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三角函数的求值、化简与证明(教案)


高一(1)部数学备课小组

2013 年 6 月 4 日

三角函数的求值、化简与证明
教学目标 1、 掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式。掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式,能正 确运用三角公式进行三角函数的化简证明求值; 2、 培养学生分析问题解决问题的能力,培养热爱数学。 教学重点 掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式。掌握

二倍角的正弦、余弦、正切公式。 教学难点 能正确运用三角公式进行三角函数的化简证明求值 教学过程 一、知识归纳 1、两角和与差公式:

sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?
t a n? ? ? ? ? ? t a n ? t a?n ? 1? t a ? t a n n ?

cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ?



2、二倍角公式: sin 2? ? 2sin ? cos ? ,

tan? ? 2

2 t a? n 2 1 ? t a n?

cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2sin 2 ?
公式变形: sin ? cos ? ?

1 sin 2? 2 1 ? cos 2? 1 ? cos 2? 2 sin 2 ? ? , cos ? ? 2 2

3、三角函数式化简的一般要求: ①函数名称尽可能少, ②项数尽可能少,③次数尽可能低,尽可能求出值 ④尽量使分母不含三角函数,⑤尽量使被开方数不含三角函数 4、求值问题的基本类型及方法: (1)“给角求值”一般所给的角都是非特殊角,解题时应注意观察非特殊角与特殊角之间的 关系。 (2) “给值求值”即给出某些角的的三角函数式的值,求另一些角的三角函数值,解题关键 在于变角,使其角相同。 (3) “给值求角”关键是变角,把所求的角用含已知角的式子表示。 5、证明三角恒等式的思路和方法: ①思路:利用三角公式进行化名,化角,使等式两端化“异”为“同” 。 ②证明三角不等式的方法: 比较法、配方法、反证法、分析法,利用函数单调性,利用正余弦函数的有界性,利用 单位圆三角函数线及判别法等。 二、典例分析: 题型一:三角函数式的化简
2 2 2 2 例 1:化简 : sin ? ? sin ? ? cos ? ? cos ? ?

1 cos 2? ? cos 2? 2

分析:化简时使角尽量少,幂次尽量低,不含切割函数,时时要注意角之间的内在联系。

高一(1)部数学备课小组

2013 年 6 月 4 日

解略。 演练反馈:

?? ? ?? ? ? x ? ? 6 cos ? ? x ? ?4 ? ?4 ? ? ? ? 解:原式= 2 2 cos ? x ? ? 12 ? ? 2sin 2? cos 2 ? 2. (全国卷 2) ? ? ( B) 1 ? cos 2? cos 2? 1 A. tan ? B. tan 2? C.1 D. 2
1.化简: 2 sin ? 题型二:三角函数式的求值 例 2:求值

sin50? (1 ? 3 tan10? ) ? cos 20? ) cos 80? 1 ? cos 20?

(金版教程例 2 p144)

解:原式= 2 例 3:已知 sin ? ? A.-7

3 , ? 是第二象限角,且 tan(? ? ? ) ? 1 ,则 tan ? 的值是( ) 5 3 3 B.7 C. ? D. 4 4

演练反馈: 1. tan15? ? cot15? ? ( C) A.2 2. B. 2 ? 3 C.4 D.

cot 20? ? cos10? ? 3sin10? ? tan 70? ? 2cos 40? ? 2 4 4 3.y= cos x ? sin x 的最小正周期( ? )
3.已知 sin 2 ? cos 2 =a,则 cos 4 =( ? 4.已知 3sin 解:
2

2a2 ? a4

) 的值。

A? B A? B ? cos 2 ? 2 , c A ? 0 B ? )求 tan A ? tan B s o s (o c 2 2

1 2

5.设 cos(? ?

? 1 ? 2 ? ) ? ? , sin( ? ? ) ? ,且 ? ? ? ? 2 9 2 3 2
解: ?

,0 ? ? ?

? ,求 2

c o s? ? ? ) (

239 729

6.已知 A、B 为锐角,且满足 tan A tan B ? tan A ? tan B ? 1, 则

cos( A ? B) ? ( ?
7.若 sin A ?

2 ) 。 2

5 10 ,sin B ? ,且 A,B 均为钝角,求 A+B 的值。 5 10

高一(1)部数学备课小组

2013 年 6 月 4 日

解:A+B=

7? 4

8.已知 cos(? ? ? ) ? 0, tan

? ? 0, 则下列不等式关系式中必定成立的是: ( 2
? ? ? cos 2 2
C、 sin

c )

A、 tan

? ? ? cos 2 2

B、 tan

? ? ? cos 2 2
2

D、 sin

? ? ? cos 2 2

9、A、B、C 是Δ ABC 的三个内角,且 tan A, tan B 是方程 3x ? 5 x ? 1 ? 0 的两个实数根, 则Δ ABC 是( 钝角三角形 ) 题型三:三角函数式的证明 例 4:证明 证明略 演练反馈:

1 ? cos x sin x ? sin x 1 ? cos x

1 ? cos x ? cos
求证:

x 2 ? sin x x 1 ? cos x sin x ? sin 2

三、小结 1.三角函数的化简、求值、证明的基本思路是:一角二名三结构,即首先观察角与角之间的 关系,注意角的一些常用变式,角的变换是三角函数变换的核心;其次看函数名称之间的关 系,通常“切化弦” ;再次观察代数式的结构特点. 2.(1)三角函数的化简、求值、证明的基本解题规律:观察差异(或角,或函数,或运算),寻 找联系(借助于熟知的公式、方法或技巧),分析综合(由因导果或执果索因),实现转化. (2)三角函数求值问题一般是运用基本公式,将未知角变换为已知角求解.在解题中,特殊角 的三角函数值一般情况下可先求出,同时要注意观察各角之间的和、差是否构成特殊角,以 便化繁为简,从而使求值(或证明)问题化难为易. 3.常见三角函数式的求值问题的四种类型: (1)不含特殊角的三角函数式的求值; (2)含特殊角的三角函数式的求值; (3)给出某些角的三角函数的值,求与该角有关的三角函数式的值; (4)给出三角函数式的值求角. 解法:(1)发现、挖掘角的某种特殊关系;(2)灵活运用三角公式中切与弦、和与差、倍与半、 升幂与降次的转换方法;(3)关键在于“变角”(角的配凑);(4)先解所求角的三角函数,再确 定角的取值.


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