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【2016届走向高考】高三数学一轮(人教B版)基础巩固:第10章 第2节 用样本估计总体


第十章

第二节

一、选择题 1.一个样本容量为 9 的样本数据,它们组成一个公差不为 0 的等差数列{an},若 a3=8, 且 a1,a3,a7 成等比数列,则此样本的中位数是( A.12 C.14 [答案] A
2 [解析] 设等差数列的公差为 d,据题意由 a2 3=a1a7,得 8 =(8-2d)(8+4d)(d≠0)

,解得 d

)

B.13 D.15

=2,即 an=2n+1,数列为单调递增的数列,且样本容量为 9,故其中位数即为 a5=2×5+2 =12. 2.在某次测量中得到的 A 样本数据如下:82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若 B 样本数据恰 好是 A 样本数据每个都加 2 后所得数据,则 A、B 两样本的下列数字特征对应相同的是( A.众数 C.中位数 [答案] D [解析] A 的众数 88,B 的众数为 88+2=90. 86+86 88+88 “各样本都加 2”后,平均数显然不同.A 的中位数 =86,B 的中位数 =88, 2 2 而由标准差公式 S= 1 - - - [?x - x ?2+?x2- x ?2+?+?xn- x ?2]知 D 正确. n 1 B.平均数 D.标准差 )

3.(文)如图是歌手大奖赛中,七位评委为甲、乙两名选手打出的分 数的茎叶图(其中 m 为数字 0~9 中的一个),去掉一个最高分和一个最低 分后,甲、乙两名选手得分的平均数分别为 a1,a2,则一定有( A.a1>a2 C.a1=a2 [答案] B [解析] 由于去掉一个最高分和一个最低分,则甲去掉 70 和(90+m),乙去掉 79 和 93, 1 1 故 a1= (1+5×3+4)+80=84,a2= (4×3+6+7)+80=85,∴a2>a1. 5 5 (理)(2013· 六安一模)如图是 2012 年某校举办“激扬青春,勇担责任”演讲比赛上七位评 委为某位选手打出的分数的茎叶图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的中位数和 平均数分别为( ) 7 9 B.a2>a1 D.a1、a2 的大小不确定 )

-1-

8 9 A.85 87 C.84 85 [答案] C

4 3

4 4

6 7 86

B.84

D.85 86

[解析] 由茎叶图知,评委为某选手打出的分数分别是 79,84,84,84,86,87,93,去掉一个最 1 高分和一个最低分后分数分别是 84,84,84,86,87,所以中位数为 84,平均数为 ×(84+84+84 5 +86+87)=85. 4.(2014· 广州“十校”第一次联考)学校为了解学生在课外读物方面的支出情况,抽取了 n 名同学进行调查,结果显示这些同学的支出都在[10,50)(单位:元),其中支出在[30,50)(单位: 元)的同学有 67 人,其频率分布直方图如图所示,则 n 的值为( )

A.100 C.130 [答案] A

B.120 D.390

[解析] 支出在[30,50)的同学的频率为 1-(0.01+0.023)×10=0.67,n=

67 =100. 0.67

5.从甲乙两个城市分别随机抽取 16 台自动售货机,对其销售额进行统计,统计数据用 - - 茎叶图表示(如图所示).设甲乙两组数据的平均数分别为 x 甲, x 乙,中位数分别为 m 甲,m 乙, 则( ) 甲 8 8 8 4 7 8 - - A. x 甲< x 乙,m 甲>m 乙 - - C. x 甲> x 乙,m 甲>m 乙 [答案] B 6 5 0 0 5 2 0 0 3 1 0 1 2 3 4 0 0 1 2 2 8 2 3 2 4 3 8 3 7 4 8 乙

- - B. x 甲< x 乙,m 甲<m 乙 - - D. x 甲> x 乙,m 甲<m 乙

-2-

[解析]

从 茎 叶 图 中 知 , 甲 : 5,6,8,10,10,14,18,18,22,25,27,30,30,38,41,43 ; 乙 :

10,12,18,20,22,23,23,27,31,32,34,34,38,42,43,48. 18+22 27+31 345 - 457 - x 甲= , x 乙= ,m 甲= =20,m 乙= =29.故选 B. 16 16 2 2 6.(2014· 长春第二次调研)如图是依据某城市年龄在 20 岁到 45 岁的居民上网情况调查而 绘制的频率分布直方图,现已知年龄在[30,35),[35,40),[40,45]的上网人数呈现递减的等差数 列分布,则年龄在[35,40)的网民出现的频率为( )

A.0.04 C.0.2 [答案] C

B.0.06 D.0.3

[解析] 因为分布在[20,25)的频率为 0.01× 5=0.05, 分布在[25,30)的频率为 0.07× 5=0.35, 所以分布在[30,35)、[35,40)、[40,45]的频率之和为 1-0.05-0.35=0.6,又因为年龄在[30,35)、 [35,40)、[40,45]的上网人数呈现递减的等差数列分布,由等差数列的性质可得年龄在 [35,40) 的网民出现的频率为 0.2. 二、填空题 7.某校高中一年级开设了丰富多彩的校本课程,甲、乙两班各随机抽取了 5 名学生的学 分,用茎叶图表示 ( 如图 ) . S1 、 S2 分别表示甲、乙两班各自 5 名学生学分的标准差,则 S1________S2.(填“>”、“<”或“=”) 甲 8 5 [答案] < [解析] 1 1 1 - - x 甲= (8+11+14+15+22)=14, x 乙= (6+7+10+24+28)=15,S2 1= [(8- 5 5 5 4 1 2 0 1 2 6 0 4 8 乙 7

1 2 2 14)2+(11-14)2+(14-14)2+(15-14)2+(22-14)2]=22,S2 2 = [(6- 15) + (7-15) + (10- 5 15)2+(24-15)2+(28-15)2]=84,∴S1= 22,S2=2 21,∴S1<S2. 8.(2014· 石家庄质检)某学校想要调查全校同学是否知道迄今为止获得过诺贝尔物理奖的 6 位华人的姓名,为此出了一份考卷.该卷共有 6 个单选题,每题答对得 20 分,答错、不答
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得零分,满分 120 分.阅卷完毕后,校方公布每题答对率如下: 题号 答对率 一 80% 二 70% 三 60% 四 50% 五 40% 六 30%

则此次调查全体同学的平均分数是________分. [答案] 66 [解析] 假设全校人数有 x 人,则每道试题答对人数及总分分别为 题号 答对人数 每题得分 一 0.8x 16x 二 0.7x 14x 三 0.6x 12x 四 0.5x 10x 五 0.4x 8x 六 0.3x 6x

66x 所以六个题的总分为 66x,所以平均分为 =66. x 9.(文)(2014· 江苏)为了解一片经济林的生长情况,随机抽测了其中 60 株树木的底部周长 (单位:cm),所得数据均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的 60 株树 木中,有________株树木的底部周长小于 100cm.

[答案] 24 [ 解析 ] 由题意知在抽测的 60 株树木中,底部周长小于 100cm 的株数为 (0.015 +

0.025)×10×60=24. (理)(2014· 广东东莞一模)某中学为了解学生数学课程的学习情况,在 3000 名学生中随机 抽取 200 名,并统计这 200 名学生的某次数学考试成绩,得到了样本的频率分布直方图(如 图).根据频率分布直方图推测,这 3000 名学生在该次数学考试中成绩小于 60 分的学生数是 ________.

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[答案] 600 [解析] 成绩小于 60 分的学生频率为:(0.002+0.006+0.012)×10=0.2, 故 3000 名学生中成绩小于 60 分的学生数为:3000×0.2=600. 三、解答题 10.(文)(2014· 豫东、豫北十所名校五模)某中学招聘教师有笔试、面试两个环节,笔试成 绩超过 85 分者才能进入面试环节, 现已记录前来应聘的 9 位男教师和 9 位女教师的笔试成绩, 成绩用茎叶图表示如下: 男 9 8 7 2 6 4 7 9 5 6 7 8 9 2 1 3 5 3 7 3 6 4 女

(1)求男教师的平均成绩和女教师成绩的中位数; (2)从进入面试环节的老师中随机挑选 2 位老师,求 2 位老师中至少有一位男教师的概率. [解析] (1)男教师的平均成绩为 69+78+77+87+86+89+92+94+95 ≈85.2. 9 女教师成绩的中位数为 83. (2)能进入面试环节的男教师有 6 位,女教师有 3 位,记满足条件的 6 位男教师分别为 a1, a2,a3,a4,a5,a6,满足条件的 3 位女教师分别为 b1,b2,b3, 则从中任取 2 人的情况有: (a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,a5),(a1,a6),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3); (a2,a3),(a2,a4),(a2,a5),(a2,a6),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3); (a3,a4),(a3,a5),(a3,a6),(a3,b1),(a3,b2),(a3,b3); (a4,a5),(a4,a6),(a4,b1),(a4,b2),(a4,b3); (a5,a6),(a5,b1),(a5,b2),(a5,b3); (a6,b1),(a6,b2),(a6,b3); (b1,b2),(b1,b3),(b2,b3), 即基本事件共有 36 个, 至少有一位男教师的的基本事件有 33 个, 33 11 故 2 位老师中至少有一位男教师的概率 P= = . 36 12 (理)某学院为了调查本校学生 2013 年 9 月“健康上网”(健康上网是指每天上网不超过两 小时)的天数情况,随机抽取了 40 名本校学生作为样本,统计他们在该月 30 天内健康上网的 天数,并将所得数据分成以下六组:[0,5],(5,10],?,(25,30],由此画出样本的频率分布直

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方图,如图所示.

(1)根据频率分布直方图,求这 40 名学生中健康上网天数超过 20 天的人数; (2)现从这 40 名学生中任取 2 名,设 Y 为取出的 2 名学生中健康上网天数超过 20 天的人 数,求 Y 的分布列及其数学期望 E(Y). [解析] (1)由图可知,健康上网天数未超过 20 天的频率为(0.01+0.02+0.03+0.09)×5= 0.15×5=0.75, ∴健康上网天数超过 20 天的学生人数是 40×(1-0.75)=40×0.25=10. (2)随机变量 Y 的所有可能取值为 0,1,2. C2 29 30 P(Y=0)= 2 = , C40 52
1 C1 5 10C30 P(Y=1)= 2 = , C40 13

C2 3 10 P(Y=2)= 2 = . C40 52 所以 Y 的分布列为 Y P 29 5 3 1 ∴E(Y)=0× +1× +2× = . 52 13 52 2 0 29 52 1 5 13 2 3 52

一、选择题 11.(文)样本容量为 100 的频率分布直方图如图所示,根据样本的频率分布直方图估计, 样本数据落在[2,10)内的频率为 a,则 a 的值为( )

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A.0.1 C.0.3 [答案] D

B.0.2 D.0.4

[解析] 样本数据落在[2,10)内的频率为 a=(0.02+0.08)×4=0.4. (理)已知样本:10 12 12 那么频率为 0.3 的范围是( A.5.5~7.5 C.9.5~11.5 [答案] B [解析] 样本容量为 20,频率若为 0.3,则在此组的频数应为 20×0.3=6. 列出频率分布表如下: 分组 (5.5,7.5) (7.5,9.5) (9.5,11.5) (11.5,13.5) 可知选 B. [点评] 解答此类问题,只要数出各小组的频数即可选出答案. 12.(2014· 济宁一模)某学生在一门功课的 22 次考试中,所得分数如下茎叶图所示,则此 学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为( ) 频数 2 6 7 5 频率 0.1 0.3 0.35 0.25 ) B.7.5~9.5 D.11.5~13.5 8 6 10 13 8 10 12 11 7 8 9 11 9 12 9 10 11

考试成绩 5 6 7 8 9 A.117 C.118.5 1 2 3 3 4 6 2 6 5 6 8 9 6 7 8 9 5 7 5 8 8 9

B.118 D.119.5

-7-

[答案] B [解析] 由上图可知,最小值为 56,最大值为 98,故极差为 42,又从小到大排列,排在 第 11,12 位的数为 76,76,所以中位数为 76,所以极差和中位数之和为 42+76=118.选 B. 13.(2013· 皖南八校联考)已知某 8 个数的平均数为 5,方差为 2,现又加入一个新数据 5, - 此时这 9 个数的平均数为 x ,方差为 S2,则( - A. x =5,S2<2 - C. x >5,S2<2 [答案] A [解析] 16 +0)= <2. 9 [点评] 一组数据的平均数为 a,若再加入一个新数据 a,则这组数据的平均数不变,方 差变小. 14.(文)(2014· 天津模拟)甲、乙两位歌手在“中国好声音”选拔赛中,5 次得分情况如茎 叶图所示,记甲、乙两人的平均得分分别为 x 甲、 x 乙,则下列判断正确的是( 甲 6 2 A. x 甲< x 乙,甲比乙成绩稳定 B. x 甲< x 乙,乙比甲成绩稳定 C. x 甲> x 乙,甲比乙成绩稳定 D. x 甲> x 乙,乙比甲成绩稳定 [答案] B -12-11+0+2+4 [解析] 易知: x 甲=88+ =84.6, 5 -13+0-2+0+5 x 乙=88+ =86, 5 所以 x 甲< x 乙;又由图可以看出乙的成绩较为稳定. (理)(2014· 济南模拟)某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植的同一种树苗的长势情 况,从两块地各随机抽取了 10 株树苗,用茎叶图表示上述两组数据,对两块地抽取树苗的高 - - 度的平均数 x 甲, x 乙和中位数 y 甲,y 乙进行比较,下面结论正确的是(
-8-

) - B. x =5,S2>2 - D. x >5,S2>2

1 1 - 8×5+5 - - - x= =5,S2= [(x1- x )2+(x2- x )2+?+(x8- x )2+(5-5)2]= (8×2 9 9 9

)

乙 7 8 0 7 8 9 5 8 3 6 8

)

甲 9 95310 732 1 - - A. x 甲> x 乙,y 甲>y 乙 - - C. x 甲< x 乙,y 甲>y 乙 [答案] B [解析] 由茎叶图得 1 2 3 4

乙 0 6 0047 4667

- - B. x 甲< x 乙,y 甲<y 乙 - - D. x 甲> x 乙,y 甲<y 乙

19+20+21+23+25+29+32+33+37+41 - x 甲= =28, 10 10+26+30+30+34+37+44+46+46+47 - x 乙= =35, 10 25+29 34+37 y 甲= =27,y 乙= =35.5, 2 2 - - ∴ x 甲< x 乙,y 甲<y 乙,故选 B. 二、填空题 15.(2013· 福建莆田模拟)一组数据如茎叶图所示,若从中剔除 2 个数据,使得新数据组的 平均数不变且方差最小,则剔除的 2 个数据的积等于________. 0 1 2 [答案] 63 - 3+8+12+11+13+16+21 [解析] 这组数据的平均数 x = =12, 由题意, 剔除 2 个数据, 7 - 平均数不变,且方差最小,则这两个数的和等于 24 且(xi- x )2 的和最大,所以这两个数为 3 与 21,故剔除的 2 个数据的积等于 3×21=63. 三、解答题 16. (2014· 中原名校联考)某市教育主管部门为了弘扬民族文化, 在全市各中学开展汉字听 写大赛,某学校经过七轮选拔,最后选出甲乙两名选手代表本校参加市里比赛,甲乙两名选 手七轮比赛得分情况如下表所示: 甲 乙 86 88 94 89 89 90 88 91 91 93 90 92 92 87 38 2136 1

(1)根据表中的数据分析,哪位选手成绩更为稳定?

-9-

(2)从甲选手的 7 次成绩中随机抽取两次成绩,求抽出的两次成绩的分数差值至少是 3 分 的概率. [解析] (1)由题意得 86+94+89+88+91+90+92 - x 甲= =90, 7 88+89+90+91+93+92+87 - x 乙= =90, 7 1 2 2 2 2 2 2 2 S2 甲= [(86- 90) +(94- 90) +(89- 90) + (88- 90) +(91- 90) + (90 - 90) + (92 - 90) ] 7 =6; 1 2 2 2 2 2 2 2 S2 乙= [(88- 90) +(89- 90) +(90- 90) + (91- 90) +(93- 90) + (92 - 90) + (87 - 90) ] 7 =4; 因为 6>4,所以乙选手成绩更稳定. (2)从甲选手的七次成绩中随机抽取 2 次的所有基本事件为:(86,94),(86,89),(86,88), (86,91), (86,90), (86,92), (94,89), (94,88), (94,91), (94,90), (94,92), (89,88), (89,91), (89,90), (89,92),(88,91),(88,90),(88,92),(91,90),(91,92),(90,92)共 21 种情况, 则抽取的两次分数差距至少 3 分的事件包含:(86,94),(86,89),(86,91),(86,90),(86,92), (94,89),(94,88),(94,91),(94,90),(89,92),(88,91),(88,92)共 12 种情况. 12 4 则抽取的两次成绩差距至少 3 分的概率 P= = . 21 7 17.(文)从某校高三年级 800 名男生中随机抽取 50 名学生测量其身高,据测量被测学生 的身高全部在 155cm 到 195cm 之间.将测量结果按如下方式分成 8 组:第一组[155,160),第 二组[160,165), ……,第八组[190,195],如下图是按上述分组得到的频率分布直方图的一部 分.已知:第 1 组与第 8 组的人数相同,第 6 组、第 7 组和第 8 组的人数依次成等差数列. (1)求下列频率分布表中所标字母的值. 分组 ? [180,185) [185,190) [190,195) 频数 ? x m z 频率 ? y n ? 频率/组距 ? ? ? p

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(2)若从样本身高属于第 6 组和第 8 组的所有男生中随机的抽取 2 名男生,记他们的身高 分别为 x、y,求满足|x-y|≤5 事件的概率. [解析] (1)由直方图可得前 5 组的频率是(0.008+0.016+0.04+0.04+0.06)×5=0.82,∵ 第 8 组与第 1 组的人数相同,∴第 8 组的频率是 0.008×5=0.04,频数为 z=0.04×50=2,∴ 第 6、7 两组的频率为 1-(0.82+0.04)=0.14,频数为 0.14×50=7 人,∴x+m=7, ∵x,m,z 成等差数列,∴x+z=2m,∴m=3,x=4, 从而 y=0.08,n=0.06,p=0.008,z=2. (2)由(1)知,身高在[180,185)内的人数为 4 人,设为 a,b,c,d,身高在[190,195]内的人 数为 2 人,设为 A,B,若 x,y∈[180,185)有 ab,ac,ad,bc,bd,cd 共 6 种情况; 若 x,y∈[190,195]有 AB 有 1 种情况, 若 x∈[180,185),y∈[190,195]时,有 aA,bA,cA,dA,aB,bB,cB,dB 有 8 种情况. 所以基本事件总数为 6+1+8=15 种. 所以,事件“|x-y|≤5”所包含的基本事件为 6+1=7 种,∴P(|x-y|≤5)= 7 . 15

(理)(2014· 太原五中月考)节能灯的质量通过其正常使用时间来衡量,使用时间越长,表明 质量越好,且使用时间大于或等于 6 千小时的产品为优质品.现用 A,B 两种不同型号的节能 灯做实验,各随机抽取部分产品作为样本,得到实验结果的频率直方图如下图所示:

若以上述实验结果中使用时间落入各组的频率作为相应的概率. (1)现从大量的 A, B 两种型号节能灯中各随机抽取两件产品, 求恰有两件是优质品的概率; (2)已知 A 型节能灯的生产厂家对使用时间小于 6 千小时的节能灯实行“三包”.通过多 年统计发现,A 型节能灯每件产品的利润 y(单位:元)与使用时间 t(单位:千小时)的关系式如 下表:

- 11 -

使用时间 t(单位:千小时) 每件产品的利润 y(单位:元)

t<4 -20

4≤t<6 20

t≥6 40

若从大量的 A 型节能灯中随机抽取 2 件,其利润之和记为 X(单位:元),求 X 的分布列及 数学期望. [解析] 由频率分布直方图所示,A、B 两种产品的使用时间在各个时间段内的频率为: 时间段 A B [3,4) 0.1 0.1 [4,5) 0.2 0.2 [5,6) 0.2 0.3 [6,7) 0.4 0.3 [7,8) 0.1 0.1

∴A 型号节能灯优质品率为 0.5,B 型号节能灯优质品率为 0.4. 1 2 ∴P(A)= ,P(B)= . 2 5 (1)从 A、B 两种型号的节能灯中随机抽取两件产品,恰有两件是优质品的概率是 P=C1 2 1 11 121 31 12 232 1 2 2 2 2 37 ( )1· ( )· C2( ) · ( ) +C2 C2( ) +C2 C2( ) = . 2( ) · 2( ) · 2 2 5 5 2 5 2 5 100 (2)由题意知 X 的可能取值为-40,0,20,40,60,80, 1 2 1 1 1 21 2 1 11 1 ∵P(X=-40)=C2 ) = ,P(X=0)=C1 ) ×( ) = ,P(X=20)=C1 ( )1· ( )= , 2( 2( 2· 10 100 10 5 25 10 2 10 22 4 2111 2 1 2 1 2 P(X=40)=C2 ,P(X=60)=C1 ( )= . 2( ) = 2( ) ( ) = ,P(X=80)=C2· 5 25 5 2 5 2 4 ∴X 的分布列为

X P

-40 1 100

0 2 25

20 1 10

40 4 25

60 2 5

80 1 4

1 1 4 2 1 ∴E(X)=10×(-4× +0+2× +4× +6× +8× )=52. 100 10 25 5 4

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