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2016届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)二次函数与幂函数(含解析)


2016 届高考数学一轮复习教学案 二次函数与幂函数

[知识能否忆起] 一、常用幂函数的图象与性质 函数 特征 性质

y=x

y=x2

y=x3

y=x

1 2

y=x-1

图象

定义

域 值域 奇偶性

R R 奇

R {y|y≥0} 偶 (-∞,0]减 (0,+∞)增

R R 奇

{x|x≥0} {y|y≥0} 非奇非偶

{x|x≠0} {y|y≠0} 奇 (-∞,0)和 (0,+∞)减

单调性







公共点

(1,1)

二、二次函数 1.二次函数的定义 形如 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的函数叫做二次函数. 2.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0); (2)顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0); (3)零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).

3.二次函数的图象和性质

a>0

a<0

图象

图象 特点 定义域

? b 4ac-b2? b ? ①对称轴:x=- ; ②顶点:?- , 4a ? 2a ? 2a
x∈R

值域

y∈?

?4ac-b2 ?
4a



+∞

y∈?-∞,

? ?

4ac-b2? 4a

? ?

性质

奇偶性

b=0 时为偶函数,b≠0 时既非奇函数也非偶函数 b? b x∈?-∞,-

? ?

b?

单调性

x∈-∞, -

?时递减,x∈- , 2a? 2a

2a?

?时递增,x∈

+∞时递增

? b ? ?- ,+∞?时递减 ? 2a ?

[小题能否全取] 1.若 f(x)既是幂函数又是二次函数,则 f(x)可以是( A.f(x)=x2-1 C.f(x)=-x2 B.f(x)=5x2 D.f(x)=x2 )

解析:选 D 形如 f(x)=xα 的函数是幂函数,其中 α 是常数.

? ? 1 2.(教材习题改编)设 α ∈?-1,1, ,3?,则使函数 y=xα 的定义域为 R 且为奇函数 2 ? ?
的所有 α 值为( A.1,3 C.-1,3 ) B.-1,1 D.-1,1,3

1 解析:选 A 在函数 y=x-1,y=x,y=x ,y=x3 中,只有函数 y=x 和 y=x3 的定义 2 域是 R,且是奇函数,故 α =1,3. 3.(教材习题改编)已知函数 f(x)=ax2+x+5 的图象在 x 轴上方,则 a 的取值范围是 ( )

? 1? A.?0, ? ? 20?
C.?

? 1? B.?-∞,- ? 20? ? ? ? 1 ? D.?- ,0? ? 20 ? ? ?a>0, 即? ?1-20a<0 ?
1 得 a> . 20

?1

,+∞? ?20 ?

? ?a>0, 解析:选 C 由题意知? ?Δ<0, ?

4 . ( 教材习题改编 ) 已知点 M ________.

? 3 ? ? ? ? 3 ,3? 在幂函数 f(x) 的图象上,则 f(x) 的表达式为 ? ?

解析:设幂函数的解析式为 y=xα ,则 3= 答案:y=x-2

? 3? ? ?α ,得 α =-2.故 y=x-2. ? 3 ? ? ?

5.如果函数 f(x)=x2+(a+2)x+b(x∈[a,b])的图象关于直线 x=1 对称,则函数 f(x) 的最小值为________.

a+2 ? ?- 2 =1, 解析:由题意知? ?a+b=2, ?

得?

? ?a=-4, ?b=6. ?

则 f(x)=x2-2x+6=(x-1)2+5≥5. 答案:5

1.幂函数图象的特点

(1)幂函数的图象一定会经过第一象限,一定不会经过第四象限,是否经过第二、 三象限,要看函数的奇偶性; (2)幂函数的图象最多只能经过两个象限内; (3)如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点. 2.与二次函数有关的不等式恒成立问题

(1)ax2+bx+c>0,a≠0 恒成立的充要条件是?

? ?a>0, ?b2-4ac<0. ?

(2)ax2+bx+c<0,a≠0 恒成立的充要条件是?

?a<0, ? ? ?b2-4ac<0.

[注意] 当题目条件中未说明 a≠0 时,就要讨论 a=0 和 a≠0 两种情况.

幂函数的图象与性质

典题导入 [例 1] 已知幂函数 f(x)=(m2-m-1)x-5m-3 在(0, +∞)上是增函数, 则 m=________. [自主解答] ∵函数 f(x)=(m2-m-1)x-5m-3 是幂函数, ∴m2-m-1=1,解得 m=2 或 m=-1. 当 m=2 时,-5m-3=-13,函数 y=x-13 在(0,+∞)上是减函数; 当 m=-1 时,-5m-3=2,函数 y=x2 在(0,+∞)上是增函数. ∴m=-1. [答案] -1 由题悟法

1.幂函数 y=xα 的图象与性质由于 α 的值不同而比较复杂,一般从两个方面考查: (1)α 的正负:α >0 时,图象过原点和(1,1),在第一象限的图象上升;α <0 时,图象不 过原点,在第一象限的图象下降. (2)曲线在第一象限的凹凸性:α >1 时,曲线下凸; 0<α <1 时,曲线上凸;α <0 时,曲线下凸. 2.在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数.借助其单调性进行 比较,准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.

以题试法 1.(1)如图给出 4 个幂函数大致的图象,则图象与函数对应正确的是( )

1 1 A.①y=x ,②y=x2,③y=x ,④y=x-1 3 2 1 B.①y=x3,②y=x2,③y=x ,④y=x-1 2 1 C.①y=x2,②y=x3,③y=x ,④y=x-1 2 1 1 D.①y=x ,②y=x ,③y=x2,④y=x-1 3 2 解析:选 B 由图①知,该图象对应的函数为奇函数且定义域为 R,当 x>0 时,图象 是向下凸的,结合选项知选 B. (2)(2013·淄博模拟)若 a<0,则下列不等式成立的是( )

?1? A.2a>? ?a>(0.2)a ?2? ?1? C.? ?a>(0.2)a>2a ?2?

?1? B.(0.2)a>? ?a>2a ?2? ?1? D.2a>(0.2)a>? ?a ?2?

?1? 解析:选 B 若 a<0,则幂函数 y=xa 在(0,+∞)上是减函数,所以(0.2)a>? ?a>0.所 ?2? ?1? 以(0.2)a>? ?a>2a. ?2?

求二次函数的解析式

典题导入 [例 2] 已知二次函数 f(x)有两个零点 0 和-2,且它有最小值-1. (1)求 f(x)解析式; (2)若 g(x)与 f(x)图象关于原点对称,求 g(x)解析式. [自主解答] (1)由于 f(x)有两个零点 0 和-2, 所以可设 f(x)=ax(x+2)(a≠0), 这时 f(x)=ax(x+2)=a(x+1)2-a, 由于 f(x)有最小值-1,

? ?a>0, 所以必有? ?-a=-1, ?

解得 a=1.

因此 f(x)的解析式是 f(x)=x(x+2)=x2+2x. (2)设点 P(x,y)是函数 g(x)图象上任一点,它关于原点对称的点 P′(-x,-y)必在 f(x) 图象上, 所以-y=(-x)2+2(-x), 即-y=x2-2x,

y=-x2+2x,
故 g(x)=-x2+2x. 由题悟法 求二次函数的解析式常用待定系数法. 合理选择解析式的形式, 并根据已知条件正确地

列出含有待定系数的等式,把问题转化为方程(组)求解是解决此类问题的基本方法. 以题试法 2.设 f(x)是定义在 R 上的偶函数,当 0≤x≤2 时,y=x,当 x>2 时,y=f(x)的图象是 顶点为 P(3,4),且过点 A(2,2)的抛物线的一部分. (1)求函数 f(x)在(-∞,-2)上的解析式; (2)在下面的直角坐标系中直接画出函数 f(x)的草图; (3)写出函数 f(x)的值域.

解:(1)设顶点为 P(3,4)且过点 A(2,2)的抛物线的方程为 y=a(x-3)2+4,将(2,2)代入 可得 a=-2, 则 y=-2(x-3)2+4, 即 x>2 时,f(x)=-2x2+12x-14. 当 x<-2 时,即-x>2. 又 f(x)为偶函数,f(x)=f(-x)=-2×(-x)2-12x-14, 即 f(x)=-2x2-12x-14. 所以函数 f(x)在(-∞,-2)上的解析式为

f(x)=-2x2-12x-14.
(2)函数 f(x)的图象如图,

(3)由图象可知,函数 f(x)的值域为(-∞,4].

二次函数的图象与性质

典题导入 [例 3] 已知函数 f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6]. (1)当 a=-2 时,求 f(x)的最值; (2)求实数 a 的取值范围,使 y=f(x)在区间[-4,6]上是单调函数. [自主解答] (1)当 a=-2 时,f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1,由于 x∈[-4,6]. 所以 f(x)在[-4,2]上单调递减,在[2,6]上单调递增, 故 f(x)的最小值是 f(2)=-1,又 f(-4)=35,f(6)=15,故 f(x)的最大值是 35. (2)由于函数 f(x)的图象开口向上,对称轴是 x=-a,所以要使 f(x)在[-4,6]上是单调 函数,应有-a≤-4 或-a≥6,即 a≤-6 或 a≥4. 故 a 的取值范围为(-∞,-6]∪[4,+∞).

本例条件不变,求当 a=1 时,f(|x|)的单调区间. 解:当 a=1 时,f(x)=x2+2x+3, 则 f(|x|)=x2+2|x|+3,此时定义域为 x∈[-6,6],

? ?x2+2x+3,x∈ ,6], 且 f(x)=? ?x2-2x+3,x∈[-6,0], ?

故 f(|x|)的单调递增区间是(0,6], 单调递减区间是[-6,0].

由题悟法

解决二次函数图象与性质问题时要注意: (1)抛物线的开口,对称轴位置,定义区间三者相互制约,常见的题型中这三者有两定 一不定,要注意分类讨论. (2)要注意数形结合思想的应用,尤其是给定区间上二次函数最值问题的求法. 以题试法 3.(2012·泰安调研)已知函数 f(x)=-x2+2ax+1-a 在 x∈[0,1]时有最大值 2,则 a 的值为________. 解析:f(x)=-(x-a)2+a2-a+1, 当 a>1 时,ymax=a; 当 0≤a≤1 时,ymax=a2-a+1; 当 a<0 时,ymax=1-a.

根据已知条件?

?a>1, ? ? ?a=2

?0≤a≤1, ? 或? ? ?a2-a+1=2

?a<0, ? 或? ? ?1-a=2,

解得 a=2 或 a=-1. 答案:2 或-1 二次函数的综合问题

典题导入 [例 4] (2012·衡水月考)已知函数 f(x)=x2,g(x)=x-1. (1)若存在 x∈R 使 f(x)<b·g(x),求实数 b 的取值范围; (2)设 F(x)=f(x)-mg(x)+1-m-m2,且|F(x)|在[0,1]上单调递增,求实数 m 的取值 范围. [自主解答] (1)?x∈R,f(x)<bg(x)??x∈R,

x2-bx+b<0?(-b)2-4b>0?b<0 或 b>4.
故 b 的取值范围为(-∞,0)∪(4,+∞).

(2)F(x)=x2-mx+1-m2, Δ =m2-4(1-m2)=5m2-4. 2 ①当 Δ ≤0,即- 5 5 2 ≤m≤ 5 时,

5

m ? ? 2 ≤0, 则必需? 2 5 2 5 - ≤ m ≤ ? 5 ? 5

2 ?-

5

5 ≤m≤0.

2 ②当 Δ >0,即 m<-

5 5

2 或 m>

5

5 时,设方程 F(x)=0 的根为 x1,x2(x1<x2).

若 ≥1,则 x1≤0, 2

m

m ? ? 2 ≥1, 即? ? =1-m ≤0 ?F
2

?m≥2;

若 ≤0,则 x2≤0, 2

m

m ? ? 2 ≤0, 即? ? =1-m ≥0 ?F
2

2 ?-1≤m≤-

5

5 .

综上所述,m 的取值范围为[-1,0]∪[2,+∞). 由题悟法 二次函数与二次方程、二次不等式统称“三个二次”,它们之间有着密切的联系,而二 次函数又是“三个二次”的核心, 通过二次函数的图象贯穿为一体. 因此, 有关“三个二次” 的问题,数形结合,密切联系图象是探求解题思路的有效方法.

以题试法 4.若二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)满足 f(x+1)-f(x)=2x,且 f(0)=1. (1)求 f(x)的解析式; (2)若在区间[-1,1]上,不等式 f(x)>2x+m 恒成立,求实数 m 的取值范围. 解:(1)由 f(0)=1,得 c=1.即 f(x)=ax2+bx+1. 又 f(x+1)-f(x)=2x, 则 a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x, 即 2ax+a+b=2x,

? ?2a=2, 所以? ?a+b=0, ?

解得?

? ?a=1, ?b=-1. ?

因此,f(x)=x2-x+1. (2)f(x)>2x+m 等价于 x2-x+1>2x+m,即 x2-3x+1-m>0,要使此不等式在[- 1,1]上恒成立,只需使函数 g(x)=x2-3x+1-m 在[-1,1]上的最小值大于 0 即可. ∵g(x)=x2-3x+1-m 在[-1,1]上单调递减, ∴g(x)min=g(1)=-m-1, 由-m-1>0 得,m<-1. 因此满足条件的实数 m 的取值范围是(-∞,-1).

1.已知幂函数 f(x)=xα 的部分对应值如下表:

x

1

1 2

f(x)
则不等式 f(|x|)≤2 的解集是( A.{x|0<x≤ C.{x|- 2} 2} )

1

2 2

B.{x|0≤x≤4} D.{x|-4≤x≤4}

2≤x≤

?1? 2 1 1 1 解析:选 D 由 f? ?= ?α = ,即 f(x)=x ,故 f(|x|)≤2?|x| ≤2?|x|≤4,故其解 2 2 2 ?2? 2
集为{x|-4≤x≤4}. 2.已知函数 y=ax2+bx+c,如果 a>b>c 且 a+b+c=0,则它的图象可能是( )

解析:选 D ∵a>b>c,且 a+b+c=0, ∴a>0,c<0.∴图象开口向上与 y 轴交于负半轴. 1 3.已知 f(x)=x ,若 0<a<b<1,则下列各式中正确的是( 2 )

?1? ?1? A.f(a)<f(b)<f? ?<f? ? ?a? ?b? ?1? ?1? B.f? ?<f? ?<f(b)<f(a) ?a? ?b? ?1? ?1? C.f(a)<f(b)<f? ?<f? ? ?b? ?a? ?b? ?1? ? 1? D.f? ?<f(a)<f? ?<f(b) ?a ?
1 1 1 因为函数 f(x) = x 在 (0 ,+∞)上是增函数,又 0<a<b< < ,故 2 b a

解析:选 C

f(a)<f(b)<f? ?<f? ?. ?b? ?a?

?1? ?1?

4.已知 f(x)=x2+bx+c 且 f(-1)=f(3),则(

)

?5? A.f(-3)<c<f? ? ?2? ?5? C.f? ?<f(-3)<c ?2?

?5? B.f? ?<c<f(-3) ?2? ?5? D.c<f? ?<f(-3) ?2?

解析:选 D 由已知可得二次函数图象关于直线 x=1 对称,则 f(-3)=f(5),c=f(0)

?5? =f(2),二次函数在区间(1,+∞)上单调递增,故有 f(-3)=f(5)>f? ?>f(2)=f(0)=c. ?2?
5.设二次函数 f(x)=ax2-2ax+c 在区间[0,1]上单调递减,且 f(m)≤f(0),则实数 m 的取值范围是( A.(-∞,0] C.(-∞,0]∪[2,+∞) ) B.[2,+∞) D.[0,2]

解析: 选 D 二次函数 f(x)=ax2-2ax+c 在区间[0,1]上单调递减, 则 a≠0, f′(x)=2a(x -1)≤0,x∈[0,1], 所以 a>0,即函数图象的开口向上,对称轴是直线 x=1. 所以 f(0)=f(2),则当 f(m)≤f(0)时,有 0≤m≤2. 6.若方程 x2-2mx+4=0 的两根满足一根大于 1,一根小于 1,则 m 的取值范围是 ( )

? 5? A.?-∞,- ? 2? ?
C.(-∞,-2)∪(2,+∞)

?5 ? B.? ,+∞? ?2 ? ? 5 ? D.?- ,+∞? ? 2 ?

解析:选 B 设 f(x)=x2-2mx+4,则题设条件等价于 f(1)<0,即 1-2m+4<0,解 5 得 m> . 2 1 7.对于函数 y=x2,y=x 有下列说法: 2 ①两个函数都是幂函数;

②两个函数在第一象限内都单调递增; ③它们的图象关于直线 y=x 对称; ④两个函数都是偶函数; ⑤两个函数都经过点(0,0)、(1,1); ⑥两个函数的图象都是抛物线型. 其中正确的有________. 解析:从两个函数的定义域、奇偶性、单调性等性质去进行比较. 答案:①②⑤⑥ 8.(2012·北京西城二模 )已知函数 f(x)=x2+bx+1 是 R 上的偶函数,则实数 b= ________,不等式 f(x-1)<x 的解集为________. 解析:因为 f(x)=x2+bx+1 是 R 上的偶函数,所以 b=0,则 f(x)=x2+1,解不等式 (x-1)2+1<x,即 x2-3x+2<0 得 1<x<2. 答案:0 {x|1<x<2} 9.若 x≥0,y≥0,且 x+2y=1,那么 2x+3y2 的最小值为________. 1 解析:由 x≥0,y≥0,x=1-2y≥0 知 0≤y≤ , 2 令 t=2x+3y2=3y2-4y+2,

? 2? 2 则 t=3?y- ?2+ . ? 3? 3 ? 1? 1 3 在?0, ?上递减,当 y= 时,t 取到最小值,tmin= . 2 4 ? 2?
3 答案: 4 1 3 10.如果幂函数 f(x)=x- p2+p+ (p∈Z)是偶函数,且在(0,+∞)上是增函数.求 2 2

p 的值,并写出相应的函数 f(x)的解析式.
解:∵f(x)在(0,+∞)上是增函数,

1 3 ∴- p2+p+ >0,即 p2-2p-3<0. 2 2 ∴-1<p<3. 又∵f(x)是偶函数且 p∈Z, ∴p=1,故 f(x)=x2. 11.已知二次函数 f(x)的图象过点 A(-1,0)、B(3,0)、C(1,-8). (1)求 f(x)的解析式; (2)求 f(x)在 x∈[0,3]上的最值; (3)求不等式 f(x)≥0 的解集. 解:(1)由题意可设 f(x)=a(x+1)(x-3), 将 C(1,-8)代入得-8=a(1+1)(1-3),得 a=2. 即 f(x)=2(x+1)(x-3)=2x2-4x-6. (2)f(x)=2(x-1)2-8, 当 x∈[0,3]时,由二次函数图象知,

f(x)min=f(1)=-8,f(x)max=f(3)=0.
(3)f(x)≥0 的解集为{x|x≤-1,或 x≥3}. 12.已知函数 f(x)=ax2-2ax+2+b(a≠0),若 f(x)在区间[2,3]上有最大值 5,最小值 2. (1)求 a,b 的值; (2)若 b<1,g(x)=f(x)-m·x 在[2,4]上单调,求 m 的取值范围. 解:(1)f(x)=a(x-1)2+2+b-a. 当 a>0 时,f(x)在[2,3]上为增函数,

故?

? ?f ?f ?

=5, =2,

? ?9a-6a+2+b=5, ?? ?4a-4a+2+b=2, ?

??

? ?a=1, ?b=0. ?

当 a<0 时,f(x)在[2,3]上为减函数,

故?

? ?f ?f ?

=2, =5,

? ?9a-6a+2+b=2, ?? ?4a-4a+2+b=5, ?

??

? ?a=-1, ?b=3. ?

(2)∵b<1,∴a=1,b=0,即 f(x)=x2-2x+2.

g(x)=x2-2x+2-mx=x2-(2+m)x+2,
∵g(x)在[2,4]上单调, 2+m m+2 ∴ ≤2 或 ≥4.∴m≤2 或 m≥6. 2 2

? 1? 1. 已知 y=f(x)是偶函数, 当 x>0 时, f(x)=(x-1)2, 若当 x∈?-2,- ?时, n≤f(x)≤m 2? ?
恒成立,则 m-n 的最小值为( 1 A. 3 3 C. 4 ) 1 B. 2 D.1

解析:选 D 当 x<0 时,-x>0,f(x)=f(-x)=(x+1)2,

? 1? ∵x∈?-2,- ?, 2? ?
∴f(x)min=f(-1)=0,f(x)max=f(-2)=1, ∴m≥1,n≤0,m-n≥1. 2.(2012·青岛质检)设 f(x)与 g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数,若函数 y=

f(x)-g(x)在 x∈[a,b]上有两个不同的零点,则称 f(x)和 g(x)在[a,b]上是“关联函数”,
区间[a,b]称为“关联区间”.若 f(x)=x2-3x+4 与 g(x)=2x+m 在[0,3]上是“关联函 数”,则 m 的取值范围为________. 解析:由题意知,y=f(x)-g(x)=x2-5x+4-m 在[0,3]上有两个不 同的零点.在同一坐标系下作出函数 y=m 与 y=x2-5x+4(x∈[0,3])的

? 9 ? 图象如图所示,结合图象可知,当 x∈[2,3]时,y=x2-5x+4∈?- ,-2?,故当 m∈ ? 4 ? ? 9 ? ?- ,-2?时,函数 y=m 与 y=x2-5x+4(x∈[0,3])的图象有两个交点. ? 4 ? ? 9 ? 答案:?- ,-2? ? 4 ?
3.(2013·滨州模拟)已知函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0,b∈R,c∈R).

?f x ,x>0, ? (1)若函数 f(x)的最小值是 f(-1)=0, 且 c=1, F(x)=? ? ?-f x ,x<0,
2)的值;

求 F(2)+F(-

(2)若 a=1,c=0,且|f(x)|≤1 在区间(0,1]上恒成立,试求 b 的取值范围. 解:(1)由已知得 c=1,a-b+c=0,- =-1, 2a 解得 a=1,b=2.则 f(x)=(x+1)2.

b

? ? x+ 2,x>0, 则 F(x)=? ?- x+ 2,x<0. ?
故 F(2)+F(-2)=(2+1)2+[-(-2+1)2]=8. 1 (2)由题意得 f(x)=x2+bx,原命题等价于-1≤x2+bx≤1 在(0,1]上恒成立,即 b≤ -x

x

1 且 b≥- -x 在(0,1]上恒成立.

x

1 1 又当 x∈(0,1]时, -x 的最小值为 0,- -x 的最大值为-2,

x

x

故-2≤b≤0.

1.比较下列各组中数值的大小.

(1)30.8,30.7;(2)0.213,0.233; 2 2 3 (3)4.1 ,3.8- ,(-1.4) ;(4)0.20.5,0.40.3. 5 5 5 解:(1)函数 y=3x 是增函数,故 30.8>30.7. (2)y=x3 是增函数,故 0.213<0.233. 2 2 3 2 2 3 (3)4.1 >1,0<3.8- <1,而(-1.4) <0,故 4.1 >3.8- >(-1.4) . 5 5 5 5 5 5 (4)先比较 0.20.5 与 0.20.3,再比较 0.20.3 与 0.40.3,y=0.2x 是减函数,故 0.20.5<0.20.3;

y=x0.3 在(0,+∞)上是增函数,故 0.20.3<0.40.3.则 0.20.5<0.40.3.
2.设 abc>0,二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的图象可能是( )

解析:选 D 当- <0 时,ab>0,从而 c>0,可排除 A,C; 2a 当- >0 时,ab<0,从而 c<0,可排除 B,选 D. 2a 3.已知函数 f(x)=ax2-2x+1. (1)试讨论函数 f(x)的单调性; 1 (2)若 ≤a≤1, 且 f(x)在[1,3]上的最大值为 M(a), 最小值为 N(a), 令 g(a)=M(a)-N(a), 3 求 g(a)的表达式; 1 (3)在(2)的条件下,求证:g(a)≥ . 2 解:(1)当 a=0 时,函数 f(x)=-2x+1 在(-∞,+∞)上为减函数;

b

b

1 当 a>0 时,抛物线 f(x)=ax2-2x+1 开口向上,对称轴为 x= ,

a

? ?1 ? 1? 故函数 f(x)在?-∞, ?上为减函数,在? ,+∞?上为增函数; ?
a?

?a

?

1 当 a<0 时,抛物线 f(x)=ax2-2x+1 开口向下,对称轴为 x= ,

a

? ?1 ? 1? 故函数 f(x)在?-∞, ?上为增函数,在? ,+∞?上为减函数. ?
a?

?a

?

? 1? 1 (2)∵f(x)=a?x- ?2+1- , ?
a? a

?1? 1 1 1 由 ≤a≤1 得 1≤ ≤3,∴N(a)=f? ?=1- . 3 a a ? a?
1 1 当 1≤ <2,即 <a≤1 时,M(a)=f(3)=9a-5, a 2 1 故 g(a)=9a+ -6;

a

1 1 1 当 2≤ ≤3,即 ≤a≤ 时,M(a)=f(1)=a-1, a 3 2 1 故 g(a)=a+ -2.

a

?1 1? 1 a+ -2,a∈? , ?, ? ? a ?3 2? ∴g(a)=? ?1 ? 1 9a+ -6,a∈? ,1?. ? ? a ?2 ?

? 1 1? 1 (3)证明:当 a∈? , ?时,g′(a)=1- 2<0, a ?3 2? ?1 1? ∴函数 g(a)在? , ?上为减函数; ?3 2?

?1 ? 1 当 a∈? ,1?时,g′(a)=9- 2>0, a ?2 ? ?1 ? ∴函数 g(a)在? ,1?上为增函数, ?2 ? ?1? 1 1 ∴当 a= 时,g(a)取最小值,g(a)min=g? ?= . 2 ?2? 2
1 故 g(a)≥ . 2


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