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函数值域的求法


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一、配方法
形如 y=af 2(x)+bf(x)+c(a≠0) 的函数常用配方法求函数的值 域, 要注意 f(x) 的取值范围. 例1 (1)求函数 y=x2+2x+3 在下面给定闭区间上的值域: ①[-4, -3]; ②[-4, 1]; ③[-2, 1]; ④[0, 1]. [6, 11]; [2, 6]; [3, 6]. [

2, 11]; (2)求函数 y=sin2x+4cosx+1 的值域. [-3, 5].

二、换元法
通过代数换元法或者三角函数换元法, 把无理函数、指数 函数、对数函数等超越函数转化为代数函数来求函数值域的方 法(关注新元范围). 例2 求下列函数的值域: 3 (1) y=x- x-1 ; [ 4 , +∞ ) (2) y=x+ 2-x2 ; [- 2 , 2] (3) y=sinx+cosx+sinxcosx+1 . [0, 3 2+ 2 ]

三、方程法
利用已知函数的值域求给定函数的值域. 例3 求下列函数的值域: 2x (1)y= x ; (0, 1) 2 +1 sinx+2 (2)y= ; [- 3 , - 1 ] 2 4 sinx-3 7] (3)y=3+ 2+x + 2-x ; [5, 3+2 2 ] [7 , 9 8 4 ], 求 y=f(x)+ 1-2f(x) 的值域. (4)若f(x)的值域为[ 3 , 8 9

四、分离常数法

主要适用于具有分式形式的函数解析式, 通过变形, 将函 数化成 y=a+ b 的形式. g(x) 2x sinx+2 (1) y = ; 例4 求下列函数的值域: 2x+1 (2)y= sinx-3 . 3 1 [(0, 1) 2, - 4 ]

五、判别式法
能转化为 A(y)x2+B(y)x+C(y)=0 的函数常用判别式法求函 数的值域. dx2+ex+f 主要适用于形如 y = 2 (a, d不同时为零)的函数(最 ax +bx+c 好是满足分母恒不为零). x2-x 例5 求函数 y = 2 的值域. [1- 2 33 , 1+ 2 33 ] x +x+1

六、均值不等式法
利用基本不等式求出函数的最值进而确定函数的值域. 要 注意满足条件“一正、二定、三等”. 例6 求下列函数的值域: 2-2x+5 2x x (1)y= 2 ; (2)y= (x>1) . x 1 x +1 [-1, 1] [4, +∞)

七、利用函数的单调性
主要适用于 (1) y=ax+b+ cx+d (ac>0)形式的函数; (2)利用 k (k>0)的最值(等号不成立)时. 基本不等式不能求得 y=x+ x 例7 求下列函数的值域: (1)y= 1-2x - x ; [- 1 , +∞ ) 2 4 [5, +∞) (2)y=x+ x (0<x≤1); (3)y= x+3 - x . (0, 3 ]

八、数形结合法
当函数的解析式明显具备某种几何意义, 像两点间的距离 公式、直线斜率等时可考虑用数形结合法. 例8 求下列函数的值域: (1)y=|x-1|+|x+4| ; [5, +∞) (2)y= sinx-3 ; [-2- 2 3 , -2+ 2 3 ] 2+cosx 3 3 (3)y= 2x2-6x+9 + 2x2-10x+17 ; [2 5 , +∞) (4) 若 x2+y2=1, 求 x+y 的取值范围; (5) 若 x+y=1, 求 x2+y2 的取值范围.

[- 2 , 2 ] [1 2 , +∞ )

九、导数法
对于可导函数, 可利用导数的性质求出函数的最值, 进而 求得函数的值域. 例9 求下列函数在给定区间上的值域: 4 [4, 5] (1)y=x+ x , x∈[1, 4]; (2)y=x5-5x4+5x3+2, x∈[-1, 2]. [-9, 3]

值域课堂练习题
1.求下列函数的值域: (1) y= 3x+1; x- 2 (2) y=2x+4 1-x ;

(1)(-∞, 3)∪(3, +∞) (2)(-∞, 4]
(3)[-1, 2 ] (4)[3, +∞)
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(3) y=x+ 1-x2 ; (4) y=|x+1|+ (x-2)2 ;

(5) y= sinx ; 2-cosx
2-x-2 2 x (6) y= 2 ; x +x+1 2-x+1 1 2 x (7) y= 2x-1 ( 2 <x≤ 3 ); 2

3 3 (5)[- 3 , 3 ] 1+2 13 1 2 13 (6)[ 3 , 3 ] 2 , +∞ ) (7)[ 1+2 2 (8)[-1, +∞) (9)[ 1 3 , 3] (10)[ 26 , +∞)

(8) y=x+ x+1 ;

(9) y= 2-sinx ; 2+sinx
(10) y= x2+4 + (x+1)2+9 .
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2+8x+n mx 2.若函数 f(x)=log3 的定义域为 R, 值域为[0, 2], 2 x +1 求 m 与 n 的值. 解: ∵f(x) 的定义域为 R, ∴mx2+8x+n>0 恒成立. mx2+8x+n , 则 1≤y≤9. ∴△=64-4mn<0 且 m>0. 令 y= x2+1 mx2+8x+n 问题转化为 x∈R 时, y= 的值域为[1, 9]. 2 x +1 变形得 (m-y)x2+8x+(n-y)=0,

当 m≠y 时, ∵x∈R, ∴△=64-4(m-y)(n-y)≥0. 整理得 y2-(m+n)y+mn-16≤0. m+n=1+9, 依题意 mn-16=1×9, 解得 m=5, n=5. 当 m=y 时, 方程即为 8x+n-m=0, 这时 m=n=5 满足条件. 故所求 m 与 n 的值均为 5.


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