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1.2.1集合间的基本关系

时间:2017-09-24


实例分析
1、高一(14)班66位同学组成集合B,其中 男同学组成集合A。 显然,集合A是集合B的一部分,因此有: 若a?A,则a? B。 2、所有的正方形都是矩形。若用M表示正方形 组成的集合,用P表示矩形组成的集合, 显然,集合M是集合P的一部分,因此有: 若a?M,则a? P。 3、所有的自然数都是整数。 显然,集合N是集合Z的一部分,因此有: 若a?N,则a?Z。

抽象概括
1、 一般地,对于两个集合A与B,如果 集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素, 即若a?A,则a? B,就说集合A包含于集合B, 或集合B包含集合A,记作 我们把不含任何元素的集合叫做 A?B(或B?A). ,符号记为 ? 这时就说集合空集 A是集合 B 的子集。 例如:方程x2+1=0没有实数根, 2、任何一个集合都是它本身的子集,即 A? A 所以方程x2+1=0的实数根组成
的集合为?

3、对于集合A、B、C,如果A?B,B?C, 则A?C 4、规定:空集是任何集合的子集。即 ??A

练习:

设A={正方形}, B={矩形}, C={平行四边形}, D={梯形}.下列关系不正确的是( C )
A A? B C. C ? D B. B ? C D. A ? C

C

B

A

D

子集的特点: 判别A是B的子集的条件
如果 A? B ,则A必须符合以下条件: ① A中的元素都是B中的元素 ② card(A) ≤ card(B)

结论:
① 空集是任何集合的子集 (规定) ② 任何集合都是自己的子集

Venn图

A

B
B?A

R

Q
Q?R

A(B)
A? A

两个集合相等
4、对于两个集合A与B,如果集合A中的任 何一个元素都是集合B中的元素,同时集合 B中的任何一个元素都是集合A中的元素, 这时就说集合A与集合B相等,记作A=B.

真子集:如果集合 A ? B ,但存在元素 x ? B ,且 x ? A , 则称集合A是集合B的真子集,记作A ? B(或B ? ? ? A) 真子集的特点: 判别A是B的真子集的条件 如果A ? B,则A必须符合以下条件 ?

① A ? B ,即A中的元素必须在B内
② card(A) < card(B)

结论
空集是任何非空集合的真子集

真子集:对于两个集合A与B,如果 A?B,并且A?B,就说集合A是集合B的真 子集,记作 A ? B 或( B ? A ) ? ? 练习:将下列集合用最恰当的符号联结起来: (1)集合{1,2,3}与{0,1,2,3} ; (2)集合N+、Q、Z、 N与 R; (3)集合 {x|x2-1=0}与{-1,1} .

答案:(1) {1,2,3} ? ? {0,1,2,3} ? Z? Q? R (2) N+ ? N ? ? ? ?
(3) {x|x2-1=0}={-1,1}

6、当集合A不包含于集合B,或集合B不 包含集合A时,记作 A ? B ( 或 B ? A )

例如: (1)集合A={1,3,6} ,B={2,8,9} ,则 A ? B (2)集合A={1,2,3},B= {1,2,5},则 A ? B (3)集合A={x|x?9} ,B= {x|x ?6} ,则 A ? B (4)集合A= {x|x<8},B= {x|x ?2},则 A ? B

B

A

B
x

A

-1

6

.

9

.

-1

.

2

。 8

x

例2、写出集合{a,b,c}的所有子集,并指出其 中哪些是它的真子集。 解: {a,b,c}的所有子集是:?;?a?; ?b?; ?c?; ?a,b?; ?a,c?; ?b,c?; ?a,b,c?. 除了?a,b,c?外,其余7个集合都是它的真子集。
思维发散:分别写出含有1个、2个、 3个、4个、5个……元素的集合的所 有子集,并探讨其子集的个数与集 合中元素的个数之间是否存在某种 联系?真子集的个数呢?

集合与元素的关系
属于

?
实数

不属于 ? 集合与集合的关系

包含
真包含 相等

?
? ?

?
? ?





<

>

?

=

练习:用恰当的符号填空 ① a__ ? {a , b , c } ② 0__ ? { x | x 2 ? 0} ? {{1,2},{3,4},{5,2}} ③ {1,2}__ ④ ?__ ? {?} ⑤ ?__ ? { x ? R | x 2 ? 1 ? 0} ? ⑥ {0,1}__ ? N ? ⑦ {0}__ ? { x | x 2 ? x} 2 ? ⑧ {2,1}__{ x | x ? 3 x ? 2 ? 0}

课堂练习 1.教材P.7 T 1,2,3
② ?∈{? } ③ {0} ? φ ④0 ? φ⑤ φ≠{0} ⑥φ={φ},其中正确的序 号是: ①②③④⑤

2.以下六个关系式:① ??{? }

典型例题

注意对空集的讨论,集合相等

2、根据已知条件, (1)已知 A ? x | x2 ? 1 ,B ? ?x | ax ? 1? ,若B ? A ,

?

?

?2?.已 知A ? {x | ?2 ? x ? 5}, B ? {x / x ? a},
B ? A, 求 实 数 a的 取 值 范 围 .

求a的值

,B ? ?x / a ? 1 ? x ? 2a ? 1?, (3).已知 A ? ?x / ? 2 ? x ? 5?


B ? A ,求实数a的取值范围

典型例题:

?a, b? ? M ? ?a,b, c, d,e, f ? 1.求满足
的所有集合 M?

?a, b? ? ? ? 2.求满足 M ? a , b , c , d ? ?
的所有集合 M?

9 ? 9 ? 例2:A ? ?x ? N | ? N ?, B ? ? ? N | x? N? 9? x ?9 ? x ?


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