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专题六第2讲概率分布列课时训练提能


专题六 第 2 讲 概率、随机变量及其分布列
课时训练提能
[限时 45 分钟,满分 75 分] 一、选择题(每小题 4 分,共 24 分) 1.(2012· 威海模拟)甲、乙两人进行跳绳比赛,规定:若甲赢一局,比赛结束,甲胜出;若乙 2 3 赢两局,比赛结束,乙胜出.已知每一局甲、乙二人获胜的概率分别为5、5,则甲胜出的概率为 16 A.25 19 C.25

2 解析 若甲赢第一局,则 P1=5; 若甲第一局输,第二局赢, 3 2 6 则 P2=5×5=25, 2 6 16 则甲胜出的概率为 P=P1+P2=5+25=25. 答案 A 2.一个袋中装有 2 个红球和 2 个白球,现从袋中取出 1 个球,然后放回袋中再取出 1 个球, 则取出的 2 个球同色的概率为 1 A.2 1 C.4 1 B.3 2 D.5 18 B.25 21 D.25

解析 把红球标记为红 1、红 2,白球标记为白 1、白 2,本试验的基本事件共有 16 个,其中 2 个球同色的事件有 8 个:红 1、红 1,红 1、红 2,红 2、红 1、红 2、红 2,白 1、白 1,白 1、 8 1 白 2,白 2、白 1,白 2、白 2,故所求概率为 P=16=2. 答案 A

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3. (2012· 西城二模)已知函数 f(x)=kx+1, 其中实数 k 随机选自区间[-2,1]. 对?x∈[0,1], f(x)≥0 的概率是 1 A.3 2 C.3 1 B.2 3 D.4

解析 当 x=0 时,f(x)=kx+1≥0 对任意的 k∈R 恒成立, 1 当 x∈(0,1]时,要使 f(x)=kx+1≥0,需 k≥- x, 1 而-x∈(-∞,-1],∴k≥-1,即 k∈[-1,1], 故所求的概率为 P= 答案 C 2 3 4.甲、乙两人各自独立加工 1 个零件,他们把零件加工为合格品的概率分别为3和4,则这两 个零件中恰有 1 个合格品的概率为 1 A.2 1 C.4 5 B.12 1 D.6 1-?-1? 2 = . 1-?-2? 3

解析 “两个零件中恰有 1 个合格品”有两种可能性:“甲加工的零件合格且乙加工的零件 不合格”,“乙加工的零件合格且甲加工的零件不合格”.根据独立事件同时发生的概率公式和 3? 3 ? 2? 5 2 ? 互斥事件有一个发生的概率公式可得所求概率为 P=3×?1-4?+4×?1-3?=12. ? ? ? ? 答案 B 5.已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(2,σ2),且 P(ξ<4)=0.8,则 P(0<ξ<2)= A.0.6 C.0.3 解析 ∵P(ξ<4)=0.8,∴P(ξ>4)=0.2, 由题意知图象的对称轴为直线 x=2, B.0.4 D.0.2

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P(ξ<0)=P(ξ>4)=0.2, ∴P(0<ξ<4)=1-P(ξ<0)-P(ξ>4)=0.6. 1 ∴P(0<ξ<2)=2P(0<ξ<4)=0.3. 答案 C 6.袋中装有标号为 1,2,3 的三个小球,从中任取一个,记下它的号码,放回袋中,这样连续 做三次.若抽到各球的机会均等,事件 A=“三次抽到的号码之和为 6”,事件 B=“三次抽到的 都是 2”,则 P(B|A)= 1 A.7 1 C.6 A3+1 7 3 解析 ∵P(A)= = , 3×3×3 27 P(B)= 1 1 =27, 3×3×3 2 B.7 7 D.27

1 P?AB? 27 1 ∴P(B|A)= = 7 =7. P?A? 27 答案 A 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 7.已知函数 f(x)=-3x2+ax+b,若 a,b 都是区间[0,4]内任取的一个数,那么 f(1)>0 的概率 是________. 解析 由 f(1)>0 得-3+a+b>0, 即 a+b>3. 在 0≤a≤4,0≤b≤4 的约束条件下,作出 a+b>3 满足的可行域, 1 42-2×32 42 23 =32.

如图, 则根据几何概型概率公式可得, f(1)>0 的概率 P= 23 答案 32

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8.将 4 个不同的小球任意放入 3 个不同的盒子中,则每个盒子中至少有 1 个小球的概率为 ________. 解析 将 4 个不同的小球任意放入 3 个不同的盒子中,每个小球有 3 种不同的放法,共有 34 36 4 2 =81 种放法,每个盒子中至少有 1 个小球的放法有 C1C2A2=36 种,故所求的概率 P=81=9. 3 4 4 答案 9 9.(2012· 梅州模拟)如果在一次试验中,某事件 A 发生的概率为 p,那么在 n 次独立重复试验 中,事件 A 发生偶数次的概率为________. 解析 设事件 A 发生偶数次的概率为 X,则事件 A 发生奇数次的概率为 1-X, ∴X=C0p0(1-p)n+C2p2(1-p)n-2+C4p4(1-p)n-4+?, n n n 1-X=C1p(1-p)n-1+C3p3(1-p)n-3+C5p5(1-p)n-5+?, n n n
2 两式相减,得 2X-1=C0p0(1-p)n-C1p(1-p)n-1+Cnp2(1-p)n-2-? n n

=[(1-p)-p]n=(1-2p)n, 1 ∴X=2[1+(1-2p)n]. 1 答案 2[1+(1-2p)n] 三、解答题(每小题 12 分,共 36 分) ? ?x+2 ? 10.已知集合 A={x| x2+3x-4<0},B=?x? <0?. ? ?x-4 ? (1)在区间(-4,5)上任取一个实数 x,求“x∈A∩B”的概率; (2)设(a,b)为有序实数对,其中 a,b 分别是集合 A,B 中任取的一个整数,求“a-b∈A∪B” 的概率. 解析 (1)由已知得 A={x| x2+3x-4<0}={x| -4<x<1}, ? ?x+2 ? <0 ?={x| -2<x<4},显然 A∩B={x| -2<x<1}. B=?x? ? ?x-4 ? 3 1 设事件“x∈A∩B”的概率为 P1,由几何概型的概率公式得 P1=9=3. (2)依题意,(a,b)的所有可能的结果一共有以下 20 种: (-3,-1),(-3,0),(-3,1),(-3,2),(-3,3),(-2,-1),(-2,0),(-2,1),(-2,2),(- 2,3),(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(-1,2),(-1,3),(0,-1),(0,0),(0,1),(0,2),(0,3).

又 A∪B={x| -4<x<4},因此“a-b∈A∪B”的所有可能的结果一共有以下 14 种:(-3,
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-1),(-3,0),(-2,-1),(-2,0),(-2,1),(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(-1,2),(0,-1), (0,0),(0,1),(0,2),(0,3). 14 7 所以“a-b∈A∪B”的概率 P2=20=10. 11.(2012· 郴州模拟)一个袋子中装有大小形状完全相同的编号分别为 1,2,3,4,5 的 5 个红球与 编号为 1,2,3,4 的 4 个白球,从中任意取出 3 个球. (1)求取出的 3 个球颜色相同且编号是三个连续整数的概率; (2)求取出的 3 个球中恰有 2 个球编号相同的概率; (3)设 X 为取出的 3 个球中编号的最大值,求 X 的分布列与数学期望. 3+2 5 解析 (1)设“取出的 3 个球颜色相同且编号是三个连续整数”为事件 A,则 P(A)= C3 =84. 9 5 即取出的 3 个球的编号恰好是 3 个连续的整数,且颜色相同的概率为84. (2)设“取出的 3 个球中恰有两个球编号相同”为事件 B,则
1 C4C1 28 1 7 P(B)= C3 =84=3. 9

1 即取出的 3 个球中恰有两个球编号相同的概率为3. (3)X 的取值为 2,3,4,5. P(X=2)=
1 1 2 1 C2C2+C2C1 1 C2C4+C2C4 4 2 2 2 2 =21,P(X=3)= =21, 3 3 C9 C9

1 C2C2+C2C1 3 6 2 6 P(X=4)= =7, 3 C9 1 C1C2 1 8 P(X=5)= C3 =3. 9

所以 X 的分布列为 X P 2 1 21 3 4 21 4 3 7 5 1 3

1 4 3 1 85 X 的数学期望 EX=2×21+3×21+4×7+5×3=21.

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12.(2012· 大连模拟)某游乐场将要举行狙击移动靶比赛.比赛规则是:每位选手可以选择在 A 区射击 3 次或选择在 B 区射击 2 次,在 A 区每射中一次得 3 分,射不中得 0 分;在 B 区每射中一 1 次得 2 分, 射不中得 0 分. 已知参赛选手甲在 A 区和 B 区每次射中移动靶的概率分别是4和 p(0<p <1). (1)若选手甲在 A 区射击,求选手甲至少得 3 分的概率; (2)我们把在 A、B 两区射击得分的数学期望高者作为选择射击区的标准,如果选手甲最终选 择了在 B 区射击,求 p 的取值范围. 解析 (1)设“选手甲在 A 区射击得 0 分”为事件 M,“选手甲在 A 区射击至少得 3 分”为事 件 N,则事件 M 与事件 N 为对立事件, 1? 27 27 37 ?1? ? ? P(M)=C0·4?0·1-4?3=64,P(N)=1-P(M)=1-64=64. 3? ? ? ? ? (2)设选手甲在 A 区射击的得分为 ξ, 则 ξ 的可能取值为 0,3,6,9. 1? 27 1? 27 1? ? P(ξ=0)=?1-4?3=64;P(ξ=3)=C1··1-4?2=64; 3 ? 4? ? ? ? 1? 9 1 ?1? 2?1? ? P(ξ=6)=C3?4?2?1-4?=64;P(ξ=9)=?4?3=64. ? ?? ? ? ? ∴ξ 分布列为 ξ P 0 27 64 3 27 64 6 9 64 9 1 64

27 27 9 1 9 ∴Eξ=0×64+3×64+6×64+9×64=4. 设选手甲在 B 区射击的得分为 η, 则 η 的可能取值为 0,2,4.
1 P(η=0)=(1-p)2;P(η=2)=C2· (1-p)=2p(1-p);P(η=4)=p2, p·

所以 η 的分布列为 η P 0 (1-p)2 2 2p(1-p) 4 p2

∴Eη=0×(1-p)2+2· 2p(1-p)+4·2=4p, p 9 9 根据题意,有 Eη>Eξ,∴4p>4,∴16<p<1.

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