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高中数学:第二章数列课件—等差数列求和公式(1)


2.3 等差数列前 n 项和 (1)

新课引入
在 200 多年前,历史上最伟大的数学家之 一, 被誉为“数学王子”的高斯就曾经上演了迅速 求出等差数列这么一出好戏。 那时, 高斯的数学 老师提出了下面的问题:1+2+3+…+100=? 当时,当其他同学忙于把 100 个数逐项相 加时,10 岁的高斯却用下面的方法迅速算出了 正确答案:

>
(1+100)+(2+99)+…+(50+51) =101× 50 =5050

新课引入
这个故事告诉我们:
(1) 作为数学王子的高斯从小就善于观察, 敢 于思考, 所以他能从一些简单的事物中发现和 寻找出某些规律性的东西。
(2) 该故事还告诉我们求等差数列前 n 项和的 一种很重要的思想方法, 这就是下面我们要介 绍的“倒序相加”法。

新课讲授
问题 1:计算:1+2+3+…+100.高斯是怎样 计算的?
问题 2:从高斯的算法中,你受到了什么启 发?怎样求 1+2+3+?+n 的和?
问题 3:你能将高斯的算法推广到求一般等差 数列的前 n 项和吗?用符号表述你的想法.

新课讲授
发现规律:

n(a1 ? an ) n( n ? 1) 公式S n ? 和S n ? na1 ? d 2 2
问题 4:比较这两个公式,说说它们分别从 哪些角度反映了等差数列的性质?

新课讲授
发现规律:

n(a1 ? an ) n( n ? 1) 公式S n ? 和S n ? na1 ? d 2 2
总结: 第一个公式反映了等差数列的任意的第 k 项与倒数第 k 项的和等于首项与末项的和 这个内在性质。第二个公式反映了等差数列 的前 n 项和与它的首项、公差之间的关系

例题讲解
? 例1 在等差数列 an ?中, ?1?已知 a1 ? 3 , a50 ? 101 , 求 S50 ;
1 ?2?已知 a1 ? 3 , d ? , 求 S10 . 2 解 ?1? 根据等差数列前n 项和公式, 得

3 ? 101 S50 ? ? 50 ? 2600 . 2

根据等差数列前n 项和公式, 得
10 ? 9 1 105 S10 ? 10 ? 3 ? ? ? . 2 2 2

例题讲解
1 3 15 ? 例 2 在等差数列 an ?中,已知 d ? , an ? , S n ? ? , 2 2 2 3 求 a1 及 n . a ?
1

2 ? n ? ? 15 , 2 2 解 由已知, 得 1 3 a1 ? ?n ? 1 ?? ? . 2 2

① ②

1 由② , 得 a1 ? ? n ? 2 , 代入 ① 后化简, 得 2 2 n ? 7n ? 30 ? 0 .所以n ? 10或 ? 3 ?舍去?, 从而a1 ? ?3.

在等差数列的通项公式 与前 n 项和公式中, 含有 a1 , d , n , an , S n 五个量, 只要已知其中三个量就可以求 , 出余下的两个量 .

例题讲解
? 例3 在等差数列 an ?中,已知第1 项到第10 项的和为310 ,
第11 项到第20 项的和为910 , 求第21 项到第30 项的和.

解 设在等差数列 的首项为a1 , 公差为d ,由题意, 得
S10 ? 310 , 即 S 20 ? S10 ? 910 ,
10? 9 10a1 ? d ? 310, 2 20? 19 20a1 ? d ? 310 ? 910, 2

a1 ? 4 , ? 124 解得 在例3中, 所以a21 ? 4 ? 20? 6 ? S ,, 于是 S 思考 d ? 6 . 我们发现S10 , S20 10 S 30 ? 20 10 ? 9 也成等差数.你能得到更一般的结论 1510 , 吗? a ? a ? ? ? ? ? a ? 10 ? 124 ? ?6 ?
21 22 30

2

即第21 项到第30 项的和为 1510 .

例题讲解
例 4 某剧场有20 排座位, 后一排比前一排多 2 个座位, 最后一排有60 个座位, 这个剧场共有多 少个座位?
解 这个剧场各排的座位数 组成等差数列 其中 , 公差 d ? 2 , 项数 n ? 20 , 且第20 项是 a20 ? 60 .

由等差数列的通项公式得 60 ? a1 ? ?20 ? 1?? 2 , , , 所以 a1 ? 22 . 由等差数列的求和公式得 20 ? ?22 ? 60 ? S 20 ? ? 820 . 2 答 这个剧场共有 个座位. 820

例题讲解
例5 某种卷筒卫生纸绕在盘 , 空 上 盘时盘芯直径40 mm , 满 盘 时 直 径 120 mm (如图) . 已知卫生纸的厚度为 0.1 mm ,问: 满盘时卫生纸的总长度 大约是多少米( 精确到1 米 ) ? 解 卫生纸的厚度为 .1mm, 可以把绕在盘上的卫生 0 纸近似地看做是一组同 心圆, 然后分别计算各圆的周 长, 再求总和. 由内向外各圈的半径分 别为 各圈的半径为该层纸 20.05 , 20.15 , ? ? ? , 59.95 . 的中心线至盘芯中心 因此, 各圈的周长分别为 的距离. 40.1? ,40.3? , ? ? ? , 119.9? .
120mm 40mm

例题讲解
因为各圈半径组成首项 20.05 , 公差为0.1 的等差 为 数列, 设圈数为n , 则 59.95 ? 20.05 ? ?n ? 1?? 0.1 , 解得 n ? 400 . 显然, 各圈的周长组成首项为 .1 ? , 公差为 0.2? , 40 项数为 的等差数列 400 .

根据等差数列的求和公 , 得 式
400 ? ?400 ? 1? S 400 ? 400 ? 40.1? ? ? 0.2? 2 ? 32000? ?mm?.

32000 ? ?mm? ? 100 ?m?

答 满盘时卫生纸和长度约 100 m . 为

例题讲解
1 例 6 已知数列{a n }的前n项和为Sn ? n ? n, 求这个数列 2 列的通项公式. 这个数列是等差数列吗?如果是, 它的
2

首项和公差分别是什么?

1 变式: 已知数列{a n }的前n项和为Sn ? n ? n ? 1, 求这个 2 数列列的通项公式. 这个数列是等差数列吗?
2

课堂小结
1. 等差数列的前n项和公式一:

n(a1 ? an ) Sn ? 2
2. 等差数列的前n项和公式二:

n( n ? 1)d S n ? na1 ? 2

课堂练习
教材 P45 “练习”第 2,3 题.


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