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江苏省徐州市新沂市2014-2015学年高二(下)期中数学试卷(理科)(解析版)

时间:2016-02-21


2014-2015 学年江苏省徐州市新沂市高二 (下) 期中数学试卷 (理 科)

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分。不需要写出解答过程,请把答 案直接填写在相应位置上)21 教育名师原创作品 1. + i 若复数 z=m (m+1) (m+1) (i 为虚数单位) 是纯虚数, 则实数 m 的值为 .

2.“因为自然数是整数(大前提),而 是自然数(小前提),所以 是整数(结论)”,上 面的推理是因为 (填“大前提”或“小前提”)错误导致结论错误.

3.有 5 本不同的书,从中选 2 本送给 2 名同学,每人各一本,共有 种不同的送法.

(填数字)

4.设复数 z 满足 i(z+1)=﹣3+2i(i 为虚数单位),则 z 等于



5.有如下真命题:“若数列{an}是一个公差为 d 的等差数列,则数列{an+an+1+an+2}是公差为 3d 的等差数列.”把上述命题类比到等比数列中,可得真命题是“ 上你认为可以成为真命题的一种情形即可)www-2-1-cnjy-com .”(注:填

6.已知复数 z 满足|z+4﹣3i|=2(i 为虚数单位).则|z|的最大值为



7.设(1+x+x2)n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n,那么 a2+a4+…+a2n=



8.观察下列各式:13=12,13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,则得到的一般结论 是 .21*cnjy*com

1

9.设(3 则n为

+ )n 的展开式的各项系数的和为 P,所有二项式系数的和为 S,若 P+S=272, .

10.直线方程 Ax+By=0,若从 0,1,2,3,5,6 这六个数字中每次取两个不同的数作为系 数 A、B 的值,则方程 Ax+By=0 所表示的不同直线的条数是 .

11.已知数列{an}(n∈N*)是首项为 2,公比为 3 的等比数列,则 a1C a4C +a5C ﹣a6C +a7C = .

﹣a2C

+a3C



12.用数学归纳法证明结论:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×2×…×(2n﹣1)(n∈N*)时, 从“k 到 k+1”左边需增乘的代数式为 .

13.如图是某市 4 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于 100 表示空气 质量优良,记 5 分,空气质量指数大于 200 表示空气重度污染记 1 分,空气质量指数在 100 和 200 之间(含 100 和 200)表示中度污染,记 3 分.某调查机构随机选择 4 月 1 日至 4 月 14 日中的某三天抽样评估,则该市评估得分超过 10 分的可能抽样情况有 种.

14.﹣2C

+3C

﹣4C

+…+(﹣1)n(n+1)C

=



二、解答题(本大题共 6 小题,共计 90 分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

2

15.在复平面内,复数 2﹣i,1+i,4 所对应的点分别是 A、B、C,四边形 ABCD 为平行四 边形. (1)求点 D 所对应的复数; (2)求?ABCD 的对角线 BD 的长.

16.已知:a,b,c,(a,b,c∈R)成等比数列,且公比 q≠1,求证:1﹣a,1﹣b,1﹣c 不可能成等比数列.

17.3 名男生,4 名女生排成一排,问: (1)3 名男生不相邻,有多少种排法? (2)甲、乙、丙、丁四人必须站在一起,且甲在乙的左边(不一定相邻),有多少种排法? (3)甲不在最左边,乙不在最右边,有多少排法?

18.已知在(



)n(n∈N*)的展开式中,第 6 项为常数项.

(1)求 n 的值及展开式中含 x2 的项的系数; (2)①求展开式中所有有理项; ②求展开式中系数的绝对值最大的项.

19.设函数 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R). (1)若 f(1)=0,a>b>c,求证: (2)若 f(1)=﹣ ,3a>2c>2b,求证: ①a>0,且﹣3< <﹣ ; ②函数 f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点. < a.

20.已知数列{an}是等差数列,(1+ )m(m∈N*)展开式的前三项的系数分别为 a1,a2, a3. (1)求(1+ )m(m∈N*)的展开式中二项式系数最大的项;

3

(2)当 n≥2(n∈N*)时,试猜测

+

+

+…+

与 的大小并证明.

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2014-2015 学年江苏省徐州市新沂市高二(下)期中数学 试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分。不需要写出解答过程,请把答 案直接填写在相应位置上)21 教育网 1.若复数 z=m(m+1)+(m+1)i(i 为虚数单位)是纯虚数,则实数 m 的值为 【考点】复数的基本概念. 【专题】数系的扩充和复数. 【分析】根据复数为纯虚数的概念,得到复数的实部为 0,并且虚部不为 0 求出 m. + i i 为虚数单位) 【解答】 解: 因为复数 z=m (m+1) (m+1) ( 是纯虚数, 所以 解得 m=0; 故答案为:0. 【点评】本题考查了复数的基本概念;如果复数 a+bi(a,b 是实数)是纯虚数,那么 a=0 并且 b≠0. , 0 .

2.“因为自然数是整数(大前提),而 是自然数(小前提),所以 是整数(结论)”,上 面的推理是因为 小前提 (填“大前提”或“小前提”)错误导致结论错误. 【考点】演绎推理的意义. 【专题】推理和证明. 【分析】要分析一个演绎推理是否正确,主要观察所给的大前提,小前提和结论及推理形式 是否都正确,根据这几个方面都正确,才能得到这个演绎推理正确. 【解答】解:“因为自然数是整数(大前提),而 是自然数(小前提),所以 是整数(结 论)”, 大前提是:自然数是整数,正确; 小前提是: 是自然数,错误, 故导致结论错误的原因是小前提错误,
5

故答案为:小前提; 【点评】本题考查演绎推理,考查学生分析解决问题的能力,属于基础题

3.有 5 本不同的书,从中选 2 本送给 2 名同学,每人各一本,共有 20 (填数字)种不 同的送法. 【考点】计数原理的应用. 【专题】排列组合. 【分析】根据题意,分析可得本题为排列问题,只需从 5 本不同的书中顺序选出 2 本,对应 送给 2 位同学即可,由排列数公式计算可得答案 【解答】解:根据题意,只需从 5 本不同的书中顺序选出 2 本,对应送给 2 位同学即可, 有 A52=20 种方法; 故答案为:20. 【点评】本题考查排列的应用,解题时要首先要分析题意,明确是排列,还是组合问题.

4.设复数 z 满足 i(z+1)=﹣3+2i(i 为虚数单位),则 z 等于 1+3i . 【考点】复数相等的充要条件. 【分析】根据复数相等的条件,即可得到结论. 【解答】解:设 z=a+bi, 则由 i(z+1)=﹣3+2i 得 i(a+bi+1)=﹣3+2i=(a+1)i﹣b, 即 故 z=1+3i, 故答案为:1+3i 【点评】 本题主要考查复数的求解, 根据复数相等的条件, 建立条件关系是解决本题的关键. ,解得 a=1,b=3,

5.有如下真命题:“若数列{an}是一个公差为 d 的等差数列,则数列{an+an+1+an+2}是公差为 3d 的等差数列.”把上述命题类比到等比数列中,可得真命题是“ 若数列{bn}是公比为 q 的等比数列,则数列{bn?bn+1?bn+2}是公比为 q3 的等比数列;或填为:若数列{bn}是公比为 q 的等比数列,则数列{bn+bn+1+bn+2}是公比为 q 的等比数列 .”(注:填上你认为可以成 为真命题的一种情形即可)2·1·c·n·j·y

6

【考点】归纳推理. 【专题】开放型. 【分析】是一个类比推理的问题,在类比推理中,等差数列到等比数列的类比推理方法一般 为:加减运算类比推理为乘除运算,累加类比为累乘,由:“若数列{an}是一个公差为 d 的 等差数列,则数列{an+an+1+an+2}是公差为 3d 的等差数列.”类比推理得:“若数列{bn}是公 比为 q 的等比数列,则数列{bn?bn+1?bn+2}是公比为 q3 的等比数列;或:若数列{bn}是公比 为 q 的等比数列,则数列{bn+bn+1+bn+2}是公比为 q 的等比数列” 【解答】解:由等差数列的性质类比推理等比数列的性质时 类比推理方法一般为: 加减运算类比推理为乘除运算, 累加类比为累乘, “若数列{an}是一个公差为 d 的等差数列, ” 由: 则数列{an+an+1+an+2}是公差为 3d 的等差数列. 类比推理得: “若数列{bn}是公比为 q 的等比数列,则数列{bn?bn+1?bn+2}是公比为 q3 的等比数列;” 或“若数列{bn}是公比为 q 的等比数列,则数列{bn+bn+1+bn+2}是公比为 q 的等比数列” 故答案:若数列{bn}是公比为 q 的等比数列,则数列{bn?bn+1?bn+2}是公比为 q3 的等比数列; 或填为:若数列{bn}是公比为 q 的等比数列,则数列{bn+bn+1+bn+2}是公比为 q 的等比数列. 【点评】类比推理的一般步骤是:(1)找出两类事物之间的相似性或一致性;(2)用一类 事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想).

6.已知复数 z 满足|z+4﹣3i|=2(i 为虚数单位).则|z|的最大值为 7 . 【考点】复数的代数表示法及其几何意义. 【分析】利用不等式|a|﹣|b|≤|a±b|≤|a|+|b|即可得出结论. 【解答】解:∵复数 z 满足|z+4﹣3i|=2(i 为虚数单位), ∴|z+(4﹣3i)|=2, ∴|z|﹣|4﹣3i|≤|z+(4﹣3i)|=2, ∴|z|≤2+|4﹣3i|=2+5=7, ∴|z|的最大值为 7. 故答案为:7. 【点评】本题考查了复数的代数运算与几何意义的应用问题,是基础题目.
7

7.设(1+x+x2)n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n,那么 a2+a4+…+a2n= 【考点】二项式系数的性质. 【专题】二项式定理.



【分析】在所给的等式中,令 x=0 求得 a0=1,再分别令 x=1、x=﹣1,可得 2 个式子,再把 这 2 个式子相加,变形即可求得 a2+a4+…+a2n 的值.21·cn·jy·com 【解答】解:在(1+x+x2)n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n 中,令 x=0 可得 a0=1. 令 x=1,可得 a0+a1+a2+a3+…+a2n﹣1+a2n=3n, 再令 x=﹣1 可得 a0﹣a1+a2﹣a3+…﹣a2n﹣1+a2n=1, 再把这两个等式相加可得 2(a0+a2+a4+…+a2n)=3n+1, 由此可得 a2+a4+…+a2n= ,

故答案为:



【点评】本题主要考查二项式定理的应用,在二项展开式中,通过给变量赋值,求得某些项 的系数和,是一种简单有效的方法,属于基础题.

8.观察下列各式:13=12,13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,则得到的一般结论是 13+23+33+43+…+n3=[ 【考点】归纳推理. 【专题】规律型. 【分析】根据题意,分析题干所给的等式可得:13+23=(1+2)2=32,13+23+33=(1+2+3)2 =62,13+23+33+43=(1+2+3+4)2 =102,进而可得答案. 【解答】解:根据题意,分析题干所给的等式可得: 13+23=(1+2)2=32, 13+23+33=(1+2+3)2 =62, 13+23+33+43=(1+2+3+4)2 =102, 则 13+23+33+43+…+n3=(1+2+3+4+…+n)2 =[ ]2 , ]2 .2-1-c-n-j-y

8

故答案为:13+23+33+43+…+n3=[

]2,

【点评】 本题考查归纳推理, 解题的关键是发现各个等式之间变化的规律以及每个等式左右 两边的关系.

9.设(3

+ )n 的展开式的各项系数的和为 P,所有二项式系数的和为 S,若 P+S=272,

则n为 4 . 【考点】二项式定理的应用. 【专题】计算题;二项式定理. 【分析】利用赋值法及二项式系数和公式求出 P、S,列出方程求得 n. 【解答】解:由题意,4n+2n=272, ∴(2n﹣16)(2n+17)=0, ∴2n=16, ∴n=4. 故答案为:4. 【点评】本题考查赋值法求二项展开式系数和的方法;二项式系数和公式为 2n,比较基础.

10.直线方程 Ax+By=0,若从 0,1,2,3,5,6 这六个数字中每次取两个不同的数作为系 数 A、B 的值,则方程 Ax+By=0 所表示的不同直线的条数是 18 . 【考点】直线的一般式方程. 【专题】直线与圆. 【分析】选中 0 时,Ax+By=0 共能表达 2 条直线;当 A、B 从 1,2,3,5,6 五个数字中 取值时,由排列组合的知识可得. 【解答】解:(1)当 A 或 B 中有一个取 0 时,另一个不论取何值, 方程都只能表示 2 条直线 x=0 和 y=0. 即选中 0 时,Ax+By=0 共能表示 2 条直线; (2)当 A、B 从 1,2,3,5,6 五个数字中取值时,共有 =5×4=20,

但当取值为(1,3)和(2,6)以及(3,1)和(6,2)时, 还有(1,2)和(3,6)及(2,1)和(6,3)时表示同一条直线, ∴当 A、B 从 1,2,3,5,6 五个数字中取值时,Ax+By=0 共能表达 20﹣4=16 条直线.
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综上所述,表示成不同直线的条数是 2+16=18 条 故答案为:18 【点评】 本题考查直线的一般式方程, 解题时要注意分类讨论思想和排列组合知识的合理运 用,属基础题.

11.已知数列{an}(n∈N*)是首项为 2,公比为 3 的等比数列,则 a1C a4C +a5C ﹣a6C +a7C = 128 .

﹣a2C

+a3C



【考点】等比数列的性质. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】由等比数列的通项公式可得 an,代入要求的式子由二项式定理可得. 【解答】解:∵数列{an}(n∈N*)是首项为 2,公比为 3 的等比数列, ∴等比数列{an}的通项公式 an=2×3n﹣1, ∴a1C =2(30C ﹣a2C ﹣31C +a3C +32C ﹣a4C ﹣33C +a5C ﹣a6C +a7C +36C )

+34C

﹣35C

=2(1﹣3)6=27=128 故答案为:128 【点评】本题考查等比数列的通项公式,涉及二项式定理,属中档题.

12.用数学归纳法证明结论:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×2×…×(2n﹣1)(n∈N*)时, 从“k 到 k+1”左边需增乘的代数式为 2(2k+1) .【来源:21cnj*y.co*m】 【考点】数学归纳法. 【专题】点列、递归数列与数学归纳法. 【分析】 分别求出 n=k 时左端的表达式, 和 n=k+1 时左端的表达式, 比较可得“n 从 k 到 k+1” 左端需增乘的代数式.【版权所有:21 教育】 【解答】解:当 n=k 时,左边=(k+1)(k+2)…(k+k)=(k+1)(k+2)(k+3)…(2k), 当 n=k+1 时,左边=(k+1+1)(k+1+2)…(k+k)(k+1+k)(k+1+k+1), 故当“n 从 k 到 k+1”左端需增乘的代数式为 故答案为:2(2k+1). =2(2k+1),

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【点评】本题考查用数学归纳法证明等式,分别求出 n=k 时左端的表达式和 n=k+1 时左端 的表达式,是解题的关键.

13.如图是某市 4 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于 100 表示空气 质量优良,记 5 分,空气质量指数大于 200 表示空气重度污染记 1 分,空气质量指数在 100 和 200 之间(含 100 和 200)表示中度污染,记 3 分.某调查机构随机选择 4 月 1 日至 4 月 14 日中的某三天抽样评估,则该市评估得分超过 10 分的可能抽样情况有 252 种.

【考点】计数原理的应用. 【专题】排列组合. 【分析】有图可知,5 分的有 7 天,1 分的有 2 天,3 分的有 5 天,调查机构随机选择 4 月 1 5+5+3=13, 日至 4 月 14 日中的某三天抽样评估, 则该市评估得分超过 10 分, 因为 5+5+1=11, 5+3+3=11,5+5+5=15,故分四类,根据分类计数原理得以解决. 【解答】解:有图可知,空气质量指数小于 100 表示空气质量优良,记 5 分,有 7 天,空气 质量指数大于 200 表示空气重度污染记 1 分,有 2 天,空气质量指数在 100 和 200 之间(含 100 和 200)表示中度污染,记 3 分,有 5 天,调查机构随机选择 4 月 1 日至 4 月 14 日中的 某三天抽样评估,则该市评估得分超过 10 分, 因为 5+5+1=11,5+5+3=13,5+3+3=11,5+5+5=15, 故分四类,第一类,得分为(5,5,1),有 C72C21=42 种, 第二类,得分为(5,5,3),有 C72C51=105 种, 第三类,得分为(5,3,3),有 C71C52=70 种, 第四类,得分为(5,5,5),有 C73=35 种, 根据分类计数原理,得共有 42+105+70+35=252 种,

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故答案为:252. 【点评】本题考查了分类计数原理,关键是分类.

14.﹣2C

+3C

﹣4C

+…+(﹣1)n(n+1)C

=

﹣1 .

【考点】二项式定理的应用. 【专题】二项式定理. 【分析】根据 x?(1﹣x)n=x( ﹣ ?x+ ?x2+…+(﹣1)n? ?xn),两边对 x 求导,

再把 x=1 代入上式,可得要求式子的值. 【解答】解:∵要求﹣2C +3C ﹣4C +3C ﹣4C +…+(﹣1)n(n+1)C 即可. ?xn),两边对 x 求导,可得 ?x3+…+(﹣1)n(n+1)C , ?xn, =,只要求出 1﹣2C

+…+(﹣1)n(n+1)C ﹣ ?x+

∵x?(1﹣x)n=x(

?x2+…+(﹣1)n? ?x+3C +3C

(1﹣x)n﹣x?n(1﹣x)n﹣1=1﹣2C 再把 x=1 代入上式,可得 0=1﹣2C ∴2C +3C ﹣4C

?x2﹣4C ﹣4C

+…+(﹣1)n(n+1)C

+…+(﹣1)n(n+1)C

=﹣1,

故答案为:﹣1. 【点评】本题主要考查二项式定理的应用,体现了转化的数学思想,属于中档题.

二、解答题(本大题共 6 小题,共计 90 分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.在复平面内,复数 2﹣i,1+i,4 所对应的点分别是 A、B、C,四边形 ABCD 为平行四 边形. (1)求点 D 所对应的复数; (2)求?ABCD 的对角线 BD 的长. 【考点】复数代数形式的混合运算. 【专题】数系的扩充和复数. 【分析】(1)由题意知,在复平面内点 A、B、C 所对应的坐标分别为(2,﹣1),(1, 1), (4,0),设点 D 的坐标为(x,y),由于四边形 ABCD 是平行四边形,可得 解出即可得出;www.21-cn-jy.com ,

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(2)在复平面内点 B、D 所对应的坐标分别为(1,1)、(5,﹣2),利用两点之间的距 离公式即可得出.【来源:21·世纪·教育·网】 【解答】解:(1)由题意知,在复平面内点 A、B、C 所对应的坐标分别为(2,﹣1), (1,1),(4,0), 设点 D 的坐标为(x,y),则 =(﹣1,2), =(4﹣x,﹣y),

∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴ ∴ ,解得 .

,即(﹣1,2)=(4﹣x,﹣y),

∴点 D 所对应的复数为 5﹣2i. (2)∵在复平面内点 B、D 所对应的坐标分别为(1,1)、(5,﹣2), ∴|BD|= =5.

【点评】本题考查了复数的几何意义、向量的坐标运算、平行四边形的性质,考查了推理能 力与计算能力,属于中档题.

16.已知:a,b,c,(a,b,c∈R)成等比数列,且公比 q≠1,求证:1﹣a,1﹣b,1﹣c 不可能成等比数列. 【考点】等比关系的确定. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】利用反证法结合等比数列的定义进行证明即可. 【解答】证明:假设 1﹣a,1﹣b,1﹣c 不成等比数列,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 则(1﹣b)2=(1﹣a)(1﹣c)①﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ∵a,b,c 成等比数列,∴b2=ac,②﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 将②代入①,整理得 2b=a+c﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ∴2aq=a+aq2,q2﹣2q+1=0, 从而 q=1,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 这与已知 q≠1 矛盾, ∴1﹣a,1﹣b,1﹣c 不可能成等比数列﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 【点评】本题主要考查等比数列等比关系的判断,利用反证法是解决本题的关键.

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17.3 名男生,4 名女生排成一排,问: (1)3 名男生不相邻,有多少种排法? (2)甲、乙、丙、丁四人必须站在一起,且甲在乙的左边(不一定相邻),有多少种排法? (3)甲不在最左边,乙不在最右边,有多少排法? 【考点】排列、组合的实际应用. 【专题】计算题;排列组合. 【分析】(1)根据题意,用插空法分 2 步进行分析:①、先将 4 名女生排好,排好后有 5 个空位,②、在 5 个空位中,任选 3 个,安排 3 名男生,分别求出每一步的情况数目,由 分步计数原理计算可得答案;21 世纪教育网版权所有 (2)根据题意,用捆绑法分析:①、将甲、乙、丙、丁四人看成一个整体,计算可得四人 之间的顺序,②、将这个整体与剩余的 3 个人进行全排列,可得其排法数目,由分步计数 原理计算可得答案;【出处:21 教育名师】 (3)根据题意,分 2 种情况讨论:①、若甲在最右边,将剩余的 6 人全排列即可,②、若 甲不在最右边, 分别求出甲、 乙以及剩余 5 人的排法数目, 由分步计数原理可得其情况数目, 综合 2 种情况,由分类计数原理计算可得答案. 【解答】解:(1)根据题意,分 2 步进行分析: ①、先将 4 名女生排好,有 A44=24 种情况,排好后有 5 个空位, ②、在 5 个空位中,任选 3 个,安排 3 名男生,有 A53=60 种情况, 则共有 24×60=1440 种排法, ∴3 名男生不相邻有 1440 种排法;﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ (2)根据题意,分 2 步进行分析: ①、将甲、乙、丙、丁四人看成一个整体, 由于甲在乙的左边(不一定相邻),则四个人之间的顺序有 A44=12 种情况, ②、将这个整体与剩余的 3 个人进行全排列,有 A44=24 种排法, 则共有 12×24=288 种排法, 故甲、乙、丙、丁四人必须站在一起,且甲在乙的左边(不一定相邻)有 288 种排法;﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ (3)根据题意,分 2 种情况讨论: ①、若甲在最右边,有 A66=720 种排法,

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②、若甲不在最右边, 甲在 5 个位置中选 1 个,有 A51 种情况, 乙也有 5 个位置可选,有 A51 种情况, 剩下的 5 个人进行全排列,有 A55 种情况, 此时一共有 A51×A51×A55=3000 种排法, 则共有 720+3000=3720 种排法, ∴甲不在最左边、乙不在最右边有 3720 种排法.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣ 【点评】 本题考查排列组合的运用, 需要牢记常见问题的处理方法, 如不相邻问题用插空法, 相邻问题用捆绑法.

18.已知在(



)n(n∈N*)的展开式中,第 6 项为常数项.

(1)求 n 的值及展开式中含 x2 的项的系数; (2)①求展开式中所有有理项; ②求展开式中系数的绝对值最大的项. 【考点】二项式定理的应用;二项式系数的性质. 【专题】二项式定理. 【分析】(1)根据第六项为常数项,x 的幂指数为零,求得 n 的值,在通项公式中,令 x 的幂指数为 2,可得展开式中含 x2 的项的系数. (2))①令 x 的幂指数为整数,求得自然数 r 的值,可得展开式中有理项.

②设展开式中第 r+1 项系数的绝对值最大, 由 (1) 知



求得 r 的范围,可得整数 r 的值,从而得到展开式中系数的绝对值最大的项. 【解答】解:(1)由题意可得 T6= 数项,故有 n﹣10=0,∴n=10. ? ? =﹣ ? ? 为常

15

故通项公式为 Tr+1= 的项的系数为 ? =

? .

?

,令

=2,求得 r=2,故展开式中含 x2

(2)①由(1)知 ∴展开式中有理项为 T3=

为整数,且 r=0,1,2,3,…10,故 r=2,5,8, x2,T6=﹣ ,T9= .

②设展开式中第 r+1 项系数的绝对值最大, 由 (1) 知



解得 ≤r≤

,又 r 为整数,所以 r=3,展开式中系数的绝对值最大的项为 T4=﹣15



【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项式系数的性质,二项式展开式的通项公式, 属于中档题.

19.设函数 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R). (1)若 f(1)=0,a>b>c,求证: (2)若 f(1)=﹣ ,3a>2c>2b,求证: ①a>0,且﹣3< <﹣ ; ②函数 f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点. 【考点】二次函数的性质. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】(1)先求出 c=﹣a﹣b,a>0,c<0,再利用分析法由结论入手进行证明即可; (2)①先求出 a>0,b<0,可得﹣3a<b<﹣ a.从而证出结论;②先求出 f(0),f(2), 通过讨论 c 的正负,从而证出结论.
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a.

【解答】(1)证明:∵f(1)=a+b+c=0,a>b>c, ∴c=﹣a﹣b,a>0,c<0, 要证 < a,只需证 b2﹣ac<3a2,

只需证 b2+a(a+b)<3a2,

16

只需证 2a2﹣ab﹣b2>0, 只需证(a﹣b)(2a+b)>0, 只需证(a﹣b)(a﹣c)>0. 因为 a>b>c,所以 a﹣b>0,a﹣c>0, 所以(a﹣b)(a﹣c)>0 显然成立. 故原不等式成立. (2)证明:①f(1)=a+b+c=﹣ ,即 3a+2b+2c=0. 又 3a>2c>2b,所以 3a>0,2b<0,则 a>0,b<0. 又 2c=﹣3a﹣2b,3a>2c>2b, 所以 3a>﹣3a﹣2b>2b.可得﹣3a<b<﹣ a. 因为 a>0,所以﹣3< <﹣ . ②f(0)=c,f(2)=4a+2b+c=a﹣c, i)当 c>0 时,f(0)=c>0 且 f(1)=﹣ <0, 所以函数 f(x)在(0,1)内至少有一个零点. ii)当 c≤0 时,f(1)=﹣ <0 且 f(2)=a﹣c>0, 所以函数 f(x)在(1,2)内至少有一个零点. 综上,f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点. 【点评】本题考查了二次函数的性质,考查不等式的证明,是一道中档题.

20.已知数列{an}是等差数列,(1+ )m(m∈N*)展开式的前三项的系数分别为 a1,a2, a3.21cnjy.com (1)求(1+ )m(m∈N*)的展开式中二项式系数最大的项; (2)当 n≥2(n∈N*)时,试猜测

+

+

+…+

与 的大小并证明.

【考点】用数学归纳法证明不等式;等差数列的性质;二项式系数的性质. 【专题】不等式的解法及应用. 【分析】(1)由二项式定理和等差数列可得 m 的值,由二项式系数可得;

17

(2)由(1)知 an=3n﹣2,验证可得当 n=2 或 3 时, 论并由数学归纳法证明即可.21·世纪*教育网 【解答】解:(1)由二项式定理可得(1+ )m=1+
m

+

+

+…+

> ,猜测结



)+



)2+…+





, ,

由题意可得 a1=1,a2= ,a3=

由数列{an}是等差数列可得 2a2=a1+a3,解得 m=8,或 m=1(舍去) ∴展开式中第五项的二项式系数最大, ∴二项式系数最大的项为 T5= (2)由(1)知 an=3n﹣2, 当 n=2 时, + + +…+ = + + = + + = > ( )4= x4;

当 n=3 时,

+

+

+…+

=

+

+ …+

= +

+…+



猜测当 n≥2 时,

+

+

+…+

> ,下面由数学归纳法证明,

①由上述过程可知当 n=2 或 3 时,结论成立, ②假设 n=k 时,结论成立,即 + +…+ > ,

则当 n=k+1 时,

+

+…+

=(

+

+…+

)+ (

+

+…+





> +(

+

+…+



)> +



= +



由 k≥3 可得 3k2﹣7k﹣3>0,[3(k+1)2﹣2][3k﹣2]>0,

18



+

+…+



综合①②可得,当 n≥2 时,

+

+

+…+



【点评】本题考查不等式的证明,涉及数学归纳法和二项式定理以及等差数列的性质,属难 题.

19


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