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【超级经典】一元二次不等式及其解法(含答案)


都戴氏教育温江校区 3.2 一元二次不等式及其解法
知识要点梳理 知识点一:一元二次不等式的定义

x 2 ? 5x ? 0 . 只含有一个未知数, 并且未知数的最高次数是 2 的不等式, 称为一元二次不等式。 比如:
任意的一元二次不等式, 总可以化为一般形式: ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 或 ax2 ? bx ?

c ? 0 (a ? 0) . 知识点二:一般的一元二次不等式的解法 一 元 二 次 不 等 式 ax 2 ? bx ? c ? 0 或 ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的 解 集 可 以 联 系 二 次 函 数

y ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) 的 图 象 , 图 象 在 x 轴 上 方 部 分 对 应 的 横 坐 标 x 值 的 集 合 为 不 等 式 ax2 ? bx ? c ? 0 的解集,图象在 x 轴下方部分对应的横坐标 x 值的集合为不等式 ax2 ? bx ? c ? 0 的解
集.
2 设一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的两根为 x1、x2 且 x1 ? x2 , ? ? b ? 4ac ,则相应的不等

式的解集的各种情况如下表:

? ? b2 ? 4ac
二次函数

??0

??0

??0

y ? ax2 ? bx ? c
( a ? 0 )的图象

ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的根
ax 2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0)的解集
ax 2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0)的解集
注意:
2

有两相异实根

有两相等实根

x1 , x2 ( x1 ? x2 )

x1 ? x2 ? ?

b 2a

无实根

?x x ? x 或x ? x ?
1 2

? b? ?x x ? ? ? 2a ? ?
? ?

R

?x x

1

? x ?x 2 ?

(1)一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的两根 x1、x2 是相应的不等式的解集的端点的取值,是 抛物线 y ? ax ? bx ? c 与 x 轴的交点的横坐标; (2)表中不等式的二次系数均为正,如果不等式的二次项系数为负,应先利用不等式的性质转化 为二次项系数为正的形式,然后讨论解决;
2
2 2 (3) 解集分 ? ? 0, ? ? 0, ? ? 0 三种情况, 得到一元二次不等式 ax ? bx ? c ? 0 与 ax ? bx ? c ? 0

的解集。 知识点三:解一元二次不等式的步骤 (1)先看二次项系数是否为正,若为负,则将二次项系数化为正数;

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(2)写出相应的方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) ,计算判别式 ? : ① ? ? 0 时,求出两根 x1、x2 ,且 x1 ? x2 (注意灵活运用因式分解和配方法) ; ② ? ? 0 时,求根 x1 ? x 2 ? ?

b ; 2a

③ ? ? 0 时,方程无解 (3)根据不等式,写出解集. 2 知识点四:用程序框图表示求解一元二次不等式 ax +bx+c>0(a>0)的过程 开始

将原不等式化成一般形式 ax +bx+c>0(a>0)
2

Δ =b -4ac

2

Δ ≥0?



2

求方程 ax +bx+c=0 的 两个根 x1、x2

2

方程 ax +bx+c=0 没 有实数根



x1=x2?


原不等式解集为 R

原不等式解集为

{x | x ? ?

b } 2a

原 不 等 式 解 集 为 {x|x<x1, 或 x>x2}(x1<x2)

结束 规律方法指导 1.解一元二次不等式首先要看二次项系数 a 是否为正;若为负,则将其变为正数; 2.若相应方程有实数根,求根时注意灵活运用因式分解和配方法; 3.写不等式的解集时首先应判断两根的大小,若不能判断两根的大小应分类讨论; 4.根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根,我们可以利用韦达定理,找到不等式的解集与 其系数之间的关系; 5.若所给不等式最高项系数含有字母,还需要讨论最高项的系数。

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【经典例题】 类型一:解一元二次不等式 例 1. 解下列一元二次不等式 (1) x ? 5x ? 0 ;
2

(2) x ? 4 x ? 4 ? 0 ;
2

(3) ? x ? 4 x ? 5 ? 0
2

思路点拨: 转化为相应的函数,数形结合解决,或利用符号法则解答. 解析: (1)方法一: 因为 ? ? (?5)2 ? 4 ?1? 0 ? 25 ? 0 所以方程 x ? 5x ? 0 的两个实数根为: x1 ? 0 , x2 ? 5
2

函数 y ? x ? 5x 的简图为:
2

因而不等式 x ? 5x ? 0 的解集是 {x | 0 ? x ? 5} .
2

方法二: x ? 5x ? 0 ? x( x ? 5) ? 0 ? ?
2

?x ? 0 ?x ? 0 或? ?x ? 5 ? 0 ?x ? 5 ? 0

解得 ?

?x ? 0 ?x ? 0 或 ? ,即 0 ? x ? 5 或 x ?? . ?x ? 5 ?x ? 5
2

因而不等式 x ? 5x ? 0 的解集是 {x | 0 ? x ? 5} . (2)方法一: 因为 ? ? 0 , 方程 x ? 4 x ? 4 ? 0 的解为 x1 ? x2 ? 2 .
2

函数 y ? x ? 4x ? 4 的简图为:
2

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所以,原不等式的解集是 {x | x ? 2} 方法二: x2 ? 4 x ? 4 ? ( x ? 2)2 ? 0 (当 x ? 2 时, ( x ? 2)2 ? 0 ) 所以原不等式的解集是 {x | x ? 2} (3)方法一: 原不等式整理得 x ? 4 x ? 5 ? 0 .
2 2 因为 ? ? 0 ,方程 x ? 4 x ? 5 ? 0 无实数解,

函数 y ? x ? 4x ? 5 的简图为:
2

所以不等式 x ? 4 x ? 5 ? 0 的解集是 ? .
2

所以原不等式的解集是 ? . 方法二:∵ ? x ? 4x ? 5 ? ?( x ? 2) ? 1 ? ?1 ? 0
2 2

∴原不等式的解集是 ? . 总结升华: 1. 初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决,培养并提高数形结合的分析能力; 2. 当 ? ? 0 时,用配方法,结合符号法则解答比较简洁(如第 2、3 小题) ;当 ? ? 0 且是一个完全平方 数时,利用因式分解和符号法则比较快捷, (如第 1 小题). 3. 当二次项的系数小于 0 时,一般都转化为大于 0 后,再解答. 举一反三: 【变式 1】解下列不等式 (1) 2 x ? 3x ? 2 ? 0 ;(2) ?3x ? 6 x ? 2 ? 0
2 2

(3) 4 x ? 4 x ? 1 ? 0 ; (4) ? x ? 2 x ? 3 ? 0 .
2 2

【答案】 (1)方法一: 因为 ? ? (?3) ? 4 ? 2 ? (?2) ? 25 ? 0
2

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2 方程 2 x ? 3x ? 2 ? 0 的两个实数根为: x1 ? ?

1 , x2 ? 2 2

函数 y ? 2 x2 ? 3x ? 2 的简图为:

因而不等式 2 x ? 3x ? 2 ? 0 的解集是: {x | x ? ?
2

1 或x ? 2} . 2

方法二:∵原不等式等价于 (2 x ? 1)( x ? 2) ? 0 , ∴ 原不等式的解集是: {x | x ? ? (2)整理,原式可化为 3x ? 6 x ? 2 ? 0 ,
2

1 或x ? 2} . 2

因为 ? ? 0 , 方程 3x ? 6 x ? 2 ? 0 的解 x1 ? 1 ?
2

3 3 , x2 ? 1 ? , 3 3

函数 y ? 3x ? 6 x ? 2 的简图为:
2

所以不等式的解集是 (1 ? (3)方法一: 因为 ? ? 0

3 3 ,1 ? ). 3 3

2 方程 4 x ? 4 x ? 1 ? 0 有两个相等的实根: x1 ? x2 ?

1 , 2

由函数 y ? 4 x ? 4 x ? 1的图象为:
2

原不等式的的解集是 { } . 方法二:∵ 原不等式等价于: (2 x ? 1) ? 0 ,
2

1 2

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∴原不等式的的解集是 { } . (4)方法一:
2 因为 ? ? 0 ,方程 ? x ? 2 x ? 3 ? 0 无实数解,

1 2

由函数 y ? ? x 2 ? 2 x ? 3 的简图为:

原不等式的解集是 ? . 方法二:∵ ? x ? 2 x ? 3 ? ?( x ? 1) ? 2 ? ?2 ? 0 ,
2 2

∴ 原不等式解集为 ? . 【变式 2】解不等式: ?6 ? x ? x ? 6 ? 6
2

【答案】原不等式可化为不等式组
2 2 ? ? ?( x ? 4)( x ? 3) ? 0 ?x ? x ? 6 ? 6 ? x ? x ? 12 ? 0 ,即 ,即 , ? ? ? 2 2 x ( x ? 1) ? 0 ? 6 ? x ? x ? 6 x ? x ? 0 ? ? ? ? ?

解得 ?

? ?3 ? x ? 4 ? x ? 1或x ? 0

∴原不等式的解集为 {x | ?3 ? x ? 0或1 ? x ? 4} . 类型二:已知一元二次不等式的解集求待定系数 例 2. 不等式 x ? mx ? n ? 0 的解集为 x ? (4,5) ,求关于 x 的不等式 nx ? mx ? 1 ? 0 的解集。
2 2

思路点拨:由二次不等式的解集为 (4,5) 可知:4、5 是方程 x ? mx ? n ? 0 的二根,故由韦达定理可求
2

出 m 、 n 的值,从而解得. 解析:由题意可知方程 x ? mx ? n ? 0 的两根为 x ? 4 和 x ? 5
2

由韦达定理有 4 ? 5 ? ? m , 4 ? 5 ? ?n ∴ m ? ?9 , n ? ?20 ∴ nx ? mx ? 1 ? 0 化为 ?20 x ? 9 x ? 1 ? 0 ,即 20 x ? 9 x ? 1 ? 0
2 2 2

1 1 (4 x ? 1)(5x ? 1) ? 0 ,解得 ? ? x ? ? , 4 5

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故不等式 nx ? mx ? 1 ? 0 的解集为 (?
2

1 1 ,? ) . 4 5

总结升华:二次方程的根是二次函数的零点,也是相应的不等式的解集的端点.根据不等式的解集的端 点恰为相应的方程的根,我们可以利用韦达定理,找到不等式的解集与其系数之间的关系,这一点是解 此类题的关键。 举一反三: 【变式 1】不等式 ax +bx+12>0 的解集为{x|-3<x<2},则 a=_______, b=________。 【答案】由不等式的解集为{x|-3<x<2}知 a<0,且方程 ax +bx+12=0 的两根为-3,2。
2 2

? b ? ? ?3 ? 2 ? ?1 ? ? a 由根与系数关系得 ? ?12 ? (?3) ? 2 ? ?6 ? ?a
解得 a=-2, b=-2。

1 1 ? x ? ,试求 a 、 c ,并解不等式 ?cx 2 ? 2 x ? a ? 0 . 3 2 1 1 2 1 1 c 【答案】由韦达定理有: ? ? ? ? , ? ? ? ,∴ a ? ?12 , c ? 2 . 3 2 a 3 2 a
【变式 2】已知 ax ? 2 x ? c ? 0 的解为 ?
2

∴代入不等式 ?cx ? 2 x ? a ? 0 得 ?2 x ? 2 x ? 12 ? 0 ,
2 2

2 即 x ? x ? 6 ? 0 , ( x ? 3)( x ? 2) ? 0 ,解得 ?2 ? x ? 3 ,

故不等式 ?cx ? 2 x ? a ? 0 的解集为: (?2,3) .
2

【变式 3】 已知关于 x 的不等式 x ? ax ? b ? 0 的解集为 (1, 2) , 求关于 x 的不等式 bx ? ax ? 1 ? 0 的解
2 2

集. 【答案】由韦达定理有: ?

? ?a ? 1 ? 2 ?a ? ?3 2 ,解得 ? , 代入不等式 bx ? ax ? 1 ? 0 得 ?b ? 1? 2 ?b ? 2
1 或 x ?1. 2

2 x 2 ? 3x ? 1 ? 0 ,即 (2 x ? 1)( x ? 1) ? 0 ,解得 x ?
2 ∴ bx ? ax ? 1 ? 0 的解集为: (??, )

1 2

(1, ??) .

类型三:二次项系数含有字母的不等式恒成立恒不成立问题 例 3.已知关于 x 的不等式(m +4m-5)x -4(m-1)x+3>0 对一切实数 x 恒成立,求实数 m 的取值范围。 思路点拨:不等式对一切实数恒成立,即不等式的解集为 R,要解决这个问题还需要讨论二次项的系数。 解析:
2 2

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(1)当 m +4m-5=0 时,m=1 或 m=-5 若 m=1,则不等式化为 3>0, 对一切实数 x 成立,符合题意。 若 m=-5,则不等式为 24x+3>0,不满足对一切实数 x 均成立,所以 m=-5 舍去。 (2)当 m +4m-5≠0 即 m≠1 且 m≠-5 时, 由此一元二次不等式的解集为 R 知,抛物线 y=(m +4m-5)x -4(m-1)x+3 开口向上,且与 x 轴无交点,
2 ? ?m ? 4m ? 5 ? 0 所以 ? , 2 2 ? ? ? 16 ( m ? 1 ) ? 12 ( m ? 4 m ? 5 ) ? 0 ?
2 2 2 2

即?

?m ? 1或m ? ?5 ?1 ? m ? 19

, ∴ 1<m<19。

综上所述,实数 m 的取值范围是{m|1≤m<19}。 总结升华:情况(1)是容易忽略的,所以当我们遇到二次项系数含有字母时,一般需讨论。 举一反三: 【变式 1】 若关于 x 的不等式 mx ? (2m ? 1) x ? m ?1 ? 0 的解集为空集,求 m 的取值范围.
2

【答案】关于 x 的不等式 mx ? (2m ? 1) x ? m ?1 ? 0 的解集为空集
2

即 mx ? (2m ? 1) x ? m ?1 ? 0 的解集为 R
2

当 m ? 0 时,原不等式为: ? x ? 1 ? 0 ,即 x ? ?1 ,不符合题意,舍去. 当 m ? 0 时,原不等式为一元二次不等式,只需 m ? 0 且 ? ? 0 ,

?(2m ? 1)2 ? 4m(m ? 1) ? 0 1 即? ,解得 m ? ? , 8 ?m ? 0
综上, m 的取值范围为: m ? ( ??, ? ) . 【变式 2】若关于 x 的不等式 mx ? (2m ? 1) x ? m ?1 ? 0 的解为一切实数,求 m 的取值范围.
2

1 8

【答案】当 m ? 0 时,原不等式为: ? x ? 1 ? 0 ,即 x ? ?1 ,不符合题意,舍去. 当 m ? 0 时,原不等式为一元二次不等式,只需 m ? 0 且 ? ? 0 ,

?(2m ? 1)2 ? 4m(m ? 1) ? 0 即? ,解得 m ? 0 , ?m ? 0
综上, m 的取值范围为: m ? (0, ??) . 【变式 3】若关于 x 的不等式 mx ? (2m ? 1) x ? m ?1 ? 0 的解集为非空集,求 m 的取值范围.
2

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【答案】当 m ? 0 时,原不等式为: ? x ? 1 ? 0 ,即 x ? ?1 ,符合题意. 当 m ? 0 时,原不等式为一元二次不等式,显然也符合题意 当 m ? 0 时,只需 ? ? 0 , 即?

?(2m ? 1)2 ? 4m(m ? 1) ? 0 ?m ? 0

,解得 ?

1 ? m ? 0, 8

综上, m 的取值范围为: m ? [ ? , ??) . 类型四:含字母系数的一元二次不等式的解法 例 4.解下列关于 x 的不等式 (1)x2-2ax≤-a2+1; (2)x -ax+1>0; (3)x -(a+1)x+a<0; 解析: (1) x ? 2ax ? a ?1 ? 0 ? [( x ? a) ?1][( x ? a) ? 1] ? 0 ? a ?1 ? x ? a ? 1
2 2
2 2

1 8

∴原不等式的解集为 {x | a ? 1 ? x ? a ? 1}。 (2) Δ =a -4
2

a ? a2 ? 4 a ? a2 ? 4 当Δ >0,即 a>2 或 a<-2 时,原不等式的解集为 {x | x ? 或x ? } 2 2
当Δ =0,即 a=2 或-2 时,原不等式的解集为 { x | x ? 当Δ <0,即-2<a<2 时,原不等式的解集为 R。 (3)(x-1)(x-a)<0 当 a>1 时,原不等式的解集为{x|1<x<a} 当 a<1 时,原不等式的解集为{x|a<x<1} 当 a=1 时,原不等式的解集为 ? 。 总结升华:对含字母的二元一次不等式,一般有这样几步: ①定号:对二次项系数大于零和小于零分类,确定了二次曲线的开口方向; ②求根:求相应方程的根。当无法判断判别式与 0 的关系时,要引入讨论,分类求解; ③定解:根据根的情况写出不等式的解集;当无法判断两根的大小时,引入讨论。 举一反三:

a }。 2

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【变式1】解关于x的不等式: x ? (a ?
2

1 ) x ? 1 ? 0(a ? 0) a

【答案】原不等式化为 ( x ? a )( x ? ①a=1或a=-1时,解集为?;

1 )?0 a

1 1 ,解集为: {x | a ? x ? } ; a a 1 1 ③当a>1或 -1<a<0时, a ? ,解集为: {x | ? x ? a} 。 a a
②当0<a<1 或a<-1时, a ? 【变式 2】解关于 x 的不等式: x2 ? (a ? a2 ) x ? a3 ? 0 ( a ? R ) 【答案】 x ? (a ? a ) x ? a ? 0 ? ( x ? a)( x ? a ) ? 0
2 2 3 2

当 a<0 或 a>1 时,解集为 {x | x ? a或x ? a } ;
2

当 a=0 时,解集为 {x | x ? 0} ; 当 0<a<1 时,解集为 {x | x ? a 或x ? a} ;
2

当 a=1 时,解集为 {x | x ? 1} ; 总结升华:熟练掌握一元二次不等式的解法是解不等式的基础,对最高项含有字母系数的不等式,要注 意按字母的取值情况进行分类讨论,分类时要“不重不漏” 。 举一反三: 【变式1】解关于x的不等式:(ax-1)(x-2)≥0; 【答案】当a=0时,x∈(-?,2]. 当a≠0时,方程(ax-1)(x-2)=0两根为 x1 ? ①当a>0时,

1 , x2 ? 2 a

1 1 1 时, x ? (?? ,2] ? [ ,?? ) ; a 2 a 1 1 若 a ? 0, =2 , 即 a ? 时,x∈R; a 2 1 1 1 若 a ? 0, ? 2 , 即 a ? 时, x ? (?? , ] ? [2,?? ) . a 2 a 1 1 2] 。 ②当a<0时,则有: ? 2 , ∴ x ? [ , a a
若 a ? 0, ? 2 , 即 0 ? a ? 【变式2】解关于x的不等式:ax +2x-1<0; 【答案】当a=0时, x ? (?? , ) .
2

1 2

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当a≠0时,Δ =4+4a=4(a+1), ①a>0时,则Δ >0, x ? ( ②a<0时, 若a<0,△<0, 即a<-1时,x∈R; 若a<0,△=0, 即a=-1时,x∈R且x≠1; 若a<0,△>0, 即 -1<a<0时, x ? (??,

?1 ? 1 ? a ?1 ? 1? a , ). a a

?1? 1? a ?1? 1? a )?( ,??) 。 a a

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