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湖北省部分重点中学2015-2016学年高一数学下学期期中试题 理


湖北省武汉市部分重点中学 2015-2016 学年度下学期高 一年级期中 考试数 学 试 卷(理科)
全卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分,考试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.) 1. 已知向量 a =(-1 ,2),且向量 b

? A. (2,1) 2) 2.设 ?ABC 的内角A,B,C所对的边分别为 a, b, c;且三内角A,B,C依次成等差数列, 三边 a, b, c 依次成等比数列,则 ?ABC 的形状为( ) A.正三角形 B.直角三角形 C.钝角三 角形 D. 等腰直角 三角 形 B. (-1,2)

?

?

a, 则 b 等于(

?

?

) D.(-2,-

C. (-2,1)

3. 已知数列{an}和{ bn }均为等差数列, 其前 n 项和分别为S n 和T n , 并且

Sn n ?3 , ? Tn 7n



a5 等于( b5
A.



1 7

B.

4 21

C.

8 35

D.

3 2

4.设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ;且 a= B等于( 0 A.60 ) B. 60 或 120
0 0

20 3 O ,c= 10 2 ,A= 45 .则角 3
D.15 或 75
0 0

C.15

0

5.设 A 1 , A2 , A 3 , A4 , A 5 是 平 面 中 给 定 的 5 个 不 同 的 点 , 则 同 一 平 面 内 使

???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ? MA1 ? MA2 ? MA3 ? MA4 ? MA5 ? 0 成立的点 M 的个 数为(
A.0 B.1 C.5

) D.10 )

6. 小王从甲地到乙地往返的时速分别为 a 和 b (0<a<b) , 其全程的平均时速为 v, 则 ( A.a<v< ab B.v= ab C. ab <v<

a?b a?b D. v= 2 2 ?? ? ??? ??? ? 7. 设点O在 ?ABC 的内部,且有 OA ? 2OB ? 3OC ? 0 ,则 ?ABC 的面积与 ?ABC 的
面积之比为( )
1

A.

3 2

B.

5 3

C.2

D.3

8.已知数列{an}为等差数列,若 正数时 n 的值是( A.22 D.25 )

a13 ? ?1 且它的前 n 项和 S n 有最大值,那么 S n 取最小 a12
C.2 4

B.23

3 5 9.已知的平面向量 a 和 b ,且 a ? 0 , a ? b , b ? 1 , a 和 b - a 夹角为 1
的取值范围为( A. ? ?0,1? ? 10.已知函数 f(x) ? ) B. 1,2

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

o

,则 a

?

? ?

C. 0, 2 ?

?

?

D. ?

? 2 ? ,1? ? 2 ? ? ?

e x ? x ,对于曲线 y=f(x)上横坐标成等差数列的三个点 A,B,C,
②△ABC 可能是直角三角形 ④△ABC 不可能是等腰三角形 C.①③ D.②④

给出以下判断: ①△ABC 一定是钝角三角形; ③△ABC 可能是等腰三角形; 其中,正确的判断是( ) A.①④ B.②③

11.设 a + b = 2, b>0,则

1 |a| ? 的最小值为( 2|a| b



A.

1 2

B.

3 4

C.1

D.

5 4

12.设 a 是已知的平面向量且 a ? 0 ,关于向量 a 的分解,有如下四个命题: ①给定向量 b ,总存在向量 c ,使 a ? b ? c ; ②给定向量 b 和 c ,总存在实数 ? 和 ? ,使 a ? ? b ? ? c ; ③给定单位向量 b 和正数 ? ,总存在单位向量 c 和实数 ? ,使 a ? ? b ? ? c ; ④给定正数 ? 和 ? ,总存在单位向量 b 和单位向量 c ,使 a ? ? b ? ? c ; 上述命题中的向量 b , c 和 a 在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是 A.4 B.3 C.2 D.1

?

?

?

?

? ?

?

?

? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

2

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须做 答.第(22)题~第(23)题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共20分,把答案写在题中横线上) 13.如图 4,在平行四边形 ABCD 中 ,AP⊥BD,垂足为 P,

AP ? 3 ,则

=

14.已知O为坐标原点,向量 OA ? (sin ? ,1),

?? ?

OB ? (cos ? ,0)

???



OC ? (? sin ? ,2)

???

,

? ?? ? ?? ??? 0P ? ? 2 cos ? ? sin ? , ?1? . 若 O , P , C 三 点 共 线 , 求 得 O A ? O B 的 值
为 .
n

? 15.已知数列{ bn }的通项公式为 bn ? 2n ?1 , 数列{an}( n ? N )满足 b2 ,ba ,b2 n ? 2 成等比

数列,若 a1 ?

a2 ? a3 ? ? ? am ? a40 ,则 m 的最大值是



16.设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ;则下列命 题正确的序号是 ①若 cos2A ? cos2B ,则 b ? a ; ③若 sin2A ? sin2B;则A ? B ; ②若 sinA ? cosB, ,则 C=
2 ④若 ab ? c ,则 C ?

?





?
3



⑤若 an ? bn ? cn (3 ? n) ,则 ?ABC 为锐角三角形. 三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分)已知 f ( x ) 是定义域为 R 的偶函数, f 0 ? 0, 当 x ? 0 时,

? ?

f ( x) ? x2+bx ? c ? 0的解集为 x ? ? ? ?4,0 ? ? (Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式;
(Ⅱ) 求不等式 f (x ? 1) ? 5 的解集. 18.(本小题满分 12 分)如图,A,B,C,D 都在同一个与 水平面垂直的平面内, B, D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。 测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75 ,
0

30 0 ,于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 60 0 ,AC=
100m.试求 B,D 之间的距离(计算结果精确到0. 01km, 2 ? 1.414, 6 ? 2.449). 19. (本题满分 12 分)已知数列{an}中,a1=5,,a2=2,
3

an=2an-1+3an-2, (n ? 3). (Ⅰ)证明数列{an-3an-1}成等比数列,并求数{an}列的通项公式 an . (Ⅱ)若数列 bn ?

2n ? 1 ?an ?1 ? an ? ,求数列{ bn }的前 n 项和Sn . 7
b, c, 且

20.( 本 小 题 满 12 分 ) 在 △ ABC 中 , 角 A , B , C 的 对 边 分 别 为 a,

(2 a? c)cos B ? b cosC , b=2.
(Ⅰ)求角B的大小; (Ⅱ)求AB+BC的取值范围 21.( 本 小 题 满 分 12 分 ) 设 数 列

?an ?

的 前

n 项 和 为 Sn . 已 知

a1 ? 1 , s n ?1 ?

n ?2 1 2 s n ? n 2 ? n ? , n ? N* . n 3 3

(Ⅰ) 求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ) 证明:对一切正整数 n ,有

1

a1

?
1

1

a2
?

?

1

a3
?

???
3

1

an

?

5 3

(III) 设 n 为一切正整数,试比较

2

a1

a2

a3

???

n an

与3的大小.

请考生从第(22)、(23)两题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目。如果多做, 则按所做的第一个题目计分,解答时请写清题号。 22. (本小题满分 10 分) 在四边形ABCD中, A,B是两个定点, C,D是动 点, AB= 3 , BC=CD=DA=1,
2 2



的面积分别为S和T.求S

2

+T

2

的最大值,

并求S +T 取得最大值时, ?BCD 的度数. 23. (本小题满分 10 分)设 a ? 0, b ? 0 ,且 a ? b ? (ⅰ)证明: a ? b ? 2 ; (ⅱ) a ? a ? 2 ,求 b ? b 的取值范围.
2 2

1 1 ? . a b

4

湖北省武汉市部分重点中学2015-2016学年度下学期高 一期中考试 数学试题(理科)参考答案与评分标准

一、 二、 13.3

选择题:1—12 填空题: 14.

AABD

BADB

CABB

74 5

15.7

16. ①④⑤

三、解答题: 17.(Ⅰ)解:当 x<0时,f(x)=x(x+4); ……………2分 又? f(-x)=f(x), x>0, -x<0 ,? f(x)=f(-x)=-x(-x+4)= x(x-4). ……4分 于是? f(x )

?

?

x 2 ? 4x ,x ?0, x 2 ? 4x , x ?0.

……………6 分

(Ⅱ)由 f(x)=5得 x=5,或 x=-5, ? 由图象知 f(x) <5的解集为 x ? ?5,5 9分

?

?

, ……………

? 由 - 5 <x+1<5, 得 - 6 <x<4,

?

f(x+1)<











x ? ? ?6,4 ?

.……………12分

18.解:在△ABC 中,∠DAC=30°, ∠ADC=60°-∠DAC=30°, 所以 CD=AC=0.1 又∠BCD=180°-60°-60°=60°, 故 CB 是△CAD 底边 AD 的中垂线,所以 BD=BA, 在△ABC 中, ……5 分

AB AC ? sin ?BCA sin ?ABC
……………9分

AC sin 60? 3 2 ? 6 ? , 即 AB ? sin15? 20
因此, BD ?

3 2? 6 ? 0.33km。 20
……………… 12 分

故 B,D 的距离约为 0.33km。

19.解:(Ⅰ)? an=2an-1+3an-2, (n ? 3).∴ an ? 3an ?1 ? ? an ?1 ? 3an ? 2 分, 又 a1=5,,a2=2,? a2 ? 3a1 ? ?13, ∴ an ? 3an ?1 数列.

?

?

……1

?

?

是首项为-13,公比为-1的等比

5



an ? 3an ?1 ? ?13 ? ? ?1?

n ?2

? 13 ? ? ?1?

n ?1

an ? an ?1 ? 3 ? an ?1 ? an ? 2 ?



①…………3分 同理 ,? an=2an-1+3an-2, (n ? 3).∴ an ? an ?1 ? 3 an ?1 ? an ? 2 ,? a2 ?

?

?

a1 ? 7,


an ? an ?1 ? 7 ? 3n ?2
②, ① + 3 ② , 得

… …………… 5分

4an ?
.…………6 分

1? ? ? 3

n ?1

?

1 n ?1 ?

7, ?

∴ 3

an ?

n ?1 13 7 ? ? ?1? ? ? 3n ?1 4 4

( Ⅱ ) 由 ( Ⅰ ) , 得

an ? an ?1 ? 7 ? 3n ?2 ,

∴ bn ?

2n ? 1 ? 7

? 2n

? 1? ? 3n ?1

,……………7分

S n ? 1 ? 30 ? 3 ? 31 ? 5 ? 32 ? ? ? ? ? 2n ? 1? ? 3n ?1 ,③
3S n ? 3 ? 30 ? 5 ? 31 ? ? ? ? ? 2n ? 3 ? ? 3n ?1 ? ? 2n ? 1? ? 3n
………8分 ③-④,得 .④ ……

?2S n ? 1 ? 2 31 ? 32 ? ?? ? 3n ?1 ? ? 2n ? 1? ? 3n 1 ? 3 1 ? 3n ?1 ? ? 2n ? 1? ? 3n
n = 1 ? 3 ? 2n ? 2 ? 3

?

?



?

?

?

?

, .

……………11分 ………………12 分

n ∴Sn ? 1 ? n ? 1 x3

?

?

20.解:(Ⅰ)? 2a ? c cosB ? b cosC,? 2 sinA ? sinC cosB ? sinB cosC 又 2 sinA cosB ? sin B ? C …………6 分 (Ⅱ)? B ?

?

?

?

?



?

?

? sinA,sinA ? 0, ∴ ? cosB ?

1 ? ,? B ? . 2 3

?
5

,? b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cosb ? a2 ? c 2 ? ac ? 4
,当且仅当 a=c 时取等号.

4 ? a 2 ? c 2 ? ac ? 2ac ? ac ? ac

6

? ?a ? c ? ? 4 ? 3ac ? 16,? a ? c ? 4. 又 a ? c ? 2,? 2 ? a ? c ? 4,
2

即 AB+BC ? (2,4]. 12 分 21. 【解析】 (Ⅰ) 依题意, 2 S1 ? a2 ?

………………

1 2 ? 1 ? ,又 S1 ? a1 ? 1 ,所以 a2 ? 4 ; 3 3
,?

? s n ?1 ?

n ?2 1 2 sn ? n 2 ? n ? n 3 3

S n ?1 Sn 1 ? ? , ?n ? 1? ?n ? 2? n ?n ? 1? 3
……………

{ ? 2分

Sn }是首项为1/2,公差为1/3的 等差数列, n ? n ? 1?
n ? n ? 1? ? 2n ? 1?
6

?

Sn 1 1 2n ? 1 = ? ? n ? 1? ? 6 n ? n ? 1? 2 3
n ? n ? 1? ? 2n ? 1?
6

, Sn ?



S n ?1 ?

?n

? 2?

2 , an ? S n ? S n ?1 ? n n ? 2

?

?



当 n=1 时, a1 ? 1 也成立.

an ? n 2 ,n ? N ? .
分 ( Ⅱ ) 当 n=1 时 , 结 论 成 立 , 当 n ? 2 时 , n 2 ?

………4

n2 ?

? 1 1? ? 1? ? ?n ? ? ?n ? ? , 4 2? ? 2? ?
……………

an ?

1

n

2

?

1 ? 1? ? 1? ?n ? 2 ? ?n ? 2 ? ? ?? ?



1 1 n ? 2

?

1 1 n+ 2



6分

1

a1


?

1

a2
1

?

1

a3

???

1

an
1 ?

=?
k ?1

n

1

k2
? 1 1 ? 1 ? ? ? 1 3 n ? 2 ? 2

1+?
k ?2

n

k

2

? 1?

? ?k k
?2

n

? ?

1 2

?

1 k ?

1 2

?

5 1 ? 3 n ?

1 2

?

5 3

……

…8分 (Ⅲ) 当 n ? 1 时,

1 ? 1 ? 3 ;当 n ? 2 时, a1
7

2 k k 1 2 2 ? 2 ? ? ? ? ak k k k k k k? k k k ?1 k ? k ?1

?

?

?

?

?

k ? k ?1 k k ?1

?



1

k ?1

?

1

k



……………

10分

1

a1
=1 ?

?

2

a2

?

3

a3

???

n an

k ?2

?

n

n ? 1 ? k 1 ? 1 ? ? 1 ? 2 ? ……………12 ? ? ? ? 1 ? 2 ?1 ? ? ? 3 . 2 k k ?2 ? k ? 1 k? n? ?

22.【解析】连结BD,过点C,作CH ? BD 于H,设BD=2x,则BH=HD= x ,

BC ? CD ? 1 ? x 2 ,
2

3 ?1 ? x ? 1. 2

……………2分

T

2

?1 ? ? ? BD ? CE ? ? x 2 1 ? x 2 ? x2 ? x4 , ?2 ?

?

?

……………4分

S

2

?1 ? 3 ? ? AB ? AD sinA ? ? 1 ? cos2 A 4 ?2 ?

2

?

?

= ?x

4

? 2x 2 ?

1 . 4
2

……………6 分

? S ?T
2

2

1 ? ?x ? 2x ? ? x 2 ? x 4 4
4 2

=

? 3? 7 ?2 ? x 2 ? ? ? 4? 8 ?
且 仅



3 ?1 ? x ? 1. 2





x2 ?

3 , S2 ? T2 4

?

?

max

?

7 8,

……………8分

此时, 2x ?

BD ? 3, BC ? CD ? 1,?BCD ? 120?

……………10分

23.【解析】(Ⅰ)证明:由 a ? b ? 由 基 本 不 等 式 及

1 1 a?b ? ? , a ? 0, b ? 0 ,得 ab ? 1 a b ab
ab ? 1
, 有

a ? b ? 2 ab ? 2





a ? b ? 2.

……………5分

8

(Ⅱ)因为得 ab ? 1 ,? b ? 得 0 ? a ? 1 ;从而 b ? 1, ∴b ? b ? b ?
2

1

a

,a ? 0,且 a 2 ? a ? 2 ,

?

1 2

?

2

?

1 9 1 ? ? ? 2 , 4 4 4
……………

b2 ? b ? ? ?2, ?? ? ,b ? 1 时取等号.
10分

9


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