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北京市海淀区2009届高三一模试题及答案-数学(理科)


海淀区高三年级第二学期期中练习
数学(理科)
2009.04

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题 目要求的一项. (1)若 sin 2? ? 0 ,且 cos ? ? 0 ,则角 ? 是( ) (A)第一象限角 (B) 第二象限角 (C)第三象限角 )
y

>y

(D)第四象限角

(2)函数 f (x) = 2x+ 1 的反函数 y ? f ?1 ? x ? 的图象是(
y
y

O

1

2

x

2
O 1 2 x

2

O

1

x

O

1

x

(A)

(B)

(C)

(D)

(3)若向量 a、b 满足 a +b =(2,-1) ,a =(1,2) ,则向量 a 与 b 的夹角等于 ( ) (A) 45
?

(B) 60
?

?

(C) 120 (

(D) 135

?

(4)已知 l 是直线,

? 、 ? 是两个不同的平面,下列命题中的真命题是
(B)若 ? ^ ? , l // ? ,则 l ^ ? (D)若 l // ? , ? // ? ,则 l // ? )

) (A)若 l // ? , l // ? ,则 ? // ? (C)若 l ^ ? , l // ? ,则 ? ^ ?

(5)已知实数 a, b, c 成公差不为零的等差数列,那么下列不等式不成立的是( ...

(A)b - a +

1 c- b

2

a (B) b + b c + c a ? a

3

3

3

4

b4 + c 4

(C) b ? ac
2

(D) b - a ? c

b

(6) “ ab = 4 ”是“直线 2 x + ay - 1 = 0 与直线 bx + 2 y - 2 = 0 平行”的(
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(A)充分必要条件 (C)必要而不充分条件

(B)充分而不必要条件 (D)既不充分也不必要条件

( 7 ) 已 知 实 数 x, y 满 足 ( )

x2 y 2 = 1(a > 0, b > 0) , 则 下 列 不 等 式 中 恒 成 立 的 是 a 2 b2
b x 2a b x a 2b x a

(A) y <

b x a

(B) y > -

(C) y > *

(D) y <

(8)对于数列 {an } ,若存在常数 M ,使得对任意 n ? N , an 与 an ?1 中至少有一个不小于

M , 则 记 : {an } ? M ,

那 么 下 列 命 题 正 确 的 是 (

)

(A)若 {an } ? M ,则数列 {an } 的各项均大于等于 M (B)若 {an } ? M , {bn } ? M ,则 {an ? bn } ? 2M
2 (C)若 {an } ? M ,则 {an } ? M 2

(D)若 {an } ? M ,则 {2an ? 1} ? 2M ? 1 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在题中横线上. (9)在复平面内,复数 (10)在 (1 ?

1 + ai ( a ? R )对应的点位于虚轴上,则 a = i

.

1 1 n ) ( n ? N* )的展开式中,所有项的系数之和为 64 ,则 的系数是 x x

__________.(用数字作答)
? (11)已知 A 、 B 、 C 三点在球心为 O 的球面上, AB ? AC ? 2 , ?BAC ? 90 ,球心 O

到平面 ABC 的距离为 2 .则异面直线 OA 与 BC 所成角的大小是

,球

O 的表面积为
达式为 Sn =
2

.

(12)已知 Sn 是数列 {an }的前 n 项和,若 Sn = 1- nan (n = 1, 2,3,?) ,则 Sn 关于 n 的表 .
2 2 (13)已知圆 A :? x ? 3? ? y ? 2 ,点 P 是抛物线 C : y ? 4 x 上的动点,过点 P 作圆 A

的两条切线,则两切线夹角的最大值为 (14)已知函数 f ? x ? ?

.

sin ? x . ? x2 ? 1?? x2 ? 2x ? 2?

那么方程 f ( x) ? 0 在区间 [?100,100] 上的根的个数是__________.
第 2 页 共 15 页

对于下列命题:①函数 f ? x ? 是周期函数; ②函数 f ? x ? 既有最大值又有最小值; ③ 函数 f ? x ? 的定义域是 R, 且其图象有对称轴; ④对于任意 x ? 是函数 f ? x ? 的导函数).其中真命题的序号是 题的序号) 三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. (15) (本小题共 13 分) 在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,已知 a ? 2 , b ?

( 1,0) ,f ' ? x ? ? 0( f ' ? x ?
. (填写出所有真命

7,

B ? 60? .
(Ⅰ)求 c 的值及 ?ABC 的面积 S ; (Ⅱ)求 sin(2 A ? C) 的值.

(16) (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? 2 ln x ? x . (Ⅰ)写出函数 f ( x ) 的定义域,并求其单调区间; (Ⅱ)已知曲线 y ? f ( x) 在点 x0 , f ? x0 ? 处的切线是 y ? kx ? 2 ,求 k 的值.

?

?

第 3 页 共 15 页

(17) (本小题共 14 分) 如图,在 Rt ?ABC 中, AB ? BC ? 4 ,点 E 、 F 分别在线段 AB 、 AC 上,且

EF // BC ,将 ?AEF 沿 EF 折起到 ?PEF 的位置,使得二面角 P ? EF ? B 的大小 ? 为 60 . (Ⅰ)求证: EF ? PB ; (Ⅱ)当点 E 为线段 AB 的中点时,求 PC 与平面 BCFE 所成角的大小; (Ⅲ)求四棱锥 P ? EFCB 体积的最大值.
A

P
E F

E B
B C

F C

(18) (本小题共 13 分) 3 名志愿者在 10 月 1 号至 10 月 5 号期间参加社区服务工作. (Ⅰ) 若每名志愿者在这 5 天中任选一天参加社区服务工作, 且各志愿者的选择互不影 响,求 3 名志愿者恰好连续 3 天参加社区服务工作的概率; (Ⅱ) 若每名志愿者在这 5 天中任选两天参加社区服务工作, 且各志愿者的选择互不影 响,记 ? 表示这 3 名志愿者在 10 月 1 号参加社区服务工作的人数,求随机变量 ? 的分 布列.

(19) (本小题共 14 分)

x2 y 2 已知椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的左、右焦点分别为 F 、 F2 ,短轴两个端点 1 a b

第 4 页 共 15 页

为 A 、 B ,且四边形 F AF2 B 是边长为 2 的正方形. 1 (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)若 C 、 D 分别是椭圆长轴的左、右端点,动点 M 满足 MD ? CD ,连结 CM , 交椭圆于点 P .证明: OM × 为定值; OP (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,试问 x 轴上是否存在异于点 C 的定点 Q,使得以 MP 为直径 的圆恒过直线 DP, MQ 的交点,若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,说明理由.

???? ??? ? ?

(20) (本小题共 13 分) 对于各项均为正数且各有 m 项的数列 ?an ? ,

?bn? ,按如下方法定义数列 ?tn ? :

?t ? a ? b t0 ? 0 , n ? ? n ?1 n n t ?bn

tn ?1 ? an , tn ?1 ? an

并规定数列 ?an ? 到 ?bn ? 的 “并 ? n ? 1, 2,?, m ? ,

和”为 Sab ? a1 ? a2 ? ? ? am ? tm . (Ⅰ)若 m=3,数列 ?an ? 为 3,7,2;数列 ?bn ? 为 5,4,6,试求出 t1 、 t 2 、 t3 的值以 及数列 ?an ? 到 ?bn ? 的并和 S ab ; (Ⅱ)若 m=4,数列 ?an ? 为 3,2,3,4;数列 ?bn ? 为 6,1,x,y,且 Sab ? 17 ,求证:

y ? 5;
(Ⅲ)若 m=6,下表给出了数列 ?an ? ,

?bn? :
3 1 13 11 6 8 5 10

an bn

7 4

9 12

如果表格中各列 (整列) 的顺序可以任意排列, 每种排列都有相应的并和 S ab , 试求 S ab 的最小值,并说明理由.

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参考答案及评分标准
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) CADCB CDD

2009.04

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分.有两空的小题,第一空 3 分,第二空 2 分,共 30 分) (9)0 (13) 60° (10)15 (14)201,②③ (11) 90 ? , 16? (12)

n n ?1

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) (15)(本小题共 13 分) 解: (Ⅰ)? a ? 2 , b ?

7 , B ? 60? ,由余弦定理可得
????????2 分 ???????3 分

b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B . 1 ? 7 ? c2 ? 4 ? 2 ? c ? 2 ? . 2 2 ? c ? 2c ? 3 ? 0 . ? c ? 3 或 c ? ?1 (舍). ? c ? 3.
1 1 3 3 3 . ? ? S ? ac sin B ? ? 3 ? 2 ? 2 2 2 2
(Ⅱ)在 ?ABC 中, b =

???????4 分 ????????6 分

7 , B = 60 ,
???????8 分

?

7 2 = . sin 60° sin A 21 . 7

? sin A =

??????9 分

? a < b,
? A 为锐角. ? cos A =
2 7 . 7
????????11 分

? A + C = 180? B = 120 ,
? sin (2 A + C ) = sin (120?
A) = 3 1 21 cos A - sin A = . 2 2 14
?13 分

第 6 页 共 15 页

(16) (本小题共 13 分) 解: (Ⅰ)函数 y ? f ( x) 的定义域为:

(0, ??) . ∵ f ( x) ? 2ln x ? x , 2 ∴ f '( x) ? ? 1 . x 令 f '( x) ? 0 , 则 x ? 2.

?????????????1 分

??????????????3 分

当 x 在 (0, ??) 上变化时, f '( x), f ? x ? 的变化情况如下表

x
f '( x)

(0, 2)
+ ↗

2
0 极大值

(2, ??)


f ( x)

∴函数 y ? f ( x) 的单调递增区间是 (0, 2) ,单调递减区间是 (2, ??) . ?????6 分 (Ⅱ)由题意可知:

f ? x0 ? ? 2ln x0 ? x0 ,

??????????????7 分

曲线 y ? f ( x) 在点 x0 , f ? x0 ? 处的切线的斜率为 k ? f '( x0 ) ?

?

?

2 ?1 . x0

?????8 分 ∴切线方程为:

y ? f ? x0 ? ? (

2 ? 1)( x ? x0 ) . x0

??????????????9 分

∴ y ? (2ln x0 ? x0 ) ? (

2 ? 1)( x ? x0 ) . x0
??????10 分

∴y?(

2 ? 1) x ? 2ln x0 ? 2 . x0

∵切线方程为 y ? kx ? 2 , ∴ 2ln x0 ? 2 ? ?2 . ∴ x0 ? 1 . ∴ 曲 线

y ? f ( x)





? x , f ? x ??
0 0







线







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k?

2 ?1 ? 1 . x0

????????????13 分

(17) (本小题共 14 分) (Ⅰ)证明:在 Rt ?ABC 中, EF // BC , ∴ EF ? AB . ∴ EF ? EB, EF ? EP . 又∵ EB ? EP ? E , ∴ EF ? 平面 PEB . 又∵ PB ? 平面 PEB , ∴ EF ? PB . ??????4 分 (Ⅱ) 解法一: 过点 P 作 PD ? EB 交 EB 于 D , 连结 DC .
P

???????????????2 分

∵ EF ? 平面 PEB , PD ? 平面 PEB , ∴ EF ? PD . ∵ EF ? EB = E ,∴ PD ? 平面 BCFE . ∴ CD 是 PC 在平面 BCFE 内的射影. ∴ ?PCD 是 PC 与平面 BCFE 所成的角.
???????????????6 分
B

E

F C

P

∵点 E 为线段 AB 的中点, AB ? BC ? 4 , ∴ PE = EB = 2 . ∵ EF ? EB, EF ? EP , ∴ ?PEB 是二面角 P ? EF ? B 的平面角.
???????????????8 分
B E D C F

∵二面角 P ? EF ? B 的大小为 60° , ∴ ? PEB 60 .
在 Rt△ PDE 中, PD = PE 装 60 = sin

3, DE = PE 装 cos60 = 1.

∴ BD ? 1 .
在 Rt△ DBC 中, DC =

12 + 42 = 17 .
PD 51 = . DC 17

∴在 Rt△ PCD 中, tan ? PCD

∴ PC 与平面 BCFE 所成角的大小为 arctan

51 . 17
?????9 分

解法二:如图,以 E 为原点建立空间直角坐标系 E ? xyz .
第 8 页 共 15 页

∵点 E 为线段 AB 的中点, AB ? BC ? 4 , ∴ PE = EB = 2 . ∵ EF ? EB, EF ? EP , ∴ ?PEB 是二面角 P ? EF ? B 的平面角. ∵二面角 P ? EF ? B 的大小为 60° , ∴ ? PEB 60 .
?????6 分 可得 P 1, 0, 3 , C ? 2,4,0? . 则 CP ? ?1, ?4, 3 , 且平面 BCFE 的法向量 n ? ? 0,0,1? .
P z

E B x

F y C

?

?

??? ?

?

?

??? ? ??? ? CP ? n 15 ∴ cos CP, n ? ??? . ? ? 10 CP ? n

∴ PC 与平面 BCFE 所成角的大小为 arcsin ???????????????9 分

15 . 10

(Ⅲ)设 AE ? x ,则 x ? (0, 4).同(Ⅱ)可求得 PD =

3 x. 2

在等腰直角三角形 AEF 中, EF = AE = x ,

∴ S BCFE = S ?ABC - S ?AEF =

1 (16 - x 2 ) . 2
????11 分

1 3 ∴ VP ? EFCB ? S BCFE ? PD ? x ? (16 ? x 2 ) . 3 12
设 f ? x ? ? x ? (16 ? x ) , x? ? 0,4? ,
2

则 f ? ? x ? ? 16 ? 3x ,由 f ? ? x ? ? 0 得 x ?
2

4 3. 3

当 0? x?

4 3 时, f 3

? x? ?

x( 1 6 ? 2 x 单 调 递 增 ; 当 ? )

4 3 ?x?4 时 , 3

f

? x? ?

x( 1 6 ? 2 x单调递减. ? )
32 4 3 时,四棱锥 P ? EFCB 体积取最大值为 .????14 分 9 3

∴当 x ?

第 9 页 共 15 页

(18) (本小题共 13 分) 解: (Ⅰ)3 名志愿者每人任选一天参加社区服务,共有 5 种不同的结果,这些结果出现的 可能性都相等. ???????????????1 分
3 设“3 名志愿者恰好连续 3 天参加社区服务工作”为事件 A ,则该事件共包括 3A3 种不
3

同的结果. ????????????????3 分 所以,

P ? A? ?

3 3 A3 18 ? . 3 125 5

????5 分 天 参 加 社 区 服 务 工 作 的 概 率 为

答 : 3 名 志 愿 者 恰 好 连 续 3

(Ⅱ)解法 1:随机变量 ? 的可能取值为 0,1,2,3. ?????7 分

18 . 125

???????????6 分

?C ? P?? ? 0? ? ?C ?
5

2 3 4 2 3

27 ? , 125
2

P?? ? 1? ?

1 1 2 C3 C 4 C 4 2 3 5

? ? ?C ?

2

?

54 , 125


P?? ? 2? ?

1 2 C32 C 4 C 4 2 3 5

? ? ?C ?

?

36 125

?C ? P?? ? 3? ? ?C ?
5

1 3 4 2 3

?

8 . 125

????????????11 分

随机变量 ? 的分布列为:

?
P
????13 分 解 法

0

1

2

3

27 125

54 125

36 125

8 125
???????????

2 : 每 名 志 愿 者 在

10



1

日 参 加 社 区 服 务 的 概 率 均 为

1 C4 2 P ? 2 ? . ????????????7 分 C5 5

则三名志愿者在 10 月 1 日参加社区服务的人数 ? ~ B (3, ) .

2 5

3 i 2 P?? ? i ? ? C3 ( ) i ( ) 3?i 5 5 i ? 0,1,2,3 .

, ???????????????11 分
第 10 页 共 15 页

随机变量 ? 的分布列为:

?
P

0

1

2

3

27 125

54 125

36 125

8 125
????13 分

(19) (本小题共 14 分) 解: (Ⅰ)如图,由题意得, 2b ? 2c ? 2 2 .

?b ? c ? 2 ,a ? 2.
?

所求的椭圆方程为 ???????????????3 分 ???????????????

x2 y 2 ? ? 1. 4 2
(Ⅱ) (Ⅰ) C( ?2 , , (2, . 由 知, 0) D 0) 4分

由题意可设 CM : y ? k ( x ? 2) , P ( x1 , y1 ). , ? M D ? C D ? M (2, 4k ). ???????????????5 分



? x2 y 2 ? 1, ? ? 2 ?4 ? y ? k ( x ? 2) ?

y





A M P C F1 B O F2 D x

得: (1 ? 2k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 8k 2 ? 4 ? 0 .

? ?2x1 ?

8k 2 ? 4 , 1 ? 2k 2

2 ? 4k 2 . ? x1 ? 1 ? 2k 2
?????7 分
?

y1 ? k ( x1 ? 2) ?

4k , 1 ? 2k 2
???????????????8 分

P(

2 ? 4k 2 4k , ). 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2

???? ??? ? ? 2 ? 4k 2 4k 4(1 ? 2k 2 ) ? 4k ? ? ? 4. ? OM ? OP ? 2 ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
第 11 页 共 15 页

????9 分

即 OM ? OP 为定值. (Ⅲ)设 Q( x0 ,0) ,则 x0 ? ?2 . 若以 MP 为直径的圆恒过 DP , MQ 的交点,则 MQ ? DP ,

???? ??? ? ?

???? ??? ? ? ? MQ ? DP ? 0 恒成立.
????10 分

???? ? 由(Ⅱ)可知 QM ? (2 ? x0 , 4k ) ,
??? ? ?8k 2 4k DP ? ( , ). 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2
????????????12 分

???? ??? ? ? ?8k 2 4k ? 4k ? ? 0. ? QM ? DP ? (2 ? x0 ) ? 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2


8k 2 x0 ? 0 恒成立. 1 ? 2k 2

? x0 ? 0 .
使 ? 存 在 Q( 0 , 0 ) 得 以 MP 为 直 径 的 圆 恒 过 直 线 DP , MQ 的 交 点. ???????????14 分 (20) (本小题共 13 分) 解: (Ⅰ)由数列 ?tn ? 的定义可知: t1 ? b1 ? 5 ,

t2 ? b2 ? 4 , t3 ? t2 ? a3 ? b3 ? 8 , Sab ? a1 ? a2 ? a3 ? t3 ? 20 .
?????????????4 分 (Ⅱ)证法一: 由 Sab ? 17 得 t4 ? Sab ? ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? ? 5 . ?????????????5 分 而

t1 ? b1 ? 6



t2 ? t1 ? a2 ? b2 ? 5



t3 ? t2 ? a3 ? b3 ? x ? 2



?????????????6 分 当 t3 ? a4 ,即 x ? 2 时,有 t4 ? b4 ? y ,则 y ? 5 ;
第 12 页 共 15 页

当 t3 ? a4 ,即 x ? 2 时,有 t4 ? t3 ? a4 ? b4 ? x ? 2 ? y ,则 y ? 7 ? x ? 7 ? 2 ? 5 , 综上所述,必有 y ? 5 成立. ?????????????9 分 证法二: 当 tn?1 ? an 即 tn?1 ? an ? bn ? bn 时,有 tn ? bn ; 当 tn?1 ? an 即 tn?1 ? an ? bn ? bn 时,有 tn ? tn?1 ? an ? bn , 可见 tn ? max ?bn , tn?1 ? an ? bn ? . 由 Sab ? 17 得 t4 ? Sab ? ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? ? 5 , 故 y ? max ? y, t3 ? 4 ? y? ? t4 ? 5 . ?????????????9 分 (Ⅲ) S ab 的最小值为 51,当表格如下排列(记作排列※)时可取到:

an bn

5 10

6 8

9 12

13 11

7 4

3 1

?????????????10 分 证法一: 当 1 ? n ? 6 时 , 由 ( Ⅱ ) 知 tn ? max? bn ,tn 1 ? an ? b? , 则 tn ? tn?1 ? an ? bn, 即 ? n .于是 tn ? tn?1 ? bn ? an

t6 ? t5 ? b6 ? a6 , t5 ? t4 ? b5 ? a5 ,
t4 ? t3 ? b4 ? a4 ,

t3 ? t2 ? b3 ? a3 , t2 ? t1 ? b2 ? a2 .
将上述不等式相加得:

t6 ? t1 ? ?b2 ? b3 ??? b6 ? ? ? a2 ? a3 ? ?? a6 ? .???????????11 分

第 13 页 共 15 页

∵ ∴ ∴

Sab ? ? a1 ? a 2??? a 6 ? t .6 ?
Sab ? ? a1 ? a 2??? a 6 ? t ? ?b ? b ?3 ? b ? ? ? a ? a ? ?? a ? . ? 1 2 ? 6 2 3
6

Sab ? a1 ? b 1? ?b 2? b ??? b ? 6? 46 ? a . 3

1



将前 4 个不等式相加得 t6 ? t2 ? ?b3 ? b4 ? b5 ? b6 ? ? ? a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? . 类似地,可整理得 Sab ? t2 ? ? 46 ? b1 ? b2 ? ? a1 ? a2 . 若 a1 ? 3 ,可见 a1 ? 5 ,由①得 Sab ? 46 ? a1 ? 51 ; 若 a1 ? 3 ,则 b1 ? 1 ,那么 t1 ? b1 ? 1 ? a2 ,故 t2 ? b2 . 此时由②得 Sab ? t2 ? ? 46 ? b1 ? b2 ? ? a1 ? a2 ? 46 ? b1 ? a1 ? a2 ? 48 ? a2 ? 53 . 综上所述, Sab ? 51 总是成立的. ?????????????13 分 证法二: 对于由表格排列得到的数列 ?an ? , ②

?bn? ,若存在 min ?ai , bi?1? ? min ?ai?1, bi ? (其中

2?i?6) ,则交换表格的第 i 列与第 i?1 列,得到新数列 ? An ? , ?Bn ? .
则对原数列,有

ti ? max ?bi , ti?1 ? ai ? bi ? ? max ?bi , bi?1 ? ai ? bi , ti?2 ? ai?1 ? bi?1 ? ai ? bi ? .
而对新数列,有

Ti ? max ?Bi , Bi?1 ? Ai ? Bi , Ti?2 ? Ai?1 ? Bi?1 ? Ai ? Bi ? ? m a x bi?1 bi ? a?1 ? b?1 , t?2 ? ai ? bi ? ai ???.1i b ? , i i i ?1
注意到 max ?bi , bi ?1 ? ai ? bi ? ? bi ?1 ? bi ? max ??bi ?1, ?ai ?

? bi?1 ? bi ? min ?bi?1, ai ? ? bi?1 ? bi ? min ?bi , ai ?1?
? bi?1 ? bi ? max ??bi , ?ai ?1? ? max ?bi ?1, bi ? ai ?1 ? bi ?1? .
这就说明 ti ? Ti , 那么 ti ?1 ? max ?bi ?1 , ti ? ai ?1 ? bi ?1? ? max ?bi ?1 , Ti ? ai ?1 ? bi ?1? ? Ti ?1 .

第 14 页 共 15 页

依此类推可得 t6 ? T6 ,则 Sab ? S AB . 可见,交换第 i 列与第 i?1 列后,新数列的并和不会增加. ?????????????12 分 对于任何一种由表格排列得到的数列 ?an ? ,

?bn? ,可以通过上述有限次调整,得到排

列※.这是因为考查表格中最小的数,可以经过有限次调整,将它调整到※中的位置,固定 该列后再考察余下数中最小的那一个,依此类推即可. 在调整的过程中, 数列 ?an ? 到 ?bn ? 的并和 S ab 没有增加, 因此调整前的 S ab 一定不小于 51.由 ?an ? ,

?bn? 初始状态的任意性,可知 Sab 的最小值就是 51.

?????????????13 分 说明:其它正确解法按相应步骤给分.

第 15 页 共 15 页


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