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高中数学人教A版必修二同步课件 第二章:2.3.4 平面与平面垂直的性质2


提出问题: 1、平面与平面垂直的定义 两个平面相交,如果它们所成的二面角是 直二面角,就说这两个平面互相垂直。 2、平面与平面垂直的判定定理 一个平面过另一个平面的垂 线,则这两个平面垂直。 符号表示: 该命题正确吗? ? ? b b ? ?? ? ? ? ? ? b ??? 平面与平面垂直的性质定理 Ⅰ. 观察实验 两个平面垂直 ,则一个平面 观察两垂直平面中

,一个平面内 内垂直于交线的直线与另一 的直线与另一个平面的有哪些 个平面垂直 . 位置关系? 符号表示: ? ? b l Ⅱ.概括结论 ? ? ?? ?l ? b?l ? ? ? ? ? ? ? ?? 该命题正确吗? ? b ? ? ? b??? b 简述为: ?? b ?? 面面垂直 线面垂直 Ⅲ.知识应用 练习1:判断正误。 已知平面α⊥平面β,α∩ β=l下列命题 (1)平面α内的任意一条直线必垂直于平面β ( ×) (2)垂直于交线l的直线必垂直于平面β ( ×) (3)过平面α内任意一点作交线的垂线,则此 垂线必垂直于平面β( ) √ 例1:如图,AB是⊙O的直径,C是圆周上不同 于A,B的任意一点,平面PAC⊥平面ABC, (1)判断BC与平面PAC的位置关系,并证明。 (2)判断平面PBC与平面PAC的位置关系。 (1)证明:∵ AB是⊙O的直径, P C是圆周上不同于A,B的任 意一点 ∴∠ACB=90°∴BC⊥AC C 又∵平面PAC⊥平面ABC, 平面PAC∩平面ABC=AC, A BC?平面ABC O ∴BC⊥平面PAC (2)又∵ BC ?平面PBC ,∴平面PBC⊥平面PAC B 解题反思 1、面面垂直的性质定理给我们提供了一 种证明线面垂直的方法 2、本题充分地体现了面面垂直与 线面 垂直之间的相互转化关系。 面面垂直 性质定理 判定定理 线面垂直 例 垂直于同一平面的两平面的交线垂直于这个平面。 已知:α⊥γ,β ⊥γ,α ∩ β= а,求证: a⊥γ. 证法一: 线线垂直 设α ∩ γ =b, β ∩ γ =c,在γ 内任取一点P, 作PM ⊥ b于M,PN ⊥C于N. 因为 α⊥γ,β ⊥γ , α a 所以 PM ⊥ α, PN ⊥ β. β 因为 α ∩ β= a, M b cN 所以 PM ⊥ a, PN ⊥ a, γ P 所以 a⊥γ. 线面垂直 已知:α⊥γ,β ⊥γ,α ∩ β= а,求证: a⊥γ. 证法二: 任取P∈a,过点P作b⊥γ. 因为α ⊥γ, 所以b α, 因为β ⊥γ, α 因此b β, 故α ∩ β= b. 由已知 α∩ β= a, γ 所以a与 b重合, 所以a ⊥γ. 同一法 a P β b 已知:α⊥γ,β ⊥γ,α ∩ β= а,求证: a⊥γ. 证法三: 设α⊥γ于b,β ⊥γ于c. 在α内作 b′ ⊥ b, 所以 b′ ⊥ γ. 同理在β内作c′ ⊥ c,有c ′ ⊥ γ, 所以 b′ ‖c′, 又b′ β, c′ β, 所以 b′ ‖ β. 又 b′ α, α ∩ β=a, 所以 b′ ‖ a, γ 故 a ⊥ γ. 线线平行 线面垂直 α b′ b a β c′ c 练习2:如图,已知PA⊥平面ABC, 平面PAB⊥平面PBC,求证:BC⊥平面PAB 证明:过点A作AE⊥PB,垂足 P 为E, ∵平面PAB⊥平面PBC, 平面PAB∩平面PBC=PB, A ∴AE⊥平面PBC ∵BC ? 平面PBC ∴AE⊥BC ∵P

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