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高考新课标文科数学-第二章函数与导数第7讲


第二章 基本初等函数、导数及其应用

第7讲

对数与对数函数

第二章 基本初等函数、导数及其应用

1.对数 ax=N (a>0,a≠1),那么数x叫做以a为底N 如果__________ logaN .其中a叫做对数的 概念 的对数,记作x=__________ 底数 ,N叫做_____

_____ __________ 真数 底数的限制:a>0,且a≠1 logaN=x 对数式与指数式的互化:ax=N?__________ 性 负数和零没有对数 0 质 1的对数是__________ :loga1=__________ 零 1 1 底数的对数是__________ :logaa=__________ 对数恒等式:
a
logaN=__________ N
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第二章 基本初等函数、导数及其应用

运 算 性 质

logaM+logaN loga(M· N)=____________________
M logaM-logaN loga =____________________ N

a>0, 且 a≠ 1 M>0, N>0

nlogaM logaMn=________________ (n∈R) 换 底 公 式

logcb 公式:logab= (a>0,且 a≠1;c>0,且 c≠1;b>0) logca

n 1 推广:logamb = logab;logab= m logba
n

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第二章 基本初等函数、导数及其应用

2.对数函数的图象与性质 a>1 图 象 ,+∞) 定义域:(0 __________ 值域:R 性 质 0<a<1

(1,0) 过定点__________
当x>1时,y>0当0<x<1时,y<0 当x>1时,y<0当0<x<1时,y>0 减函数 在(0,+∞)上是__________
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增函数 在(0,+∞)上是_________

第二章 基本初等函数、导数及其应用

3.反函数

y=logax (a>0 且 指数函数 y=ax(a>0 且 a≠1)与对数函数__________ y= x a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线__________ 对称.

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第二章 基本初等函数、导数及其应用

[做一做] 1.计算:2log510+log50.25=( C ) A.0 B.1 C.2 D.4 2.(2014· 高考天津卷改编)函数 f(x)=log1x2 的单调递增区
2

间为( B ) A.(0,+∞) B.(-∞,0) C.(2,+∞) D.(-∞,-2) 解析:因为 y=log1t 在定义域上是减函数,所以求原函数
2

的单调递增区间,即求函数 t=x2 的单调递减区间,结合函 数的定义域,可知所求区间为(-∞,0).
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第二章 基本初等函数、导数及其应用

(2,12] 3.f(x)= 1-lg(x-2)的定义域为____________ .
解析:∵1-lg(x-2)≥0,∴lg(x-2)≤1,∴0<x-2≤10, ∴2<x≤12,∴f(x)= 1-lg(x-2)的定义域为(2,12].

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第二章 基本初等函数、导数及其应用

1.辨明三个易误点 (1)在运算性质中,要特别注意条件,底数和真数均大于 0, 底数不等于 1; (2)对公式要熟记,防止混用; (3)对数函数的单调性、最值与底数 a 有关,解题时要按 0<a<1 和 a>1 分类讨论,否则易出错.

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第二章 基本初等函数、导数及其应用

2.对数函数图象的两个基本点 (1)当 a>1 时,对数函数的图象“上升”; 当 0<a<1 时,对数函数的图象“下降”. (2)对数函数 y=logax(a>0,且 a≠1)的图象过定点(1,0), 1 ? 且过点(a,1),?a,-1? ?,函数图象只在第一、四象限.

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第二章 基本初等函数、导数及其应用

[做一做] 4.函数 y=loga(3x-2)(a>0,a≠1)的图象经过定点 A,则 A 点坐标是( C ) 2? 2 ? ? ? A.?0,3? B.?3,0? C.(1,0) D.(0,1) 2 ? 5 .函数 y = log 1 (3x - a) 的定义域是 ?3,+∞? ? ,则 a =
2

2 ________ .

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第二章 基本初等函数、导数及其应用

考点一

对数式的化简与求值

考点二

对数函数的图象及应用

考点三

对数函数的性质及应用(高频考点)

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第二章 基本初等函数、导数及其应用

考点一 对数式的化简与求值
计算下列各式: (1)lg 25+lg 2·lg 50+(lg 2)2; 3 (2)lg +lg 70-lg 3- (lg 3)2-lg 9+1; 7 (3)(log32+log92)· (log43+log83).

[解] (1)原式=(lg 2)2+(1+lg 5)lg 2+lg 52 =(lg 2+lg 5+1)lg 2+2lg 5=(1+1)lg 2+2lg 5 =2(lg 2+lg 5)=2.

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第二章 基本初等函数、导数及其应用

3 ×70 7 (2)原式=lg - (lg 3)2-2lg 3+1 3 =lg 10- (lg 3-1)2 =1-|lg 3-1|=lg 3. lg 2 lg 2??lg 3 lg 3? ? (3)原式=?lg 3+lg 9??lg 4+lg 8? lg 2 lg 2 ?? lg 3 lg 3 ? ? =?lg 3+2lg 3??2lg 2+3lg 2? 3lg 2 5lg 3 5 = · = . 2lg 3 6lg 2 4

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第二章 基本初等函数、导数及其应用

[规律方法] 对数运算的一般思路: (1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指 数幂的形式,使幂的底数最简,然后正用对数的运算性质 化简合并. (2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆 用对数的运算性质,转化为同底对数真数的积、商、幂的 运算.

[注意] 在运算中要注意对数化同底和指数与对数的互化.

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第二章 基本初等函数、导数及其应用

1.(1)计算: (1-log63)2+log62·log618 ; log64 (2)已知 loga2=m,loga3=n,求 a2m n.


解:(1)原式 6 1-2log63+(log63) +log6 ·log6(6×3) 3 = log64 1-2log63+(log63)2+(1-log63)(1+log63) = log64
2

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第二章 基本初等函数、导数及其应用

1-2log63+(log63)2+1-(log63)2 = log64 2(1-log63) log66-log63 log62 = = = =1. 2log62 log62 log62 (2)∵loga2=m,loga3=n, ∴am=2,an=3, ∴a2m n=(am)2·an=22×3=12.


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第二章 基本初等函数、导数及其应用

考点二 对数函数的图象及应用
(1)(2014· 高考浙江卷)在同一直角坐标系中, 函数 f(x) =xa(x≥0),g(x)=logax 的图象可能是( D )

(2)若不等式(x-1)2<logax 在 x∈(1,2)内恒成立,则实数 a

(1,2] . 的取值范围为________
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第二章 基本初等函数、导数及其应用

[解析] (1)法一:分 a>1,0<a<1 两种情形讨论. 当 a>1 时,y=xa 与 y=logax 均为增函数,但 y=xa 递增较 快,排除 C; 当 0<a<1 时,y=xa 为增函数,y=logax 为减函数,排除 A, 由于 y=xa 递增较慢,所以选 D.

法二:幂函数 f(x)=xa 的图象不过(0,1)点,排除 A;B 项 中由对数函数 g(x)=logax 的图象知 0<a<1,而此时幂函数 f(x)=xa 的图象应是增长越来越慢的变化趋势,故 B 错,D 对;C 项中由对数函数 g(x)=logax 的图象知 a>1,而此时 幂函数 f(x)=xa 的图象应是增长越来越快的变化趋势, 故C 错.
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第二章 基本初等函数、导数及其应用

(2)设 f1(x)=(x-1)2,f2(x)=logax,要使当 x∈(1,2)时,不 等式(x-1)2<logax 恒成立,只需 f1(x)=(x-1)2 在(1,2)上 的图象在 f2(x)=logax 图象的下方即可. 当 0<a<1 时,显然不成立; 当 a>1 时,如图所示,

要使 x∈(1,2)时 f1(x)=(x-1)2 的图象在 f2(x)=logax 的图 象下方,只需 f1(2)≤f2(2), 即(2-1)2≤loga2,loga2≥1, ∴1<a≤2,即实数 a 的取值范围是(1,2].
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第二章 基本初等函数、导数及其应用

若本例(2)变为:已知不等式 x2-logax<0,当 1? ? x∈?0,2?时恒成立,求实数 a 的取值范围.
解:由 x2-logax<0, 得 x2<logax. 设 f(x)=x2,g(x)=logax. 1? ? 由题意知,当 x∈?0,2?时,函数 f(x)的图象在函数 g(x)的 图象的下方,

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第二章 基本初等函数、导数及其应用

0<a<1, ? ? 如图,可知? ?1? ?1? ? ?f?2?≤g?2?, 0<a<1, ? ? 即??1?2 1 ? ??2? ≤loga2, 1 解得 ≤a<1. 16 1 ? ∴实数 a 的取值范围是?16,1? ?.

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第二章 基本初等函数、导数及其应用

[规律方法]

(1)研究对数型函数的图象时,一般从最基本

的对数函数的图象入手, 通过平移、 伸缩、 对称变换得到. 特 别地,要注意底数 a>1 或 0<a<1 的两种不同情况. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象 问题,利用数形结合法求解.

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第二章 基本初等函数、导数及其应用

2.(1)(2014· 高考福建卷)若函数 y=logax(a>0, 且 a≠1)的图象如图所示,则下列函数图象正确的是( B )

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第二章 基本初等函数、导数及其应用

(2)不等式 logax>(x-1)2 恰有三个整数解,则 a 的取值范围 16 9 [ 5, 4) 为__________________ .
解析:(1)由题意 y=logax(a>0,且 a≠1)的图象过(3,1)点,
x 1 - ? ,显然图象错误; 可解得 a=3.选项 A 中,y=3 x=? ?3?

选项 B 中,y=x3,由幂函数图象可知正确;选项 C 中,y =(-x)3=-x3, 显然与所画图象不符; 选项 D 中, y=log3(- x)的图象与 y=log3x 的图象关于 y 轴对称,显然不符.故 选 B.
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第二章 基本初等函数、导数及其应用

(2)不等式 logax>(x-1)2 恰有三个整数解,画出示意图可知
2 ? log 4> ( 4 - 1 ) , ? a a>1, 其整数解集为{2, 3, 4}, 则应满足? 2 ? log 5 ≤( 5 - 1 ) , ? a



16

5≤a< 4,则 a 的取值范围为[

9

16

5, 4).

9

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第二章 基本初等函数、导数及其应用

考点三 对数函数的性质及应用(高频考点)
对数函数的性质是每年高考的必考内容之一,多以选择题 或填空题的形式考查,难度低、中、高档都有. 高考对对数函数性质的考查主要有以下四个命题角度: (1)考查对数函数的定义域; (2)考查对数函数的单调性、奇偶性; (3)比较对数值的大小; (4)解简单的对数不等式.

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第二章 基本初等函数、导数及其应用

1 (1)(2014· 高考辽宁卷)已知 a=2 3, b=log2 , c=log1 3 2


1

1 ,则( C ) 3 A.a>b>c C.c>a>b B.a>c>b D.c>b>a


[解析 ]

1 (1)0<a= 2 3 <2 = 1, b= log2 <log21= 0, c= log1 3 2
0

1

1 1 >log1 =1,即 0<a<1,b<0,c>1,所以 c>a>b. 3 2 2

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第二章 基本初等函数、导数及其应用

(2)已知函数 f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),a>0 且 a≠1. ①求 f(x)的定义域; ②判断 f(x)的奇偶性并予以证明; ③当 a>1 时,求使 f(x)>0 的 x 的取值范围.
解:①f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),
? ?x+1>0, 则? 解得-1<x<1. ? ?1-x>0,

故所求定义域为{x|-1<x<1}.

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第二章 基本初等函数、导数及其应用

②f(x)为奇函数.证明如下: 由①知 f(x)的定义域为{x|-1<x<1},且 f(-x)=loga(-x+1)-loga(1+x)=-[loga(x+1)-loga(1- x)]=-f(x). 故 f(x)为奇函数. ③由 f(x)>0,得 loga(x+1)-loga(1-x)>0, ∴loga(x+1)>loga(1-x),又 a>1, ?x+1>0

? ∴?1-x>0 ,解得 0<x<1. ? ?x+1>1-x

所以使 f(x)>0 的 x 的取值范围是{x|0<x<1}.
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第二章 基本初等函数、导数及其应用

[规律方法] 利用对数函数的性质, 求与对数函数有关的复 合函数的值域和单调性问题时,必须弄清三方面的问题: 一是定义域,所有问题都必须在定义域内讨论;二是底数 与 1 的大小关系;三是复合函数的构成,即它是由哪些基 本初等函数复合而成的.

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第二章 基本初等函数、导数及其应用

3.(1)(2015· 辽宁省五校第一协作体高三联考) 设函数 f(x)=loga|x|在(-∞,0)上单调递增,则 f(a+1)与 f(2)的大小关系是( A ) A.f(a+1)>f(2) B.f(a+1)<f(2) C.f(a+1)=f(2) D.不能确定 (2)已知函数 f(x)=ax+logax(a>0, a≠1)在[1, 2]上的最大值 与最小值之和为 loga2+6,则 a 的值为( C ) 1 1 A. B. 2 4 C.2 D.4

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第二章 基本初等函数、导数及其应用

a (3)已知函数 f(x)=ln(1- x)的定义域是(1,+∞),则实数 a 2

2 的值为________ .
解析:(1)由已知得 0<a<1,所以 1<a+1<2,根据函数 f(x) 为偶函数,可以判断 f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以 f(a +1)>f(2).

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第二章 基本初等函数、导数及其应用

(2)显然函数 y=ax 与 y=logax 在[1,2]上的单调性相同,因 此函数 f(x)=ax+logax 在[1, 2]上的最大值与最小值之和为 f(1) + f(2) = (a + loga1) + (a2 + loga2) = a + a2 + loga2 = loga2 +6,故 a+a2=6,解得 a=2 或 a=-3(舍去).故选 C.

a (3)由题意得,不等式 1- x>0 的解集是(1,+∞),由 1- 2 a x x>0,可得 2 >a,故 x>log2a,由 log2a=1,得 a=2. 2

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第二章 基本初等函数、导数及其应用

方法思想——求解不等关系中的参数问题(一题多解) (2013· 高 考 课 标 全 国 卷 Ⅰ) 已 知 函 数 f(x) = 2 ? - x +2x,x≤0, ? ? 若|f(x)|≥ax,则 a 的取值范围是( D ) ?ln(x+1),x>0. ? A.(-∞,0] B.(-∞,1] C.[-2,1] D.[-2,0]
[解析] 法一:(推理计算法)若 x≤0,|f(x)|=|-x2+2x|= x2-2x,x=0 时,不等式恒成立,x<0 时,不等式可变形 为 a≥x-2, 而 x-2<-2,可得 a≥-2; 若 x>0,|f(x)|=|ln(x+1)|=ln(x+1),
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第二章 基本初等函数、导数及其应用

ln(x+1) 由 ln(x+1)≥ax,可得 a≤ 恒成立, x x -ln(x+1) x + 1 ln(x+1) 令 h(x)= ,则 h′(x)= , x x2
-x x 再令 g(x)= -ln(x+1),则 g′(x)= <0, x+1 (x+1)2 故 g(x)在(0,+∞)上单调递减,所以 g(x)<g(0)=0, x -ln(x+1) x+1 可得 h′(x)= <0, x2

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第二章 基本初等函数、导数及其应用

故 h(x)在(0,+∞)上单调递减,x→+∞时,h(x)→0, 所以 h(x)>0,a≤0,综上可知,-2≤a≤0,故选 D.
法二:(数形结合法) 由 y=|f(x)|的图象知: ①当 x>0 时,y=ax 只有 a≤0 时, 才能满足|f(x)|≥ax,可排除 B,C. ②当 x≤0,y=|f(x)|=|-x2+2x|=x2-2x. 故由|f(x)|≥ax,得 x2-2x≥ax.

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第二章 基本初等函数、导数及其应用

当 x=0 时,不等式为 0≥0 成立. 当 x<0 时,不等式等价于 x-2≤a. ∵x-2<-2, ∴a≥-2. 综上可知:a∈[-2,0].

法三:(分离参数法) 2 ? x ? -2x,x≤0, ∵|f(x)|=? ∴由|f(x)|≥ax 分两种情况: ? ?ln(x+1),x>0,
? ?x≤0, ①? 2 恒成立 , 可得 a≥x - 2 恒成立 , 则 a≥(x - ? ?x -2x≥ax

2)max,即 a≥-2,排除选项 A,B;
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第二章 基本初等函数、导数及其应用

? ?x>0, ②由? 恒成立,根据函数图象可知 a≤0. ? ?ln(x+1)≥ax

综合①②得-2≤a≤0,故选 D.

法四:(特值法) 作出函数 y=|f(x)|的图象(如法二中图),取 a 的特殊值进行 检验,如取 a=1 不满足不等式,可排除选项 B、C,取 a =-5,不满足不等式,可排除选项 A,故选 D.

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[名师点评] 本题给出四种解法,方法二、三、四都利用了 数形结合思想,而方法一是推理计算,在方法三中又利用 了分离参数,所以当 x≤0 时,把 x2-2x≥ax 化为 x[(x-2) -a]≥0,得到(x-2)-a≤0,就达到了参变分离的效果; 当 x>0 时,采取画图,数形结合就可以看出 a 的范围. 高考试题大多数具有多种解决方法,选择不同的方法可能 出现简与繁的较大差异,在高考复习中要注意试题(特别是 选择题)的一些特殊解法.
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log 0.3 1 ? 已知 a=5log23.4,b=5log43.6,c=? , ?5?
3

B.b>a>c D.c>a>b log 0.3 1? 10 ? 解析:c=?5? =5-log30.3=5log3 . 3
3

则( C ) A.a>b>c C.a>c>b

法一:在同一坐标系中分别作出函数 y=log2x,y=log3x, y=log4x 的图象,如图所示.

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由图象知: 10 log23.4>log3 >log43.6. 3 由于 y=5x 为增函数,
10 . log 3.4 log ∴5 2 >5 3 3 >5log43 6,∴a>c>b.

10 10 法二:∵log3 >log33=1,且 <3.4, 3 3 10 ∴log3 <log33.4<log23.4. 3 10 ∵log43.6<log44=1,log3 >1, 3
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第二章 基本初等函数、导数及其应用

10 ∴log43.6<log3 . 3 10 ∴log23.4>log3 >log43.6. 3 由于 y=5
x 10 . log 3.4 log 为增函数,∴5 2 >5 3 3 >5log43 6.

log 0.3 1 . log 3.6 ? 即 5log23 4>? >5 ,故 a>c>b. 4 ?5?
3

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