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江苏省运河中学2014-2015学年高一上学期第二次月考数学试卷


江苏省运河中学 2014-2015 学年高一上学期第二次月考数学试卷
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡相应的位 置上). 1. (5 分)cos600°的值为.

2. (5 分)化简

+





=.

>2

3. (5 分)设扇形的半径长为 8cm,面积为 4cm ,则扇形的圆心角的弧度数是. 4. (5 分) =.

5. (5 分)下列四个命题: (1)两个单位向量一定相等 (2)若 与 不共线,则 与 都是非零向量 (3)零向量没有方向 (4)两个相等的向量起点、终点一定都相同 正确的有: (填序号)

6. (5 分)函数

最小正周期为

,其中 ω>0,则 ω=.

7. (5 分)cos(75°+α)= ,且 α 为第三象限角,则 sin(α﹣105°)=.

8. (5 分)要得到函数 y=sin(2x﹣

)的图象,可将函数 y=sin2x 的图象向右平移个单位.

9. (5 分)函数

的定义域为.

10. (5 分)函数

的单调递减区间是.

11. (5 分)已知向量 向量 的式子为.

,用

表示

12. (5 分)设 ω>0,若函数 f(x)=2sinωx 在上单调递增,则 ω 的取值范围是. 13. (5 分)将函数 的图象向左平移 φ(φ>0)个单位,得到的图象对

应的函数为 f(x) ,若 f(x)为奇函数,则 φ 的最小值为. 14. (5 分)给出下列命题: ①存在实数 α,使 sinα?cosα=1; ②函数 ③ 是偶函数; 图象关于 对称;

④若 α、β 是第一象限的角,且 α>β,则 sinα>sinβ; 其中正确命题的序号是.

二、解答题(本大题共 6 个小题,共 90 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (14 分)若角 θ 的终边过点 P(4a,﹣3a) , (a≠0) ,求 sinθ 和 cosθ 的值.

16. (14 分)已知点 A(2,3) ,B(5,4) ,C(10,8) ,若 何值时: (1)点 P 在直线 y=x 上? (2)点 P 在第二象限内? 17. (15 分)已知 sinα,cosα 是方程 4x +2 (1)sinα﹣cosα 的值; (2)sin α+cos α 的值.
3 3 2

=



(λ∈R) ,求当 λ 为

x+m=0 的两实根,求

18. (15 分)在△ AOB 中,已知点 O(0,0) ,A(0,5) ,B(4,3) , AD 与 BC 交于点 M,求点 M 的坐标. 19. (16 分)函数 f(x)=Asin(ωx+?) (A>0,ω>0,|?|< (1)求其解析式. (2)求 f(x)的单调递增区间. (3)求 f(x)在区间 上的最大值和最小值.

=



=



)的一段图象(如图所示)

20. (16 分)已知:函数 f(x)=sinx﹣cos x+a. (1)求函数 f(x)的最值; (2)当 a 为何值时,方程 f(x)=0 在区间上的单调递增区间.

2

江苏省运河中学 2014-2015 学年高一上学期第二次月考 数学试卷
参考答案与试题解析

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡相应的位 置上). 1. (5 分)cos600°的值为﹣ .

考点: 运用诱导公式化简求值. 专题: 计算题;三角函数的求值. 分析: 利用余弦函数的诱导公式 cos(k?360°﹣α)=cosα 即可求得 cos600°的值. 解答: 解:cos600°=cos(720°﹣120°)=cos(2×360°﹣120°)=cos(﹣120°)=cos120°=﹣ , 故答案为:﹣ . 点评: 本题考查运用诱导公式化简求值,考查运算求解能力,属于基础题.

2. (5 分)化简

+





= .

考点: 向量加减混合运算及其几何意义. 专题: 计算题. 分析: 要求的式子即 ( 得结果. 解答: 解: 故答案为: . + ﹣ ﹣ = ﹣( + )= ﹣ = , + )﹣﹣( + ) ,利用 + = , + = ,求

点评: 本题考查两个向量的加减法的法则,以及其几何意义,利用了 + = .

+

=



3. (5 分)设扇形的半径长为 8cm,面积为 4cm ,则扇形的圆心角的弧度数是 .

2

考点: 扇形面积公式. 专题: 计算题. 分析: 扇形的圆心角的弧度数为 α,半径为 r,弧长为 l,面积为 s,由面积公式和弧长公 式可得到关于 l 和 r 的方程,进而得到答案. 解答: 解:由扇形的面积公式得:S= 因为扇形的半径长为 8cm,面积为 4cm 所以扇形的弧长 l=1. 设扇形的圆心角的弧度数为 α, 由扇形的弧长公式得:l=|α|R,且 R=8 所以扇形的圆心角的弧度数是 故答案 为: . 点评: 本题考查弧度的定义、扇形的面积公式,属基本运算的考查.
2



4. (5 分)

=﹣sin4.

考点: 同角三角函数基本关系的运用. 专题: 三角函数的求值. 分析: 原式被开方数利用同角三角函数间的基本关系及完全 平方公式变形,计算即可得 到结果. 解答: 解:∵4>π,∴sin4<0, 则原式= =|sin4|=﹣sin4.

故答案为:﹣sin4 点评: 此题考查了同角三角函数间基本关系的运用,熟练掌握基本关系是解本题的关键. 5. (5 分)下列四个命题: (1)两个单位向量一定相等 (2)若 与 不共线,则 与 都是非零向量 (3)零向量没有方向 (4)两个相等的向量起点、终点一定都相同 正确的有: (2) (填序号)

考点: 专题: 分析: 解答:

平行向量与共线向量;相等向量与相反向量. 阅读型;平面向量及应用. 直接由单位向量、零向量、向量相等和向量共线的概念逐一核对四个命题得答案. 解:∵两个单位向量的方向可以不同,∴两个单位向量不一定相等, (1)错误;

若两个向量 与 中至少有一个零向量,则 与 共线,∴若 与 不共线,则 与 都是非零 向量, (2)正确; 零向量的方向是任意的,∴零向量没有方向的说法错误, (3)错误; 向量可以任意平移,∴两个相等的向量起点、终点都一定都相同, (4)错误; 故答案为: (2) . 点评: 本题考查向量的基本概念、考查平行向量、相等向量和相反向量的概念,大小和方 向是向量的两个要素,分别是向量的代数特征和几何特征,该题是基础的概念题.

6. (5 分)函数

最小正周期为

,其中 ω>0,则 ω=6.

考点: 三角函数的周期性及其求法. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: 利用余弦函数的周期公式 T= 解答: 解:∵f(x)=cos(ωx﹣ ∴T= = , = , 即可求得 f(x)=cos(ωx﹣ ,且 ω>0, )中的 ω.

)的最小正周期为

∴ω=6. 故答案为:6. 点评: 本题考查三角函数的周期性及其求法,属于基础题.

7. (5 分)cos(75°+α)= ,且 α 为第三象限角,则 sin(α﹣105°)=



考点: 运用诱导公式化简求值. 分析: 由 cos(75°+α)的值,根据 α 为第三象限角,利用同角三角函数间的基本关系求 出 sin(75°+α)的值,原式角度变形后,利用诱导公式化简将 sin(75°+α)的值代入计算即 可求出值. 解答: 解:∵cos(75°+α)= ,且 α 为第三象限角, ∴sin(75°+α)=﹣ =﹣ . ,

则 sin(α﹣105°)=sin=﹣sin=﹣sin(75°+α)= 故答案为:

点评: 此题考查了运用诱导公式化简求值,熟练掌握诱导公式是解本题的关键.

8. (5 分)要得到函数 y=sin(2x﹣ 位.

)的图象,可将函数 y=sin2x 的图象向右平移

个单

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 根据把函数 y=sin2x 的图象向右平移 从而得出结论. 解答: 解:由于函数 y=sin(2x﹣ 个单位, 可得函数 y=sin(2x﹣ 故答案为 . )的图象, )=sin2(x﹣ ) ,故把函数 y=sin2x 的图象向右平移 个单位, 可得函数 y=sin2 (x﹣ ) 的图象,

点评: 本题主要考查函数 y=Asin(ωx+?)的图象变换规律,属于中档题. 9. (5 分)函数 的定义域为 , (k∈Z) .

考点: 正弦函数的定义域和值域. 专题: 计算题. 分析: 依题意可得 2sinx﹣1≥0 即 sinx≥ ,解不等式可得 解答: 解:由题意可得 2sinx﹣1≥0?sinx≥

故答案为:

点评: 本题考查了函数定义域的求解, 三角不等式的解法, 解三角不等式的常用方法是借 助于单位圆中的三角函数线进行求解,试题较易. 的单调递减区间是(k∈Z) .

10. (5 分)函数

考点: 正弦函数的单调性. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由复合函数的单调性只需求 y=sin(x﹣ ﹣ ≤x﹣ ≤2kπ+ 可得答案. =﹣sin(x﹣ ) , )的单调递增区间即可,解不等式 2kπ

解答: 解:变形可得 由复合函数的单调性只需求 y=sin(x﹣ 由 2kπ﹣ ≤x﹣ ≤2kπ+ 可得 2kπ﹣

)的单调递增区间即可, ≤x≤2kπ+ ,

∴所求单调区间为(k∈Z) 故答案为: (k∈Z) 点评: 本题考查三角函数的单调性,涉及复合函数的单调性,属基础题.

11. (5 分)已知向量 向量 的式子为 .

,用

表示

考点: 平面向量的基本定理及其意义;平面向量的坐标运算. 分析: 利用平面向量的基本定理,列出方程组求解即可. 解答: 解:由平面向量的基本定理可知: =x 可得: (7,﹣4)=x(3,﹣2)+y(﹣2,1) , 可得 , ,

解得



∴ 故答案为:

. .

点评: 本题考查平面向量基本定理的应用,基本知识的考查.

12. (5 分)设 ω>0,若函数 f(x)=2sinωx 在上单调递增,则 ω 的取值范围是



考点: 正弦函数的单调性. 专题: 数形结合. 分析: 由三角函数的图象:知在上是单调增函数,结合题意得 取值范围. 解答: 解:由三角函数 f(x)=2sinωx 的图象: 知在上是单调增函数, 结合题意得 从而 故答案为: , ,即为 ω 的取值范围. . ,从而求出 ω 的

点评: 本题主要考查三角函数的单调性, 本题巧妙地运用了正弦函数的单调性, 给出了简 捷的计算,解题时应注意把数形结合思想的灵活应用.

13. (5 分)将函数

的图象向左平移 φ(φ>0)个单位,得到的图象对 .

应的函数为 f(x) ,若 f(x)为奇函数,则 φ 的最小值为

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由条件利用函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,可得 f(x)=sin(2x+2φ﹣ 再根据正弦函数是奇函数,可得 2φ﹣ 解答: 解:将函数 y=sin(2x﹣ =kπ,k∈z,由此求得 φ 的最小正值. ) ,

)的图象向左平移 φ(φ>0)个单位,

得到的图象对应的函数为 f(x)=sin=sin(2x+2φ﹣ 若 f(x)为奇函数,则有 2φ﹣ ∴φ 的最小正值为 故答案为: . ,

) , ,

=kπ,k∈z,即 φ= kπ+

点评: 本题主要考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数的奇偶性,属于基 础题. 14. (5 分)给出下列命题: ①存在实数 α,使 sinα?cosα=1; ②函数 ③ 是偶函数; 图象关于 对称;

④若 α、β 是第一象限的角,且 α>β,则 sinα>sinβ; 其中正确命题的序号是②③. 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 简易逻辑. 分析: 利用二倍角公式化简函数的不等式,通过函数的值域判断①的正误;利用诱导公 式化简函数,然后判断函数的奇偶性即可判断②的正误;利用函数是否为 0,判断③的正 误;利用特例判断④的正误. 解答: 解:对于①,y=sinα?cosα= sin2α 正确; 对于②,函数 对于③, =﹣cosx,是偶函数,所以②正确; 当 x=﹣ 时, 对称,所以③ ,存在实数 α,使 sinα?cosα=1,所以①不

,函数的图象关于

正确; ④若 α、β 是第一象限的角,且 α>β,利用 α=360°,β=30°,则 sinα<sinβ;所以④不正确; 故答案为 :②③. 点评: 本题考查三角函数的基本性质,对称性,函数的最值,函数的奇偶性以及单调性的 应用,考查命题的真假的判断,基本知识的考查. 二、解答题(本大题共 6 个小题,共 90 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (14 分)若角 θ 的终边过点 P(4a,﹣3a), (a≠0) ,求 sinθ 和 cosθ 的值. 考点: 任意角的三角函数的定义.

专题: 计算题. 分析: 由题意可得 x=4a,y=﹣3a,r=5|a|,当 a>0 时,r=5a,当 a<0 时,r=﹣5a,代入 三角函数的定义进行运算,综合两者可得答案. 解答: 解:∵:∵角 θ 的终边过点 P(4a,﹣3a) (a≠0) , ∴x=﹣4a,y=3a,r=5|a|.

点评: 本题考查任意角的三角函数的定义, 两点间的距离公式的应用, 体现了分类讨论的 数学思想.本题解题的关键是求出 r 值,首先用绝对值来表示.

16. (14 分)已知点 A(2,3) ,B(5,4) ,C(10,8) ,若 何值时: (1)点 P 在直线 y=x 上? (2)点 P 在第二象限内?

=



(λ∈R) ,求当 λ 为

考点: 向量在几何中的应用. 专题: 平面向量及应用;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 利用向量的关系,求出 P 的坐标, (1)通过点在直线上,求出 λ 的值. (2)利用点在第二象限,横坐标小于 0 纵坐标大于 0,求出 λ 的范围即可. 解答: 解:设点 P 的坐标为(x,y)所以 ,

由 得:

所以有(x﹣2,y﹣3)=(3,1)+λ(8,5)

(1)由点 P 在直线 y=x 上 则有 5+8λ=4+5λ,

即当

时点 P 在直线 y=x 上.

(2)当







时,点 P 在第二象限内.

点评: 本题考查向量与解析几何相结合的题目,难度不大,考查基本知识的应用. 17. (15 分)已知 sinα,cosα 是方程 4x +2 (1)sinα﹣cosα 的值; (2)sin α+cos α 的值. 考点: 三角函数的化简求值. 专题: 函数的性质及应用;三角函数的求值. 分析: (1)由韦达定理得 sinα+cosα 的值,可求 sinαcosα 的值,即可解得 sinα﹣cosα 的 值; (2)由立方和公式即可求 sin α+cos α 的值. 解答: 解: (1)∵ ∴由韦达定理得 ∴解得
2 3 3 3 3 2

x+m=0 的两实根,求

的两根, , ,
2

由(sinα+cosα) +(sinα﹣cosα) =2, ∴ ∴
3 3

, …(8 分)
2 2

(2)sin α+cos α=(sinα+cosα) (sin α﹣sinαcosα+cos α) = …1 (5 分)

点评: 本题主要考察了三角函数的化简求值, 要求熟练记忆和应用相关公式, 属于基本知 识的考查. 18. (15 分)在△ AOB 中,已知点 O(0,0) ,A(0,5) ,B(4,3) , AD 与 BC 交于点 M,求点 M 的坐标. 考点: 平面向量的坐标运算;平行向量与共线向量. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 根据向量线性运算坐标公式,算出 C(0, ) 、 (2, ) ,从而算出直线 BC、AD 的方程,最后联解所得方程,即可得到 AD 与 BC 交点 M 的坐标. 解答: 解:∵O(0,0) ,A(0,5) , = ,

=



=



∴设点 C(x1,y1) ,可得(x1,y1)= (0,5) ,

解之得 x1=0,y1= ,即 C(0, ) 同理,可得点 D 坐标为(2, ) 由此可得直线 AD 方程为 = ,化简得 y=﹣ x+5…①

同理,可得直线 BC 方程为 y= 联解①②,得 x= ,y=2,

x+ …②

即 AD 与 BC 交点 M 的坐标为(

,2)

点评: 本题给出平面坐标系中向量满足的等式,求直线 AD 与 BC 交 点 M 的坐标.着重 考查了平面向量的线性运算的坐标表示、直线的方程与位置关系等知识,属于基础题.

19. (16 分)函数 f(x)=Asin(ωx+?) (A>0,ω>0,|?|< (1)求其解析式. (2)求 f(x)的单调递增区间. (3)求 f(x)在区间 上的最大值和最小值.

)的一段图象(如图所示)

考点: 正弦函数的单调性;由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;三角函数的最 值. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)根据三角函数的图象即可求其解析式. (2)利用三角函数的单调性即可求 f(x)的单调递增区间. (3)结合三角函数的单调性和最值之间的关系即可求 f(x)在区间 值和最小值. 解答: 解: (1)设函数 f(x)的周期为 T, 则由图知 T= ∴ ∴f(x)=Asin(2x+?) ,∴T=π 上的最大

将点( ∴ ∴φ= ∵|?|< ∴φ=

)代入得 sin(2× =2kπk∈Z k∈Z

+?)=0,

∴f(x)=Asin(2x+ 将点(0, )代入得

) =Asin ,∴A=2

∴f(x)=2sin(2x+

) ) ,

(2)由 f(x)=2sin(2x+ 函数的单调增区间满足 即 函数的单调增区间为 (3)∵ ∴ ∴ 当 当 时 时 f(x)max=2 ,



故 f(x)在区间

上的最大值为 2 最小值为



点评: 本题主要考查三角函数解析式的求解, 以及三角函数性质定义域, 要求熟练掌握三 角函数的图象和性质. 20. (16 分)已知:函数 f(x)=sinx﹣cos x+a. (1)求函数 f(x)的最值; (2)当 a 为何值时,方程 f(x)=0 在区间上的单调递增区间. 考点: 三角函数的最值;正弦函数的单调性.
2

专题 : 三角函数的图像与性质. 分析: (1) 首先, 化简函数解析式得到 f (x) ═ , 然后, 结合 sinx∈

进行求解; 2 2 (2)换元法,得到 t +t+a﹣1=0 在区间(﹣1,1)上有一解令 g(t)=t +t+a﹣1,从而有 或△ =0,然后,求解即可; (3)结合三角函数的单调性求解单调区间即可. 解答: 解(1)由 f(x)=sinx﹣cos x+a=sinx﹣(1﹣sin x)+a= ∵sinx∈, 所以当 sinx=1 时 f(x)max=1+a, 当 时 .
2 2



∴函数 f(x)的最大值为 a+1,最小值为 (2)由 f(x)=0, 2 ∴sinx﹣cos x+a=0, 2 ∴sinx﹣(1﹣sin x)+a=0, 令 t=sinx,∵x∈, 要使方程 f(x)=0 在区间, ∴t∈, ∴ 当 在 时, , 而 t=sinx 在 所以当 当 时, 而 t=sinx 在 增, ∴f(x)在 上单调递减,在 时 f(x)单调递增,

上单调递减,在

上单调递增

上单调递增,

时单调递

上单调递增. .

综上函数 f(x)在区间上的单调递增区间为 点评: 本题重点考查了三角函数的图象与性质、三角恒等变换等知识,属于中档题.


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