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[教案精品]新课标高中数学人教A版必修二全册教案3.1.2两条直线平行与垂直的判定

时间:2011-07-12


3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
(一)教学目标 1.知识与技能 理解并掌握两条直线平行与垂直的条件,会运用条件判定两直线是否平行或垂直. 2.过程与方法 通过探究两直线平行或垂直的条件, 培养学生运用正确知识解决新问题的能力, 以及数 形结合能力. 3.情感、态度与价值观 通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究, 培养学生的成功意识, 合作交流的学习方 式,激发学

生的学习兴趣. (二)教学重点、难点 重点:两条直线平行和垂直的条件. 难点:启发学生,把研究两条直线的平行或垂直问题,转化为研究两条直线的斜率的关 系问题. (三)教学方法 尝试指导与合作交流相结合,通过提出问题,观察实例,引导学生理解掌握两条直线平 行与垂直的判定方法. 教学环节 教学内容 上一节课,我们已经学习了直 线的倾斜角和斜率的概念,而且知 道,可以用倾斜角和斜率来表示直 线相对于 x 轴的倾斜程度,并推导 出了斜率的坐标计算公式.现在,我 们来研究能否通过两条直线的斜率 来判断两条直线的平行或垂直. 1.特殊情况下,两条直线平行 与垂直. 两条直线中有一条直线没有斜 率, (1)当另一条直线的斜率也不 存在时, 两直线的倾斜角都为 90°, 它们互相平行; (2)当另一条直线 的斜率为 0 时,一条直线的倾斜角 为 90°,另一条直线的倾斜角为 0° ,两直线互相垂直. 师生互动 设计意图

复习引入

由 学生 回忆上 节课 内 容,再由老师引入新课.

设置情境 引入新课

概念形成

由学生讨论得出答案

概念深化

2.两条直线的斜率都存在时, 两直线的平行与垂直. 设直线 l1 和 l2 的斜率分别为 k1 和 k2.我们知道,两条直线的平行或 借助计算机,让学生通 垂直是由两条直线的方向决定的, 过度量,感知 α1 , α 2 的关系. 而两条直线的方向又是由直线的倾 斜角或斜率决定的,所以我们下面 要研究的问题是:两条互相平行或

通过 斜率相等 判定两直 线平行, 是 通过代数 方法得到 几何结论, 体现了用

垂直的直线,它们的斜率有什么关 系? 首先研究两条直线互相平行 (不重合) 的情形.如果 l1∥l2 (图) , 那么它们的倾斜角相等; 1 = a2(借 a . 助计算机,让学生通过度量,感知 a1,a2 的关系) ∴tga1 = tga2. 即 k1 = k2.

代数方法 研究几何 问题的思 想.

反过来,如果两条直线的斜率 相等:即 k1 = k2,那么 tga1 = tga2. 由于 0°≤a1<180°,0°≤a <180°, ∴a1 = a2 又∵两条直线不重合, ∴l1∥l2. 结论:两条直线都有斜率而且 不重合,如果它们平行,那么它们 的斜率相等;反之,如果它们的斜 率相等,那么它们平行,即 l1 ∥ l2 ? k1 = k2. 注意:上面的等价是在两条直 线不重合且斜率存在的前提下才成 ........ 立的,缺少这个前提,结论并不成 立.即如果 k1 = k2 那么一定有 l1∥l2; 反之则不一定. 下面我们研究两条直线垂直的 情形. 如果 l1⊥l2,这时 α1 ≠ a2 ,否则

借助计算机,让学生通 两直线平行. 过度量, 感知 k1, 2 的关系, k 设 α 2 < α1 (图)甲图的特征是 并使 l1(或 l2)转动起来,但 l1 与 l2 的交点在 x 轴上方; 乙图的特 仍保持 l1⊥l2,观察 k1,k2 征是 l1 与 l2 的交点在 x 轴下方;丙 的关系,得到猜想,再加以 图的特征是 l1 与 l2 的交点在 x 轴上, 验证,可使 α1 为锐角,钝角 无论哪种情况下都有 等. α1 = 90 + α 2 . 因为 l1、2 的斜率分别是 k1、 2, l k

通 过 计算机的 演示, 培养 学生的观 察、猜想, 归纳的数 学思想方 法.

即 α1 ≠ 90 ,所以 α 2 ≠ 0o . ∴ tgα1 = tg (90 + α 2 ) = ? 即 k1 = ?
1 . tgα1

1 或 k1k2 = –1, k2 1 即 k1·k2 k2

反过来,如果 k1 = ?

= –1 不失一般性,设 k1<0. k2>0, 那么 tgα1 = ?
1 = tg (90o + α 2 ) . tgα 2

可以推出 a1 = 90°+ α 2 . l1⊥l2. 结论:两条直线都有斜率,如 果它们互相垂直,那么它们的斜率 互为负倒数;反之,如果它们的斜 率互为负倒数, 那么它们互相垂直, 即 l1 ⊥ l2 ? k1 = ?
1 ? k1 k2 = ?1 k2

注意:结论成立的条件,即如 果 k1·k2 = –1,那么一定有 l1⊥l2; 反之则不一定. 借助计算机作图,使学 生通过观察猜想: BA∥PQ, 再通过计算机加以验证. (图 略) 例 1 解:直线 BA 的 斜率 k1 = (3 – 0)/(2 – (–4)) = 0.5, 直线 PQ 的斜率 k2 = (2 – 1)/( –1 – (–3)) = 0.5, 因为 k1 = k2 = 0.5, 所以直线 BA∥PQ. 借助计算机作图,使学 生通过观察猜想:四边形 ABCD 是平行四边形,再通 过计算加以验证. 例 2 解:直线 BA 的 斜率 k1 = (3 – 0)/(2 – (–4)) =

例 1 已知 A (2,3),B (–4,0),P (– 3,1) ,Q(–1,2) ,试判断直 线 BA 与 PQ 的位置关系, 并证明你 的结论. 应用举例

通 过 例题的讲 解, 使学生 进一步理 解掌握直 线平行与 垂直的条 件.

例 2 已知四边形 ABCD 的四个 顶点分别为 A(0,0),B (2, –1),C

(4,2), (2,3), D 试判断四边形 ABCD 的形状,并给出证明.

例 3 已知 A(–6,0),B (3,6),P (0,3),Q (–2,6),试判断直线 AB 与 PQ 的位置关系. 例 4 已知 A(5, –1), (1,1), B C (2,3),试判断三角形 ABC 的形状. 分析:借助计算机作图,通过 观察猜想:三角形 ABC 是直角三角 形, 其中 AB⊥BC, 再通过计算加以 验证.(图略) 课堂练习 P94 练习 1、2. (1) 两条直线平行或垂直的真 实等价条件; (2)应用条件,判定两条直线 平行或垂直. (3)应用直线平行的条件,判 定三点共线. 见习案 3.1 的第二课时

0.5, 直线 PQ 的斜率 k2 = (2 – 1)/( –1 – (–3)) = 0.5, 因为 k1 = k2 = 0.5, 所以 直线 BA∥PQ. 例 3 解:直线 AB 的 斜率 k1 = (6 – 0)/ (3 – (–6)) = 2/3, 直线 PQ 的斜率 k2 = (6 – 3) (–2 – 0) = 3/2, 因为 k1·k2 = –1,所以 AB⊥PQ.

归纳总结

由学生归纳,教师再补 充完善.

培 养 学生的概 括能力

课后作业

由学生独立完成

巩固深化 新学知识

备选例题
例 1 试确定 M 的值,使过点 A(m + 1,0),B(–5,m)的直线与过点 C(–4,3),D(0,5) 的直线平行. 【解析】由题意得:
k AB = m?0 m 5?3 1 = , kCD = = ?5 ? (m + 1) ?6 ? m 0 ? (?4) 2

由于 AB∥CD,即 kAB = kCD, 所以
m 1 = ,所以 m = –2. ?6 ? m 2

例 2 已知长方形 ABCD 的三个顶点的坐标分别为 A (0,1),B (1,0),C (3,2),求第 四个顶点 D 的坐标. 【解析】设第四个顶点 D 的坐标为(x,y) 因为 AD⊥CD,AD∥BC 所以 kAD·kCD = –1,且 kAD = kBC
? y ?1 y ? 2 ? x ? 0 , x ? 3 = ?1 ? 所以 ? , ? y ?1 , 2 ? 0 ? x ? 0 3 ?1 ?
?x = 0 ?x = 2 解得 ? (舍去), ? . ?y =1 ?y = 3

所以第四个顶点 D 的坐标为(2,3). 例 3 已知定点 A(–1,3),B(4,2),以 A、B 为直径的端点,作圆与 x 轴有交点 C,求 交点 C 的坐标.

【解析】以线段 AB 为直径的圆与 x 轴交点为 C. 则 AC⊥BC,设 C (x,0) 则 k AC = 所以
?3 ?2 , k BC = x +1 x?4

?3 ?2 ? = ?1 x +1 x ? 4

所以 x = 1 或 2,所以 C (1,0)或(2,0)


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