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北京市西城区2016届高三一模文科数学试卷 Word版含解析

时间:2016-05-07


北京市西城区 2016 届高三一模文科数学试卷
一、单选题 1.设集合 ,集合 D. ,则 ( )

A. B. C. 【知识点】集合的运算 【试题解析】 故答案为:B 【答案】B 2.设命题 p: A. C. B. D.

所以



,则

p 为(

r />)

【知识点】全称量词与存在性量词 【试题解析】因为特称命题的否定是全称命题, p 为: 。

故答案为:A 【答案】A 3.如果 是定义在 上的奇函数,那么下列函数中,一定为偶函数的是( A. B. C. D.



【知识点】函数的奇偶性 【试题解析】因为奇函数乘以奇函数为偶函数,y=x 是奇函数,故 是偶函数。 故答案为:B 【答案】B 4.下面茎叶图表示的是甲、 乙两个篮球队在 3 次不同比赛中的得分情况, 其中有一个数字模 糊不清,在图中以 m 表示.若甲队的平均得分不低于乙队的平均得分,那么 m 的可能取值集 合为( )

A. B. C. 【知识点】样本的数据特征茎叶图 【试题解析】由题知: 所以 m 可以取:0,1,2. 故答案为:C

D.

【答案】C 5.在平面直角坐标系 中,向量 =( 1,2), =(2,m),若 O,A,B 三点能构成

三角形,则( ) A. B. C. D. 【知识点】平面向量坐标运算 【试题解析】若 O,A,B 三点能构成三角形,则 O,A,B 三点不共线。 若 O,A,B 三点共线,有:-m=4,m=-4. 故要使 O,A,B 三点不共线,则 。 故答案为:B 【答案】B 6.执行如图所示的程序框图,若输入的 分别为 0,1,则输出的 (



A.4 B.16 C.27 D.36 【知识点】算法和程序框图 【试题解析】A=0,S=1,k=1,A=1,S=1,否;k=3,A=4,S=4,否;k=5,A=9,S=36,是, 则输出的 36。 故答案为:D 【答案】D 7.设函数 , 则 “ ” 是 “函数 在 上存在零点” 的 ( )

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【知识点】零点与方程 【试题解析】因为 所以若 , 在 上存在零点,则 则函数 在 上存在零点;

反过来,若函数

则 故不一定 。 故答案为:A 【答案】A 8.在某校冬季长跑活动中,学校要给获得一、二等奖的学生购买奖品,要求花费总额不得超 过 200 元.已知一等奖和二等奖奖品的单价分别为 20 元、10 元,一等奖人数与二等奖人数 的比值不得高于 , 且获得一等奖的人数不能少于 2 人, 那么下列说法中错误的是 ( )

A.最多可以购买 4 份一等奖奖品 B.最多可以购买 16 份二等奖奖品 C.购买奖品至少要花费 100 元 D.共有 20 种不同的购买奖品方案 【知识点】线性规划 【试题解析】设购买一、二等奖奖品份数分别为 x,y,

则根据题意有:

,作可行域为:

A(2,6),B(4,12),C(2,16).在可行域内的整数点有: (2,6) , (2,7) ,??. (2,16) , (3,9) , (3,10) ,??. .(3,14),(4,12),共 11+6+1=18 个。 其中,x 最大为 4,y 最大为 16. 最少要购买 2 份一等奖奖品,6 份二等奖奖品,所以最少要花费 100 元。 所以 A、B、C 正确,D 错误。 故答案为:D 【答案】D 二、填空题

9.在复平面内,复数



对应的点关于虚轴对称,且

,则

____.

【知识点】复数乘除和乘方 【试题解析】由题知: 所以 故答案为:-2 【答案】-2 10.在△ABC 中, , , ,则 _____.

【知识点】余弦定理同角三角函数的基本关系式 【试题解析】因为 所以

又因为

解得:

再由余弦定理得: 故答案为:2 【答案】2

11.若圆

与双曲线 C:

的渐近线相切,则

_____;双曲线

C 的渐近线方程是____. 【知识点】圆的标准方程与一般方程双曲线 【试题解析】双曲线的渐近线方程为: 圆 的圆心为(2,0) ,半径为 1.

因为相切,所以

所以双曲线 C 的渐近线方程是:

故答案为:



【答案】



12.一个棱长为 2 的正方体,被一个平面截去一部分后,所得几何体的三视图如图所示,则 该几何体的体积为________.

【知识点】空间几何体的三视图与直观图 【试题解析】正方体 则截面为 即截去一个三棱锥 所以该几何体的体积为: 故答案为: 【答案】 13.有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色的涂料,且三个房间的颜 色各不相同.三个房间的粉刷面积和三种颜色的涂料费用如下表: 其体积为: 中,BC 中点为 E,CD 中点为 F,

那么在所有不同的粉刷方案中,最低的涂料总费用是 _______元. 【知识点】函数模型及其应用 【试题解析】显然,面积大的房间用费用低的涂料,所以房间 A 用涂料 1,房间 B 用涂料 3, 房间 C 用涂料 2,即最低的涂料总费用是 元。 故答案为:1464 【答案】1464

14.设函数



______;若





则 的大小关系是______. 【知识点】函数图象分段函数,抽象函数与复合函数

【试题解析】

,因为

,所以

又若 所以: 。

,结合图像知:

故答案为: , 【答案】 , 三、解答题 15.设函数 (Ⅰ)求函数 (Ⅱ)求函数 的最小正周期; 在 上的最大值与最小值. .

【知识点】三角函数的图像与性质恒等变换综合 【试题解析】 (Ⅰ)因为

. 所以函数 的最小正周期为 . .

(Ⅱ)由(Ⅰ) ,得 因为 所以 所以 所以 , , . .

且当 当

时, 时,

取到最大值 取到最小值

; .

【答案】见解析 16.已知等差数列 (Ⅰ)求数列 (Ⅱ)设 的公差 的通项公式; ,记数列 前 n 项的乘积为 ,求 的最大值. , , .

【知识点】等差数列 【试题解析】 (Ⅰ)由题意,得

解得 所以



(舍) . . . . 的最大值. . ,

(Ⅱ)由(Ⅰ) ,得 所以 所以只需求出 由(Ⅰ) ,得 因为 所以当 所以 ,或 的最大值为 时,

取到最大值 .



【答案】见解析

17.如图,在四棱柱 (Ⅰ)求证: (Ⅱ)求证: (Ⅲ)若 平面 ; ,判断直线 ;

中,

底面









与平面

是否垂直?并说明理由.

【知识点】垂直平行 【试题解析】 (Ⅰ)证明:因为 , 平面 , 平面 ,

所以 因为 所以 又因为 所以平面 又因为 所以

平面 , 平面 ,

. 平面 . , 平面 ,

平面 平面 平面 . 底面 ,



(Ⅱ)证明:因为 所以 又因为 所以 又因为 所以 . , 平面 底面 . .



底面







(Ⅲ)结论:直线 证明:假设 由 由棱柱 可得 又因为 所以 所以 又因为 平面 . , 平面

与平面 平面 ,得 中, , , , ,

不垂直.

. 底面 ,



所以 所以 这与四边形 故直线

平面 .



为矩形,且 与平面 不垂直.

矛盾,

【答案】见解析 18.某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试, 现从中随机抽取 40 名学生的测试成 绩,整理数据并按分数段 , , , , , 进行分 组, 假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替, 则得到体育成绩的折线图 (如下) .

(Ⅰ)体育成绩大于或等于 70 分的学生常被称为“体育良好” .已知该校高一年级有 1000 名学生,试估计高一年级中“体育良好”的学生人数; (Ⅱ)为分析学生平时的体育活动情况,现从体育成绩在 和 的样本学生中随 机抽取 2 人,求在抽取的 2 名学生中,至少有 1 人体育成绩在 的概率; (Ⅲ) 假设甲、 乙、 丙三人的体育成绩分别为 ,且分别在 , , 三组中,其中 .当数据 的方差 最大时,写出 的值. (结论不 要求证明) (注: ,其中 为数据 的平均数)

【知识点】样本的数据特征古典概型 【试题解析】 (Ⅰ)由折线图,知样本中体育成绩大于或等于 70 分的学生有 所以该校高一年级学生中, “体育良好”的学生人数大约有

人,

人. ( Ⅱ ) 设 , “ 至 少 有 1 人 体 育 成 绩 在 ” 为 事 件

记体育成绩在

的数据为



,体育成绩在

的数据为



, , .

, ,

则从这两组数据中随机抽取 2 个,所有可能的结果有 10 种,它们是: , 而事件 , , , , , , , , , ,

的结果有 7 种, 它们是: ,





因此事件

的概率

. , , .

(Ⅲ)a,b,c 的值分别是为 【答案】见解析

19.已知椭圆



的长轴长为



为坐标原点.

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程和离心率; (Ⅱ) 设动直线 与 y 轴相交于点 的最小值. 【知识点】圆锥曲线综合椭圆 【试题解析】 (Ⅰ)因为椭圆 C: 所以 故 所以椭圆 因为 所以离心率 , , ,解得 的方程为 , . , .

, 点

关于直线 的对称点

在椭圆

上, 求



(Ⅱ)由题意,直线 的斜率存在,设点 则线段 的中点 的坐标为 ,



且直线

的斜率



由点

关于直线 的对称点为

,得直线 ,



故直线 的斜率为

,且过点

所以直线 的方程为:





,得

,则





,得



化简,得



所以



当且仅当

,即

时等号成立.

所以

的最小值为



【答案】见解析

20.已知函数 (Ⅰ)求 的解析式;

,且



(Ⅱ)若对于任意 (Ⅲ)证明:函数

,都有 的图象在直线

,求

的最小值; 的下方.

【知识点】导数的综合运用利用导数研究函数的单调性 【试题解析】 (Ⅰ)对 求导,得 所以 ,解得 ,



所以 (Ⅱ)由 因为 所以对于任意 设

. ,得 , ,都有 ,则 . . 的变化情况如下表: . ,

令 ,解得 当 x 变化时, 与

所以当

时, ,都有

. 成立,

因为对于任意 所以 所以 . 的最小值为

. 的图象在直线 ” , , . ,即 时, , (当且仅当 即可. 时等号成立) . 的下方”

(Ⅲ)证明: “函数 等价于“ 即要证 所以只要证 由(Ⅱ) ,得 所以只要证明当 设 所以 令 由 所以 所以 故函数 . , ,解得 ,得 . ,所以 ,即

在 .

上为增函数.

的图象在直线

的下方.

【答案】见解析


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