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成都一诊数学试题(含答案)高三2013届


成都石室中学高三 2013 届一诊模拟试题

数 学 试 题 (理科)
一.选择题(本题共有 12 小题, 每题 5 分,共 60 分,每题恰有一个答案) 1. 已知 z ? 1 ? i ,则 ( A. )
4 3 ? i 5 5

1? z 等于 1? z2
4 3 ? i 5 5

B.



C. i

D. ?i (
? D. y ? cos( x ? )
2

? ? 2. 下列函数中, 周期为 ? , 且在 [ , ] 上为减函数的是
4 2



? A. y ? sin( x ? )
2

? B. y ? cos(2 x ? )
2

? C. y ? sin(2 x ? )
2

3. 1 ? x 展开式中不含 x 4 项的系数的和为

?

?

8





A.-1

B.0

C.1

D.2 的值为 ( )

l g 4.若函数 f ( x) ? log a x(其中 a ? 0, a ? 1) 满足 f (5) ? 2 , f ?1 2 2 则 (o )

5

A. log 5 2

B. log 2 5

C.4

D.2

5.将 4 名新来的同学分配到 A、B、C 三个班级中,每个班级至少安排 1 名学生,其中甲同学 不能分配到 A 班,那么不同的分配方案有 ( ) A. 18 种 B. 24 种 C. 54 种 D. 60 种

6.设 {an } 、 {bn } 分别为等差数列与等比数列,且 a1 ? b1 ? 4 , a4 ? b4 ? 1 ,则以下结论一定成 立的是 ( A. a2 ? b2 ) B. a3 ? b3 C. a5 ? b5 D. a6 ? b6

7.已知函数 f ( x) ? cos( x ? ? ),? ? R .若 lim
x ?0

f (? ? x) ? f (? ) 则函数 f(x)的解析式为 ( ? 1, x



A. f ( x) ? ? sin x

B. f ( x) ? ? cos x

C. f ( x) ? sin x

D. f ( x) ? cos x

8. 设随机变量 ? 服从标准正态分布 N ? 0,? ,在某项测量中,已知 P ? ? ? 1.96 ? ? 0.950, 1 则? 在

? ? ??, 1.96? 内取值的概率为
A.0.025
? ? ?
?

( C.0.950

) D.0.975
? ?

B.0.050

9.设 a, b, c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量,且满足 a 与 b 不共 线, a ? c , | a |?| c | , 则 | b ? c | 的值一定等于
?

?

?

? ?

(

)

A.以 a, b 为邻边的平行四边形的面积
? ?

? ?

B. 以 b, c 为两边的三角形面积
? ?

? ?

C. a, b 为两边的三角形面积 D. 以 b, c 为邻边的平行四边形的面积 10.已知 p 是 r 的充分条件而非必要条件, q 是 r 的充分条件, s 是 r 的必要条件, q 是 s 的必 要条件.现有下列命题: ① s 是 q 的充要条件; ② p 是 q 的充分非必要条件; ③ r 是 q 的必要非充分条件; ④ ?p是?s 的必要非充分条件; ⑤ r 是 s 的充分条件而不是必要条件, 则正确命题序号是 ( ) A.①④⑤ B.①②④ C.②③⑤ D. ②④⑤

11.某学校要召开学生代表大会,规定各班每 10 人推选一名代表,当各班人数除以 10 的余 数大于 6 时再增选一名代表. 那么各班可推选代表人数 y 与该班人数 x 之间的函数关 ... 系用取整函数 y=[x]([x]表示不大于 x 的最大整数)可以表示为 A.y=[
x ] 10


x?5 ] 10



B.y=[

x?3 ] 10

C.y=[

x?4 ] 10

D.y=[

12. 如图,在长方形 ABCD 中, AB= 3 ,BC=1, 为线段 DC 上一动点, E 现将 ? AED 沿 AE 折起, 使点 D 在面 ABC 上的射影 K 在直线 AE 上, E 从 D 运动到 C, K 所形成轨迹的长度为( 当 则 ) A.
D

3 2
E C

B.

2 3 3
D D'

C.

? 2
E C

D.

? 3

K B

A

B

A

二.填空题(每题 4 分,共 16 分) 13.设 y ? f ( x) 存在反函数 y ? f ?1 ( x) ,且函数 y ? x ? f ( x) 的图象过点(1,2),则函数
y ? f ?1 ( x) ? x 的图象一定过点

.

14.已知函数 f ( x) 的导函数为 f ?( x) ,且满足 f ( x) ? 3x 2 ? 2 xf ?(2) ,则 f ?(5) ?

15.将边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 对折成 120 ? 的二面角,则 B,D 在四面体 A-BCD 的

外接球球面上的距离为

? ( ? 16.已知定义域为 (0, ?) 的函数 f(x) 满足: 对任意 x ? 0, ?) ,恒有
成立;当 x ? (1,2] 时, f(x)=2-x 。给出如下结论: ①对任意 m ? Z ,有 f(2m )=0 ; ②函数 f(x) 的值域为 [0, ?) ; ? ③存在 n ? Z ,使得 f(2n +1)=9 ; ④“函数 f(x) 在区间 (a, b) 上单调递减”的充要条件是 “存在 k ? Z ,使得

f(2x)=2f(x)

(a, b) ? (2k , 2k ?1 ) ”.
其中所有正确结论的序号是

成都石室中学高 2012 届一诊模拟数学答题卷(理科)
13. 14. 15. 16.

三.解答题(本题共有 6 小题,共 74 分,写出必要的解答或证明过程) 17.(满分 12 分)在△ABC 中,A,B,C 的对边分别为 a , b , c ,且 a cos C, b cos B, c cos A 成等 差数列.(Ⅰ)求 B 的值; (Ⅱ)求 2sin 2 A ? cos( A ? C) 的范围.

18.(满分 12 分)某地区试行高考考试改革:在高三学年中举行 5 次统一测试,学生如果通 过其中 2 次测试即可获得足够学分升上大学继续学习,不用参加其余的测试,而每个学 生最多也只能参加 5 次测试.假设某学生每次通过测试的概率都是 1/3,每次测试通过 与否互相独立.规定:若前 4 次都没有通过测试,则第 5 次不能参加测试 (1)求该学生考上大学的概率.(2)记该生参加测试的次数为 ξ ,求 ξ 的分布列及 ξ 的 数学期望. 19. (满分 12 分)如图,五面体 ABCDE 中,正 ? ABC 的边长为 1,AE ? 平面 ABC,CD∥AE, 且 CD= AE.
? ? (I)设 CE 与平面 ABE 所成的角为 ? ,AE= k (k ? 0), 若 ? ? [ , ], 求 k 的取值范围;
6 4
1 2

(Ⅱ)在(I)和条件下,当 k 取得最大值时,求平面 BDE 与平面 ABC 所成 角的大小.
D

E

C

A

B

n 20. (满分 12 分) 设数列 ?an ? 满足 a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ... ? nan ? 2 ( n ? N *).

(I)求数列 ?an ? 的通项;

(II)设 bn ? n2an , 求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn .

21. (满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? (1)试判断函数 f ( x) 的单调性;

ln x ?1. x

(2)设 m ? 0 ,求 f ( x) 在 [m, 2m] 上的最大值; (3)试证明:对任意 n ? N * ,不等式 ln(
1? n e 1? n 都成立(其中 e 是自然对数的底数) . ) ? n n

22.(满分 14 分)已知数列 {an } 中, a1 ? 1 , a2 ? (1)求 a 3 、 a 4 的值; (2)求数列 {an } 的通项公式

(n ? 1)an 1 ,且 an ?1 ? ( n ? 2, 3, 4,? ) . n ? an 4

(3)求证:对一切 n ? N * 且 n ? 2 ) ,有 a22 ? a32 ? ? ? an2 ? .

1 6

成都石室中学高 2012 届一诊模拟

数 学 试 题 (理科) 答案
一.选择题(本题共有 12 小题, 每题 5 分,共 60 分,每题恰有一个答案) 1. 已知 z ? 1 ? i ,则 ( B A. )
4 3 ? i 5 5

1? z 等于 1? z2
4 3 ? i 5 5

B.

C. i

D. ?i

? ? 2. 下列函数中,周期为 ? ,且在 [ , ] 上为减函数的是
4 2

( C


2

? A. y ? sin( x ? )

? B. y ? cos(2 x ? )
2

? C. y ? sin(2 x ? )
2

? D. y ? cos( x ? )
2

3. 1 ? x 展开式中不含 x 4 项的系数的和为 ( A ) A.-1 B.0 C.1 D.2

?

?

8

4.若函数 f ( x) ? log a x (其中 a ? 0, a ? 1) 满足 f (5) ? 2 ,则 f ?1 (2log5 2) 的值为 ( D ) B. log 2 5 C.4 D.2

A. log 5 2

5.将 4 名新来的同学分配到 A、B、C 三个班级中,每个班级至少安排 1 名学生,其中甲同学 不能 分配到 A 班,那么不同的分配方案有 ( B ) A. 18 种 B. 24 种 C. 54 种 D. 60 种

6.设 {an } 、 {bn } 分别为等差数列与等比数列,且 a1 ? b1 ? 4 , a4 ? b4 ? 1 ,则以下结论一定成 立的是 ( A ) A. a2 ? b2 B. a3 ? b3 C. a5 ? b5 D. a6 ? b6

7.已知函数 f ( x) ? cos( x ? ? ),? ? R .若 lim
x ?0

f (? ? x) ? f (? ) ? 1,则函数 f(x)的解析式为 x

( A

) B. f ( x) ? ? cos x C. f ( x) ? sin x D. f ( x) ? cos x

A. f ( x) ? ? sin x

8. 设随机变量 ? 服从标准正态分布 N ? 0,? ,在某项测量中,已知 P ? ? ? 1.96 ? ? 0.950, 1 则? 在

? ? ??, 1.96? 内取值的概率为
( A ) B.0.050 C.0.950
?

A.0.025
? ? ?
?

D.0.975
?

9.设 a, b, c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量,且满足 a 与 b 不共 线, a ? c , | a |?| c | ,
?

?

?

则 | b ? c | 的值一定等于 ( A )
? ? ? ?

? ?

A.以 a, b 为邻边的平行四边形的面积
? ?

B. 以 b, c 为两边的三角形面积
? ?

C. a, b 为两边的三角形面积

D. 以 b, c 为邻边的平行四边形的面积

10.已知 p 是 r 的充分条件而非必要条件, q 是 r 的充分条件, s 是 r 的必要条件, q 是 s 的必 要条件.现有下列命题: ① s 是 q 的充要条件; ② p 是 q 的充分非必要 条件; ③ r 是 q 的必要非充分条件; ④ ?p是?s 的必要非充分条件; ⑤ r 是 s 的充分条件而不是必要条件 则正确命题序号是 ( B ) A.①④⑤ B.①②④ C.②③⑤ D. ②④⑤

11.某学校要召开学生代表大会,规定各班每 10 人推选一名代表,当各班人数除以 10 的余 数大于 6 ... 时再增选一名代表. 那么各班可推选代表人数 y 与该班人数 x 之间的函数关系用取整 函数

y=[x]([x]表示不大于 x 的最大整数)可以表示为 ( B ) x x?3 x?4 A.y=[ ] B.y=[ ] C.y=[ ] 10 10 10

D.y=[

x?5 ] 10

12. 如图,在长方形 ABCD 中, AB= 3 ,BC=1, 为线段 DC 上一动点, E 现将 ? AED 沿 AE 折起, 使点 D 在面 ABC 上的射影 K 在直线 AE 上,当 E 从 D 运动到 C,则 K 所形成轨迹的长度为 ( D ) A.
D

3 2
E C

B.

2 3 3
D D'

C.

? 2
E C

D.

? 3

K B

A

B

A

二.填空题(每题 4 分,共 16 分) 13.设函数 y ? f ( x) 存在反函数 y ? f ?1 ( x) ,且函数 y ? x ? f ( x) 的图象过点(1,2),则函数
y ? f ?1 ( x) ? x 的图象一定过点

. (-1,2)

14.已知函数 f ( x) 的导函数为 f ?( x) ,且满足 f ( x) ? 3x 2 ? 2 xf ?(2) ,则 f ?(5) ? _6_______

15.将边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 对折成 120 ? 的二面角,则 B、D 在四面体 A-BCD 的
2? 3

外接球球面上的距离为

( ? ( ? 16.已知定义域为 0, ?) 的函数 f(x) 满足:①对任意 x ? 0, ?) ,恒有 f(2x)=2f(x) 成

(1,2] 时, f(x)=2-x 。给出如下结论: 立;当 x ?

? ①对任意 m ? Z ,有 f(2m )=0 ;②函数 f(x) 的值域为 [0, ?) ;③存在 n ? Z ,使得

f(2n +1)=9 ;④“函数 f(x) 在区间 (a, b) 上单调递减”的充要条件是 “存在 k ? Z ,使得
。其中所有正确结论的序号是 (a, b) ? (2k , 2k ?1 ) ” ①②④

成都石室中学高 2012 届一诊模拟数学答案(理科)

BCADB AAAAB BD

13.(-1,2) 14.6 15.

2? 3

16. ①②④

三.解答题(本题共有 6 小题,共 74 分,写出必要的解答或证明过程) 17. 在△ABC 中,A、B、C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,且 a cos C, b cos B, c cos A 成等差数 列. (Ⅰ)求 B 的值; (Ⅱ)求 2sin 2 A ? cos( A ? C) 的范围. 解;(Ⅰ) 2bcos B ? acosC ? c cos A , ∴ 2sin B cos B ? sin A cos C ? sin C cos A ? sin( A ? C ) ? sin B ,∴ cos B ?
1 ? ,∴ B ? . 2 3

2 2 2 2 2 (Ⅱ) 2sin A ? cos( A ? C ) ? 2sin A ? cos( A ? ? ? A) ? 2sin A ? cos(2 A ? ? ) 3 3
1 3 1 3 ? ? 1 ? cos 2 A ? cos 2 A ? sin 2 A ? 1 ? 3( sin 2 A ? cos 2 A) ? 1 ? 3 sin(2 A ? ) 2 2 2 2 3
2 ? ? 3 ?? ? 1 ? ? ? 0 ? A ? ? , ? ? 2 A ? ? ? ,∴ ? ? sin ? 2 A ? ? ≤1 ,∴ 2sin 2 A ? cos( A ? C ) ? ? ? ,1 ? 3 ? . 3 3 3 2 3? ? 2 ? ?

18.某地区试行高考考试改革:在高三学年中举行 5 次统一测试,学生如果通过其中 2 次 测试即可获得足够学分升上大学继续学习,不用参加其余的测试,而每个学生最多也只 能参加 5 次测试.假设某学生每次通过测试的概率都是 1/3,每次测试通过与否互相独 立.规定:若前 4 次都没有通过测试,则第 5 次不能参加测试.(1)求该学生考上大学 的概率. (2)如果考上大学或参加完 5 次测试就结束,记该生参加测试的次数为 ξ ,求 ξ 的分布列及 ξ 的数学期望. 解:(1)记“该生考上大学”为事件 A,其对立事件为 A ,则 P( A )=C1( )( )3( )+( )4 4 =243+81=243.∴P(A)=1-P( A )=1-
64 16 112

1 3

2 3

2 3

2 3

112 131 = . 243 243

(2)该生参加测试次数 ξ 的可能取值为 2,3,4,5. P(ξ =3)=C1· · · = , 2
= 28 , 81

P(ξ =2)=( )2= , P(ξ =4)=C1·3·(3)2·3+(3)4=27+81 3
1 2 1 2 4 16

1 3

1 9

1 2 3 3

1 4 3 27

P(ξ =5)=C1·(3)·(3)3=81. 4 ξ
P

1

2

32

故 ξ 的分布列为: 4
28 81

2
1 9

3
4 27

5
32 81

Eξ =2×9+3×27+4×81+5×81= 81 . 19. (满分 12 分)如图,五面体 ABCDE 中,正 ? ABC 的边长为 1,AE ? 平面 ABC,CD∥AE, 且 CD= AE.
? ? (I)设 CE 与平面 ABE 所成的角为 ? ,AE= k (k ? 0), 若 ? ? [ , ], 求 k 的取值范围;
6 4
1 2

1

4

28

32 326

(Ⅱ)在(I)和条件下,当 k 取得最大 ABC 所成角的大小.
D

值时,求平面 BDE 与平面
E

C

A

B

解: (Ⅰ)如图以 C 为坐标原点,CA、CD 为 y、z 轴,垂直于 CA、CD 的直线 CT 为 x 轴, 建立空间
3 1 , ,0) . 2 2 ???? ? 3 3 3 3 取 AB 的中点 M,则 M ( , , 0) , 易知,ABE 的一个法向量为 CM ? ( , ,0) ,由题意 4 4 4 4

直角坐标系(如图) ,则设 A(0,1, 0) , D(0,0, ) , E (0,1, k ) , B(

k 2

??? ???? ? ? CE ? CM ? ? sin ? ? ????? ???? ? | CE |? | CM |

3 4 3 9 1? k ? ? 16 16
2

?

3 2 1? k2

.由 ? ? [ , ] ,则

? ? 6 4

3 2 1 ? sin ? ? ? , 2 2 2 2 1? k



2 ?k? 2 2

.???????6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 k 最大值为 2 ,则当 k ? 2 时,设平面 BDE 法向量为 n = ( x, y,z) ,则
? ???? 2 z ? 0, ?n ? DE ? y ? ? 2 ? ? 3 y 2 ? ??? ?n ? BE ? 2 x ? 2 ? 2 z ? 0. ?

取 n = (- 3,-1, 2) ,

又平面 ABC 法向量为 m = (0, 0,1) ,????10 分

所以 cos(n, m ) =

2 2 ? 3 ?1

?

3 3 ,所以平面 BDE 与平面 ABC 所成角大小 arccos . ??12 分 3 3
n

20. (满分 12 分)设数列 ?an ? 满足 a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ... ? nan ? 2

(n ? N *).

(I)求数列 ?an ? 的通项; 解 : ( I )

(II)设 bn ? n2an , 求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn .

?a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ... ? nan ? 2n , (n?1 a 1 ? ? 1② )
n n ?1



?



n?2





a1 ? 2 a2 ? 3 a3 ? . . ?n.?n

2
n ?1

,

将 ① - ② 得 nan ? 2 ? 2

? 2n?1 ,? an ?

2 (n ? 2). 在 ① 中 , 令 n ? 1, 得 n

a1

? 2 (n ? 1) ? 2. ? an ? ? 2n ?1 . ? (n ? 2) ? ? n
2

(II)由 bn ? n an 得 bn ? ? ?

?

2 (n ? 1)
n ?1

?n?2 ?

(n ? 2)

, 则当 n

? 1 时, S1 ? 2,

?


2 n

n?2
3 2 3



,
n ?1 n ?1

Sn ? 2 ? 2 ? 21 ? 3 ? 22 ? ... ? n? n ?1 , 2 ? n? , 2
n




2Sn ? 4 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ... ? (n ? 1)? 2

? Sn ? n?2 ? (2 ? 2 ? 2 ? ... ? 2
n

) ? (n ? 1)2n ? 2(n ? 2).

S1 ? 2, ? Sn ? (n ? 1)2 ? 2(n ? N *).

ln x ?1. x (1)试判断函数 f ( x) 的单调性; (2)设 m ? 0 ,求 f ( x) 在 [m, 2m] 上的最大值;

21. (满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

1? n e 1? n (3)试证明:对任意 n ? N * ,不等式 ln( 都成立(其中 e 是自然对数的底数) . ) ? n n 1 ? ln x .令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? e . x2 因为当 0 ? x ? e 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? e 时, f ?( x) ? 0 .

解: (1)函数 f ( x) 的定义域是 (0, ??) .由已知 f ?( x) ?

所以函数 f ( x) 在 (0, e] 上单调递增,在 [e, ??) 上单调递减. ( 2 ) 由 ( 1 ) 可 知 当 2m ? e , 即 m ?
f ( x)max ? f (2m) ? ln 2m ?1 . 2m
e ln m ? 1 .当 m ?e ? 2 ,即 ? m ? e 时, m 2 m e 时 , f ( x) 在 [m, 2m] 上 单 调 递 增 , 所 以 2

当 m ? e 时, f ( x) 在 [m, 2m] 上单调递减,所以 f ( x)max ?

1 f ( x)max ? f (e) ? ? 1 .综上所述, f ( x)max e

e ? ln 2m ? 2m ? 1, 0 ? m ? 2 ? e ?1 ? ? ? 1, ? m ? e e 2 ? ? ln m ? 1, m ? e ? ? m

1 ln x 1 (3) (1) 由 知当 x ? (0, ??) 时 f ( x)max ? f (e) ? ?1 . 所以在 x ? (0, ??) 时恒有 f ( x) ? ?1 ? ?1 , e x e



ln x 1 1 1? n ? ,当且仅当 x ? e 时等号成立.因此对任意 x ? (0, ??) 恒有 ln x ? .因为 ? 0, x e e n

1? n 1? n 1 1? n 1? n e 1? n 1? n e 1? n 所以 ln , ln( 即 . 因此对任意 n ? N * , 不等式 ln( . ? e, ? ? ) ? ) ? n n e n n n n n

22.(满分 14 分)已知数列 {an } 中, a1 ? 1 , a2 ?

(n ? 1)an 1 ,且 an ?1 ? ( n ? 2, 3, 4,? ) . n ? an 4

(1)求 a 3 、 a 4 的值; (2)求数列 {an } 的通项公式 (3)求证:对一切 n ? N * 且 n ? 2 ,有 a22 ? a32 ? ? ? an2 ? . 解: (1) a3 ?
1 1 , a4 ? . 7 10
n ? an n(an ? 1) 1 n 1 1 1 ?1 ? ? ? ( ? 1) ,累乘得 ? 1 ? n( ? 1) . an ?1 (n ? 1)an (n ? 1)an n ? 1 an an ?1 a2

1 6

(2)当 n ? 2 时,

整理得当 n ? 2 时,an ?1 ? (3)当 k ? 2 时,有 ak 2 ?

1 1 1 ,即 an ? .又 n ? 1 时也成立, an ? 故 ,n ? N * . 3n ? 1 3n ? 2 3n ? 2

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) ,从而 (3k ? 2) 2 (3k ? 4)(3k ? 1) 3 3k ? 4 3k ? 1

?a
k ?1

n

2

k

n 1 1 1 7 7 ? 1 ? ? ak 2 ? 1 ? ( ? ) ? .显然 a12 ? , 6 3 2 3n ?1 6 k ?2 n

故对一切 n ? N * ,有 ? ak 2 ? .
k ?1

7 6

(满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ln 1 ? 2 x ? mx . 22. (Ⅰ)若 f (x) 为定义域上的单调函数,求实数 m 的取值范围; (Ⅱ)当 m ? ?1 时,求函数 f (x) 的最大值;

4 f (a) ? f (b) ? ? 2. 3 a ?b 1 1 1 ?m 22.解: (Ⅰ) f ( x) ? ln 1 ? 2x ? mx ? ln(1 ? 2x) ? mx( x ? ? ) ,∴ f ' ( x) ? 2 2 1 ? 2x 1 1 1 1 ? m ? 0 ,即 m ? ? 若 f(x)在 (? ,??) 上是增函数,则 f ' ( x) ? 在 (? ,??) 恒成立, 2 1 ? 2x 2 1 ? 2x 1 1 1 1 ? 0 ,故 m≥0 若(x) (? ,??) 上是减函数,则 f ' ( x) ? ? m ? 0 ,即 m ? ? 而? f 在 1 ? 2x 2 1 ? 2x 1 ? 2x 1 1 1 ? 0 ,故这样的 m 不存在. ?m?0 在 (? ,??) 恒成立,而 ? 经检验,当 m≥0 时, f ' ( x) ? 2 1 ? 2x 1 ? 2x 1 对 x ? ? 恒成立,∴当 m≥0 时,f(x)在定义域上是单调增函数.---------------------1 分 2 1 2x ?1 ? ? (Ⅱ)当 m =-1 时, f ( x) ? ln 1 ? 2 x ? x ,则 f ' ( x) ? ----------1 分 1 ? 2x 1 ? 2x 1 当 x ? (? ,0) 时, f ' ( x) ? 0 ,此时 f(x)为增函数, 2
(Ⅲ)当 m ? 1 ,且 0 ? b ? a ? 1 时,证明:

当 x ? (0,?? ) 时, f ' ( x) ? 0 ,此时 f(x)为减函数----------------------------2 分 ∴ f (x) 在 x = 0 时取得最大值,最大值为 f ( x) max ? 0. ----------------------1 分 (Ⅲ)当 m = 1 时,令 g ( x) ? f ( x) ?
1 1 2(1 ? x) 4 1 1 x ? ln(1 ? 2x) ? x , g ' ( x) ? 1 ? 2 x ? 3 ? 3(1 ? 2 x) --1 分 3 2 3

在[0,1]上总有 g ' ( x) ? 0 ,即 g (x) 在[0,1]上递增------------------------------1 分 ∴当 0 ? b ? a ? 1 时, g (a ) ? g (b) ,即 f (a) ?

4 4 f (a) ? f (b) 4 a ? f (b) ? b ? ? ----1 分 3 3 a ?b 3

令 h( x) ? f ( x) ? 2 x ? ln(1 ? 2 x) ? x , 由 ( Ⅱ ) 知 它 在 [0,1] 上 递 减 , 所 以 当 0 ? b ? a ? 1

1 2

f (a) ? f (b) ?2 a ?b 4 f (a) ? f (b) 综上所述,当 m = 1,且 0 ? b ? a ? 1 时, ? ? 2 ---------------1 分 3 a ?b
时, h(a) ? h(b) ,即 f (a) ? 2a ? f (b) ? 2b ?


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