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四川省雅安市2007年高中阶段教育学校招生考试数学试卷

时间:2017-03-24


四川省雅安市 2007 年高中阶段教育学校招生考试 数学试卷
本试卷分为第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,第 I 卷 1 至 2 页,第 II 卷 3 至 8 页.全卷满分 120 分,考试时间 120 分钟.

第 I 卷(选择题 共 36 分)
注意事项: 1.在答第 I 卷之前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试

科目等填涂在机读卡上. 2.每小题选出答案后,用 2B 或 3B 铅笔把机读卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试卷上. 3.考试结束后,由监考人员将本试卷和机读卡一并收回. 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 3 分,共 36 分)每小题的四个选项中,有且仅 有一个是正确的. 1. ?8 的立方根是( ) A. ?2 2 B. ? 2 ) C. ?2 2
3

D. 2

3

2.下列运算正确的是(

a ?a A. a ?
2 3

5

B. (a2 )3 ? a5 D. a ? a ? a
5 5 10

C.

a6 ? a3 2 a

3.下列右图是由 5 个相同大小的正方体搭成的几何体,则它的俯视图在 A、B、C、D 中的 选项是( )

A.

B.

C.

D.

3 题图 )

4.若 ? 是直角三角形式一个锐角, sin ? ? 3 cos ? ,则

sin 2 ? ?2sin ? cos ? ? ?( 2 cos ?

A. 3 ? 2 3

B.

1? 2 3 2
2

C. 2 ? 2 3

D. 3

? 2, ? 11 , , 2, 3, 4} 中随机取一个,则所得 5.已知二次函数 y ? kx ? 6 x ? 3 ,若 k 在数组 {?3,
抛物线的对称轴在直线 x ? 1 的右方时的概率为( A. )

1 7

B.

2 7

C.

4 7

D.

5 7


6.在 △ ABC 中, D,E 分别是 AB,AC 边上的中点,则 S△ADE : S四边形DBCE ? (

A.

3 4

B.

1 4

C.

2 5

D.

1 3

? 2) 上, N 位于 7.如图是坐标系的一部分,若 M 位于点 (2, ? 2) 上,则 G 位于点( 点 (4,
A. (1 , 3) )上. C. (0, 1) G

, B. (11)

, D. (?11)
M N

8.为搞好环保,某公司准备修建一个长方体的污水处理池,池底矩形的周长为 100m,则池 底的最大面积是( ) 2 A.600m B.625m2 C.650m2 D.675m2 9.如图,在平行四边形 ABCD 中, DE 是 ?ADC 的平分线, D F 是 AB 的中点, AB ? 6 , AD ? 4 ,则 AE : EF : BE 为 C ( ) A. 4 :1: 2 C. 3 :1: 2 B. 4 :1: 3 D. 5 :1: 2 ) D. a ? ?3 ) A B

F E

10.已知不等式 (a ? 1) x ? 2 的解集是 x ? ?1 ,则( A. a ? 3 B. a ≤ ?3 C. a ? 3

? 11. 已知 M 是 △ ABC 的外心,?ABC ? 60 ,AC ? 4 , 则 △ ABC 外接圆的半径是 (

A.

2 3 3

B. 2 3

C.

4 3 3

D.

5 3 3
C

? 12.如图,在 Rt△ ABC 中, ?ACB 为 90 , CD ? AB ,

cos ?BCD ?
A.

9 10

2 , BD ? 1 ,则边 AB 的长是( 3 10 9 B. C.2 D. 9 5

) A D B

第 II 卷(非选择题 共 84 分) 二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 3 分,共 15 分)请将答案直接写在相应题的横线 上. 13.234610000 用科学记数法表示为 (保留三个有效数字) . 14.观察一组数 2、5、11、23、 ( ) 、95、?,括号内的一个数应该是 . 15.分解因式 2 x ? 3x ? 1 ?
2



? 16.如图, AD 是 △ ABC 的中线, ?ADC ? 45 , BC ? 2cm ,把 △ ACD 沿 AD 对折,

使点 C 落在 E 的位置,则 BE ?

cm.

E A

B

D

C

17.某体育场的环行跑道长 400 米,甲、乙同时从同一起点分别以一定的速度练习长跑和骑 自行车.如果反向而行,那么他们每隔 30 秒相遇一次.如果同向而行,那么每隔 80 秒乙就 追上甲一次.甲、乙的速度分别是多少?设甲的速度是 x 米/秒,乙的速度是 y 米/秒.则列 出的方程组是 . 三、解答题(本大题共 8 个小题,共 69 分)要求写出必要的解答过程或演算步骤. 18. (每小题 5 分,共 10 分) (1)计算: cos 60? ? |1 ? 3 | ?(2 ? tan 30? ) ? ? ? .

?2? ?5?

?1

(2)先化简,再求值:

1 a 2 ? ab a 2 ? b2 b?a ? ? 2 (其中 a ? 3 , b ? ) . 2 2 b ab a ? 2ab ? b

19. (本小题 6 分)

?2 x ? 1 ≤ 2, ? 解不等式组 ? x ? 1 x 并将其解集表示在数轴上. ? , ? 3 ? 4

20. (本小题 7 分) 解方程

0

x x?2 3 ? ? . x ?1 x 2

21. (本小题 8 分) 袋中有 2 个红球、1 个白球,它们除颜色外完全相同. (1)求从袋中任意取出 1 球是红球的概率; (2)先从袋中任意取出 1 球,然后放回,再从袋中任意取出 1 球,请用画树状图或列表格 法求两次都取到红球的概率.

22. (本小题 8 分)

某班要从甲、乙、丙三名候选人中选出一名参加学校组织的知识竞赛.班上对三名候选人进 行了笔试和口试两次测试,测试成绩如下表: 测试项目 笔试 口试 测试成绩(分) 甲 70 90 乙 80 70 丙 85 65

班上 50 名学生又对这三名候选人进行了民主投票,三人的得票率(没有弃权票,每位学生 只能投三人中的一票)如下图,每得一票记 1 分. (1)请分别算出三人的得票分; (2)如果根据三项得分的平均成绩高者被当选,那么谁将被当选(精确到 0.01)? (3)如果根据笔试、口试、投票三项成绩按 5∶3∶2 的比例确定成绩,根据成绩的加权平 均数高者当选,那么谁又将被当选? 甲 30% 丙 40% 乙 30% 23. (本小题 8 分) 如图, 反比例函数 y ? ( k ? 0 ) 图象经过点 (1 并与直线 y ? 2 x ? b 交于点 A( x1,y1 ) , , 2) ,

k x

B( x2,y2 ) ,且满足 ( x1 ? x2 )(1 ? x1x2 ) ? 3 .
(1)求 k 的值; (2)求 b 的值及点 A,B 的坐标. y A O B x

24. (本小题 10 分) 如图,已知 AB 是 ? O 的直径,直线 CD 与 ? O 相切于 C 点, AC 平分 ? DAB . (1)求证: AD ? CD ; (2)若 AD ? 2 , AC ? 6 ,求 ? O 的半径 R 的长. D 3 2 1 O 4 C B

A

25. (本小题 12 分)

0) , B(0, 1) , O 是坐标原点.将 △OAB 绕点 O 按逆时针旋 如图,已知 △OAB 的顶点 A(3,
转 90°得到 △ODC (1)写出 C,D 两点的坐标; (2)求过 C,D,A 三点的抛物线的解析式,并求此抛物线的顶点 M 的坐标; (3) 在线段 AB 上是否存在点 N 使得 NA ? NM ?若存在, 请求出点 N 的坐标; 若不存在, 请说明理由. y D C 四川省雅安市二○○七年高中阶段教育学校招生考试 数学试题参考答案及评分意见 一、选择题 1~5.BACCB 二、填空题 13. 2.35 ?10 三、解答题 18. (10 分) (1)解:原式 ?
8

M

B O A x

6~10.DCBAD

11~12.CD

14.47

15. (2 x ? 1)( x ? 1)

16. 2

17. ?

?30( x ? y) ? 400, ?80( y ? x) ? 400

? 1 3? 5 ? ( 3 ? 1) ? ? 2 ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 ?? · ? 2 3 ? ? ? 2

?

1 3 5 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 ? 3 ?1? 2 ? ? · 2 3 2 4 3 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 3

?
(2)解:原式 ?

a(a ? b) (a ? b)(a ? b) b?a ? ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 b ab ( a ? b) 2 a ( a ? b) ab b?a ? ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 b (a ? b)(a ? b) (a ? b)2

?

a2 1 ? ? a ?b a ?b ? a2 ?1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 a ?b

当 a ? 3,b ? 原式 ?

1 时, 2

a 2 ? 1 32 ? 1 16 ? ? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 a ?b 3? 1 5 2

19. (6 分)

?2 x ? 1 ≤ 2, ? 解: ? x ? 1 x · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分 ? ? 3 ? 4

?2 x ≤ 3 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 ?? ?3( x ? 1) ≤ 4 x
3 ? ?x ≤ , ?? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 2 · ? ? x ? ?3
3 ? ?3 ? x ≤ . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 2

?3 ? 2 ? 1 0

1

3 2

2
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分

20. (7 分) 解:将原方程去分母得 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 2x2 ? 2( x ?1)( x ? 2) ? 3x( x ?1) ·

? 3x 2 ? x ? 4 ? 0 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 ? (3x ? 4)( x ? 1) ? 0
4 或 x ? ?1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 3 4 经检验 x ? 或 x ? ?1 ,都是方程的解. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 3 4 所以原方程的解为 x ? 或 x ? ?1 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 3 ?x?
21. (8 分) 解: (1)任意取出 1 球的取法有 3 种,其中是红球的取法有 2 种. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分 则任意取出 1 球是红球的概率为

2 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 3

(2)依题意,任意取出 1 球,然后放回,再从中任意取出 1 球的树状图如下:

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 则两次都取到红球的概率为

4 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 9

22. (8 分) 解: (1)三人的得票分分别为 甲: 50 ? 30% ? 15 分 乙: 50 ? 30% ? 15 分 丙: 50 ? 40% ? 20 分 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 (2)三项得分的平均成绩

70 ? 90 ? 15 ≈ 58.33 3 80 ? 70 ? 15 ? 55.00 乙: 3 85 ? 65 ? 20 ≈ 56.67 丙: 3
甲: 由题意得甲将被当选. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 (3)由题意三人的平均得分分别为

5 ? 70 ? 3 ? 90 ? 2 ? 15 ? 65 5?3? 2 5 ? 80 ? 3 ? 70 ? 2 ?15 ? 64 乙: 5?3? 2 5 ? 85 ? 3 ? 65 ? 2 ? 20 ? 66 丙: 5?3? 2
甲: 所以丙将被当选.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 23. (8 分) 解: (1)? 反比例函数 y ?

k , 2) , ( k ? 0 )图象经过点 (1 x

?2 ?

k ?k ?2.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 1

(2)由题意

2 ? 2 ?y ? , ? 2x ? b ? x ? x ? ? y ? 2x ? b
? 2 x2 ? bx ? 2 ? 0
①· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分

? ? ? b2 ? 16 ? 0 (无“ ? ”可不扣分)

b x1 ? x2 ? ? ,x1 x2 ? ?1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 2
则由 ( x1 ? x2 )(1 ? x1 x2 ) ? 3

? b? ? ? ? ? (1 ? 1) ? 3 ? 2?
? b ? ?3 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分

? ①为 2 x 2 ? 3x ? 2 ? 0
? x1 ? 2,x2 ? ? 1 2

? y1 ? 1 ,y ? ?4 .
1) , B ? ? , 即 A(2, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 ? 4? . ·
24. (10 分) 解: (1)连接 OC , ? 直线 CD 与 ? O 相切于 C 点, AB 是 ? O 的直径, ? OC ? CD . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分 又? AC 平分 ? DAB ,

? 1 ? 2

? ?

D 3

4

C

2 1 1 ?DAB . A B 2 O 又 ?COB ? 2?1 ? ?DAB , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 ? AD ∥ OC , ? AD ? CD . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分

??1 ? ?2 ?

(2)又连接 BC ,则 ?ACB ? 90 ,
?

在 △ ADC 和 △ ACB 中

? ?1 ? ? 2 , ?3 ? ?ACB ? 90? , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分

?△ ADC ∽△ ACB . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 AD AC ? ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 AC 2 R

?R ?

AC 2 3 ? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分 2 AD 2

25. (12 分)

, 0) , D(0, 3) · 解: (1) C (?1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分
2 (2)设所求抛物线的解析式为 y ? ax ? bx ? c ( a ? 0 )

? A,C,D 在抛物线上

?c ? 3, ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·5 分 ? ? a ? b ? c ? 0, · ?9a ? 3b ? c ? 0 ?

y E D C B O N

M

?a ? b ? 3 ? 0, ?? ?3a ? b ? 1 ? 0 ?a ? ?1, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分 ?? ?b ? 2
即 y ? ? x2 ? 2 x ? 3 . 又 y ? ?( x ? 1)2 ? 4

A

x

? M (1, 4) . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分
(3)解: (法一) 连接 MB ,作 ME ? y 轴于 E , 则 ME ? 1 , BE ? 4 ? 1 ? 3 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分

MB ? ME 2 ? BE 2 ? 10
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·11 分 BA ? BO2 ? OA2 ? 10 ? MB ·

1) (即点 B )使得 NA ? NM . · 即在线段 AB 上存在点 N (0, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分
(法二)
2 2 设在 AB 上存在点 N (a,b) ( 0 ≤ b ≤ 1 )使得 NA ? NM (即 NA ? NM )

作 NP ? OA 于 P , NQ ? 对称轴 x ? 1 于 Q . · · · · · · · · · · 8分 则

b 3? a ? ? 3 ? a ? 3b · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 1 3
C

y D

M

? NA2 ? b2 ? (3 ? a)2 ? 10b2 , NM ? (1 ? a) ? (4 ? b) ? 10b ? 20b ? 20 ,
2 2 2 2

B NQ O A x

则 10b ? 10b ? 20b ? 20
2 2

? b ?1. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·11 分

1) (即点 B )使得 NA ? NM . · 故在线段 AB 上存在点 N (0, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分


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