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江苏省涟水县第一中学2014-2015学年高二下学期数学(理)假期作业


涟水一中高二理科数学高考假期作业
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题纸 相 ... . 应位置上 .) .... 1.将 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? ?? (n ? 1)n 用排列数表示为 2.有 3 名男生, 4 名女生, 选其中 5 人排成一行, 共有 3.有 3 名男生, 4 名女生, 选其中 5 人参加一项活动

, 共有 . 种不同的排法. 种不同的选法.

4.某校从 8 名教师中选派 4 名教师同时去 4 个边远地区支教(每地 l 名),其中甲 和乙不同去,则不同的选派方案共有 种.(用数字作答) 5.在“市长峰会”期间,某高校有 14 名志愿者参加接待工作.若每天排早、中、 晚三班,每班 4 人,每人每天最多值一班,则开幕式当天不同的接待排班种数 为 .(用式子表示) 6.用数字 l,2,3,4,5,6 组成的没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十 位数字的六位数的个数是 . 7.只用 1,2,3 三个数字组成一个四位数,规定这三个数必须同时使用,且同一 数字不能相邻出现,这样的四位数共有 个. 8.从 25 名男生 l5 名女生中选 3 名男生,2 名女生分别担任五种不同的职务, 共有种不同的结果 .(只要列出式子) 9.从 l,3,5 中选 2 个不同的数字,从 2,4,6 中选 2 个不同的数字组成四位数, 共能组成 个四位数. 10.已知甲、乙两组各有 8 人,现从每组抽取 4 人进行计算机知识竞赛,比赛人 员的组成共有 种可能.(用数字作答)
1 2 3 2 n n?1 11.设 n ? N ? ,则 Cn ? Cn 6 ? Cn 6 ? ? ? Cn 6 ? _______ ______.

12.已知 (1 ? 3x)9 ? a0 ? a1x ? a2 x2 ??? a9 x9 ,则 a0 ? a1 ? | a2 | ??? | a9 | 等于____ . 13. 若 x∈(0, +∞), 则(1+2x)15 的二项展开式中系数最大的项为第________项. a 14. 设二项式(x- x)6 的展开式中 x2 的系数为 A,常数项为 B,若 B=4A, 则 a=________.

二、解答题 (本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题纸 指定区域 ... ....内作答,解答时 应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. ) 15.将 3 名男生和 4 名女生排成一行,在下列不同的要求下,求不同的排列方法 的种数: (1)甲、乙两人必须站在两头; (2)男生必须排在一起; (3)男生互不相邻; (4)甲、乙两人之间恰好间隔 1 人.

16.如果在 ( x + 有理项.

1 2 x
4

) n 的展开式中,前三项系数成等差数列,求展开式中的

17.一个口袋中装有大小相同的 2 个白球和 4 个黑球. (1)采取放回抽样方式,从中摸出两个小球,则两球恰好颜色不同的概率; (2)采取不放回抽样方式,从中摸出两个小球,则两球恰好颜色不同的概率; (3)采取不放回抽样方式,从中摸出两个小球,则摸得白球至少有一个的概率.

1 18.甲、乙两人各进行 3 次射击,甲每次击中目标的概率为 , 乙每次击中目标的 2 2 概率为 . 3 (1)求乙至多击中目标 2 次的概率; (2) 记甲击中目标的次数为 X ,求 X 的概率分布及数学期望和标准差.

? 0 1? ?0 2? 19.已知矩阵 A ? ? , 矩阵 B ? ? ? ?, 直线 l1 : x ? y ? 4 ? 0 经矩阵 A 所对应的 ? a 0? ?b 0?
变换得到直线 l 2 ,直线 l 2 又经矩阵 B 所对应的变换得到直线 l3 : x ? y ? 4 ? 0, 求直 线 l 2 的方程.

20. (2014· 天津十二区县联考)如图,在三棱柱 ABC A1B1C1 中,AB⊥AC, 顶点 A1 在底面 ABC 上的射影恰为点 B,且 AB=AC=A 1B=2. ( 1)证明:平面 A1AC⊥平面 AB1B; (2)求棱 AA1 与 BC 所成的角的大小; (3)若点 P 为 B1C1 的中点,并求出二面角 PABA1 的平面角的余弦值.

涟水一中高二理科数学高考假期作业
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题纸相 .... 应位置上 .) ....
1.将 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? ? ? (n ? 1)n 用排列数表示为 2.有 3 名男生,4 名女生,选其中 5 人排成一行,共有
n ?3 . An

5 种不同的排法. A7

3.有 3 名男生,4 名女生,选其中 5 人参加一项活动,共有 种不同的选法.21 4.某校从 8 名教师中选派 4 名教师同时去 4 个边远地区支教(每地 l 名), 其中甲和乙不同去, 则不同的选派方案共有 1320 种.(用数字作答) 5.在“市长峰会”期间,某高校有 14 名志愿者参加接待工作.若每天排早、中、晚三班, 每班 4 人, 每人每天最多值一班, 则开幕式当天不同的接待排班种数为 . (用式子表示)
4 4 4 C14 C10 C6

6.用数字 l,2,3,4,5,6 组成的没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字的 六位数的个数是 . 360 7.只用 1,2,3 三个数字组成一个四位数,规定这三个数必须同时使用,且同一数字不能相 邻出现,这样的四位数共有 个.18 8.从 25 名男生 l5 名女生中选 3 名男生,2 名女生分别担任五种不同的职务,共有 种不同的结果
3 2 5 .(只要列出式子) C25 C15 A5

9.从 l, 3,5 中选 2 个不同的数字,从 2,4,6 中选 2 个不同的数字组成四位数, 共能组成 个四位数.216 10.已知甲、乙两组各有 8 人,现从每组抽取 4 人进行计算机知识竞赛,比赛人员的组成 共有 种可能.(用数字作答)4900
1 2 3 2 n n?1 11.设 n ? N ,则 Cn ? Cn 6 ? Cn 6 ? ? ? Cn 6 ? _______ ______.
?

7n ?1 6
等于____ . 4
9

12.已知 (1 ? 3x)9 ? a0 ? a1x ? a2 x 2 ? ?? a9 x 9 , 则 a0 ?a1 ? a | 2 |? ? ? |a9 |

13.若 x∈(0,+∞),则(1+2x)15 的二项展开式中系数最大的项为第________项. 29 32 r r r-1 r-1 r r+1 r+1 r 解析:Tr+1=Cr ≤Cr ≤Cr ≤r≤ ,r=10,所以第 11 152 x ,由 C15 2 152 ,C15 2 152 ? 3 3 项的系数最大.

14. 设二项式(x-x)6 的展开式中 x2 的系数为 A,常数项为 B,若 B=4A,则 a=________.
a 6-r ? 6-2r 2 - ?r=(-a)rCr 解析:Tr+1=Cr · ,令 6-2r=2,得 r=2,A=a2C2 6x 6x 6=15a ;令 6 ? x?
3 -2r=0,得 r=3,B=-a3C3 6=-20a ,代入 B=4A 得 a=-3.

a

二、解答题 (本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题纸指定区域 内作答,解答时 ....... 应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. )

15.将 3 名男生和 4 名女生排成一行,在下列不同的要求下,求不同的排列方法的种数: (1)甲、乙两人必须站在两头; (2)男生必须排在一起; (3)男生互不相邻; (4)甲、乙两人之间恰好间隔 1 人.
2 5 解(1)第一步:将甲、乙两人在两头排好,第二步:再排其他人,共有 A2 A5 ? 240种不同

的排法.
5 (2)第一步: 将男生看成一个人与其他 4 名女生排成一排, 有 A5 种排法; 第二步: 再排男生, 3 5 3 有 A3 种排法.故共有 A5 A3 ? 720种不同的排法.

(3)要求男生互不相邻,则男生只能排在女生排好后形成的空档内,故完成这件事分两步。
4 第一步:先排女生,有 A4 种排法;第二步:将 3 名男生排在 4 名女生所形成的空档内,有

4 3 3 种排法,所以共有 A4 A5 ? 1440种不同的排法; A5

(4)要在甲、乙两人之间恰好间隔 1 人,应先从其他 5 人中选 1 人站在甲、乙两人之间,然
1 2 5 看将这 3 人形成的整体看成一个人, 再与其他 4 人进行排列. 共有排法 C5 A2 A5 ? 1200种。

16.如果在 ( x +

1 2 x
4

) n 的展开式中,前三项系数成等差数列,求展开式中的有理项.

分析:先应解出 n,再利用二项展开式的通项,求有理项.(整式与分式都为有理式) 1 0 ( x ) n ? ( 4 ) 0 ? ( x ) n ,系数为 1, 解: T1 ? T0?1 ? C n 2 x
1 T2 ? T1?1 ? Cn ( x ) n ?1 ? (

1 1 ( x ) n ?1 n 1 ) ? Cn ? 4 ,系数为 , 4 2 2 2 x x 1 1 2 ( x ) n ?2 n(n ? 1) 2 ) ? Cn ,系数为 4 4 8 2 x x 1

2 T3 ? T2?1 ? Cn ( x ) n ?2 ? (

由 T1,T2,T3 的系数成等差数列, ∴ 2 ?

n n(n ? 1) 2 ? ? 1 ,∴n -9n+8=0 2 8

得 n=8(n=1 舍去,至少有 3 项,∴n≥2),设第 r+1 项为有理项,则有
r Tr ?1 ? C8 (

x)

8? r

(

1 2 x
4

)

4

r ? C8

1 ?x 2r

16?3r 4



16 ? 3r 必为整数∴r 被 4 整除, 4
1 35 ?x? x, 4 8 2

4 ∴r=0,4,8,∴这个展开式的有理项分别为 T1 ? x 4 , T5 ? T4?1 ? C8 ?

1 8 1 8 ?2 T9 ? T8?1 ? C8 ( ) x ? . 2 256 x 2 17.一个口袋中装有大小相同的 2 个白球和 4 个黑球.

(1)采取放回抽样方式,从中摸出两个小球,则两球恰好颜色不同的概率; (2)采取不放回抽样方式,从中摸出两个小球,则两球恰好颜色不同的概率; (3)采取不放回抽样方式,从中摸出两个小球,则摸得白球至少有一个的概率.
1 1 1 1 1 1 C2 C4 ? C2 C4 4 C 1C 1 ? C 2 C2 4 ? , 或 P ? 1? 4 4 ? , 6?6 9 6?6 9

解(1) P ?

1 1 1 1 1 1 C2 C1 ? C 4 C3 C2 C4 8 8 ? , ? , 或 P ? 1? (2) P ? 6?6 15 6 ? 6 15

(3) P ? 1 ?

2 C4 3 ? 2 C6 5

18.甲、乙两人各进行 3 次射击,甲每次击中目标的概率为

1 2 , 乙每次击中目标的概率为 . 2 3

(1)求乙至多击中目标 2 次的概率; (2)记甲击中目标的次数为 X ,求 X 的概率分布及数学期望和标准差. 解 (1)甲、乙两人射击命中的次数服从二项分布,故乙至多击中 目标 2 次的概率为

19 3 2 3 1 ? C3 ( ) ? 3 27
(2) P( X ? 0) ? C 3 ( ) ?
0

1 3 1 3 1 1 3 ; P( X ? 1) ? C3 ( ) ? , 2 8 2 8 1 3 1 3 1 3 P( X ? 2) ? C32 ( ) 3 ? ; P( X ? 3) ? C3 ( ) ? 2 8 2 8

X 的概率分布如下表

1 3 3 1 3 E( X ) ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 8 8 8 8 2 3 1 3 3 3 3 3 1 3 V ( X ) ? (0 ? ) 2 ? ? (1 ? ) 2 ? ? (2 ? ) 2 ? ? (3 ? ) 2 ? ? 2 8 2 8 2 8 2 8 4

? ? v( X ) ?

3 。 2

19.已知矩阵 A ? ?

? 0 1? ?0 2? , 矩阵 B ? ? ? ?, 直线 l1 : x ? y ? 4 ? 0 经矩阵 A 所对应的变换得 ? a 0? ?b 0?

到直线 l 2 , 直线 l 2 又经矩阵 B 所对应的变换得到直线 l3 : x ? y ? 4 ? 0, 求直线 l 2 的方程. 解: BA ? ?

?0 2? ?0 1? ?2a 0? ?? ??? ? ? 设 P( x, y) 是 l1 上的任意一点, ?b 0? ?a 0? ? 0 b?

其在 BA 作用下对应的点为 ( x?, y ?), 得 l1 变换到 l 3 的变换公式

? x ? ? 2ax, 1 则 2ax ? by ? 4 ? 0 ,即为直线 l1 : x ? y ? 4 ? 0, 则得 a ? , b ? ?1. ? 2 ? y ? ? by ?
此时 A ? ? 1

?0

1? ?, 得的方程为 2 y ? x ? 4 ? 0, 0? ? ?2 ?

即 x ? 2 y ? 4 ? 0. 20. (2014· 天津十二区县联考)如图, 在三 棱柱 ABC A1B1C1 中, AB⊥AC, 顶点 A1 在底面 ABC 上的射影恰为点 B,且 AB=AC=A1B=2. (1)证明:平面 A1AC⊥平面 AB1B; (2)求棱 AA1 与 BC 所成的角的大小; (3)若点 P 为 B1C1 的中点,并求出二面角 PABA1 的平面角的余弦值. 解:(1)证明:∵A1B⊥平面 ABC,∴A1B⊥AC, 又 AB⊥AC,AB∩A1B=B,∴AC⊥平面 AB1B, ∵AC?平面 A1AC,∴平面 A1AC⊥平面 AB1B. (2)以 A 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系.

则 C(2,0,0),B(0,2,0),A1(0,2,2),B1(0,4,2),C1(2,2,2), ??? ? ????? ???? ? AA1 =(0,2,2), BC = B1C1 =(2,-2,0), ? ???? ? ??? ? ???? ? ??? BC AA1 · -4 1 ? = ? ??? cos〈 AA1 , BC 〉= ???? =- , 2 8· 8 | AA |· | BC |
1

π 故 AA1 与棱 BC 所成的角是 . 3 (3)因为 P 为棱 B1C1 的中点,故易求得 P(1,3,2). 设平面 PAB 的法向量为 n1=(x,y,z), ??? ? ??? ? ?n1·AP =0, ? AP =?1,3,2?, 则? ??? 由? ??? 得 ? ? ?n1·AB =0, ? AB =?0,2,0?,
? ?x+3y+2z=0, ? 令 z=1,则 n1=(-2,0,1 ), ?2y=0, ?

而平面 ABA1 的法向量 n2=(1,0,0), 则 cos〈n1,n2〉= n 1· n2 2 2 5 =- =- . |n1||n2| 5 5

由图可知二面角 PABA1 为锐角, 2 5 故二面角 PABA1 的平面角的余弦值是 . 5


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