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2012-2013学年度第二学期明德衡民中学高一数学竞赛试题

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2012 2013 学年度明德衡民中学高一数学竞赛试题 (时量:120 分钟 满分:100 分) 得分 评卷人 一、选择题: (本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分。在 每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的) 题号 答案 1 2 3 4 5 6 1,3,5?, P ? M ? N ,则 P 的子集共有 (1)已知集合 M ? ?0,1

,2,3,4?, N ? ? (A) 2 个 (2)函数的 y ? 3 log3 x (B) 4 个 图象是 (C) 6 个 (D) 8 个 y 1 y 1 1 y 1 1 y 1 1 O x O x O x O (D) 3 1 x (A) (B) (C) (3)如图 1 是某几何体的三视图,则此几何体的体积为 (A) 6 (C) ? ? (B) 9 (D) ? ? 6 3 图1 a?b ? 10 ,则 b ? (4)已知向量 a , b 夹角为 4 5 , a ? 1 且 2 (A) 2 (B) 6 (C) 2 2 (D) 3 2 (5)设函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) ? cos(? x ? ? )(? ? 0, ? ? ? ) 的最小正周期为 ? ,且满足 2 f (? x) ? f ( x) ,则 (A) f ( x) 在 (0, (C) f ( x) 在 (0, ? ? 2 2 ) 单调递减 ) 单调递增 ) 单调递减 4 ? 3? ) 单调递增 (D) f ( x) 在 ( , 4 4 4 (B) f ( x) 在 ( ? 3? , ? (6)在等腰 Rt△ ABC 中,?C ? 90 , 现沿斜边 AB 上的高 CD 折成直二面角 A ? CD ? B , 那么得到的二面角 C ? AB ? D 的余弦值为 (A) 2 2 (B) 2 3 (C) 3 3 (D) 6 3 高一数学竞赛 第 1 页 (共 1 页) 得分 评卷人 二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 6 分,共 30 分。把 正确答案填在题中横线上) (7)已知长、宽、高分别为 3,4,5 的长方体内接于球(顶点都在球面上) ,则此球的表面积 是_______. (8)三棱锥 A ? BCD 中, E , F 分别是 AC, BD 的中点,若 CD ? 4, AB ? 2 ,且 EF ? AB, 则 EF 与 CD 所成的角为_______. (9)已知直线 l : x ? y ? 3 ? 0 被圆 C : ( x ? a) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 截得的弦长为 2 2 , 则 a 的值 为 . . (10)若直线 x ? m y ? m ? 0 与 m x ? (2m ? 3) y ? 1 ? 0 互相垂直,则 m 的值为 (11) 关于 x 的方程 4 ? x2 ? k ( x ? 2) ? 3 有两个不等实根, 则实数 k 的取值范围是_______. 三、解答题: (本大题共 4 小题,其中第 12-14 小题各 8 分,第 15 小题 10 分, 共 34 分。解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤) 得分 评卷人 (12) (本小题满分 8 分) 如图 2 , P 为菱形 ABCD 所在平面外一点, PA ? 平面 ABCD , 求证: PC ? BD . P D A 图2 C B 高一数学竞赛 第 2 页 (共 2 页) 得分

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