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特级教师高考数学综合能力题30讲第22讲 参数范围型综合问题(有详解答案)


数学高考综合能力题选讲 22 参数范围型综合问题 题型预测 参数范围的问题, 内容涉及代数和几何的多个方面, 综合考查学生应用数学知识解决问 题的能力。在历年高考中占有较稳定的比重。解决这一类问题,常用的思想方法有:函数思 想、数形结合等。 范例选讲 例 1.对于满足 0 ? p ? 4 的一切实数,不等式 x 2 ? px ? 4x ? p ? 3 恒成立,试 求 x 的取

值范围。 讲解:将 p 视为主元,设 f ? p ? ? p ? x ? 1? ? ? x 2 ? 4 x ? 3? ,则 当 0 ? p ? 4 时, f ? p ? >0 恒成立。 2 ? ? ?x ? 4x ? 3 ? 0 ? f ?0? ? 0 等价于: ? 。即 ? 2 。 f 4 ? 0 x ? 1 ? 0 ? ? ? ? ? ? 解得 x ? 3或x ? ?1 。 点评:换个角度看问题,换个方面去解释,换个方向去思考。在数学学习过 程中,要注意多角度、多方向、多层次地去思考问题,这样不但对问题的认识更 全面、更深刻,还可以发展自己的思维能力。 例 2.已知函数 f ? x ? ? 2 x ? a 。 2x (Ⅰ)将 y ? f ? x? 的图像向右平移两个单位,得到函数 y ? g ? x ? ,求函数 y ? g ? x? 的解析式; (Ⅱ)函数 y ? h ? x ? 与函数 y ? g ? x ? 的图像关于直线 y ? 1 对称,求函数 y ? h ? x ? 的解析式; 1 f ? x? ? h? x? ,已知 F ? x ? 的最小值是 m ,且 m ? 2 ? 7 , a 求实数 a 的取值范围。 (Ⅲ)设 F ? x ? ? 讲解:(Ⅰ) g ? x ? ? f ? x ? 2 ? ? 2 x ?2 ? a 2x?2 ? 2 x 4a ? ; 4 2x (Ⅱ)设点 P ? x, h ? x ?? 是函数 y ? h ? x ? 上任一点, 点 P ? x, h ? x ?? 关于 y ? 1 的对称点是 P ' ? x,2 ? h ? x ?? 由于函数 y ? h ? x ? 与函数 y ? g ? x ? 的图像关于直线 y ? 1 对称,所以,点 P ' 在 函数 y ? g ? x ? 的图像上,也即: 2 ? h ? x ? ? g ? x ? 。 所以, h ? x ? ? 2 ? g ? x ? ? 2 ? (Ⅲ) F ? x ? ? 2 x 4a ? ; 4 2x 1 1 ?1 1? f ? x ? ? h ? x ? ? ? ? ? 2 x ? ? 4a ? 1? x ? 2 a 2 ? a 4? 要求 m 的取值范围,可以通过构造关于 m 的不等式来获得解答,方法之一 是直接法,即先求出 F ? x ? 的最小值,再令其大于 2 ? 7 即可。 解法一。为求 F ? x ? 的最小值,注意到 F ? x ? 的表达式形同 mt ? ? 1 1 ? 以考虑从 m, n ? 即 ? 和4a ? 1? 的正负入手。 ? a 4 ? n ,所以,可 t ?1 1 1 ? ? ?0 (1)当 ? a 4 ,即 a ? 0 时,由 2 x , x 的值域均为 ? 0, ??? ,可得 F ? x ? ? 2 。 2 ? ? 4a ? 1 ? 0 这与 F ? x ? ? m ? 2 ? 7 矛盾; ?1 1 1 ? ? ?0 (2)当 ? a 4 ,即 0 ? a ? 时, F ? x ? 是 R 上的增

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