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江苏省青阳高级中学2013届高三月测试卷(二)(数学)

时间:2013-04-28


江苏省青阳高级中学 2013 届高三数学月测试卷(二)
一、填空题 (共 12 小题,共 70 分)
1. “ m ? 1 ”是“函数 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? m 有零点”的 2.复数 z ? 条件.

1 (其中是虚数单位),则 z =_____ 1? i

3.若集合 A ? {?1, 0,1},

B ? { y | y ? cos x, x ? A}, 则 A ? B ? 4.从集合 A ? ?? 1,1,2?中随机选取一个数记为 k ,从集合 B ? ?? 2,1,2? 中随机选取一个数记为 b ,则直线

y ? kx ? b 不经过第三象限的概率为 ___

.

5.将参加夏令营的 600 名学生编号为 001,002,…,600。采用系统抽样方法抽取一个容量为 50 的样本, 且随机抽得的号码为 003。这 600 名学生分住在三个营区,从 001 到 300 住在第Ⅰ营区,从 301 到 495 住在 第Ⅱ营区,从 496 到 600 住在第Ⅲ营区。三个营区被抽中的人数依 次 为 __ . . 6.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为

7.设 {a n } 是公比为 q 的等比数列,首项 a1 ?

1 ,对于 n ? N ? , 64 bn ? log 1 a n ,当且仅当 n ? 4 时,数列 ?bn ?的前 n 项和取得最大
2

值,则 q 的

取值范围为



8.已知 f ( x ), g ( x ) 都是定义在 R 上的函数,并满足: (1) f ( x ) ? 2a g ( x ),(a ? 0, a ? 1) ;(2) g ( x ) ? 0 ;
x

(3) f ( x ) g ( x ) ? f ( x ) g ( x ) 且
' '

f (1) f ( ?1) ? ? 5 ,则 a ? g (1) g ( ?1)



9.已知 cos( x ?

?
6

)??

3 ? ,则 cos x ? cos( x ? ) ? ___________ 3 3
? ?

10.在 ?ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=1,点 P 在 AM 上且满足 PA ? ?2 PM ,则 PA ? ( PB ? PC ) 等于 ________.

??? ??? ??? ? ? ?

?x ? y ? 2 ? 0 ? 2 2 11. 过平面区域 ? y ? 2 ? 0 内一点 P 作圆 O : x ? y ? 1 的两条切线, 切点分别为 A, B , ?APB ? ? , 记 ?x ? y ? 2 ? 0 ? 当 ? 最小时,此时点 P 坐标为____________ 12.如图,在三棱锥 P ? ABC 中, PA 、 PB 、 PC 两两垂直, 且 PA ? 3, PB ? 2, PC ? 1 . 设 M 是 底 面 ABC 内 一 点 , 定 义 f ( M ) ? (m, n, p ) ,其中 m 、 n 、 p 分别是三棱锥 M ? PAB 、 三 棱 锥

1 a 1 M ? PBC 、三棱锥 M ? PCA 的体积.若 f ( M ) ? ( , x, y ) ,且 ? ? 8 恒成立,则正实数 a 的最小值为 2 x y
________. 13.函数 f ( x) ? ?

?x 2 ? 4x ? ?4 x ? x 2 ?

x?0 x?0

,则不等式 f (2 ? x ) ? f ( x) 的解集是
2



14.问题“求方程 3x ? 4 x ? 5 x 的解”有如下的思路:方程 3x ? 4 x ? 5 x 可变为 ( ) x ? ( ) x ? 1 ,考察函数

3 5

4 5

f (x) ? (3) x ? (4) x 可知, f (2) ? 1 ,且函数 f (x) 在 R 上单调递减,∴原方程有唯一解 x ? 2 . 5 5
仿照此解法可得到不等式: x ? (2 x ? 3) ? (2 x ? 3) ? x 的解是
6 3 2



二、解答题(共 6 小题,共 90 分)
15. (本小题满分 14 分) ?ABC 中, A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c , a ? 5, b ? 3,sin C ? 2sin A . 在 角 且 (1)求 c 的值;(2)求 sin(2 A ?

?
3

) 的值.

16 . ( 本 小 题 满 分 14 分 ) 如 图 , 在 直 三 棱 柱

ABC ? A1 B1C1 中, BA ? BC .
(1)若 BA ? BB1 ,求证: AB1 ? 平面 A1 BC ; (2) BA ? BC ? BB1 ? 2 , 是棱 BC 上的一动点. 若 M 试确定点

M 的位置,使点 M 到平面 A1 B1C 的距离等于

2 . 2
器(不计厚

17.(本小题满分 14 分)某企业拟建造如图所示的容

度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的容积为

80? 立 3

方米,且 l≥2r .假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元,半 球形部分每平方米建造费用为 c(c>3) 千元.设该容器的建造费用为 y 千元. (Ⅰ)写出 y 关于 r 的函数表达式,并求该函数的定义域; (Ⅱ)求该容器的建造费用最小时的 r .

y 2 x2 18.(本小题满分 16 分)已知椭圆 C: 2 + 2 =1? a>b>0 ? 的离心率为 6 ,过右顶点 A 的直线与椭圆 C 相 3 a b
交于 A、B 两点,且 B(?1,? 3) . (1)求椭圆 C 和直线的方程;

(2)记曲线 C 在直线下方的部分与线段 AB 所围成的平面区域(含边界)为 D.若 曲线 x 2 ? 2mx ? y 2 ? 4 y ? m 2 ? 4 ? 0 与 D 有公共点,试求实数 m 的最小值.

19. (本小题满分 16 分) 如图, y 轴的正半轴上依次有点 A1、A2、 、An、 , 在 ? ? 其中点 A1 (0, 1) 、A2 (0, 10) , 且 | An ?1 An |? 3 | A n An ?1 | (n ? 2,3,4, ?) ,在射线 y ? x( x ? 0) 上依次有点

B1、B2、 、Bn、 ,点 B1 的坐标为(3,3),且 ? ?

| OBn |?| OBn ?1 | ?2 2 (n ? 2,3,4, ?) . (1)求 | An An ?1 | (用含 n 的式子表示); y An+1 (2)求点 An 、 Bn 的坐标(用含 n 的式子表示); An
(3)设四边形 An Bn Bn ?1 An ?1 面积为 S n ,问 {S n } 中是否 A2 Bn B2 A1 O 20.(本小题满分 16 分)已知函数 f ( x) ? (1)求函数 f ( x) 的单调区间; (2)设 m ? 0 ,求函数 f ( x)在[m, 2m] 上的最大值; (3)证明:对 ?n ? N * ,不等式 ln( B1 x 在,求出所有这 Bn+1 存在不同的三项

S1 , S n , S k (1 ? n ? k , n、k ? N) 恰好成等差数列?若存
样的三项,若不存在,请说明理由.

ln x ? 1. x

2?n 2?n 恒成立。 )? n n

参考答案 一、选择
1.充分非必要条件 2.

1 3. ? ?
4.

1 1 ? i 2 2 2 9

5.25,17,8 i ? 1 时, S ? ?1 ; i ? 2 时, S ? 3 ; i ? 3 时, S ? ?6 ; i ? 4 时, S ? 10 ; 6. 10 7. (2 2 ,4) 8. 2 9. ? 1

4 9 11. ?? 4,?2 ? 12.1
10. ?

13. (? 2, 1) ;
14. x ? ?1 或 x ? 3 ; 15.(1)由正弦定理

c a sin C ,得 c ? ? ? a ? 2a ? 2 5 sin C sin A sin A

(2)由余弦定理,得 cos A ?

c2 ? b2 ? a 2 2 5 ? 2bc 5

所以 sin A ? 1 ? cos 2 A ? 故 sin 2 A ? 2sin A cos A ? 所以 sin(2 A ?

5 5
4 3 , cos 2 A ? cos 2 A ? sin 2 A ? 5 5

?
3

) ? sin 2 A cos

?
3

? cos 2 A sin

?
3

?

4?3 3 10

16.(1)证明:当 BA ? BB1 ,可知, AB1 ? A1 B . 又? BC ? BA , BC ? BB1 ,且 BA ? BB1 ? B ,? BC ? 平面 ABB1 . 而 AB1 ? 平面 ABB1 ,? AB1 ? BC .

? AB1 ? A1 B ? ? AB1 ? 平面 A1 BC . ? 由 ? AB1 ? BC ? A B ? BC ? B ? 1
(2)设 B 到平面 A1 B1C 的距离等于 H,则 VB ? A1B1C ? VC ? A1B1B , sB ? A1B1C H ? 所以,当点 M 为棱 BC 的中点时,点 M 到平面 A1 B1C 的距离等于 17.(Ⅰ)因为容器的体积为

1 3

1 SC ? A1B1B CB , H ? 2 。 3

2 . 2

80? 立方米, 3

4? r 3 80? 80 4r ? ? r 2l ? 所以 ,解得 l ? 2 ? , 3 3 3r 3
由于 l ? 2r ,因此 0 ? r ? 2 . 所以圆柱的侧面积为 2? rl = 2? r (

160? 8? r 2 80 4r ? , ? )? 3r 3 3r 2 3

两端两个半球的表面积之和为 4? r 2 , 所以建造费用 y ?

160? ? 8? r 2 + 4? cr 2 ,定义域为 (0, 2] . r

8? [(c ? 2)r 3 ? 20] 160? (Ⅱ)因为 y ? ? 2 ? 16? r + 8? cr = ,0 ? r ? 2 r2 r
'

由于 c>3,所以 c-2>0,所以 令 y ' ? 0 得: r ?

3

20 20 ; 令 y ' ? 0 得: 0 ? r ? 3 , c?2 c?2

(1)当 3 ? c ?

20 9 ? 2 时,函数 y 在(0,2)上是单调递减的,故建造费最小时 r=2. 时,即 3 c?2 2

(2)当 c ?

20 20 9 ? 2 时,函数 y 在(0,2)上是先减后增的,故建造费最小时 r ? 3 时,即 0 ? 3 . c?2 c?2 2
a 2 ? b2 6 6 ? ,得 ,即 a 2 ? 3b 2 . a 3 3

18.(1)由离心率 e ?



又点 B(?1,? 3) 在椭圆 C :

y 2 x2 (?3) 2 (?1) 2 + 2 ? 1 上,即 2 + 2 ? 1 . a2 b a b y 2 x2 ? ?1. 12 4



解①②得 a 2 ? 12,b 2 ? 4 ,故所求椭圆方程为

由 A(2,0),B(?1,? 3) 得直线 l 的方程为 y ? x ? 2 . (2)曲线 x 2 ? 2mx ? y 2 ? 4 y ? m 2 ? 4 ? 0 , 即 圆 ( x ? m) 2 ? ( y ? 2)2 ? 8 , 其 圆 心 坐 标为 G (m,? 2) , 半 径
r ? 2 2 ,表示圆心在直线 y ? ?2 上,半径为 2 2 的动圆.

由于要求实数 m 的最小值,由图可知,只须考虑 m ? 0 的情形. 设 ? G 与直线 l 相切于点 T, 则由

|a ? 2?2| 2

? 2 2 , m ? ?4 , 得

当 m ? ?4 时,过点 G (?4,? 2) 与直线 l 垂直的直线 l ? 的方程为 x ? y ? 6 ? 0 ,
? x ? y ? 6 ? 0, 解方程组 ? 得 T (?2,? 4) . ?x ? y ? 2 ? 0

因为区域 D 内的点的横坐标的最小值与最大值分别为 ?1,2 , 所以切点 T ? D ,由图可知当 ? G 过点 B 时,m 取得最小值,即 (?1 ? m) 2 ? (?3 ? 2) 2 ? 8 , 解得 mmin ? ? 7 ? 1 . 19.(1)?

| An An ?1 | 1 ? , 且 | A1 A2 |? 10 ? 1 ? 9 , | An ?1 An | 3 1 1 1 ?| An An ?1 |?| A1 A2 | ( ) n ?1 ? 9( ) n ?1 ? ( ) n ?3 3 3 3

(2)由(1)的结论可得

1 27 1 1 n ? 4 | A1 A2 | ? | A2 A3 | ? ? ? | An ?1 An | ? 9 ? 3 ? 1 ? ? ? ( ) n ? 4 ? ? ( ) 3 2 2 3 29 1 1 ? 点An 的坐标 (0, ? ( ) n? 4 ) , 2 2 3 ?| OBn | ? | OBn ?1 |? 2 2 ( n ? 2,3,? )且 | OB1 |? 3 2

?{| OBn |} 是以 3 2 为首项, 2 2 为公差的等差数列

?| OBn |? 3 2 ? (n ? 1)2 2 ? (2n ? 1) 2 ? Bn 的坐标为 (2n ? 1, 2n ? 1) . (3)连接 An Bn ?1 ,设四边形 An Bn Bn ?1 An ?1 的面积为 S n , 则 S n ? S ?An An?1Bn?1 ? S ?Bn Bn?1 An
1 1 1 29 1 1 2 29 n ? [( ) n ?3 ] ? (2n ? 3) ? ? 2 2 ? [ ? ( ) n ? 4 ] ? ? n ?3 2 3 2 2 2 3 2 2 3 29 n 29 29 k 由 S1 , S n , S k (1 ? n ? k , n、k ? N) 成等差数列, 2( ? n ?3 ) ? ( ? 9) ? ( ? k ?3 ) 2 3 2 2 3 n 1 即 k ? 2 ? 3k ( n ? ) ,①(4 分) 3 6 n ? 1 n 1 ? 2n ?n? ∵ n ?1 ? n ? n ?1 ? 0 ,∴ ? n ? 是单调递减数列. 3 3 3 ?3 ? n 1 当 n ? 3 时, n ? ,①式右边小于 0,矛盾, 3 9 当 n ? 2 时,得 k ? 3k ? 2 ,易知 k ? 3 是唯一解,∴ S1 , S 2 , S3 成等差数列. 即当 n ? 3 时, {S n } 中不存在 S1 , S n , S k 三项成等差数列.
综上所述,在数列 {S n } 中,有且仅有 S1 , S 2 , S3 成等差数列. 20.

(3)证明:对 ?n ? N * ,不等式 ln(

2?n 2?n 恒成立。 )? n n


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