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《简单的线性规划问题》教案


《简单的线性规划问题》教案 何琴
一,教学目标: 知识与技能: 1、了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数。 2、培养学生“建模”和解决实际问题的能力。 过程与方法: 培养学生分析和解决问题的能力,发展学生数学应用意识,力求对现实世界 中蕴含的一些数学模式进行思考和作出判断。 情感态度与价值观: 让学生体验数学来源于生活,服务于生活,体验应用数学的快乐。 教学重点和难

点: 经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程,提高数学建 模能力和意识。 一、 引入新课:

10.22

1、元旦联欢会,需要甲、乙两种不同的气球来布置班级,要求甲、乙两种气球的比例 为 2:3,且它们的和不小于 30 只,不多于 60 只。若甲种气球每只 0.5 元,乙种气球每只 0.3 元,问应买甲、乙两种气球各多少只,才能使花费最省? 设甲种气球需 x 只,乙种气球需 y 只,总的费用 z 由题意得

z ? 0.5 x ? 0.3 y

x 2 ? ? ? y 3 ? x 、 y 满足的条件为: ? 30 ? x ? y ? 60 ? x ? N, y? N ? ?
由(1)得 18 ? y ? 36,12 ? x ? 24

? 当 x ? 12, y ? 18 时 zmin ? 0.5 ? 12 ? 0.3 ? 18 ? 11.4 元
进一步提出新问题:

2、为使联欢会上的气氛更有节日感,有人提出再做一个“中国结”,经研究发现做“中 国结”需要甲、乙两种彩绳,并需将其截成 A、B、C 三种规格的彩绳段,其中每根甲种彩绳 可同时截得 A 规格的彩绳段 2 根,B 规格的彩绳段 1 根,C 规格的彩绳段 1 根,每根乙种彩 绳可同时截得 A 规格的彩绳段 1 根,B 规格的彩绳段 2 根,C 规格的彩绳段 3 根。一个“中 国结”共需要 A 规格的彩绳段 15 根,B 规格的彩绳段 18 根,C 规格的彩绳段 27 根,若甲绳 每根 8 元,乙绳每根 6 元,问应买甲、乙两种彩绳各多少根,才能使花费最省 甲种彩绳 A 规格 B 规格 C 规格 2 1 1 乙种彩绳 1 2 3 所需条数 15 18 27

解:需甲种彩绳 x 根、乙种彩绳 y 根,总花费为 z ,由题意得

z ? 8x ? 6 y

? 2 x ? y ? 15 ? x ? 2 y ? 18 ? x 、 y 满足的条件为: ? (1) x ? 3 y ? 27 ? ? ?x ? N, y ? N
二、线性规划的有关概念: ①线性约束条件:在上述问题中,不等式组(1)是一组变量 x , y 的约束条件,这组 约束条件都是关于 x , y 的一次不等式,所以又称为线性约束条件. ②目标函数: 我们把要求最大值的函数 z ? 8 x ? 6 y 称为目标函数 (objective function) , 又因这里的 z ? 8 x ? 6 y 是关于 x , y 的一次解析式,所以又称为线性目标函数 (linear objectives). ③线性规划问题:一般的,在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值的问 题,统称为线性规划(linear program)问题. 例题 1. 1、央视为改版后的《非常 6+1》栏目播放两套宣传片.其中宣传片甲播映时间为 3 分 30 秒,广告时间为 30 秒,收视观众为 60 万,宣传片乙播映时间为 1 分钟,广告时 间为 1 分钟,收视观众为 20 万.广告公司规定每周至少有 3.5 分钟广告,而电视台每 周只能为该栏目宣传片提供不多于 16 分钟的节目时间. 电视台每周应播映两套宣传片 各多少次,才能使得收视观众最多?试建立此问题的线性规划模 分析:将已知数据列成下表 播放片甲 片集时间(min) 广告时间(min) 收视观众(万) 3.5 0.5 60 播放片乙 1 1 20 ≥3.5 节目要求 ≤16

解:设电视台每周应播映片甲 x 次, 片乙 y 次,总收视观众为 z 万人. 由题意得:总收视观众为 z ? 60x ? 20 y

? 4 x ? 2 y ? 16 ? x 、 y 满足的条件为: ?0.5 x ? y ? 3.5 ? x ? 0, y ? 0 ?

x ? N, y ? N

练习: 某工厂用两种不同原料均可生产同一产品,若采用甲种原料,每吨成本 1000 元,运费 500 元,可得产品 90 千克;若采用乙种原料,每吨成本为 1500 元,运费 400 元,可 得产品 100 千克,如果每月原料的总成本不超过 6000 元,运费不超过 2000 元,那么 此工厂每月最多可生产多少千克产品?试建立此问题的线性规划模型 分析:将已知数据列成下表 甲原料(吨) 成本 运费 产品 1000 500 90 乙原料(吨) 1500 400 100 费用限额 6000 2000

解:设此工厂每月甲、乙两种原料各 x 吨、y 吨,生产 z 千克产品,则:

z ? 90x ? 100y

?x ? 0 ?y ? 0 ? x 、 y 满足的条件为: ? ?1000x ? 1500y ? 6000 ? ?500x ? 400y ? 2000
四、思考问题: 私人办学市教育发展的方向,某人准备投资 1200 万元兴办一所完全中学,为了考虑社 会效益和经济效益,对该地区教育市场进行调查,得出一组数据表(以班级为单位): 班级学生数 初中 高中 50 40 配备教师数 2.0 2.5 硬件建设 (万元) 教师年薪 (万元) 20 70 2.4 3.6

根据物价部门的有关文件,初中是义务教育阶段,收费标准适当控制。预计出书本费、办 公费以外每个学生每年 2000 元,高中每个学生每年可收取 4000 元,因生源和环境条件限 制,办学规模以 20 至 30 个班为宜,教师实行聘任制。初、高中的教育周期均为三年,请 你合理安排招生计划,使年利润最大。 五,小结 1. 线性规划约束条件,目标函数,可行域。

2. 求目标函数的最值得方法。 3. 解决简单的线性规划问题。


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