∵ a n +1 ? a n = 2 ,∴ {a n } 为首项为 1,公差为 2 的等差数列, ∴ a n = 1 + ( n ? 1) × 2 = 2n ? 1 ,又 a n > 0 ,则 a n =
2

2n ? 1.

(Ⅱ)只需证: 1 +

1 3

+?+

1 2n ? 1

≤ 2n ? 1 .

① 当 n =1 时,左边=1,右边=1,所以命题成立. 当 n =2 时,左边<右边,所以命题成立 ②假设 n =k 时命题成立,即 1 +

1 3

+?+

1 2k ? 1
+

≤ 2k ? 1 ,

当 n=k+1 时,左边= 1 +

1 3
.

+?+

1 2k ? 1

1 2k + 1

≤ 2k ? 1 +

1 2k + 1

< 2k ? 1 +

2 2k + 1 + 2 k ? 1

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= 2k ? 1 +

2( 2 k + 1 ? 2 k ? 1) = 2k + 1 = 2(k + 1) ? 1 .命题成立 2
*

由①②可知,对一切 n ∈ N 都有 1 +

1 3

+?+

1 2n ? 1

≤ 2n ? 1 成立

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