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推理与证明 复习与小结


选修 2-2 第一章推理与证明

小结与复习学案

推理与证明

复习与小结

一、学习目标: 系统梳理本章知识,深入理解合情推理、演绎推理的含义,了解两种思维方法的联系与区别. 二、学习重点、难点:利用合情推理探索、发现结论;利用演绎推理进行理论证明. 三、学法指导:通过阅读、分析课本、笔记、试题等

材料总结本章基础知识,通过对典型问题的 解决,进一步体会合情推理在进行科学发现中的重要作用以及演绎推理在证明有关结论中的作 用. 四、学习内容:

(一)知识结构:
合情推理 推理 推 理 与 证 明 证明 演绎推理 归纳推理 类比推理

综合法 直接证明 分析法 数学归纳法

间接证明 反证法 (二)知识再现 1、归纳推理的定义:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些 特征的推理,或者由个别事实概栝出一般结论的推理,称为归纳推理.(简称:归纳) 2.类比推理的定义:由两个(两类)对象之间在某些方面的相似或相同,推测出他们在其他方面 也相似或相同;或其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类 比推理(简称类比) .简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理. 3.绎推理的定义:根据一般性的真命题(或逻辑规则)导出特殊命题为真的推理叫演绎推理 4. 综合法:从题设中的已知条件或已证的真实判断出发,经过一系列的中间推理,最后导出所求 证的命题.综合法是一种由因所果的证明方法. 5.分析法: 一般地,从要证明的结论出发,追溯导致结论成立的条件,逐步上溯,直到使结论 成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止,这种证明的方法叫做分析法.分析法 是一种执果索因的证明方法. 6. 反证法:一般地,假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而 证明了原命题成立 7. 数学归纳法: 定义:设 ? p ? n ?? 是一个与正整数相关的命题集合,如果(1)证明起始命题 p1 (或 p0 ) 成立;(2)在假设 pk 成立的前提下,推出 pk+1也成立, p ? n ? 对一切正整数都成立. (三)专题整合: 1.归纳推理的应用. 例 1.根据给出的算式: 12 ? 3 ? 4,1122 ? 33 ? 34,111222 ? 333 ? 334, …,归纳猜想出一般性结 论.

1

选修 2-2 第一章推理与证明

小结与复习学案

解:数列:12,1122,111222, …的通项公式应为: an ? 11 ???122 ??? 2 ,每一项都是两个连续自然 ? ? ? ?
n个 n个

数的积,猜想 an ? 11 ???122 ??? 2 ? 33 ??? 3? (33 ??? 3 ? 1). ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
n个 n个 n个
n

n个
n

例 2.设 n ? N ? , 且 sin x ? cos x ? ?1, 求 sin x ? cos x 的值。 (先观察 n ? 1 、 2、 3、 4 时的值,再归 纳猜想 sin x ? cos x 的值).(答案: ( ?1) )
n n
n

2.类比推理的应用:

例 3:长方形的对角线与过同一个顶点的两边所成的角为 ? , ? ,则 cos 2 ? ? cos 2 ? =1,将
长方形与长方体进行类比,可猜测的结论为:长方体的一条体对角线与长方体过同一个顶点的三 个面所成的角分别为 ? , ? , ? ,则 cos ? ? cos ? ? cos ? ? 2. ;
2 2 2

例4.已知O是?ABC内的任意一点,连结AO, BO, CO并延长交对边与A ', B ' C ', 则

OA' + AA'

OB' OC ' + =1,请运用类比思想,探讨对于空间中的四面体V-BCD,存在怎样类似的 BB' CC ' 结论?并证明你的结论.

3.综合法、分析法解题:例 5.设 a ? 0, b ? 0, a ? b ? 1, 求证: ?

1 a

1 1 ? ? 8. b ab

变题 2:数列 {a n } 的前 n 项和记为 Sn,已知 a1 ? 1, a n?1 ?
(Ⅰ)数列 {

n?2 S n (n ? 1,2,3?). 证明: n

Sn } 是等比数列; n

(Ⅱ) S n ?1 ? 4a n .

2

选修 2-2 第一章推理与证明

小结与复习学案

4.反证法解题:设 f ( x) ? x ? bx ? c, x ? [?1,1] ,试证明:当 b ? ?2 时,在 [?1,1] 上总存在一个
2

x 使得 f ( x) ? b .

5.用数学归纳法解题:

用数学归纳法证明:( 1? 22 ? 2 ? 32) ? (3 ? 42 ? 4 ? 52 ) ? ??? ? [(2n ? 1)(2n) 2 ? 2 n(2 n ? 1) 2 ] ? ?n(n ? 1)(4n ? 3).

五、学习小结: 六、达标检测: 1.已知数列 ? an ? 的第 1 项 a1 ? 0 ,且 an ?1 ?

an ? 3 1 ? 3an

(n ? 1, 2,?) ,则 a20 ?
3 2
3 , a4 ? 0 ,由此归纳出数列 ?an ?

A.0

B. ? 3

C. ? 3

D.

解法 1:由于 an ?1 ?

an ? 3 1 ? 3an

, a1 ? 0 ,则 a2 ? ? 3 , a3 ?

是以 3 为周期的数列,则 a20 ? a6?3? 2 ? a2 ? ? 3 ,选 B. 解法 2: an ?1 ? 则 ? n ?1 ? ? n ?

an ? 3 1 ? 3an

,令 an ? tan ? n ,则 tan ? n ?1 ? tan(? n ?

?
3

),

?
3

? k? ,即 ? n ?1 ? ? n ? k? ?

?
3

, ? 20 ? ?1 ? 19(k? ?

?
3

),

而 ?1 ? 0 ,则 ? 20 ? 19k? ? 7? ?

2? , a20 ? tan ? 20 ? ? 3 ; 3

2 .已知数 列 ? an ? 满足 a1 ? 2 , an ?1 ?

1 ? an * ( n?N ) ,则 a3 的 值为 1 ? an
3



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a1 ? a2 ? a3 ?? ? a2007 的值为
【思路 1】 分别求出 a2 ? ?3 、a3 ? ?



1 1 a2 ?a3 ?a4 ? 、a4 ? 、a5 ? 2 , 可以发现 a5 ? a1 , 且 a1 ? 2 3

1,

故 a1 ? a2 ? a3 ?? ? a2007 ? a2005 ? a2006 ? a2007 ? a1 ? a2 ? a3 ? 3 . 【思路 2】 由 an ?1 ?

1 ? an ?? ? , 联想到两角和的正切公式, 设 a1 ? 2 ? tan ? , 则有 a2 ? tan ? ? ? ? , 1 ? an ?4 ?

?? ? ? 3? ? ? ? ? , a5 ? tan ?? ? ? ? ? a1 ,……. a3 ? tan ? ? ? ? , a4 ? tan ? ? 4 ? ?2 ?
则 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 1 , 故 a1 ? a2 ? a3 ?? ? a2007 ? a2005 ? a2006 ? a2007 ? a1 ? a2 ? a3 ? 3 . 例 3.求证 3 是无理数 证明: 假设 3 是无理数, 则存在互质的数 m, n , 使得 3 ?
*

m 2 2 , 从而 m ? 3n , 即 m ? 3n , n
2

所以 m 为 3 的倍数,于是可设 m ? 3k (k ? N ) ,因此, 9k ? 3n ,即 n ? 3k ,所以 n 也为 3
2

2

2

的倍数,这与 m, n 互质矛盾,由此可知假设是错误的,从而 3 是无理数. 例 4.是否存在常数 a, b, c ,使得 1 ? 2 ? ? ? n ? an ? bn ? cn 对一切正整数 n 都成立?并
2 2 2 3 2

证明你的结论.

1 ? ?a ? 3 ?1 ? a ? b ? c ? 1 ? ? 2 解: 假设存在常数 a, b, c 使等式成立, 令 n ? 1, 2,3 得: 解之得 ?b ? , ?1 ? 2 ? 8a ? 4b ? c 2 ? ?1 ? 22 ? 32 ? 27a ? 9b ? c ? 1 ? ?c ? 6 ?
下面用数学归纳法证明: 1 ? 2 ? ? ? n ?
2 2 2

n(n ? 1)(2n ? 1) 对一切正整数 n 都成 6

六、合作探究: 1.若 p 为奇数,则 2 p ? 1 是无理数. 2. 已 知 an ? 1 ?

1 1 1 ? ? ? ? n ? N * , 是 否 存 在 n 的 整 式 g ( n) , 使 得 等 式 2 3 n

a1 ? a2 ? ? ? an?1 ? g (n)(an ? 1) 对于大于 1 的一切正整数 n 都成立?并证明你的结论.
七、学习反思:
4


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