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湖南省怀化市2013年高三第一次模拟考试文科数学试卷


注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡上。 2.考生作答时,选择题、填空题、解答题均须做在答题卡上,在本试卷上答题无效。考生在答题卡 上按答题卡中注意事项的要求答题。 3.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并收回。 4.本试题卷共4页,如有缺页,考生须声明,否则后果自负。

2013年怀化市高三第一次模拟考试统一检测试卷

/>

命题人:王小平 张理科

学(文科)
审题人:龙泊廷、陈 娟、周 睿、

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分. 时量:120分钟.

第Ⅰ卷(选择题

共45分)

一、选择题:本大题共9小题,每小题5分,共计45分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项符合题目要求,请把正确答案的代号填在答题卡上. 1.已知全集 A.

U ? ?1, 2,3, 4,5?

,集合

A ? ?1,3,4?

,集合 C.

B ? ?2, 4?

,则

?CU A? ? B 为
D.

?2,4,5?

B.

?1,3, 4?

?1,2,4?

?2,3,4,5?

2.若复数 (1 ? i)(a ? i) 是实数( i 是虚数单位) ,则实数 a 的值为 A. ? 2 B. ? 1 C.1 D.2

2 q : ?x0 ? R , sin x0 ? cos x0 ? 2 ,则下列 3.已知命题 p : ?x ? R, x ? 2x ? 3 ? 0 ,命题

判断正确的是 A. 题

p 为真命题

B.

p ? q 为真命题

C.

p ? q 为假命题

D. q 为假命

?

y ? sin(2 x ? ) 3 的图象,可由函数 4.为了得到函数

?

y ? sin 2 x 的图象怎样平移得到

? A.向右平移 6

? B.向左平移 6 ? D.向左平移 3

? C.向右平移 3

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5.执行如右图的程序框图,如果输入 a ? 5 ,那么输出 的 n 值为 A.1 C.3 B.2 D.4

6.若 P 为 ?ABC 内一点,且 PB ? PC ? 2PA ? 0 ,在 ?ABC 内随机撒一颗豆子,则此豆子落在 ?PBC 内的概率为

??? ??? ? ?

??? ?

?

1 A. 4

1 B. 3

1 C. 2

2 D. 3

7 . 已 知 a ? 0, b ? 0 , 若 直 线 l : ax ? by ? 1 平 分 圆

1 2 ? x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 3 ? 0 的周长,则 a b 的最小值为
A. 4 2 B. 3 ? 2 2 C. 2 2 D.1

8.已知直线 y ? kx 与曲线 y ? ln x 有公共交点,则 k 的最大值为

A.1

1 B. e

2 C. e

2 D. e

9.定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,且在 [0, 2] 上单调递增,则 A. f (?25) ? f (19) ? f (40) C. f (19) ? f (40) ? f (?25) B. f (40) ? f (19) ? f (?25) D. f (?25) ? f (40) ? f (19)

第Ⅱ卷(非选择题

共105分)

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 把答案填在答题卡上的相应横线上.

? x ? 2t ? 1 ? xoy 中,直线的参数方程为 ? y ? 2t    10.在直角坐标系 (t为参数) ;在极坐标系(与直角
坐标系

xoy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 的正半轴为极轴)中,圆的极


坐标方程为 ? ? 2 cos ? ,则此直线与此圆的位置关系是

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? 2 x ? 2      ? 2) (x f ( x) ? ? (x ?log 2 ( x ? 1)    ? 2) , 11.已知函数
则 f ( f (5)) ?
3 2



12.设 f ( x) ? ax ? 3x ? 2 ,若 f ( x)在x ? 1 处的 切线与直线 x ? 3 y ? 3 ? 0 垂直,则实数 a 的值 为 .

?x ? y ? 1 ? ?x ? y ? 1 ? x, y 满足约束条件 ? x ? 1 ? 0 , 13.已知变量
则 z ? x ? 2 y 的最大值为 .

14.右图是某一个几何体的三视图,则该几何体的 体积为 .
2 2 2

15.若 M 为圆 C : x ? y ? 6 x ? 4 y ? 12 ? 0 上的动点,抛物线 E : y ? 4 x 的准线为 l ,点

P 是抛物线 E 上的任意一点,记点 P 到 l 的距离为 d ,则 d ? PM 的最小值为
三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分12分) 甲乙两班进行一门课程的考试,按照学生考试 成绩的优秀和不优秀统计后得到如右的列联表: (1)据此数据有多大的把握认为学生成绩优秀与 班级有关? (2)用分层抽样的方法在成绩优秀的学生中随机 抽取5名学生,问甲、乙两班各应抽取多少人? 甲班 乙班 总计 优秀 15 10 25 不优秀 35 40 75



总计 50 50 100

(3)在(2)中抽取的5名学生中随机选取2名学生介绍学习经验, 求至少有一人来自乙班的

概率.(

n ? ad ? bc ? k ? ? a ? b ?? c ? d ?? a ? c ?? b ? d ?
2 2

,其中 n ? a ? b ? c ? d ) 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828

P(k 2 ? k )
k

0.50 0.455

0.40 0.708

0.25 1.323

0.15 2.072

17. (本小题满分12分) 已 知 ? ?0 , 向 量

?? m?

?

3 sin ? x, cos ? x ,
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?

向 量

? n ? ? c o ? x? , s

? o?x c s

, 且

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?? ? 1 f ( x) ? m ? n ? 2 的最小正周期为 ? .
(1)求 f ( x ) 的解析式; (2)已知 a 、b 、c 分别为 ?ABC 内角 A、B、C 所对的边,且 a ? 19 ,c ? 3 ,又 cos A

恰是 f ( x ) 在 12

[

? 2?
,

] 3 上的最小值,求 b 及 ?ABC 的面积.

P

18. (本小题满分12分)
M

如图,边长为4的正方形 ABCD 与正三角形 ADP 所
N

D

C

在的平面相互垂直,且 M 、 N 分别为 PB 、 AD 中 (1)求证: MN // 面PCD ; (2)求直线 PC 与平面 PNB 所成角的正弦值.

A

B

点.

19. (本小题满分13分) 设等差数列 (1)求

?an ? 的前n项的和为 Sn ,且 a10 ? 8, S3 ? 0 .

{an } 的通项公式;

1 bn ? ( ) an 2 ,求 {bn } 的前 n 项和 Tn ; (2)令

k ? 2an ? 3 * 4 ? Tn (3)若不等式 对于 n?N 恒成立,求实数 k 的取值范围.
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20. (本小题满分13分)

x2 y 2 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) ? ?1 2 F,F b 5 双曲线 a 与椭圆 9 有相同的焦点 1 2 ,且该双曲线
的渐近线方程为 y ? ? 3x . (1)求双曲线的标准方程; (2) 过该双曲线的右焦点

F2 作斜率不为零的直线与此双曲线的左,右两支分别交于点

1 M 、 N ,设 MF2 ? ? F2 N ,当 x 轴上的点 G 满足 F F2 ? (GM ? ?GN ) 时,求点 G 的坐

???? ?

???? ?

???? ?

???? ?

????

标.

21. (本小题满分13分) 已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ? x ? ax ? ln x .
2

(1)若 f ( x ) 是单调函数,求实数 a 的取值范围;

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 3 ? 2ln 2 . x x (2)若 f ( x ) 有两个极值点 1 、 2 ,证明:

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2013年怀化市高三第一次模拟考试统一检测试卷

高三数学(文科)参考答案与评分标准
一、选择题( 5 ? 9 ? 45 )
/ /

题号 答案
/

1 A

2 C
/

3 D

4 A

5 C

6 C

7 B

8 B

9 D

二、填空题( 5 ? 6 ? 30 )

10.相离; 三、解答题:

11.1;

12. ?1 ;

??
13.3; 14.

3 3 ;

15. 2 5 ?1 .

16解: (1)由题知 K 的观测值

2

k?

100 ? (15 ? 40 ? 35 ?10) 2 50 ? 50 ? 25 ? 75 ? 1.33 ? 1.323 ,

所以至少有 75 %的把握认为学生成绩优秀与班级有关…………4分

5 1 ? (2)成绩优秀的学生共有25人,抽取的比例为 25 5 , 1 1 ?15 ?10 所以甲班应抽取 5 =3人,乙班应抽取 5 =2人………… 6分
(3)设至少有一人来自乙班的事情为 A ,记甲班的3人分别为 分别为

a1 , a2 , a3 ;乙班的2人

b1 , b2 ,则所有基本事件: (a1, a2 ),(a1, a3 ),(a1, b1 ),(a1, b2 ),(a2 , a3 ),

(a2 , b1 ),(a2 , b2 ),(a3 , b 1),(a3 , b2 ),(b1, b2 ) ,共有10种.

(a , b ), (a1 ,b2 ), (a2 ,b1 ), ( 2 ,b2 ), ( 3 , 1 ), a3 b2 ),b1,b2 ) a a b ( , ( 事情 A 包含的基本事件有 1 1 ,共7
p ( A) ?
种.所以由古典概型得

7 10 …………12分 1 2 …………2分

f ( x) ? 3 sin ? x cos ? x ? cos 2 ? x ?
17解: (1)

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sin(2? x ? ) 6 …………4分 = 由T ? 2? ? ? ?,知? ? 1 ? f ( x) ? sin(2 x ? ) 2? 6 …………6分 . ?x? 2? ? 7? 2? 1 ,? 0 ? 2 x ? ? x? f ( x) min ? ? 3 6 6 ,当 3 时 2,

?

?
(2)

?
12

cos A ? ?


1 2? A ? (0, ? ), ? A ? 2, 又 3 …………8分 19 ? 9 ? b 2 ? 6b cos 2? 3 解得 b ? 2 …………10分

由余弦定理得:

1 3 3 3 S ? ? 2 ? 3? ? 2 2 2 ………… 12分 ? ?ABC 的面积为

G 18解: (1) P 的中点 , 连 MG 、DG ,在 ?PBC 取 C
, ? M 、 G 分 别 为 P B P C的 中 点 ,

P

中,
G M D C

? MG



BC



1 MG ? BC 2

N

, 又
A

H B

1 ND ? AD 2 ,

// ? MG ? DN ,故四边形 DNMG 为平行四边形,
? MN ∥ DG ,又 DG ? 面PDC,MN ? 面PDC , ? MN ∥ 面PDC ………… 6分
(2) 连接 BN 、 NC 、 PN ,因为面 ADP ? 面 ABCD ,且 PN ? AD ,所以

PN ? 面 ABCD ,又 PN ? 面 PNB ,所以面 PNB ? 面 ABCD
过点 C 作 CH ? BN , 垂足为 H ,连 PH ,? CH ? 面PNB , 故 ?CPH 为直线PC与平面PNB 所成的角…………8分 在正方形ABCD中,易知 ?ABN ? ?BCH ? ? (令) ,
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? CH ? BC cos ? ? 4 ?

2 8 ? 5 5 …………10分

在Rt?PNC中, PN ? 2 3,NC=2 5 ? PC ? 4 2 , ?

在 Rt ?CHP 中,

sin ?CPH ?

CH 8 10 ? ? PC 4 2 ? 5 5 …………12分

? a ? 9d ? 8, ?a ? ?1 ?? 1 ?? 1 3a ? 3d ? 0, ? d ? 1 , an ? n ? 2 …………4分 19解: (1) ? 1

1 1 1 ? bn ? ( ) n ? 2 ? 2( ) n ?1 ??bn ? 是首项为b1 ? 2, 公比为 2 2 2 的等比数列, (2) ,

1 ? ? 2 ?1 ? ( )n ? 1 ? 1 2 ? ? 故Tn ? ? ? 4 ?1 ? ( )n ? ? 4 ? ( )n?2 1 2 ? 2 ? 1? 2 …………7 分
(3)由 k k ? 2n ? ? 2n ? 7对n ? N *恒成立 ? k ? 2n ? 7 对n ? N *恒成立 4 ? Tn 4 2n , 4 .
2n ? 7 2n ? 5 2n ? 7 9 ? 2n 由Cn ?1 ? Cn ? n ?1 ? ? n ?1 , n 2 , 2 2n 2



Cn ?

当 ? n ? 5时Cn?1 ? Cn ,当n ? 5时Cn?1 ? Cn …………10分 1
??Cn ?中的最大项为C5 ? 3 k 3 3 ? ? , 故k ? 32 , 4 32 8 …………13分

b ? 3 2 2 2 2 2 20解: (1) 由题可知: a , c ? 2 , c ? a ? b ,解得 a ? 1 , b ? 3 ,

x2 ?
所求双曲线方程为 (2)设过点

y2 ?1 3 …………5分

F2 的直线方程为: x ? ky ? 2 ,

? 2 y2 ?1 ?x ? 3 ? 2 2 ? x ? ky ? 2 联立方程组 ? ,消去 x 得: (3k ?1) y ? 12ky ? 9 ? 0 ,

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?12k ? ? y1 ? y2 ? 3k 2 ? 1 ? ? ? yy ? 9 M ( x1, y1 ), N ( x2 , y2 ) ,则 ? 1 2 3k 2 ? 1 ? 设

①…………7分

y ???? ? ???? ? ??? 1 MF2 ? ? F2 N 得: y2 ,② 由 ???? ? ???? ? ???? ? ???? G (t , 0) ,由 F1F2 ? (4,0) , 及 F1F2 ? (GM ? ?GN ) 得: 设

( x1 ? t ? ? x2 ? ?t , y1 ? ? y2 ) ? (4,0) ? 0 ,即 x1 ? t ? ? x2 ? ?t ? 0 ,③…………10分
ky1 ? 2 ? t ?
由②,③得 即

y1 y (ky2 ? 2) ? 1 t ? 0 y2 y2 ,

2ky1 y2 ? (2 ? t )( y1 ? y2 ) ? 0 ,④

1 1 k (2t ? 1) ? 0, 又k ? 0, 故t ? , 即G ( , 0) 2 2 …………13分 由①,④得:
(2)解法二:设过点

F2 的直线方程为: y ? k ( x ? 2) ,与双曲线方程联立,消去 y 得

(3 ? k 2 ) x2 ? 4k 2 x ? 4k 2 ? 3 ? 0 ,由题知: 3 ? k 2 ? 0 且 ? >0,
? 4k 2 x1 ? x2 ? 2 ? ? k ?3 ? 2 ? x x ? 4k ? 3 M x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,则 ? 1 2 k 2 ? 3 ……………… 7分 ( ? 设

2 ? x1 ???? ? ???? ? ?? MF2 ? ? F2 N 得: x2 ? 2 由 ???? ? ???? ? ???? ? ???? G (t , 0) ,由 F1F2 ? (4,0) 及 F1F2 ? (GM ? ?GN ) 得: 设

( x1 ? t ? ? x2 ? ?t , y1 ? ? y2 ) ? (4,0) ? 0



x1 ? t ? ? x2 ? ?t ? 0 …… 10分
t? 1 1 G ( ,0) 2 ,即 2 .……13分

t 0 1 2 ? ? 2x1 x2 ? ( t? 2 ) (x ? x ) 4 ?,代入上述条件得:
f ?( x) ? 1 ? 2ax ?
21解: (1)

1 2ax 2 ? x ? 1 ?? ( x ? 0) x x …………2分

记? ( x) ? 2ax2 ? x ? 1( x ? 0) ,则关于 x 的方程 2ax2 ? x ? 1 ? 0 的判别式 ? ? 1 ? 8a
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1 当a ? 时? ? 0,? x) ? 0, 故f ?( x) ? 0 ( 8 ,? 函数 f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递减……… 4分

1 当0 ? a ? 时,? ? 0, 方程f ?( x) ? 0 有两个不相等的正根 x1 , x2 ,不妨设x1 ? x2 , 8

则当x ? (0, x1 )及x ? ( x2 , ??)时f ?( x) ? 0 , 当x ? ( x1, x2 )时f ?( x) ? 0 ,f ( x) 不是单调函数, ,
?1 ? 的取值范围为 ? ,? ? + 综上 , a ?8 ? …………6分
1 (2)由(1)知当且仅当a ? (0, )时f ( x)有极小值x1和极大值x2 x ,x 8 , 且 1 2 是方程

2a x ? x? 1 ? 0 的两正根,则
2

x1 ? x2 ?

1 1 , x1 x2 ? 2a 2a ,

2 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? a ?? x1 ? x2 ? ? 2 x1 x2 ? ? (ln x1 ? ln x2 ) ? ?

? l n? 2 ? ? a

1 ? ? 1 4a

la? n

1 ? 4 a

l? 2 ?1 ( ? n a0

1 ) 8 ………… 9分

令g (a) ? ln a ?

1 1 4a ? 1 ? ln 2 ? 1 当a ? (0, )时,g ?(a ) ? ?0 4a 8 4a 2 ,

1 1 ? g (a )在(0,)内单调递减 故g (a) ? g ( ) ? 3 ? 2 ln 2 8 8 , …………13分

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