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2.2.3(4)线面、面面平行的性质


新课引入:
线面平行的判定定理解决了判定线面 平行的问题(即所需条件);反之,在直 线与平面平行的条件下,会得到什么结论?

思考:
(1)如果一条直线和一个平面平行,那么这条 直线和这个平面内的直线有怎样的位置关系?
a
a b α

b α

(2)已知直线 a∥平面α,如

何在平面α 内找出和直线 a 平行的一条直线?

思考:
(2)已知直线 a∥平面α,如何在平面α 内找出和直线 a 平行的一条直线?
β a b α

因为直线a与平面α内直线b的位置关系不是 平行就是异面,所以只要a与b在一个平面内, 就能保证a//b。

思考:
已知 : a // ? , a ? ? , ? ? ? ? b 求证: a // b

证明: ? ? ? ? ? b ,? b ? ? 又 ? a // ? ? a 与 b 无公共点 又 ? a ? ? ,b ? ? ? a // b

线面平行的性质定理: 一条直线和一个平面平行,则过这条直线 的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

l // ? ,l ? ? , ? ? ? ? m
? l / /m
简记为: “线面平行,则线线平行” α

β
l

m

作用:判定直线与直线平行的重要依据。 关键: 寻找平面与平面的交线。

例题讲解:
例1 如图所示的一块木料中,棱BC平行于面A'C'. ⑴要经过面A'C'内的一点P和棱BC 将木料锯开, 应怎样画线? 解: ⑴如图,在平面A'C'内,
分别交 过点P作直线EF//B'C', 棱A'B'、C'D'于点E、F,

D' A' D E

F P
B'

C'

连结BE、CF,

下面证明EF、BE、 A CF为应画的线.

C B

例1 如图所示的一块木料中,棱BC平行于面A'C'. ⑴要经过面内的一点P和棱BC将木料锯开,应 怎样画线? 解: ⑴ D' BC//B'C' BC//EF EF//B'C' EF、BE、CF共面. A A' D E F

P
B'

C'

C B

则EF、BE、CF为应画的线.

例1 如图所示的一块木料中,棱BC平行于面A'C'. ⑴要经过面内的一点P和棱BC将木料锯开,应 怎样画线? ⑵所画的线与平面AC是什么位置关系?

解: 由⑴,得 EF//BC, ⑵ EF//BC
EF//面AC BE、CF都与面相交. 线面平行 线线平行 A

D' A' D E

F P
B'

C'

C B

线面平行

例2.已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这
个平面,求证:另一条也平行于这个平面. 且a//b,// ? , a , b ? ? , 已知:直线a、b,平面?, a 求证: b//?

a
过a作辅助平面?, 提示: 且 ? ?? ? c
?

b

例2.已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这
个平面,求证:另一条也平行于这个平面. 且a//b,// ? , a , b ? ? , 已知:直线a、b,平面?, a 求证: b//? 且 证明:过a作平面?, ? ? ? ? c 性质定理 a // ?
a ? ?
? ?? ? c

a
?

b
c

? a // c ? b // c
a // b
b ??

?

? b // ?

c ??

线面平行

线线平行

判定定理 线面平行

如果两个平面平行,那么一平 面中的直线与另一平面内的直线有什 么位置关系?

例3 如图,已知平面α,β,γ,满足α//β,α∩γ=a, β∩γ=b,求证:a//b。 γ β α b 证明: ? α ? γ ? a , β ? γ ? b ,
? a ? α,b ? β。 ? α / /β ,

所以a,b没有公共点 a
? a, b ? γ, ? a / /b 。

平面与平面平行的性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交, 那么它们的交线平行 符号表示:

? ? α ? γ ? a ? ? a//b β ? γ ? b? ? α//β

面面平行→线线平行

例4 已知:如图α//β,AB//CD,且 求证:AB=CD
A ? α, C ? α, B ? β, D ? β

证明:因为AB//CD,所以过 AB,CD可作平面γ,且平面γ与平面 α和β分别相交AC和BD 因为α//β, 所以BD//AC 因此,四边形ABCD是平行四边形 所以AB=CD

A

C

B

D

作业本:课本62页5、6、8 练习册

下列结论是否正确? 1. 若两个平面互相平行,则其中一个平面 中的直线必平行于另一个平面; 2. 平行于同一平面的两平面平行;

3. 过平面外一点有且只有一个平面与这个平 面平行;
4. 夹在两平行平面间的平行线段相等。


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