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吉林省东北师大附中09-10学年高二上学期期中考试(数学理)


东北师大附中 09-10 学年高二上学期期中考试 数学(理)试题
命题人:毕伟 李海军 审题人:刘桂英 本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 4 页,试卷满分 120 分,答 题时间为 120 分钟. 注意事项:
1.答题前,考生必须将自己的姓名、准考号、班级和登录账号填写在答题纸和答题卡的指定位置. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B

铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦 干净后,再选涂其他答案标号,在试题卷上作答无效. 3.非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写,字迹工整,笔迹清楚,请按照题号顺序在各个 题目的答题区域作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效.

第Ⅰ卷(选择题,共 48 分)
一、选择题(本卷共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) (1)命题“ ? x 0 ? R , sin x 0 ? (A) ? x ? R , sin x ? (C) ? x 0 ? R , sin x ?
x
2

1 2

”的否定是 (B) ? x ? R , sin x ?
1 2 1 2

1 2 1 2

(D)不存在 x ? R , sin x ?

(2)椭圆

?

y

2

? 1 的离心率是

5
2 5

3
10 5
2 3

(A)

(B)

(C)

(D)

6 3

(3)设 a , b ? R ,则“ a b ? 0 ”是“ a ? b ? a ? b ”的 (A)充要条件 (C)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

(4)用辗转相除法(或更相减损术)求得 78 和 36 的最大公约数数是 (A)24 (B)18 (C)12 (D)6

(5)阅读右图所示的程序框图,运行相应的程序,若 p ? 0 . 8 ,则输出的 n 值为 (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6
开始 输入 p
n ? 1, S ? 0

S ? p?


n


S ? S ?1/ 2
n ? n ?1

输出 n 结束

(6) 1 0 名工人某天生产同一零件,生产的件数是 15,17,14,10,15,17,17,16,14,12, 设其平 均数为 a ,中位数为 b ,众数为 c ,则有 (A) a ? b ? c (B) b ? c ? a (C) c ? a ? b (D) c ? b ? a

(7)已知某运动员每次投篮命中的概率都为 40%。现采用随机模拟的方法估计该运动员三 次投篮恰有两次命中的概率: 先由计算器算出 0 到 9 之间取整数值的随机数, 1, 用 2, 3,4 表示命中,用 5,6, ,7,8,9,0 表示不命中;再以每三个随机数为一组,代表 三次投篮的结果。经随机模拟产生了 20 组随机数: 907 431 966 257 191 393 925 027 271 556 932 488 812 730 458 113 569 537 683 989

据此估计,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 (A)0.35 (B)0.30 (C)0.25 (D)0.20

(8)命题“若 m ? 0 或 n ? 0 ,则 m ? n ? 0 ”的逆否命题是 (A)若 m ? n ? 0 ,则 m ? 0 或 n ? 0 (C)若 m ? n ? 0 ,则 m ? 0 且 n ? 0 (B)若 m ? 0 或 n ? 0 ,则 m ? n ? 0 (D)若 m ? 0 且 n ? 0 ,则 m ? n ? 0

(9)3 名学生排成一排,其中甲、乙两人相邻的概率是 (A)
1 6

(B)

1 3

(C)

1 2

(D)

2 3

(10)如果事件 A 与 B 是互斥事件,且事件 A ? B 的概率是 0.8,事件 A 的概率是事件 B 的概率的 3 倍,则事件 A 的概率是 (A)0.2 (B)0.4 (C)0.6
2 3 4

(D)0.8
5 6

(11)用秦九韶算法求多项式 f ( x ) ? 1 2 ? 3 5 x ? 8 x ? 7 9 x ? 6 x ? 5 x ? 3 x 在 x ? ? 4 的 值时,其中 v 2 的值是

(A) ? 22

(B)34

(C) ? 57
???? ????? ?

(D)220

(12)已知 F1 、 F 2 是椭圆的两个焦点,满足 M F1 ? M F 2 ? 0 的点 M 总在椭圆内部,则椭圆 离心率的取值范围是 (A) (0 ,1) (B) (0, ]
2 1

(C) (0 ,

2 2

)

(D) [

2 2

,1)

第Ⅱ卷(非选择题,共 72 分)
二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把正确答案填在答题卡的横线上) (13)某小组共有 8 名同学, 其中男生 6 人, 女生 2 人, 现从中按性别用分层抽样方法从中 抽取 4 人参加社区志愿者服务, 则男生抽取 ( 14 ) 已 知 椭 圆
x
2

人;女生抽取

人.

?

y

2

36
?

9

? 1 的 左 右 两 个 焦 点 分 别 为 F1 , F2 , P 是 椭 圆 上 一 点 , 且

? F1 P F 2 ? 6 0 ,则△ F1 P F 2 的面积为



(15)在检查产品尺寸过程中,将其尺寸分成若干组,[ a , b ) 是其中一组,检查出的个体在 该组上的频率为 m ,该组的直方图的高为 h ,则 a ? b ? .

A (16)点 A 为周长等于 3 的圆周上的一个定点,若在该圆周上随机取一点 B,则劣弧 ? B 的

长度小于 1 的概率为



三、解答题(本大题共 6 小题,共 56 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (17) (本题满分 8 分) 某地有 A、B、C、D 四人先后感染了甲型 H1N1 流感,其中只有 A 到过疫区,B 肯定是受 A 感染的.对于 C,因为难以判定他是受 A 还是受 B 感染的,于是假定他受 A 和受 B 感染的概率都是
1 2

.同样也假设 D 受 A、B 和 C 感染的概率都是

1 3

.

( Ⅰ ) 试 写 出 A 、 B 、 C 、 D 都 被 感 染 所 有 可 能 情 况 ;( 例 如 D A B
A? B ? C ? D,



C

(Ⅱ)求 A 直接感染 2 人的概率.

(18) (本题满分 8 分) 过点 P ( 2, 4 ) 作两条互相垂直的直线 l1 , l 2 , l1 与 x 轴交于点 A, l 2 与 y 轴交于点 B,求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程.

(19) (本题满分 10 分) 在区间 ( ? 1, 1) 中随机地取出两个数 m , n ,求使方程 x ? 2 m x ? n ? 1 ? 0 无实根的概
2 2

率。

(20) (本题满分 10 分) 某校高二年级共有 1200 名学生,为了分析某一次数学考试情况,今抽查 100 份试卷,成绩分布如下表: 成绩
[10, 20) [20, 30) [30, 40) [40, 50) [50, 60) [60, 70) [70, 80) [80, 90)
[90,100]

人数 频率

4 0.04

5 0.05

6 0.06

9 0.09

21 0.21

27 0.27

15 0.15

9 0.09

4 0.04

(Ⅰ)画出频率分布直方图; (Ⅱ)由频率分布表估计这次考试及格(60 分以上为及格)的人数; (Ⅲ)由频率分布直方图估计这考试的平均分.

(21) (本题满分 10 分) 如图,四棱锥 P ? A B C D 的底面 A B C D 是一个边长为 4 的正方形,侧面 P A D 是正三 角形,侧面 P A D ? 底面 A B C D . (Ⅰ)求四棱锥 P ? A B C D 的体积; (Ⅱ)求直线 P A 与平面 P B C 所成的角的正弦值.

P

D

C

A

B

(22) (本题满分 10 分) 已知椭圆 C :
x a
2 3 6 3 3
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的 左 、 右 焦点 为 F1 、 F 2 , 椭 圆 C 上 的 点

P(

,

???? ???? ? ) 满足 P F1 ? P F 2 ? 0 .

(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)自定点 Q (0, ? 2 ) 作一条直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A 、 B (点 B 在点 A 的下

??? ? | QB | ? 方) ,记 ? ? ??? ,求 ? 的取值范围. | QA |

参考答案 一、选择题:ABCDB DCCDC BC (15)
m h 2 3

二、填空题: (13)3, 1 三、解答题 (17)解: (I)共有 6 种情形 A B C D

(14) 3 3

(16)

A

B C

D

A D

B

C

A C

B

D

A C D

B

D A C B

(Ⅱ)记“A 直接感染 2 人”的事件为 A, 由(I)知 A、B、C、D 四人先后感染共有 6 种不同的情形,A 直接感染 2 人有 3 种情形 所以, P ( A ) ?
3 6 ? 1 2 1 2

. .

答:A 直接感染 2 人的概率为 (18)解法一:设点 M ( x , y )

∵M 为 AB 的中点,∴ A ( 2 x , 0 ), B (0, 2 y ) ∴ C A ? ( 2 x ? 2, ? 4 ), C B ? ( ? 2, 2 y ? 4 ) ∵ C A ? C B ,∴ C A ? C B ? 0 ∴ ? 2 ( 2 x ? 2 ) ? 4 ( 2 y ? 4 ) ? 0 ,即 x ? 2 y ? 5 ? 0 故,点 M 的轨迹方程为 x ? 2 y ? 5 ? 0 。 解法二:设点 A , M 的坐标分别为 ( t , 0 ), ( x , y ) (1)当 t ? 2 时,直线 l1 的斜率为 k 1 ? 直线 l 2 的方程为 y ? 4 ?
t?2 4 4 2?t

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

,所以直线 l 2 的斜率为 k 2 ?

t?2 4

( x ? 2) .

令 x ? 0 ,得 y ? 5 ?

t 2

,即点 B 的坐标为 (0 , 5 ?

t 2

). t 2 , y ? 5 2 ? t 4

由于点 M 是线段 AB 的中点,由中点坐标公式得, x ? 由x ?
t 2

得 t ? 2 x ,代入 y ?

5 2

?

t 4

,得 x ? 2 y ? 5 ? 0 .

(2)当 t ? 2 时,可得点 A、B 的坐标分别为(2,0)(0,4) , , 此时点 M 的坐标为(1,2) ,它然适合方程 x ? 2 y ? 5 ? 0 . 由(1) (2)可知,方程 x ? 2 y ? 5 ? 0 就是所求的点 M 的轨迹方程,他表示一条直线. (19)解:记“方程 x ? 2 m x ? n ? 1 ? 0 无实根”的事件为 A
2 2

每个基本事件发生是等可能的
? ??1 ? m ? 1 ? ? ? ? ? ? 1 ? m ? 1? ? ? ? 区域 D ? ? ( m , n ) ? ? ,区域 A ? ? ( x , y ) ? ? 1 ? n ? 1 ? . ??1 ? n ? 1 ? ? ? ? ? ? 2 ? 2 ? m ? n ? 1? ?
P ( A) ? A 的面积 D的面积
2

?

?
4
2


?
4

答:方程 x ? 2 m x ? n ? 1 ? 0 无实根的概率为



(20)解(Ⅰ)频率直方图见右图. (Ⅱ)∵60 分以上的频率约为 0.27 ? 0.15 ? 0.09 ? 0.04 ? 0.55 ∴及格人数约为 1 2 0 0 ? 0 .5 5 ? 6 6 0 . 频率 (Ⅲ)平均分约为: 组距 0.027 0.021 0.015 0.009 0.006 0.005 0.004

成绩 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 分数

x ? 1 5 ? 0 .0 4 ? 2 5 ? 0 .0 5 ? 3 5 ? 0 .0 6 ? 4 5 ? 0 .2 1 ? 6 5 ? 0 .2 7 ? 7 5 ? 0 .1 5 ? 8 5 ? 0 .0 9 ? 9 5 ? 0 .0 4 ? 5 9 .8

(21) (1) 解: 过点 P 作 P E ? A D 于点 E , P E ? 平面 A B C D . P 则
G
D E A F

C

B

PE ? 4 ?

3 2

? 2 3 .??????????????2 分

正方形 A B C D 的面积 ? 4 ? 4 ? 16 . 所以四棱锥 P ? A B C D 的体积为
V P ? ABCD ? 1 3 ? 2 3 ? 16 ? 32 3 3

.??4 分

(2)过 E 作 E F ? B C 于 F 点,连 P F ,过 E 作 E G ? P F 于 G 点, 因为 B C ? 平面 P E F , E G ? 平面 P E F ,所以 E G ? B C .又 PF ? BC 于 F 点,所以 E G ? 平面 P B C .??????????????6 分 在 R t ? P E F 中, P F ? 所以 E G ?
2 3?4 2 7 ? 4 7

(2 3 ) ? 4
2

2

? 2 7 ,

2 1 .???????????????8 分

4

所以,设求直线 P A 与平面 P B C 所成的角为 ? ,则 sin ? ?
21 7

EG PA

21 ? 4

? 7

21 7



直线 P A 与平面 P B C 所成的角的正弦值为

.????10 分

(22)解: (1)设 F1 ( ? c , 0 ), F2 ( c , 0 ) ,其中 c ?

???? 2 6 3 2 2 ? c, ), a ? b ,于是 P F1 ? ( 3 3

???? ? ???? ???? ? 2 6 3 2 6 2 6 3 2 P F2 ? ( ? c, ) ,则由 P F1 ? P F 2 ? 0 可得 ( ? c )( ? c) ? ( ) ?0, 3 3 3 3 3

所以 c ? 3 .?????????????????????2 分
2

(

2 6 3 2 a
2

)

2

( ?

3 3 2 b

)

2

又点 P 在椭圆 C 上,所以

? 1 ,即

8 a
2

?

1 b
2

1 ? 3 .????○

2 又 a ? b ? c ? 3 ,所以, b ? a ? 3 .????○
2 2 2 2

2 1 ○代入○整理得 3 a ? 1 8 a ? 2 4 ? 0 ,解得 a ? 2 (舍) ,或 a ? 4 .
4 2 2 2

所以, b ? 1 .
2

y A

O
B
Q (0, ? 2 )

x

于是,所求的椭圆 C 的标准方程为 (2)由题可知, 0 ? ? ? 1 .
??? ? ??? ? ??? ? | QB | ? 于是,由 ? ? ??? ,则 Q B ? ? Q A , | QA |

x

2

? y ? 1 .??????4 分
2

4

(I)当直线 l 的斜率不存在时, 容易求得, B (0, ? 1), A (0,1) , 所以 | Q B |? 1, | Q A | ? 3 ,
??? ? | QB | 1 ? 所以,此时 ? ? ??? ? .????????5 分 | QA | 3
3 (II)当直线 l 的斜率存在时,设为 k ,则直线 l 的方程为 y ? kx ? 2 .○

??? ?

??? ?

3 设点 A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) ,将○代入

x

2

? y ? 1 消去 y 得:
2

4

(1 ? 4 k ) x ? 1 6 kx ? 1 2 ? 0 .
2 2

由 ? ? 1 6 k ? 4 ? 1 2 ? (1 ? 4 k ) ? 0 解得 k ?
2 2 2

2

3 4



x1 ? x 2 ?
x1 x 2 ?

16k 1 ? 4k
12
2

2

4 ,????○

1 ? 4k ??? ? ??? ? 又 Q B ? ? Q A ,所以 ( x 2 , y 2 ? 2 ) ? ? ( x1 , y1 ? 2 ) ,所以有
6 x 2 ? ? x1 ,???????○ 6 4 将○代入○得 (1 ? ? ) x1 ? 6 5 将○代入○得 ? x1 ?
2

5 ,?????○????????????????7 分

16k 1 ? 4k
2 2

7 ,????○

12 1 ? 4k

8 ,??????○

7 8 联立○○,消去

x1 得

?
(1 ? ? )
2 2
2

?

16 k

2

2 2 2

(1 ? 4 k )
2

?

12 1 ? 4k
2



所以,

(1 ? ? )

2

?

?

1 6 k (1 ? 4 k ) 1 2 ? (1 ? 4 k )
2 2

,化简得 ? ?

1

?

? 3(

64 1 k
2

?2,

? 4)

因为 0 ?

1 k
2

?

4 3

,4 ?

1 k
2

?4?

16 3

,所以 2 ?
3(

64 1 k
2

?2?

10 3



? 4)

所以, 2 ? ? ? 设 f (? ) ? ? ? 所以
1 3

1

?
1

?

10 3

且 0 ? ? ? 1 .??????9 分
1 10 3 , f (1) ? 2 ,

?

,则 f ( ? ) 在 (0 ,1) 上为减函数,又 f ( ) ?
3

? ? ?1. (此处也可以通过解一元二次不等式求出 ? 的取值范围) 1 3 ? ? ? 1 .????10 分

综合(I)(II)可得, ? 的取值范围是 、


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