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2016年高中数学 第一章 算法初步 章末优化总结学案 新人教A版必修3

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章末优化总结

算法设计 算法设计与一般意义上的解决问题不同,它是对一类问题的一般解法的抽象和概括,算 法设计应注意: (1)与解决问题的一般方法相联系,从中提炼出算法; (2)将解决问题的过程分为若干个可执行的步骤; (3)引入有关的参数或变量对算法步骤加以表达; (4)用最简练的语言将各个步骤表达出来. 已知平面直角坐标系中的两点 A(-1,0),B(3,2),写出求线段 AB 的垂直平分线 方程的一个算法. -1+3 0+2 [解] 第一步,计算 x0= =1,y0= =1,得 AB 的中点 N(1,1). 2 2 2-0 1 第二步,计算 k1= = ,得 AB 的斜率. 3-(-1) 2 1 第三步,计算 k=- =-2,得 AB 垂直平分线的斜率.

k1

第四步,得线段 AB 垂直平分线的方程 y-y0=k(x-x0),

-1-

即 y-1=-2(x-1).

程序框图的画法 程序框图是用规定的程序框、流程线及文字说明来准确、直观形象地表示算法的图形, 画程序框图前,应先对问题设计出合理的算法,然后分析算法的逻辑结构,画出相应的程序 框图.在画循环结构的程序框图时应注意选择合理的循环变量及判断框内的条件. 画出一个计算 1×3×5×?×99 的程序框图. [解] 法一:当型循环结构程序框图如图(1)所示: 法二:直到型循环结构程序框图如图(2)所示:

程序框图的识别与解读 识别程序框图和完善程序框图是高考的重点和热点.解决这类问题:首先,要明确程序 框图中的顺序结构、条件结构和循环结构;第二,要识别程序框图的运行,理解框图解决的 实际问题;第三,按照题目的要求完成解答.另外框图的考查常与函数和数列等结合. 若执行如图所示的框图, 输入 x1=1, x2=2, x3=4, x4=8, 则输出的数等于________.

[解析] 输出的是四个数的平均数, 1+2+4+8 15 即输出的是 = . 4 4

-2-

[答案]

15 4

用基本算法语句编写程序 基本算法语句有输入、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句五种,它们对应于算 法的三种逻辑结构:顺序结构、条件结构、循环结构.用基本语句编写程序时要注意各种语 句的格式要求,特别是条件语句和循环语句,应注意这两类语句中判断条件的表述及循环语 句中有关变量的取值范围. 请写出如图所示的程序框图描述的算法的程序.

x-1,x>1 ? ? [解] 这是一个求分段函数 y=?2x+1,-1≤x≤1的函数值的算法,输入、输出框分别 ? ?x+1,x<-1
对应输入、输出语句,判断框对应条件语句. 所求算法程序为: INPUT x IF x>1 THEN y=x-1 ELSE IF x<-1 THEN y=x+1 ELSE y=2*x+1 END IF END IF PRINT y END

1.下列给出的赋值语句正确的有(

)
-3-

(1)赋值语句 2=A; (2)赋值语句 x+y=2; (3)赋值语句 A-B=-2; (4)赋值语句 A=A*A. A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 解析:选 B.对于(1)赋值语句中“=”左、右不能互换,即不能给常量赋值,左边必须为 变量,右边必须是表达式,若改写为 A=2 就正确了;(2)赋值语句不能给一个表达式赋值, 所以(2)是错误的;同理(3)也是错误的,这四种说法中只有(4)是正确的. 2.(2014·高考课标全国卷Ⅱ)执行如图所示的程序框图,如果输入的 x,t 均为 2,则输 出的 S=( )

A.4 B.5 C.6 D.7 解析:选 D.x=2,t=2,M=1,S=3,k=1.

k≤t,M= ×2=2,S=2+3=5,k=2; k≤t,M= ×2=2,S=2+5=7,k=3;
3>2,不满足条件,输出 S=7. 3.写出如图所示的程序框图的运行结果:若 R=8,则 a=________. 2 2

1 1

解析:a=2

8 =4. 2

答案:4 3 2 4.用秦九韶算法求 f(x)=x -3x +3x+2 当 x=2 时的值,并探索有无更简便算法. 解:(1)由已知 f(x)=((x-3)x+3)x+2, 按从内到外的顺序,依次计算一次多项式当 x=2 时的值. v0=1, v1=1×2-3=-1,

-4-

v2=(-1)×2+3=1, v3=1×2+2=4, 所以当 x=2 时多项式的值为 4. (2)探索:由于 x=2 时多项式的值为 4, 3 3 3 2 所以 1 =(x-1) =x -3x +3x-1. 3 2 所以有(x -3x +3x-1)+3=1+3=4. 即当 x=2 时,多项式的值为 4.

[A.基础达标] 1.给出以下几个问题: ①输入 x, 输出它的相反数 ②求面积为 6 的正方形的周长 ③求函数 f(x)=?
? ?x-1,x≥0 ?x+3,x<0 ?

的函数值

其中不需要用条件语句来描述其算法的有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.0 个 解析:选 B.①、②不需要使用条件语句. 7 6 5 4 3 2 2.用秦九韶算法计算多项式 f(x)=2x +x +x +x +3x +x +2x+1 当 x=2 时的函数值 时,需要做的加法和乘法的次数分别是( ) A.7,4 B.4,7 C.7,7 D.4,4 7 6 5 4 3 2 解析:选 C.f(x)=2x +x +0×x +0×x +3x +0×x +2x+1=((((((2x+1)x+1)x+ 1)x+3)x+1)x+2)x+1,所以需要做 7 次加法,7 次乘法. 3.(2015·济南期末)执行如图所示的程序框图,若输入 n=7,则输出的值为( )

A.2 B.3 C.4 D.5 解析:选 D.依题意可知,k=1,n=13;k=2,n=25;k=3,n=49;k=4,n=97;k =5,n=193>100,满足条件.故输出 k 的值为 5. 4.(2015·衡阳模拟)执行如图所示的程序框图,若输入的 N 的值为 6,则输出的 p 的值

-5-

为(

)

A.120 B.720 C.1 440 D.5 040 解析:选 B.由程序框图,可得 k=1,p=1,1<6;k=2,p=2,2<6;k=3,p=6,3<6; k=4,p=24,4<6;k=5,p=120,5<6;k=6,p=720,6=6,不满足条件.故输出的 p 的 值为 720. 5.(2015·湖南师大附中月考)执行如图所示的程序框图,则计算机输出的所有点(x,y) 所满足的函数为( )

A.y=x+1 B.y=2x x-1 x C.y=2 D.y=2 解析:选 D.由题意,该程序共输出 4 个点(1,2),(2,4),(3,8),(4,16),易知这 4 x 个点都在函数 y=2 的图象上. 6.计算函数 y=?
? ?x+1,x<0, ?x-1,x≥0, ?

的算法步骤为:第一步,输入 x;第二步,如果 x<0,则

使 y=x+1,否则执行第三步;第三步,________,第四步,输出 y.(将第三步完整填写) 解析:第三步为 y=x-1. 答案:y=x-1 7.(2015·长沙模拟)执行如图所示的程序框图,若输入 x=8,则输出的 k=________.

-6-

解析:依题意,得 x=88,k=1,x<2 015;x=888,k=2,x<2 015;x=8 888,k=3, x>2 015,满足条件.故输出的 k 的值为 3. 答案:3 8.(2014·高考山东卷)执行如图所示的程序框图,若输入的 x 的值为 1,则输出的 n 的 值为________.

解析:由 x -4x+3≤0,解得 1≤x≤3. 当 x=1 时,满足 1≤x≤3,所以 x=1+1=2,n=0+1=1; 当 x=2 时,满足 1≤x≤3,所以 x=2+1=3,n=1+1=2; 当 x=3 时,满足 1≤x≤3,所以 x=3+1=4,n=2+1=3; 当 x=4 时,不满足 1≤x≤3,所以输出 n=3. 答案:3 9. 小明第一天背一个单词, 第二天背两个单词, 以后每一天都比前一天多背一个单词. 问 他前十天共背了多少个单词?(给出该问题的算法语句) 解: s=0 i=1 WHILE i<=10 s=s+i i=i+1 WEND PRINT s END 10.某中学男子体育组的百米赛跑的成绩(单位:秒)如下:12.1,13.2,12.7,12.8, 12.5,12.4,12.7,11.5,11.6,11.7.设计一个算法从这些成绩中搜索出所有小于 12.1 秒
-7-

2

的成绩,画出程序框图,并编写相应的程序. 解:程序框图:

程序: i=1 WHILE i<=10 INPUT Gi IF Gi<12.1 THEN PRINT Gi END IF i=i+1 WEND END [B.能力提升] 1.将二进制数 10 011(2)化为五进制为( ) A.32 B.33 C.34 D.35 4 0 解析:选 C.由 10 011(2)=2 +2+2 =19,得 19=3×5+4=34(5). 2.(2014·高考课标全国卷Ⅰ)执行如图所示的程序框图,若输入的 a,b,k 分别为 1,2, 3,则输出的 M=( )

-8-

A. C.

20 3 7 2

. .

16 5 15 8

1 3 3 解析:选 D.当 n=1 时,M=1+ = ,a=2,b= ; 2 2 2 2 8 3 8 当 n=2 时,M=2+ = ,a= ,b= ; 3 3 2 3 3 3 15 8 15 当 n=3 时,M= + = ,a= ,b= ; 2 8 8 3 8

n=4 时,终止循环.输出 M= .
3. INPUT x IF x<0 THEN y=π *x/2+3 ELSE IF x>0 THEN y=-π *x/2+5 ELSE y=0 END IF END IF PRINT y END 如果输入 x=-2,则输出结果 y 为________. π 解析:若输入 x=-2,则满足第一个条件 x<0 成立,故执行 y= *x+3,即可得到结 2 果. 答案:-π +3 4.执行下面的程序输出的结果是________. i=1 s=0 WHILE i<=4 s=s*2+1 i=i+1 WEND PRINT s END 解析:当 i=1 时,s=0×2+1=1;当 i=2 时,s=1×2+1=3;当 i=3 时,s=3×2 +1=7;当 i=4 时,s=7×2+1=15. 答案:15 1 1 1 1 5.设计算法求 + + +?+ 的值.要求画出程序框图. 1×2 2×3 3×4 99×100
-9-

15 8

解:程序框图如图:

6.(选做题)到银行办理个人异地汇款(不超过 100 万)时,银行要收取一定的手续费,汇 款额不超过 100 元,收取 1 元手续费;超过 100 元但不超过 5 000 元,手续费按汇款额的 1% 收取;超过 5 000 元,一律收取 50 元手续费,请为银行设计一个程序要求输入汇款额 x 元, 输出银行应收取的手续费 y. 解:程序如下: INPUT x IF x>0 AND x<=100 THEN y=1 ELSE IF x<=5 000 THEN y=0.01*x ELSE y=50 END IF END IF PRINT y END

(时间:100 分钟,满分:120 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.下面对算法描述正确的一项是( ) A.算法只能用自然语言来描述 B.算法只能用图形方式来表示 C.同一个问题可以有不同的算法 D.同一问题的算法不同,结果必然不同 解析:选 C.算法可以用自然语言、程序框图、程序语句等来描述,同一个问题可以有不 同的算法,但结果是相同的. 2. 算法共有三种逻辑结构, 即顺序结构、 条件结构和循环结构, 下列说法正确的是( )
- 10 -

A.一个算法只含有一种逻辑结构 B.一个算法最多可以包含两种逻辑结构 C.一个算法必须含有上述三种逻辑结构 D.一个算法可以含有上述三种逻辑结构 解析:选 D.一个算法中具体含有哪种结构,主要看如何解决问题或解决怎样的问题,以 上三种逻辑结构在一个算法中都有可能体现,故选 D. 3.(2015·日照高一检测)如果执行如图所示的程序框图,输入正整数 N(N≥2)和实数 a1, a2,?,aN,输出 A,B,则( )

A.A+B 为 a1,a2,?,aN 的和 B.

A+B
2

为 a1,a2,?,aN 的算术平均数

C.A 和 B 分别是 a1,a2,?,aN 中最大的数和最小的数 D.A 和 B 分别是 a1,a2,?,aN 中最小的数和最大的数 解析:选 C.由于 x=ak,且 x>A 时,将 x 值赋给 A,因此最后输出的 A 值是 a1,a2,?, aN 中最大的数;由于 x=ak,且 x<B 时,将 x 值赋给 B,因此最后输出的 B 值是 a1,a2,?, aN 中最小的数,故选 C. 4.(2014·高考湖南卷)执行如图所示的程序框图,如果输入的 t∈[-2,2],则输出的 S 属于( )

- 11 -

A.[-6,-2] B.[-5,-1] C.[-4,5] D.[-3,6] 解析: 选 D.由程序框图知, 当 0≤t≤2 时, 输出 S=t-3, 此时 S∈[-3, -1]; 当-2≤t 2 <0 时,执行 t=2t +1 后 1<t≤9,执行 1<t≤9 时,输出 S=t-3,此时 S∈(-2,6].因 此输出 S 的值属于[-3,6]. 5.下面的程序框图输出的数值为( )

A.62 B.126 C.254 D.510 1 2 3 4 5 6 解析:选 B.根据所给程序框图可知 S=2 +2 +2 +2 +2 +2 =126,故选 B. 6.下列程序的功能是( ) S=1 i=3 WHILE S<=10 000 S=S*i i=i+2 WEND PRINT i END A.求 1×2×3×4×?×10 000 的值 B.求 2×4×6×8×?×10 000 的值 C.求 3×5×7×9×?×10 001 的值 D.求满足 1×3×5×?×n>10 000 的最小正整数 n 解析:选 D.法一:S 是累乘变量,i 是计数变量,每循环一次,S 乘以 i 一次且 i 增加 2. 当 S>10 000 时停止循环,输出的 i 值是使 1×3×5×?×n>10 000 成立的最小正整数

n.
- 12 -

法二:最后输出的是计数变量 i,而不是累乘变量 S. 2 4 6 7.用秦九韶算法求多项式 f(x)=208+9x +6x +x 当 x=-4 时的值时,v2 的值为( ) A.-4 B.1 C.17 D.22 解析:选 D.v0=1;v1=1×(-4)+0=-4;v2=-4×(-4)+6=22. 8.(2015·武汉市调研)执行如图所示的程序框图,若输出的结果是 9,则判断框内 m 的 取值范围是( )

A.(42,56] B.(56,72] C.(72,90] D.(42,90] 解析:选 B.第一次运行:S=2,k=2;第二次运行:S=6,k=3;?;第七次运行:S =56,k=8;第八次运行:S=2+4+6+?+16=72,k=9,输出结果.故判断框中 m 的取 值范围是(56,72]. 9.(2013·高考天津卷)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出 n 的值为 ( )

A.7 B.6 C.5 D.4 解析:选 D.n=1,S=0. 1 第一次:S=0+(-1) ×1=-1,-1<2,n=1+1=2, 2 第二次:S=-1+(-1) ×2=1,1<2,n=2+1=3, 3 第三次:S=1+(-1) ×3=-2,-2<2,n=3+1=4, 4 第四次:S=-2+(-1) ×4=2,2=2, 满足 S≥2,跳出循环,输出 n=4. 10.(2015·厦门质检)如图是判断“美数”的流程图,在[30,40]内的所有整数中, “美 数”的个数是( )

- 13 -

A.3 B.4 C.5 D.6 解析:选 A.依题意可知,题中的“美数”包括 12 的倍数与能被 3 整除但不能被 6 整除的 数.由此不难得知,在[30,40]内的“美数”有 3×11、12×3、3×13 这三个数. 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在题中横线上) 11.三个数 390,455,546 的最大公约数是________. 解析:390 与 455 的最大公约数是 65,65 与 546 的最大公约数为 13,可以用辗转相除法 或更相减损术来求. 答案:13 12.把七进制数 1 620(7)化为二进制数为________. 3 2 解析:1 620(7)=1×7 +6×7 +2×7+0=651, 651=1 010 001 011(2), ∴1 620(7)=1 010 001 011(2).

答案:1 010 001 011(2) 13.下面程序运行后输出的结果为________. x=-5 y=-20 IF x<0 THEN y=x-3 ELSE y=x+3 END IF PRINT x-y,y-x END 解析:∵输入 x=-5<0, ∴y=x-3=-5-3=-8,
- 14 -

∴输出 x-y=-5-(-8)=3,y-x=-8-(-5)=-3. 答案:3,-3 -2 ?1? 14.对任意非零实数 a,b,若 a?b 的运算原理如图所示,则 log28?? ? =________. ?2?

-2 -2 4-1 ?1? ?1? 解析:log28<? ? ,由题意知,log28?? ? =3?4= =1. 3 ?2? ?2? 答案:1 15.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的 S 值等于 ________. 解析:第一次循环:S=1,k=1<4,S=2×1-1=1,k=1+1= 2. 第二次循环:k=2<4,S=2×1-2=0,k=2+1=3. 第三次循环:k=3<4,S=2×0-3=-3,k=3+1=4, 当 k=4 时,k<4 不成立,循环结束,此时 S=-3. 答案:-3 三、解答题(本大题共 5 小题,共 50 分.解答时应写出必要的文字 说明、证明过程或演算步骤) 5 4 3 16. (本小题满分 8 分)用秦九韶算法计算函数 f(x)=2x +3x +2x -4x+5 当 x=2 时的函数值. 解:根据秦九韶算法,把多项式改写成如下形式: f(x)=((((2x+3)x+2)x+0)x-4)x+5. 从内到外的顺序依次计算一次多项式当 x=2 时的值: v0=2; v1=2×2+3=7; v2=v1×2+2=16; v3=v2×2+0=32; v4=v3×2-4=60; v5=v4×2+5=125. 所以,当 x=2 时,多项式的值等于 125.
? ?x -3 (x≥0), 17.(本小题满分 8 分)已知函数 y=? 2 画出程序框图,对每一个输入的 ? ?2x -6 (x<0),
2

x 值,都得到相应的函数值.
- 15 -

解:程序框图如图所示:

18.(本小题满分 10 分)以下是某次数学考试中某班 15 名同学的成绩(单位:分):72, 91,58,63,84,88,90,55,61,73,64,77,82,94,60.要求用程序框图将这 15 名同 学中成绩高于 80 分的同学的平均分数求出来. 解:程序框图如图所示:

19.(本小题满分 12 分)已知某算法的程序框图如图所示, 若将 出的(x,y)值依次记为(x1,y1),(x2,y2),?,(xn,yn),? (1)若程序运行中输出的一个数组是(9,t),求 t 的值; (2)程序结束时,共输出(x,y)的组数为多少; (3)写出程序框图的程序语句. 解:(1)开始时,x=1 时,y=0;接着 x=3,y=-2;然后 x 9,y=-4,所以 t=-4; (2)当 n=1 时,输出一对,当 n=3 时,又输出一对,?,当 2 013 时,输出最后一对,共输出(x,y)的组数为 1 007; (3)程序框图的程序语句如下:





n=

- 16 -

x=1 y=0 n=1 DO PRINT (x,y) n=n+2 x=3*x y=y-2 LOOP UNTIL n>2 014 END 20.(本小题满分 12 分)一个数被 3 除余 2,被 7 除余 4,被 9 除余 5,求满足条件的最小 正整数.画出程序框图,并写出程序.

m=3x+2, ? ? 解:此问题即求不定方程组?m=7y+4,的正整数解,首先可以从 m=2 开始检验条件, ? ?m=9z+5
若三个条件任何一个不满足,则 m 递增 1,一直到 m 同时满足 3 个条件为止.程序框图如图:

程序如下: m=2 WHILE m MOD 3<>2 m MOD 7<>4 OR m MOD 9<>5 m=m+1 WEND PRINT m END OR

- 17 -


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