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二项式定理

时间:2015-02-11


《高考数学名师冲刺》 2013 年高考新课标 (理科)

第二节 二项式定理 考纲要求:
(1)能用计数原理的思想理解二项式定理 (2)会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题

知识梳理:
1.二项式定理及其特例:
0 n 1 n?1 r n ?r r n n (1) (a ? b)n ? Cn a ?

Cn a b ??? Cn a b ??? Cn b (n ? N * ) 1 r r n n (2) (1 ? x)n ? 1 ? Cn x ??Cn x ??? Cn b (n ? N * )
r n ?r r 2.二项展开式的通项 公式: Tr ?1 ? Cn a b

3.求常数项、有理项和系数最大的项时,要根据通项公式讨论对 r 的限制;求 有理项时要注意到指数及项数的整数性 4.二项式系数表(杨辉三角)
王新敞
奎屯 新疆

(a ? b) n 展开式的二项式系数,当 n 依次取 1,2,3? 时,二项
式系数表,表中 每行两端都 是 1,除 1 以外的每一个数都 等于它肩上两个数的和
王新敞
奎屯 新疆

2.二项式系 数的性质:
r 0 1 2 n 可以看成 (a ? b)n 展开式的二项式系数是 Cn , Cn , Cn , Cn ,?, Cn

以 r 为自变量的函数 f (r ) 定义域是 ?0,1,2,?, n? 例当 n ? 6 时,其图象是 7 个孤立的点(如 图)
m n ?m (1)对称性.与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等 (?Cn ? Cn ),

直线 r ?

n 是图象的对称轴. 2

n(n ? 1)( n ? 2)? (n ? k ? 1) k ?1 n ? k ? 1 k ? Cn 相对 ?Cn k! k n ? k ?1 n ? k ?1 n ?1 k ?1 ?1? k ? 于 Cn 的增减情况由 决定, , k k 2
k ? (2)增减性与最大值.? Cn

650 尊重个性,用爱和责任诠释个性,让每个孩子自由飞翔??

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当k ?

n ?1 时,二项式系数逐渐增大.由对称性知它的后半部分是逐渐减小的, 2
n n ?1 n ?1

且在中间取得最大值; 当 n 是偶数时,中间一项 C n2 取得最大值;当 n 是奇数时,中间两项 Cn 2 , Cn 2 取 得最大值. (3)各二项式系数和:
1 r r ?(1 ? x)n ? 1 ? Cn x ??? Cn x ??? xn ,
0 1 n 令 x ? 1, 则 2n ? Cn ? Cn ? ?? Cn

王新敞
奎屯

新疆

1、二项式系数的性质 性质 1

(a ? b)n 的二项展开式中,与首末两端“等距离”的两项的二项
m n ?m 式系数相等,即 Cn ? Cn

性质 2

二项式系数表中,除两端以外其余位置的数都等于它肩上两个
m m?1 m 数之和,即 Cn ? Cn ? Cn ?1

性质 3

(a ? b)n 的二项展开式中,所有二项式系数的和等于 2n ,即
0 1 n 2n ? Cn ? Cn ? ?? Cn

王新敞
奎屯

新疆

(令 a ? b ? 1 即得,或用集合的子集个数的两种计算方法结果相等来解释) 性质 4 奇数项的二项式系数的和等于偶数项 (a ? b)n 的二项展开式中, 的二项式系数的和,即
0 2 2r 1 3 2 r ?1 Cn ? Cn ? ?? Cn ?? ? Cn ? Cn ??? Cn ?? ? 2n?1

(令 a ? 1, b ? ?1 即得) 性质 5

(a ? b)n 的二项展开式中,当 n 为偶数时,中间一项的二项式系
n n ?1

数 C n2 取得最大值; 当 n 为奇数时, 中间两项的二项式系数 Cn 2

C

n ?1 2 n

相等,且同时取得最大值 .(即中间项的二项式系数最大)

典型例题:
651 尊重个性,用爱和责任诠释个性,让每个孩子自由飞翔??

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1 ? ? 例 1 在二项式 ? x ? 4 ? 的展开式中,前三项的系数成等差数列,求展 2 x? ?
开式中所有有理项. 解析:二项式的展开式的通项公式为:

n

Tr ?1 ? C ( x )
r n

n?r

?3r 1 2 n4 ? 1 ? x ? 4 ? ? Cr n r 2 ?2 x ?

r

前三项的 r ? 0,1,2. 得系数为: t1 ? 1, t 2 ? C1 n 由已知: 2t 2 ? t1 ? t 3 ∴n ? 8 通项公式为
r Tr ?1 ? C8

1 1 1 1 ? n, t3 ? C 2 ? n(n ? 1) , n 2 2 4 8 1 n ? 1 ? n(n ? 1) , 8

1 x 2r

16 ?3 r 4

r ? 0,1,2?8, Tr ?1 为有理项,故 16 ? 3r 是 4 的倍数,

∴ r ? 0,4,8.
1 35 1 ?2 1 2 x? x, T9 ? C8 ? x . 8 8 x 4 2 8 2 256 说明:本题通过抓特定项满足的条件,利用通项公式求出了 r 的取值,得到
4 依次得到有理项为 T1 ? x 4 , T5 ? C8

了有理项.类似地, ( 2 ? 3 3)100 的展开式中有多少项是有理项?可以通过抓通 项中 r 的取值,得到共有 17 项.
10

1 ? ? 变式训练: 求 ? x ? 3 ? 的展开式中,系数绝对值最大的项以及系数最 2 x? ?
大的项. 解析:展开式的通项公式为: Tr ?1 ? C (?1) ? 2 ? x
r 10 r
r 系数的绝对值为 C10 ? 2?r ,记为 t r ?1 .

?r

30 ?5 r 6

用前后两项系数的绝对值作商得:

tr ?2 tr ?1


?

r ?1 r ?1 C10 ? 2?( r ?1) C10 10! r!(10 ? r )! 10 ? r ? ? ? ? . r ?r r C10 ? 2 2C10 (r ? 1)!?(9 ? r )! 2 ?10! 2(r ? 1)

10 ? r ?1 2(r ? 1)

得: r ?

8 3

即 r ? 0 、1、2 时,上述不等式成立.

所以,系数的绝对值从第 1 项到第 4 项增加,以后逐项减小.
652 尊重个性,用爱和责任诠释个性,让每个孩子自由飞翔??

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系数绝对值最大的项为第 4 项, T4 ? C (?1) 2 x ? ?15x .
4 10 3

?3

5 2

5 2

从系数绝对值的变化情况及系数的正负交替,只要比较第 3 项与第 5 项的系 数, 45 210 105 2 4 t3 ? C10 ? 2?2 ? , t5 ? C10 ? 2?4 ? ? . 4 16 8 所以,系数最大的项为第 5 项, t5 ? 例2
105 3 x . 8
5

已知 (1 ? 2x)7 ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? ?? a7 x7 ,求: a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a7 ;

解析:取 x ? 0 可得 a0 ? 1, 取 x ? 1 得 a0 ? a1 ? ?? a7 ? (?1)7 ? ?1. ∴ a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a7 ? ?2 . 变式训练: 已知 (1 ? 2x)7 ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? ?? a7 x7 , 求: (1)a1 ? a3 ? a5 ? a7 ; (2) a0 ? a2 ? a4 ? a6 . 解析: (1)取 x ? ?1 得 a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? ?? a6 ? a7 ? 37 , 记 A ? a0 ? a2 ? a4 ? a6 , B ? a1 ? a3 ? a5 ? a7 . ∴ A ? B ? ?1, A ? B ? 37 . 可得 A ?
1 7 1 (3 ? 1) ? 1093, B ? ? (1 ? 37 ) ? ?1094 2 2

从而 a1 ? a3 ? a5 ? a7 ? ?1094. (2)从(1)的计算已知 a0 ? a2 ? a4 ? a6 ? 1093. 说明:本题是有关展开式系数和的问题,通过对等式中字母的赋值,往往会 得到此类问题的结果.字母经常取的值有 0、1、-1 等. 例3 求 (1 ? x)3 (1 ? x)10 展开式中 x 5 的系数;

解析:(1 ? x)3 (1 ? x)10 展开式中的 x 5 可以看成下列几种方式得到, 然后合并同 类项:
5 5 用 (1 ? x)3 展开式中的常数项乘以 (1 ? x)10 展开式中的 x 5 项,可以得到 C10 x ;

用 (1 ? x)3 展 开 式 中 的 一 次 项 乘 以 (1 ? x)10 展 开 式 中 的 x 4 项 可 得 到
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4 4 4 5 (?3x)(C10 x ) ? ?3C10 x ; 用 (1 ? x)3 中 的 x 2 乘 以 (1 ? x)10 展 开 式 中 的 x 3 可 得 到
3 3 3 5 3x 2 ? C10 x ? 3C10 x ;用 (1 ? x)3 中的 x 3 项乘以 (1 ? x)10 展开式中的 x 2 项可得到

2 2 2 5 ? 3x3 ? C10 x ? ?C10 x ,合并同类项得 x 5 项为:

5 4 3 2 (C10 ? C10 ? 3C10 ? C10 ) x5 ? ?63x5 .

变式训练:求 ( x ?

1 ? 2) 6 展开式中的常数项. x
2

? 1 1 ? x? ? 解析: x ? ? 2 ? ? ? ? x x? ? ? 1 1 ? ( x ? ? 2) 5 ? ? x? ? ? ? . x x? ?
12

? 1 ? r 12?r ? 1 ? r 6?r ? 由? x ,可得展 ? ? C12 ? x? ? 展开式的通项公式 Tr ?1 ? C12 ( 2 ) ? x? ? ? x?
6 开式的常数项为 C12 ? 924.

12

r

说明:将非二项式通过因式分解转化为二项式解决.这时我们还可以通过合 并项转化为二项式展开的问题来解决. 变式训练: 求 (1 ? x ? x 2 )6 展开式中 x 5 的系数. 解析:方法一: (1 ? x ? x 2 )6 ? (1 ? x) ? x 2

?

?

6

? (1 ? x6 ) ? 6(1 ? x)5 x 2 ? 15(1 ? x)4 x 4 ? ?
5 3 5 5 5 其中含 x 5 的项为 C5 C1 6 x ? 6C5 x ? 15 4 x ? 6x .

含 x 5 项的系数为 6. 方法二: (1 ? x ? x 2 ) 6 ? 1 ? ( x ? x 2 )

?

?

6

? 1 ? 6( x ? x2 ) ? 15( x ? x2 )2 ? 20( x ? x2 )3 ? 15( x ? x2 )4 ? 6( x ? x 2 )5 ? ( x ? x2 )6
其中含 x 5 的项为 20(?3) x5 ? 15(?4) x5 ? 6 x5 ? 6 x5 . ∴ x 5 项的系数为 6. 方法三:本题还可通过把 (1 ? x ? x 2 )6 看成 6 个 1 ? x ? x 2 相乘,每个因式各取

654 尊重个性,用爱和责任诠释个性,让每个孩子自由飞翔??

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一项相乘可得到乘积的一项, x 5 项可由下列几种可能得到.5 个因式中取 x,一
5 个取 1 得到 C5 6x .

1 3 2 3 个因式中取 x,一个取 ? x 2 ,两个取 1 得到 C3 6 ? C3 x ? (? x ) . 2 2 2 1 个因式中取 x,两个取 ? x 2 ,三个取 1 得到 C1 6 ? C5 x ? (? x ) .
5 3 1 1 2 5 5 合并同类项为 (C5 6 ? C6C3 ? C6C5 ) x ? 6 x , x 项的系数为 6.

例4

2 n n?1 求证: C1 ; n ? 2Cn ? ? ? nCn ? n ? 2

解析: (1)? kCk n ?k?

n! n! (n ? 1)! ?1 ? ? n? ? nCk n ?1 k!(n ? k )! (k ? 1)!(n ? k )! (k ? 1)!(n ? k )!

1 n?1 ∴左边 ? nC0 n?1 ? nCn?1 ? ?? nCn?1 1 n?1 n?1 ? n(C0 ? 右边. n?1 ? Cn?1 ? ?? Cn?1 ) ? n ? 2

1 1 1 2 1 1 Cn ? Cn ? ? ? Cn (2 n ?1 ? 1) . 变式训练:证明: C0 n ? n ? 2 3 n ?1 n ?1

解析:

1 1 n! n! Ck ? ? n ? k ?1 k ? 1 k!(n ? k )! (k ? 1)!(n ? k )!

?

1 (n ? 1)! 1 ?1 ? ? Ck n ?1 . n ? 1 (k ? 1)!(n ? k )! n ? 1

1 1 1 1 ?1 C n ?1 ? C2 Cn n ?1 ? ? ? n ?1 n ?1 n ?1 n ?1 1 1 2 n ?1 ? (C1 (2 n ?1 ? 1) ? 右边. n ?1 ? C n ?1 ? ? ? C n ?1 ) ? n ?1 n ?1 说明:本题的两个小题都是通过变换转化成二项式系数之和,再用二项式系 数的性质求解.

∴左边 ?

例5

1 ? ? 若 ? x ? ? 2 ? 的展开式的常数项为 ? 20 ,求 n . x ? ?
n 2n

n

1 1 ? ? ? ? 解析:当 x ? 0 时 ? x ? ? 2 ? ? ? x ? ? ,其通项为 x x? ? ? ?
r 2 n?r Tr ?1 ? C2 (? n( x)

1 r r 2 n?2 r ) ? (?1) r C2 , n( x) x

令 2n ? 2r ? 0 ,得 n ? r ,
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n ∴展开式的常数项为 (?1) n C2 n;

1 1 ? ? ? ? 当 x ? 0 时, ? x ? ? 2 ? ? (?1) n ? ? x ? ? , x ?x? ? ? ?
n 同理可得,展开式的常数项为 (?1) n C2 n. n 无论哪一种情况,常数项均为 (?1) n C2 n.

n

2n

n 令 (?1)n C2 n ? ?20 ,以 n ? 1 , 2 , 3 , ? ,逐个代入,得 n ? 3 .

变式训练 1:

1 ? ? ? x ? 3 ? 的展开式的第 3 项小于第 4 项,则 x 的取值范围 x? ?
10

10

1 ? ? 解析:使 ? x ? 3 ? 有意义,必须 x ? 0 ; x? ?
? 1 ? ? 1 ? 3 依题意,有 T3 ? T4 ,即 C ( x ) ? 3 ? ? C10 ( x )7 ? 3 ? . ? x? ? x?
2 10 8 2 3



10? 9 10? 9 ? 8 1 x? ? (∵ x ? 0 ) . 2 ?1 3 ? 2 ?1 3 x
85 648 . 9

解得 0 ? x ?

? ? 8 ∴ x 的取值范围是 ? x 0 ? x ? 5 648? . 9 ? ?
∴应填: 0 ? x ?
85 648 . 9

变式训练 2:

∶2∶3 , 已知 ( xlog2 x ? 1)n 的展开式中有连续三项的系数之比为 1

这三项是第几项?若展开式的倒数第二项为 112 ,求 x 的值. 解 析 : 设 连 续 三 项 是 第 k 、 k ? 1 、 k ? 2 项 ( k ? N? 且 k ? 1 ) ,则有
k ?1 k k ?1 Cn ∶ Cn ∶ Cn ?1 ∶ 2 ∶ 3,

即 ∴

n! n! n! ∶ ∶ ?1 ∶ 2 ∶ 3. (k ? 1)(n ? k ? 1) ! k ! (n ? k ) ! (k ? 1)(n ? k ? 1) !

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1 1 1 ∶ ∶ ?1 ∶ 2 ∶ 3. (n ? k )(n ? k ? 1) k (n ? k ) k (k ? 1)

k (n ? k ) 1 ? k 1 ? ? (n ? k )(n ? k ? 1) ? 2 ? n ? k ? 1 ? 2 ? ? ∴? ?? ? k (k ? 1) ? 2 ? (k ? 1) ? 2 ? ? 3 3 ? k (n ? k ) ? (n ? k )
? n ? 14 , k ? 5 所求连续三项为第 5 、 6 、 7 三项.
13 log2 x 又由已知, C14 x ? 112 .即 x log2 x ? 8 .

两边取以 2 为底的对数, (log2 x) 2 ? 3 , log2 x ? ? 3 , ∴ x ? 2 3 ,或 x ? 2? 3 . 变式训练 3:

(1 ? 2 x) n 的展开式中第 6 项与第 7 项的系数相等,求展开式中

二项式系数最大的项和系数最大的项.
5 6 解析: T6 ? Cn (2x)5 , T7 ? Cn (2x)6 ,依题意有 5 5 6 6 Cn 2 ? Cn 2 ? n ? 8. 4 ∴ (1 ? 2 x)8 的展开式中,二项式系数最大的项为 T5 ? C8 (2x)4 ? 1120x4 .

设第 r ? 1 项系数最大,则有
r r r ?1 r ?1 ? ?C8 ? 2 ? C8 ? 2 ?5? r ? 6. ? r r r ?1 r ?1 ? ?C8 ? 2 ? C8 ? 2

∴ r ? 5 或 r ? 6 (∵ r ? ?0 , 1 , 2 , ? , 8?) . ∴系娄最大的项为: T6 ? 1792x5 , T7 ? 1792x6 . 说明:(1)求二项式系数最大的项,根据二项式系数的性质,n 为奇数时中间 两项的二项式系数最大, n 为偶数时,中间一项的二项式系数最大. (2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的,需根据各项系 数的正、负变化情况,一般采用列不等式,解不等式的方法求得. 变式训练 4: 设 f ( x) ? (1 ? x)m ? (1 ? x)n ( m, n ? N? ), 若其展开式中关于 x 的 一次项的系数和为 11,问 m , n 为何值时,含 x 2 项的系数取最小值?并求这个最 小值.
1 1 解析: Cm ? Cn ? n ? m ? 11.

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2 2 Cm ? Cn ?

1 2 m 2 ? n 2 ? 11 ( m ? m ? n 2 ? n) ? 2 2

?

110 ? 2mn 11 99 ? n 2 ? 11n ? 55 ? (n ? ) 2 ? . 2 2 4

∵ n ? N? , ∴ n ? 5 或 6 , m ? 6 或 5 时, x 2 项系数最小,最小值为 25 . 同步训练: 选择: 1.
(a 3 ? 1 8 ) 2b 2 展开式的所有项系数总和是 (
1 8 B. 2



A. 2

8

C.0

D.1 )

2.若 (3 x 2 ? A.4

1 n ) , n ? N * 展开式中含有常数项,则 n 的最小值是 ( 2 x3

B.5

C.6

D.7 )

n 1 n?1 k n ?k n 3.设 n 为自然数,则 C0 等于 ( ? ?? (?1)k Cn 2 ??? (?1)n Cn n 2 ? Cn 2

A. 2 n

B.0

C.-1

D.1 ) D.11 ) D.800 )

1 4.若 ( x ? ) n 展开式的第4项含 x 3 ,则 n 的值为 ( x

A.8

B.9

C.10

5.在 ( x 2 ? 3x ? 2)5 的展开式中, x 的系数为 ( A.160 B.240 C.360

6. (a ? b)n 二项展开式中与第 r 项系数相同的项是 ( A.第 n ? r 项 B.第 n ? r ? 1 C.第 n ? r ? 1 项

D.第 n ? r ? 2 项

7. 在 ( x ? y)n 展开式中第 4 项与第 8 项的系数相等 , 则展开式里系数最大的项是 ( ) B.第5 C.第5、6项 D.第6、7 ) D.以上都不对

A.第6项

8.在 (1 ? 2x ? x 2 )4 的展开式中, x 7 的系数是 ( A.-8 B.12 C.6

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9.数 11100 ? 1 的末位连续是零的个数是 ( A.0 B.3 C.5

) D.7

10. (1 ? x) ? (1 ? x)2 ? (1 ? x)3 ? ? ? (1 ? x)n 的 展 开 式 中 所 有 奇 次 项 系 数 的 和 为 ( A. 2 n ) B. 2 n ? 1 C. 2 n ? 1 D. 2n ? 2 ) C.-480 D.-160 )

11. (2 x ? y ? z)6 展开式中, x3 y 2 z A.480 B.160

1 12.对于二项式 ( ? x 3 ) n , n ? N * , 四位同学作出了四种判断: ( x

①存在 n ? N ,展开式中有常数项; ②对任意 n ? N ,展开式中没有常数项; ③对任意 n ? N ,展开式中没有 x 的一次项; ④存在 n ? N ,展开式中有 x 的一次项。[来源:Z| 上述判断中正确的是 A.①与③ B.②与③ C.②与④ D.④与①

13.设 (a ? b)n 的展开式中,二项式系数的和为256,则此二项展开式中系数最小 的项是 ( A.第5项 ) B.第4、5两项 C.第4、6两项 D.第5、6两项 ) D.256

14. (1 ? x ? x 2 ? x3 )4 的展开式中奇次项系数和是 ( A.64
33

B.120

C.128 )[来源:Z_ C.4

15. 2 除以9的余数是 ( A.1 B.2

D.8 ) D. 800 x )

2 5 16.在 ( x ? 3x ? 2) 的展开式中,含 x 的项为 (

A. 160 x

B. 240 x

C. 360 x

17.二项式 (1 ? x)4n?1 n ? N 的展开式中,系数最大项为 ( A.第 2n ? 1 或 2n ? 2 项 B.第 2n ? 1 项

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C.第 2n ? 2 项 D.第 2n 项或 2n ? 1 项 18. ( x ? 1)9 按 x 的降幂排列系数最大的项是 ( A.第四项和第五项 B.第五项 )[来源:学科网]

C.第五项和第六项 D.第六项

19.若 (2 x ? 3) 4 ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? a3 x3 ? a4 x4 , 则 (a0 ? a2 ? a4 )2 ? (a1 ? a3 )2 的值为 ( A.1 20. (1 ? x ? A.4351 ) B.-1 C.0 D.2 )[来源:] D.435 ) D. 126x5 ,126x 6 6

1 10 ) 的展开式里的常数项为 ( x2

B .4352

C.4353

21. (1 ? x)9 的展开式中系数最大的项 是 ( A. 126x 4 B. 126 x

C. 126x 4 ,126x5 )

1 2 33 22. C33 除以9的余数是 ( ? C33 ? ? ? C33

A.0

B.11

C.2

D.7 ) D.800[来源:学科网ZXXK] )

23.在 ( x 2 ? 3x ? 2)5 的展开式中含 x 项的系数是 ( A.160 B.240 C.360

24.若 (1 ? x)n ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? ?? an xn 中, a3 ? a12 ,则自然数 n 的值是 ( A.13 B.14 C.15 ) C.0 D.-6 D.16

25. (1 ? x)6 展开式中 x A.32 26.若 ( x ? B.-32

1 n ) (n ? N * ) 的展开式中各项系数的和大于8且小于32,则展开式中系 x

数最大的项应是( A. 6 x

) C. 10x 2 D. 20x 3 [来源:学&科&网] )

B. 3 2 x

27.设 S ? ( x ?1)4 ? 4( x ?1)3 ? 6( x ?1)2 ? 4( x ?1) ? 1, 它等于下式中的( A. ( x ? 2)4 B. ( x ? 1) 4 C. x 4 D. ( x ? 1) 4

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28. ( 2 x ?
6 A. 2C7

1 7 ) 的展开式中倒数第三项的系数是 ( x2
6 B. 26 C7 5 C. 22 C7

)[来源:Z|
5 D. 25 C7

29.设 (1 ? x ? x 2 )n ? a0 ? a1x ? a2 x2 ??? a2n x2n 则 a0 ? a2 ? a4 ? ? ? a2n 等于 ( [来源: A. 2 n B.
3n ? 1 2



C. 2 n ?1

D.

3n ? 1 2

30. n ? N , 二项式 ( x ? y )2n 的展开式的各项的二项式系数最大的是 ( A.奇数 B.偶数 C.不一定是整数 D.是整数,但奇偶与 n 的取值有关



31.若 (1 ? 2 x)5 的展开式中,第2项小于第1项,且不小于第3项,则 x 的取值范围 是 ( A. x ? ?
1 10

) B?
1 ?x?0 10

C. ?

1 1 ?x?? 4 10

D. ?

1 ?x?0 4

1 r ?1 32. 若(lg 2)20 ? C20 (lg 2)19 lg 5 ??? C20 (lg 2)21?r (lg5)r ?1 ??? (lg5)20 等于 (



[来A.1

B. (lg 7) 20

C. 2 20

D. 1020

33.设 n 是偶数, a , b 分别表示 ( x ? i) 2n?1 的展开式中系数大于0与小于0的项的个 数,那么 ( A. a ? b ) B. a ? b ? 1 C. a ? b ? 1 D. a ? b ? 2 )

34.在 ( 2x ? 3 3 y)100 的展开式中,系数为有理数的项共有( A.16项 B.17项 C.18项 ) D.207

D.19项

35.在 (1 ? x3 )(1 ? x)10 的展开式中, x 5 的系数是( A.-297 B. -252 C.297

36. 设 (5x 2 ? x3 ) n 的展开式的各 项系数之和为 M , 而二项式系数之和为 N , 且
M ? N ? 992 则展开式中 x 2 项的系数为(



661 尊重个性,用爱和责任诠释个性,让每个孩子自由飞翔??

《高考数学名师冲刺》 2013 年高考新课标 (理科)

A.250

B.-250

C.150

D.-150 )

37. n ? N * , ( x ? 1)(2 x ? 1)?(nx ? 1) 的展开式中含有 x 项的系数是(
n?1 A Cn n?2 B. Cn 1 C. Cn ?1 2 D. Cn ?1

填空:
1.已知 (1 ? 2 x)
7

? a0 ? a1x ? a2 x2 ??? a7 x7 那么 a1 ? a2 ? ? ? a7 ? ___________.
项.

2. (

1 3 20 ? x ) 的展开式中,不含 x 的项是第 x

3. 已 知 ( x 2 ? 3

1 n ) 的 展 开 式 中 第 3 项 的 二 项 式 系 数 为 66, 则 x

n ? ___________________,展开式中含 x 3 的项为_________________.
4. (1 ? x) ? (1 ? x)2 ? ? ? (1 ? x)10 的展开式中 x 2 的系数是______________. 5. (1 ? x) 2 (1 ? x)5 展开式中 x 3 的系数为_____________. 6. (1 ? x)9 展开式中,系数最小的项是
0 2 4 10 7. C10 ? C10 ? C10 ? ? ? C10 ?

,系数最大的项是 .

.

8.已知 ( x ? 1)6 (ax ?1)2 的展开式中含 x 3 项的系数为20,则实数 a ? 9. (a ? b ? c)10 展开式中的项数为____________.

.

1 2 n 10. 多项式 f ( x) ? Cn ( x ?1) ? Cn ( x ?1)2 ??? Cn ( x ?1)n (n ? 10) 的展开式中 , x 6 的

系数为__________. 11.已知 (
9 x 4 loga 2 9 ? ) 的展开式中 x 3 的系数为 ,则实数 a 的值为 16 2 x

.

12.已知 ( x ? a)7 的展开式中 x 4 的系数是-280,则 a ? ___________. 13.在 (ax ? 1)7 的展开式中, x 3 的系数是 x 2 的系数与 x 4 的系数的等差中项,若实 数 a ? 1 ,那么 a ? _________. 14.今天是星期日,再过 2 90 天是星期 一、选择题§科§网 Z§X§X§ K]
662 尊重个性,用爱和责任诠释个性,让每个孩子自由飞翔??

.

《高考数学名师冲刺》 2013 年高考新课标 (理科)

1.B 14.C

2.B 15.D

3.D

4.B

5.B

6.D

7.A

8.A

9.B

10.C

11.C

12.D

13.A

16.B 17.B 28.C 30.B

18.B

19.A

20.A

21.C

22.D

23.B

24.C

2 5.B

26.A

27.C

29.D 31.B 32.A 33.B 34.B 35.D 36.B 37. D

二、填空题 1.-2 2.13 3.12 ; -220x3 4.165 5.4.5 6.-126x5;126x4
1 11. 16

7.512 12.-2

8.0或5 13.-20

9.66

10.0或1或 不存在

14.星期一

663 尊重个性,用爱和责任诠释个性,让每个孩子自由飞翔??


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