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《函数与方程思想、数形结合思想》


? 第1讲 函数与方程思想、数形 结合思想

? 1.函数与方程思想 ? 函数与方程是中学数学的重要概念,它们 之间有着密切的联系.函数与方程的思想是 中学数学的基本思想,主要体现在依据题意, 构造恰当的函数,或建立相应的方程来解决 问题,是历年高考的重点和热点. ? 方程的思想与函数的思想密切相关:方程 f(x)=0的解就是函数y=f(x)的图象与x轴的交

点的横坐标;函数y=f(x)也可以看作二元方 程f(x)-y=0,通过方程进行研究;方程f(x)= a有解,当且仅当a属于函数f(x)的值域;函数

?函数与方程的思想在解题中的应用可从以下几 个方面思考: ?(1)函数与不等式的相互转化,对函数y=f(x), 当y>0时,就转化为不等式f(x)>0,借助于函 数的图象和性质可解决有关问题,而研究函数 的性质也离不开不等式. ?(2)数列的通项与前n项和公式是自变量为正整 数的函数,用函数的观点去处理数列问题十分 重要,数列也可用方程思想求解. ?(3)①解析几何中的许多问题,需要通过解二元 方程组才能解决,这都涉及二次方程与二次函 数的有关理论; ?②立体几何中有关线段、角、面积、体积的计

? 2.数形结合思想 ? 数形结合思想的实质是把抽象的数学语言 与直观的图形语言有机结合,达到抽象思维 和形象思维的和谐统一.通过对规范图形或 示意图形的观察分析,化抽象为直观,化直 观为精确,从而使问题得到解决.

?数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两 个方面,其应用大致可以分为两种情形:一是 借助形的生动性和直观性来阐明数形之间的联 系,即以形作为手段,数作为目的,比如应用 函数的图象来直观地说明函数的性质;二是借 助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些 属性,即以数作为手段,形作为目的,如应用 曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质. ?在运用数形结合思想分析和解决问题时,要注 意三点:

?(1)要彻底明白一些概念和运算法则的几何意义 以及曲线的代数特征,对题目中的条件和结论 既分析其几何意义又分析其代数意义; ?(2)选择好突破口,恰当设参、合理用参,建立 关系,由数思形,以形想数,做好数形转化; ?(3)挖掘隐含条件,准确界定参数的取值范围, 参数的范围决定图形的范围.

?数形结合思想是重要的思维方式,在高考中占 有非常重要的地位.近几年的高考题中的曲线 方程问题、函数与不等式问题、参数范围问题、 可行域与目标函数最值、向量两重性等,都用 到了数形结合的思想方法,它不仅是我们解题 的一种思想方法,还是我们进一步学习、研究 数学的有力武器.

热点一 函数与方程思想在解题中的应用 [ 微题型 1] 式问题 π 【例 1-1】 如果方程 cos x-sin x+a=0 在(0,2]上有解,求 a
2

运用函数与方程思想解决函数、方程、不等

的取值范围.



法一

π 设 f(x)=-cos x+sin x(x∈(0,2]).
2

显然当且仅当 a 属于 f(x)的值域时,a=f(x)有解. 12 5 ∵f(x)=-(1-sin x)+sin x=(sin x+2) -4,
2

π 且由 x∈(0,2]知 sin x∈(0,1]. 易求得 f(x)的值域为(-1,1]. 故 a 的取值范围是(-1,1].

法二

π 令 t=sin x,由 x∈(0,2],

可知 t∈(0,1]. 将方程变为 t2+t-1-a=0. 依题意,该方程在(0,1]上有解. 设 f(t)=t2+t-1-a. 1 其图象是开口向上的抛物线,对称轴 t=-2,如图所示. 因此 f(t)=0
? ?f?0?<0, 在(0,1]上有解等价于? ? ? f?1?≥0.

? ?-1-a<0, 即? ? ?1-a≥0,

∴-1<a≤1.

故 a 的取值范围是(-1,1].

探究提高 研究此类含参数的三角、指数、对数等复杂方程解 的问题,通常有两种处理思路:一是分离参数构建函数,将方 程有解转化为求函数的值域;二是换元,将复杂方程问题转化 为熟悉的二次方程, 进而利用二次方程解的分布情况构建不等 式或构造函数加以解决.

[ 微题型 2]

函数与方程思想在数列中的应用
?1? f(x)=?3?x, 等比数列{an}的前 ? ?

【例 1-2】 已知函数

n 项和为 f(n)

-c,则 an 的最小值为________. 1 解析 由题设,得 a1=f(1)-c=3-c;
2 a2=[ f (2)-c] -[ f (1)-c] =-9; 2 a3=[ f (3)-c] -[ f (2)-c] =-27, 又数列{an}是等比数列,
?-2? 1 ? ? 2? ? ?2 ? ∴? =?3-c?×?-27?, ? ? ? ? ? ? 9 ?

∴c=1. a3 1 又∵公比 q=a =3, 2
?1? 2?1?n-1 所以 an=-3?3? =-2?3?n,n∈N*. ? ? ? ?

因此,数列{an}是递增数列, 2 ∴n=1 时,an 有最小值 a1=-3.

2 答案 -3

规律方法 (1)等差、等比数列中,通项公式、前 n 项和公式, 可以看成 n 的函数,可以用函数方法解决. (2)数列求值问题的实质是解方程, 所以, 方程思想在数列问题 中也有着重要的应用.

[ 微题型 3]

函数与方程思想在解析几何中的应用

x2 y2 【例 1-3】 已知椭圆 C 的方程是a2+b2=1(a>b>0),离心率 3 6 为 3 ,且经过点( 2 ,1). (1)求椭圆 C 的方程; (2)圆 O 的方程是 x2+y2=a2+b2, 过圆 O 上任一点 P 作椭圆 C 的两条切线,若切线的斜率都存在,分别记为 k1,k2,求 k1· k2 的值.



3 b2 1 2 2 2 (1)由 e= 3 ,得 1-a2=3,即 b =3a ,①

6 x2 y2 将 x= 2 ,y=1 代入方程a2+b2=1 中, 3 1 得2a2+b2=1,② 由①②解得 a2=3,b2=2, x 2 y2 ∴椭圆 C 的方程为 3 + 2 =1.

(2)设 P(x0,y0),过点 P 的切线方程为 y-y0=k(x-x0),
? ?y-y0=k?x-x0? 由? 2 2 ? ?2x +3y =6

得, (2 +3k2)x2 + 6k(y0 - kx0)x +3(kx0 - y0)2

-6=0. ∵直线与椭圆相切,∴Δ=0, 即[6k(y0-kx0)] 2-4(2+3k2)[3(kx0-y0)2-6] =0,
2 2 整理得(3-x2 ) k + 2 x y k + 2 - y 0 0 0 0=0,

∵椭圆 C 的两条切线的斜率分别为 k1,k2,

2 2-y0 ∴k1· k2 = 2, 3-x0

∵点 P 在圆 O 上,
2 2 2 ∴x2 + y = 5 ,即 y = 5 - x 0 0 0 0, 2 2 2-y0 2-?5-x2 x0 -3 0? ∴k1· k2 = = 2= 2 2=-1. 3-x0 3-x0 3-x0

探究提高 考查直线与圆锥曲线相交时,往往要把直线方程与 圆锥曲线方程联立,经过消参等过程求解相关问题,充分体现 了函数与方程思想的应用.

【训练 1】 若 a,b 是正数,且满足 ab=a+b+3,则 ab 的取 值范围为________.
解析 法一 (看成函数的值域) a+3 ∵ab=a+b+3,a≠1,∴b= . a-1 a+3 而 b>0,∴ >0.即 a>1 或 a<-3, a-1 又 a>0,∴a>1,故 a-1>0. a+3 ?a-1?2+5?a-1?+4 ∴ab=a· = a-1 a-1

4 =(a-1)+ +5≥9. a -1 4 当且仅当 a-1= , a- 1 即 a=3 时取等号. ∴ab 的取值范围是[9,+∞). 法二 若设 ab=t,则 a+b=t-3,

所以 a,b 可看成方程 x2-(t-3)x+t=0 的两个正根. ?Δ=?t-3?2-4t≥0, ? 从而有?a+b=t-3>0, ?ab=t>0, ?

?t≤1或t≥9, ? 即?t>3, ?t>0, ? 解得 t≥9,即 ab≥9. 所以 ab 的取值范围是[9,+∞).
答案 [9,+∞)

热点二 数形结合思想在解题中的应用 [ 微题型 1] 问题 【例 2-1】 已知:函数 f(x)满足下面关系:①f(x+1)=f(x-1); ② x ∈ [ - 1,1] 时, f(x) = x2 ,则方程 f(x) = lg x 解的个数是 ________. 利用数形结合思想解决与函数性质有关的

解析

由题意可知,f(x)是以 2 为周期,值域为[0,1] 的函数,

又 f(x)=lg x,则 x∈(0,10],画出两函数图象,则交点个数即 为解的个数,由图象可知共 9 个交点.

答案 9

探究提高 用函数的图象讨论方程 ( 特别是含参数的指数、对 数、根式、三角等复杂方程)的解的个数是一种重要的思想方 法, 其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数 的表达式(不熟悉时, 需要作适当变形转化为两个熟悉的函数), 然后在同一坐标系中作出两个函数的图象, 图象的交点个数即 为方程解的个数.

[ 微题型 2]

利用数形结合解决不等式或求参数范围

? ?|lg x|?0<x≤10?, 【例 2-2】 已知函数 f(x)=? 1 - x+6?x>10?, ? ? 2 若 a,b,c 互不相等,且 f(a)=f(b)=f(c),则 abc 的取值范围 是________.

解析

a,b,c 互不相等,不妨设 a<b<c,

∵f(a)=f(b)=f(c), 如图所示,由图象可知,0<a<1, 1<b<10,10<c<12.

∵f(a)=f(b), ∴|lg a|=|lg b|.

1 1 即 lg a=lgb,a=b. 则 ab=1. 所以 abc=c∈(10,12).

答案 (10,12)

探究提高 求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图象, 根据不等式中量的特点,选择适当的两个(或多个)函数,利用 两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决问题,往 往可以避免繁琐的运算,获得简捷的解答.

?x-y+1≤0, ? 【例 2-3】 (1)若实数 x, y 满足?x>0, ?y≤2, ? 是________.

y 则x的最小值

(2)若 a,b,c 均为单位向量,且 a· b=0,(a-c)· (b-c) ≤0, 则|a+b-c|的最大值为( A. 2-1 C. 2 B.1 D.2 ).

解析

(1)画可行域如图阴影部分所示.

y 又x的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率 k. 由图知,过点 A 的直线 OA 的斜率最小.

? ?x-y+1=0, 联立? ? ?y=2

得 A(1,2).

2-0 y ∴kOA= =2.∴x的最小值为 2. 1-0 (2)设 a=(1,0),b=(0,1),c=(x,y), 则 x2+y2=1, a-c=(1-x,-y),b-c=(-x,1-y), 则 (a -c)· (b- c) = (1- x)( - x) +( - y)(1 - y) = x2 + y2 -x -y = 1 -x-y≤0,即 x+y≥1, 又 a+b-c=(1-x,1-y),

∴|a+b-c|= ?1-x?2+?1-y?2 = ?x-1?2+?y-1?2,① 如图: c=(x,y)对应点在 AB 上,而①式的几何意义为 P 点到 AB 上 点的距离,其最大值为 1.

答案 (1)2 (2)B

探究提高 在运用数形结合思想分析和解决问题时,要注意三 点: ①要彻底弄清一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数 特征,对数学题目中的条件和结论,既分析其几何意义又分析 其代数意义.②要恰当设立参数,合理建立关系,由数思形, 以形思数,做好数形转化.③要正确确定参数的取值范围.

【训练 2-1】 已知函数

? π? f(x)=sin?2ωx+3?的相邻两条对称轴之 ? ?

π π 间的距离为4,将函数 f(x)的图象向右平移8个单位后,再将所 有点的横坐标伸长为原来的 2 倍,得到 g(x)的图象,若 g(x)+ k=0,在
? π? x∈?0,2?有且只有一个实数根,则 ? ?

k 的取值范围是 ( ).

? 1? A.?-∞,2? ? ? ? 1 1? C.?-2,2? ? ?

? 1? B.?-1,-2? ? ? ? 1 1? D.?-2,2?∪{-1} ? ?

解析

π 因为 f(x)相邻两条对称轴之间的距离为4,

T π 结合三角函数的图象可知2 =4.
? π? 2π π 又 T=2ω=ω,所以 ω=2,f(x)=sin?4x+3?. ? ?

π 将 f(x)的图象向右平移8个单位得到
? ? ? π? π? π? f(x)=sin?4?x-8?+3?=sin?4x-6?的图象,再将所有点的横坐标 ? ? ? ? ? ?

伸长为原来的 2 倍得到 所以方程为

? π? g(x)=sin?2x-6?的图象. ? ?

? π? sin?2x-6?+k=0. ? ?

? π? π π 5π ? ? 令 2x-6=t,因为 x∈ 0,2 ,所以-6≤t≤ 6 . ? ?

若 g(x)+k=0 在

? π? x∈?0,2?有且只有一个实数根, ? ? ? π 5π? 在?-6, 6 ?有且只有一个交点. ? ?

即 g(t)=sin t 与 y=-k

如图所示,由正弦函数的图象可知

1 1 1 1 -2≤-k<2或-k=1,即-2<k≤2或 k=-1.

答案 D

【训练 2-2】 已知点 P 在抛物线 y2=4x 上,那么点 P 到点 Q(2, -1)的距离与点 P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时, 点 P 的坐标为________.
解析 定点Q(2,-1)在抛物线内部,由抛物 线的定义知,动点P到抛物线焦点的距离等 于它到准线的距离,问题转化为当点P到点Q 的距离和点P到抛物线的准线距离之和最小 时,求点P的坐标,显然点P是直线y=-1和抛物线y2=4x的 1 交点时,两距离之和取最小值,解得这个点的坐标是( 4 ,- 1). 答案

1 (4,-1)

? 1.在高中数学的各个部分,都有一些公式和 定理,这些公式和定理本身就是一个方程, 如等差数列的通项公式、余弦定理、解析几 何的弦长公式等,当题目与这些问题有关时, 就需要根据这些公式或者定理列方程或方程 组求解需要的量. ? 2.当问题中涉及一些变化的量时,就需要建 立这些变化的量之间的关系,通过变量之间 的关系探究问题的答案,这就需要使用函数 思想.

? 3.借助有关函数的性质,一是用来解决有关 求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的 取值范围等问题,二是在问题求解中,可以 通过建立函数关系式或构造中间函数来求 解. ? 4.在许多数学问题中,一般都含有常量、变 量或参数,这些参变量中必有一个处于突出 的主导地位,把这个参变量称为主元,构造 出关于主元的方程,主元思想有利于回避多 元的困扰,解方程的实质就是分离参变量.

? 5.在数学中函数的图象、方程的曲线、不等 式所表示的平面区域、向量的几何意义、复 数的几何意义等都实现以形助数的途径,当 试题中涉及这些问题的数量关系时,我们可 以通过图形分析这些数量关系,达到解题的 目的. ? 6.有些图形问题,单纯从图形上无法看出问 题的结论,这就要对图形进行数量上的分析, 通过数的帮助达到解题的目的. ? 7.利用数形结合解题,有时只需把图象大致 形状画出即可,不需要精确图象.

? 8.数形结合思想是解决高考数学试题的一种 常用方法与技巧,特别是在解选择题、填空 题时更方便,可以提高解题速度. ? 9.数形结合思想常用模型:一次、二次函数 图象;斜率公式;两点间的距离公式(或向量 的模、复数的模);点到直线的距离公式等.


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