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广东省汕头金山中学2011-2012学年高二上学期期末考试数学(理)试题

时间:2013-03-10


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汕头金山中学 2011-2012 学年高二上学期期末考试数学(理)试题
可能用到的结论:若 a

? 0, 则函数 y ? x ?

a 在 (0, a ] 上是减函数,在 [ a ,??) 上是增函数. x

一、选择题 (本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.) 1.已知 a, b, c ? R ,且 a ? b 则一定成立的是( )

1 1 a b 2 2 ? 2 ? C、 ac ? bc D、 2 a b c ?1 c ?1 2 2 2.设 x, y ? R 则“ x ? 3 且 y ? 3 ”是“ x ? y ? 9 ”的( )
A、 a ? b
2 2

B、

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.不充分也不必要条件 x2 3.与椭圆 ? y 2 ? 1 共焦点且过点 P(2,1) 的双曲线方程是 ( 4 A.

) D. x2 ?

x2 ? y2 ? 1 4

B.

x2 ? y2 ? 1 2

C.

x2 y 2 ? ?1 3 3

y2 ?1 2
?

4.已知两座灯塔 A、B 与一岛 C 的距离都是 a ,灯塔 A 在岛 C 的北偏东 20 ,灯塔 B 在岛 C 的南偏东 40 ,则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为( )
?

A、 a

B、 3 a

C、 2 a

D、 2a


5.与圆 x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1及圆 x 2 ? ( y ? 4) 2 ? 4 都外切的动圆的圆心在( A、一个圆上 B、一个椭圆上 C、 双曲线的一支上

D、 一条抛物线上

6.设变量 x, y 满足 | x | ? | y |? 2 ,则 x ? 2 y 的最大值和最小值分别为( ) A、2,-2 B、2,-4 C、 4,-2 D、 4,-4 )

7.设 3b 是 1 ? a 和 1 ? a 的等比中项,则 a ? 3b 的最大值为( A、1 B、2 C、3 D、4

8 . 已 知 F1 、 F2 是 椭 圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 两 个 焦 点 , 若 椭 圆 上 存 在 点 P 使 a2 b2


PF1 ? PF2 ? 0 ,则椭圆的离心率的取值范围是(
A、 (0,1) B、 (0,

2 ] 2

C、 [

2 ,1) 2

D、 [ ,1)

1 2

二.填空题 (本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分.) 9.双曲线 16x ? 9 y ? 144的离心率是
2 2

10.已知向量 a ? (0,?1,1),b ? (4,1,0) 满足 | t a ? b |?

29 且 t ? 0 ,则 t =

11.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 12.函数 y ? lg(1 ? ) 的定义域为:

a5 5 S 9 ? 则 ? a3 9 S 5

1 x

13.已知点 P (0,1) 及椭圆

x2 y2 ? ? 1 ,Q 是椭圆上的动点,则 | PQ | 的最大值为 4 1
1 2
x

14.下列 4 个命题 p1 : ?x ? (0,?? ), ( ) ? ( )

1 3

x

p2 : ?x ? (0,1), log1 x ? log1 x
2 3

1 p3 : ?x ? (0,??), ( ) x ? log 1 x 2 2

1 1 p4 : ?x ? (0, ), ( ) x ? log1 x 3 2 3

其中的真命题是 三﹑解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤) 15.(12 分)已知平面直角坐标系中点 F(1,0)和直线 l0 : x ? ?1 ,动圆 M 过点 F 且与直线 (1)求 M 的轨迹 L 的方程; l 0 相切。 (2)过点 F 作斜率为 1 的直线 l 交曲线 L 于 A、B 两点,求|AB|的值。 16.(12 分) 在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边, cos B ?

3 且 BA ? BC ? 21 5

(Ⅰ)求 ?ABC 的面积; (Ⅱ)若 a ? 7 ,求角 C 。 17.(14 分) 如右下图,在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,已知 AB= 4, AD =3, AA1= 2。 E、F 分别 D1 C1 是线段 AB、BC 上的点,且 EB= FB=1. (1) 求二面角 C—DE—C1 的余弦值; B1 A1 (2) 求直线 EC1 与 FD1 所成的余弦值.

D F B

C

A

E

18(14 分). 乙两地相距 S 千米, 甲、 汽车从甲地匀速行驶到乙地, 速度不得超过 c 千米/时. 已 知汽车每小时的运输成本 (以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度 v(千 ........ 米/时)的平方成正比、比例系数为 b;固定部分为 a 元. (1).把全程运输成本 y(元)表示为速度 v(千米/时)的函数,并指出这个函数的定 ...... 义域; (2).为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶? ......

19. (14 分)已知椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点为 F1 (?1,0) 、 F2 (1,0) ,且 a2 b2
3 的直线与椭圆 C 都相交于不同两点 A 、 B 。 2

经过点 (1, ) ,一组斜率为

3 2

(1)求椭圆 C 的方程; (2)证明:线段

AB

的中点都有在同一直线 l 上;

(3)对于(2)中的直线 l ,设 l 与椭圆 C 交于两点 M、N,试探究椭圆上使 ? MNQ 面积 为

3 的点 Q 有几个?证明你的结论。 (不必具体求出 Q 点的坐标) 2
4 1 2 a n ? ? 2 n ?1 ? (n ? N , n ? 1) , 3 3 3

20.(14 分)设数列 ?an ? 的前 n 项的和为 S n ,且 S n ?

(Ⅰ)证明:数列 {an ? 2 n } 是等比数列,并求通项 an ;
n 3 2n (Ⅱ)设 bn ? , n ? 1,2,3,? ,证明: ? bi ? 2 Sn i ?1

16(12 分)解: ? BA? BC ?| BA || BC | cos B = ac ? cos B ?

3 ac ? 21, 5

? ac ? 35 .

又? cos B ?

? sin B ? 1 ? cos 2 B ?

4 , 5

3 , 且B ? (0, ? ), 5 1 1 4 ? S ?ABC ? ac ? sin B ? ? 35 ? ? 14 2 2 5
∴c=5,

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 ac=35,又 a=7,

3 ? 32, ?b ? 4 2 5 b c 4 2 5 由正弦定理得 ? ,即 ? , 4 sin B sin C sin C 5 ? ? 2 ?C ? 又? a ? c,? C ? (0, ) ? sin C ? 2 4 2 17. (14 分)解: (法一)矩形 ABCD 中过 C 作 CH ? DE 于 H,连结 C1H (I) D1 ? CC1 ? 面 ABCD,CH 为 C1H 在面 ABCD 上的射影 ? C1H ? DE ? ? C1HC 为二面角 C—DE—C1 的平面角 ? 矩形 ABCD 中得 ? EDC= 45 ,? ? DCH 中得 CH= 2 2 , A1 b 2 ? 49 ? 25 ? 2 ? 7 ? 5 ?
又 CC1=2,

C1 B1

? Rt ? C1HC 中, C1 H ? 2 3 ,

6 cos ? C1HC ? ? 3 2 3
? 二面角 C—DE—C1 的余弦值为

2 2

D F B

C

A

E

6 7分 3 (2)以 D 为原点, DA, DC, DD1 分别为 x 轴,y 轴,z 轴的正向建立空间直角坐标系,则有
A(3,0,0)、D1(0,0,2)、B(3,4,0) ,E(3,3,0)、F(2,4,0)、C1(0,4,2) 设 EC1 与 FD1 所成角为β ,则 EC1 ? (?3,1,2), FD1 ? (?2,?4,2)

? cos ? ?| cos ? EC1 , FD1 ?|?|

EC1 ? FD1 | EC1 | ? | FD1 |

|

?|

6?4?4 14 ? 24

|?

21 14

21 14 分 14 (法二) (1)以 D 为原点, DA, DC, DD1 分别为 x 轴,y 轴,z 轴的正向建立空间直角坐标
故 EC1 与 FD1 所成角的余弦值为 系,则有 A(3,0,0)、D1(0,0,2)、B(3,4,0) ,E(3,3,0)、F(2,4,0)、C1(0,4,2) 于是, DE ? (3,3,0) , DC1 ? (0,4,2) , EC1 ? (?3,1,2) 设向量 n ? ( x, y, z) 与平面 C1DE 垂直,则有

?n ? DE ? 0 ?3x ? 3 y ? 0 ? , ?? ? ?n ? DC1 ? 0 ?2 y ? z ? 0 ?
令 y ? ?1 ,则 x ? 1, z ? 2 又面 CDE 的法向量为 DD1 ? (0,0,1)

?n ? (1,?1,2)

cos ? n, DD1 ??

n ? DD1 | n | ? | DD1 |

?

2 6

?

6 3
6 3


7分

由图,二面角 C—DE—C1 为锐角,故二面角 C—DE—C1 的余弦值为 ( II ) 设 EC1 与 FD1 所 成 角

8分 β , 则

EC1 ? (?3,1,2), FD1 ? (?2,?4,2)
?| 6?4?4 14 ? 24 |? 21 14
21 14

?c

?o?| c s ?oEC1 ,sFD1 ?|?|

EC1 ? FD1 | EC1 | ? | FD1 |

|

故 EC1 与 FD1 所成角的余弦值为

14 分

18(14 分)解: (Ⅰ)依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为 全程运输成本为 y ? a ?

s , v

1分 3分 5分

S S a ? bv 2 ? ? S ( ? bv ) v v v

a y ? S ( ? bv ), v ? (0, c] v a S ( ? bv ) ? 2S ab (Ⅱ)依题意知 S,a,b,v 都为正数,故有 v a a 当且仅当 ? bv , .即 v ? 时上式中等号成立 v b
故所求函数及其定义域为 若

a a 时,全程运输成本 y 最小, ? c ,则当 v ? b b a a a a 若 ? c ,则由于 y ? S ( ? bv) ? Sb(v ? b ), v ? (0, c] ,当 v ? (0, ] 时为减函 b b v v a 数,则 y ? S ( ? bv ) 在 v ? (0, c] 上为减函数 v 12 分 ? 当 v=c 时,全程运输成本 y 最小. ab ab 综上知,为使全程运输成本 y 最小,当 ;当 ? c 时行驶速度应为 v ? b b ab 14 分 ? c 时行驶速度应为 v=c. b

x2 y2 ? ? 1 得 x 2 ? 3, 4 3 3 3 3 或 x ? ? 3, y ? ? x ? 3, y ? ? ? |MN|= 2 3 ? ? 15 , 2 2 4 1 3 1 设点 Q 到直线 l 的距离为 d ,则由 = ? 15d 得 d ? 2 2 5 (法一)设 Q 在与直线 MN 平行的直线 m : x ? 2 y ? b ? 0 上,则直线 m 与直线 MN 的距离 |b?0| |b| 1 为d ? 解得 b ? ?1 , ? ? 2 2 5 5 1 ?2 x2 y2 b ? 1 时, m : x ? 2 y ? 1 ? 0 代入 ? ? 1 得 16y 2 ? 12y ? 9 ? 0 ① 4 3 2 2 ? ? ? 12 ? 4 ? 16 ? 9 ? 0 , (或4x ? 2x ? 11 ? 0, ? ? 2 2 ? 4 ? 4 ?11 ? 0) ? 方程①有两不等实解,即有两个不同点 Q 满足;同理可得, b ? ?1 时也有两个不同的点
(3) x ? 2 y ? 0 代入 Q 满足。 综上,共有 4 个不同点 Q 满足条件 ( 若 求 点 坐 标 则 为

Q

,

-1 ? 3 5 - 3 - 3 5 -1- 3 5 - 3 ? 3 5 1 ? 3 5 3 ? 3 5 1 ? 3 5 3 - 3 5 , )( , )( , )) , )( 4 8 4 8 4 8 4 8 法(二)设 D (2 cos? , 3 sin ? ) 为椭圆上不同于 M、N 的任一点,D 到 MN 的距离为 (
| 2 cos? ? 2 3 sin ? | 1 ?2
2 2

?

4 | sin(? ? 5

?
6

)|

?

4 5

?

4 5 , 5

即椭圆 C 上点到直线 MN 距离的最大值为

4 5 , 5

而d ?

1 5

?

5 4 5 ,故由图可知,椭圆 C 上有 4 个点 Q 能满足条件。 ? 5 5

深圳市第二实验学校高二年级数学集体备课试题 附加:小题练习 答案 1C

3B 4D 5C 6B 7B

8D

9B

10A 11. (±

4 2 1 ,? ) 3 3

12. 1+

2

13. y2=4x

14. 2x-y-15=0


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