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11.2.3 直线的倾斜角与斜率【杨高】


第十一章 坐标平面上的直线

11.2.2 直线的倾斜角和斜率

11.2.3 直线的倾斜角和斜率
直线的一般式方程

一、直线的一般式方程 方程

Ax ? By ? C ? 0 ( A ? B ? 0)
2 2

叫做直线的一般式方程(线性方程).

/>
其中( A, B) 是直线的一个法向量

A 当 B ? 0 时,直线的斜率 k ? ? B 例:方程 x ? 2 y ? 2 ? 0
表示直线的法向量?斜率?截距?

例1.已知直线经过点 A(6, ?4), B (3, 2) ,求直线的
一般式方程.

2 ? ( ?4) 解: k? ? ?2 3?6
直线的点斜式方程为 y ? 2 ? ?2( x ? 3) 整理为直线的一般式方程:

2x ? y ? 8 ? 0
思考 直接把坐标代入 Ax ? By ? C ? 0中, 会发生什么呢?

例2.把直线 l 的一般式方程 3x ? 5 y ? 15 ? 0 化为 点法向式与斜截式,写出它在 x 轴和 y 轴上的截 距,并作图.

解:点法向式(不唯一)

y

3( x ? 0) ? 5( y ? 3) ? 0 3 斜截式 y ? ? x ? 3 5 x 轴上的截距为5 y 轴上的截距为3

3
O

5

x

例3.求过点 A(?3, 4) ,且分别满足下列条件的直线 的一般式方程. (1)平行于直线3x ? 4 y ? 29 ? 0 (2)垂直于直线 x ? 3 y ? 5 ? 0 解: (1)设所求直线的一般式方程为: 3x ? 4 y ? c ? 0 根据条件得 3(?3) ? 4 ? 4 ? c ? 0 ,解得 c ? 25

因此所求方程为 3x ? 4 y ? 25 ? 0
(2)设所求直线的一般式方程为: 3x ? y ? c ? 0 同理,解得 c ? 5 因此所求方程为 3x ? y ? 5 ? 0

课堂练习 1.求下列直线的一般式方程: (1) 过点 A(?1,8), B(4, ?2) (2) 斜率为 ?4 ,在 y 轴上的截距为3 2.求 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 的法向量、斜率及截距并作图. 2 2 3.设直线 l 的方程为 Ax ? By ? C ? 0 ( A ? B ? 0) 根据下列条件,求出 A, B, C 应该满足的条件: (1)直线 l 过原点; (2) 直线 l 垂直于 x 轴;
(3)直线与两条坐标轴都相交.

x ? my ? 3m ? 0 4.当 m ? R 时, 表示怎样的直线?

课堂练习答案 1.(1) 2 x ? y ? 6 ? 0 (2) 4 x ? y ? 3 ? 0

y

2 2. n ? (2, ?3), k ? 3 在 x轴上的截距为3, 在 y 轴上的截距为-2.
3.(1) C ? 0

3
O
?2

x

(2) B ? 0 ( A ? 0)

(3) AB ? 0

4. x ? m( y ? 3) ? 0 表示恒过定点(0,3) 的直线,除了直线

y ?3 ? 0

(选讲)二、直线的斜率、法向量和方向向量关系表

方向向量 d

法向量 n

斜率k 已知 k

d ? (1, k )
已知

n ? (?k ,1) n ? (?v, u)
已知

d ? (u, v)

u ? 0, k 不存在
v u ? 0, k ? u

d ? (?b, a)

n ? (a, b)


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