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天津五区县2013-2014学年高一下学期期末考试数学试题-Word版含答案(新人教A版)


高一数学测试卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分) 1.在△ ABC 中,a= ,b= ,B=45°,则 A 等于( A.30° B.60° C.60°或 120° 2.二进制数 110011(2)转化为十进制数为( A. 51 B. 50 ) C. 49 ) D.30°或 150°

D. 19

3.等比数列{an}的首项 a1=﹣1,a4=27,那么它的前 4 项之和 S4 等于( ) A. ﹣34 B. 52 C. 40 D. 20

4.设变量 x,y 满足约束条件

,则目标函数 z=y﹣2x 的最小值为(



A. ﹣

B.﹣11

C.



D.3

5.假设某人在任何时间到达某十字路口是等可能的,已知路口的红绿灯,红灯时间为 40 秒,黄灯时间为 3 秒,绿灯时间为 57 秒,则此人到达路口恰好是红灯的概率是( ) A. B. C. D.

6.阅读程序框图,执行相应的程序,若输入 x=4,则输出 y 的值为(



A. ﹣

B. ﹣

C.



D. ﹣

7.甲、乙两位同学参加数学竞赛培训,在培训期间,他们参加的 5 次预赛成绩数据茎叶图 如图,下列对提供的数据分析正确的是( )

A.



B.



C.S 甲 2>S 乙 2

D.S 甲 2<S 乙 2

8.阅读程序(如图) ,若 a=45,b=20,c=10,则输出的结果为(



A.10

B.20

C.25

D.45 }的前 10 项之

9.已知数列{an}满足 an+1=2an﹣an﹣1(n≥2) ,且 a1=1,a2=2,则数列{ 和等于( A. ) B. C. D.

10.阅读程序框图(如右上图) ,执行相应的程序,输出的结果是( ) A.50 B.55 C.1023 D.2565 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分)

11. (2014?启东市模拟)为了解一片经济林的生长情况,随机测量了其中 100 株树木的底部 周长(单位:cm) .根据所得数据画出样本的频率分布直方图(如右) ,那么在这 100 株树 木中,底部周长小于 110cm 的株数是 _________ .

12.一位射击爱好者在一次射击练习中射靶 100 次,每次命中的环数如下表: 7 8 9 10 环数 6 及以下 18 32 22 13 15 频数 据此估计他射击成绩在 8 环及 8 环以上的概率为 _________ . 13.等差数列{an}的首项 a1=1,且 a2 是 a1 和 a6 的等比中项,那么公差 d= _________ . 14.观察下列数据表,y 与 x 之间的回归直线方程为 x 0 ﹣4 ﹣2 y 0 ﹣21 ﹣11 _________ . 2 19

4 29

15.设 a>0,b>0,a+4b+ab=3,则 ab 的最大值为 _________ . 三、解答题(本大题共 5 小题,共 60 分) 16. (12 分)在△ ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,已知 a=2,c= sinC= sinB. (Ⅰ)求 b 的值; (Ⅱ)求△ ABC 的面积.

,且

17. (12 分) 袋中装大小和质地相同的红球、 白球、 黑球若干个, 它们的数量比依次是 2: 1: 1,现用分层抽样的方法从中抽取一个样本,抽出的红球和黑球一共 6 个. (Ⅰ)求样本中红球、白球、黑球的个数; (Ⅱ)若从样本中任取 2 个球,求下列事件的概率; (i)含有红球; (ii)恰有 1 个黑球. 18. (12 分)已知一元二次方程 x +2ax+(7a﹣6)=0(a∈R)有两个不等的实数根. (Ⅰ)求 a 的取值范围; (Ⅱ)求函数 f(a)=a+ 的值域.
2

19. (12 分)将编号为 A1,A2,…,A16 的 16 名高一学生编为两组(甲组、乙组) ,他们在 某次数学测验中的得分纪录如下: 甲组 编号 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 78 85 92 67 55 86 78 95 得分 乙组 编号 A9 A10 A11 A12 A13 A14 A15 A16 87 86 75 63 92 82 71 68 得分 (Ⅰ)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格: 区间 [70,80) [80,90) [90,100] 人数 (Ⅱ)写出甲组学生得分数据的中位数; (Ⅲ)从得分在区间[80,90)内的学生中随机抽取 2 人, (i)用学生的编号列出所有可能的抽取结果; (ii)求这 2 人均来自同一组的概率. 20. (12 分)在数列{an}中,Sn 是它的前 n 项和,且 Sn=n +n,在数列{bn}中,b1=1,b2=3, 且 bn+2=4bn+1﹣4bn. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 cn=bn+1﹣2bn,求证:数列{cn}为等比数列; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求数列{an?cn}的前 n 项和 Tn.
2

天津市五区县 2013~2014 学年度第二学期期末考试 高一数学试卷参考答案
一、选择题 1. C 6. C 2. A 7. D 3. D 8. A 4. B 9. D 5. B 10. C

二.填空题 11. 70 三.解答题 16.(Ⅰ)根据正弦定理得, ∵ sin C ? ∵c ? 12. 0.5 13. 0 或 3

? ? 6.5 x ? 3.2 14. y

15. 11 ? 4 7

c b ? , sin C sin B

………2 分 ………4 分 ………6 分

2 sin B ,∴ c ? 2b ,

2 ,∴ b ? 1

(Ⅱ)由(Ⅰ) ,根据余弦定理有

cosC ?

a2 ? b2 ? c2 3 ? , 2ab 4

………8 分

∴ sin C ? 1 ? ( ) ?
2

3 4

7 4
1 7 . absin C ? 2 4

………10 分

∴ ?ABC 的面积为 S ?

………12 分

17.(Ⅰ) ∵ 红球和黑球在总数中所占比例为 样本中所有球的总数 N ?

2 ?1 3 ? ,………1 分 2 ?1?1 4
………2 分

6 ? 8. 3 4

∴ 红球的个数为 白球的个数为

2 ? 8 ? 4 ………3 分 4

1 ? 8 ? 2 ,………4 分 4 1 黑球的个数为 ? 8 ? 2 .………5 分 4
(Ⅱ)记“2 个球 1 红 1 白”为事件 A,“2 个球 1 红 1 黑” 为事件 B,“ 2 个球都是红球” 为事 件 C,“ 2 个球 1 白 1 黑” 为事件 D

则 A 中的基本事件个数为 8,B 中的基本事件个数为 8,C 中的基本事件个数为 6,D 中的基 本事件个数为 4,全部基本事件的总数为 28. (i) 方法一:含有红球的概率为 ………8 分

P1 ? P( A) ? P( B) ? P(C ) ?

8 8 6 11 ? ? ? 28 28 28 14

………10 分

方法二:“2 个都是白球”, “2 个都是黑球”的基本事件个数都为 1,

P1 ? 1 ? (

4 1 1 11 ? ? )? 28 28 28 14 8 4 3 ? ? 28 28 7
………1 分 ………12 分

(ii)恰有 1 个黑球的概率 P2 ? P ( B ) ? P ( D) ? 18. (Ⅰ) ? ? 4a ? 4(7a ? 6)
2

令 ? ?0,
2 则 a ? 7a ? 6 ? 0 ,

………2 分 ………4 分 ………5 分

解得 a ? 6 ,或 a ? 1 . (Ⅱ) f (a ) ? a ? 由(Ⅰ)知 ①当 a ? 6 时, a ? 1 ? 5 ,

4 4 ? (a ? 1) ? ?1 a ?1 a ?1

……… 6 分

f (a) ? (a ? 1) ?
当 a ?1 ?

4 4 ? 1 ? 2 (a ? 1) ? ?1 ? 5 a ?1 a ?1

4 时, a ? 3 ,此时等号不成立, a ?1 34 ∴ f (a) ? f (6) ? . ……… 7 分 5
②当 a ? 1 时, a ? 1 ? 0 ,即 1 ? a ? 0

f (a) ? (a ? 1) ?
而 (1 ? a) ?

4 4 ? 1 ? ?[(1 ? a) ? ] ? 1 ,………9 分 a ?1 1? a

4 4 ? 2 (1 ? a) ? ? 4, 1? a 1? a
4 , 1? a

∴ f (a) ? ?4 ? 1 ? ?3 , ,当且仅当 1 ? a ?

即 a ? ?1 时取等号. 综上,函数 f (a) ? a ? 19. (Ⅰ) 区间 人数

……11 分

4 34 的值域为 ( ,?? ) ? ?? ?,?3? .………12 分 a ?1 5

?70,80?
[

?80,90?
5

[90,100]
3 ………3 分 ………5 分

4

(Ⅱ)81.5 (Ⅲ) (i)所有可能的结果为:

{A2 , A6 },{A2 , A9 },{A2 , A10 },{A2 , A14 },{A6 , A9 },{A6 , A10 }, {A6 , A14 },{A9 , A10 },{A9 , A14 },{A10 , A14 }
………9 分

(ii)设“这 2 人均来自同一个组”为事件 A,所有可能的结果有 10 种,2 人均来自同 一个组的结果有 4 种.………10 分 所以, 这 2 人均来自同一个组的概率为 P ( A) ? 20.(Ⅰ)当 n ? 2 时, an ? S n ? S n?1 ? 2n 当 n ? 1 时, a1 ? 2 ? 1 ? 2 又 a1 ? S1 ? 1 ? 1 ? 2 ∴ an ? 2n (Ⅱ)证明: ………3 分 ………4 分

4 2 ? .………12 分 10 5
………2 分

cn?1 bn? 2 ? 2bn?1 4bn?1 ? 4bn ? 2bn?1 ? ? cn bn?1 ? 2bn bn?1 ? 2bn ? 2bn?1 ? 4bn ?2 bn?1 ? 2bn

c1 ? b2 ? 2b1 ? 3 ? 2 ? 1
∴数列 {cn } 为以 1 为首项,2 为公比的等比数列.………8 分 (Ⅲ)由(Ⅱ)得 cn ? 1? 2 n?1 ? 2n?1 ∴ an cn ? 2n ? 2 n?1 ? n ? 2 n ∴ Tn ? 1? 2 ? 2 ? 2 2 ? 3 ? 23 ? ? ? n ? 2 n ①
[来

………9 分 ………10 分

2Tn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ? ? (n ? 1) ? 2n ? n ? 2n?1 ②
①-②得

? Tn ? 2 ? 2 2 ? 2 3 ? ? ? 2 n ? n ? 2 n ?1 2(1 ? 2 n ) ? n ? 2 n ?1 ? ?2 ? 2 n ?1 ? n ? 2 n ?1 1? 2 ? ?2 ? (n ? 1)2 n ?1 ?
∴ Tn ? (n ? 1)2 n?1 ? 2 .
[来

……12 分


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