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柯西不等式的证明及相关应用

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柯西不等式的证明及相关应用 摘要:柯西不等式是高中数学新课程的一个新增内容,也是高中数学的一个重要知识点,它不仅历史悠久,形式优 美,结构巧妙,也是证明命题、研究最值问题的一个强有力的工具。 关键词:柯西不等式 柯西不等式变形式 一、柯西(Cauchy)不等式: 最值 ?a1b1 ? a2b2 ??? anbn ?2 ? ?a12 ? a22 ??? an2 ??b12 ? b

22 ??? bn2 ? ?ai , bi ? R, i ? 1,2?n? 等号当且仅当 a1 ? a2 ? ? ? an ? 0 或 bi ? kai 时成立(k 为常数, i ? 1,2? n ) 现将它的证明介绍如下: 方法 1 证明:构造二次函数 2 2 2 f ( x) ? ?a1x ? b1 ? ? ?a2 x ? b2 ? ? ?? ?an x ? bn ? 2 2 2 2 2 = a1 ? a2 ??? an x2 ? 2?a1b1 ? a2b2 ??? anbn ?x ? b12 ? b2 ??? bn ? ? ? ? 由构造知 又 f ?x ? ? 0 恒成立 n ? an ?0 2 a12 ? a2 ? 2 2 2 2 ?? ? 4?a1b1 ? a2b2 ??? anbn ? ? 4 a12 ? a2 ??? an b12 ? b2 ??? bn ?0 2 2 2 2 2 2 即 ?a1b1 ? a2b2 ??? anbn ? ? a1 ? a2 ??? an b12 ? b2 ??? bn 2 ? ?? ? ? ?? ? 当且仅当 ai x ? bi ? 0?i ? 1,2?n? 方法 2 证明:数学归纳法 左式= ? a1b1 ? 显然 当n ? 2时 2 即 a1 a2 ? ? b1 b2 ? an 时等号成立 bn (1) 当 n ? 1 时 右式= ? a1b1 ? 2 左式=右式 右式 ? a1 ? a2 2 2 ? 2 ??b 2 1 2 ? b2 ? ? ? a1b1 ? ? ? a2b2 ? ? a22b12 ? a12b22 2 2 2 2 ? ? a1b1 ? ? ? a2b2 ? ? 2a1a2b1b2 ? ? a1b2 ? a2b2 ? ? 左式 故 n ? 1, 2 时 不等式成立 (2)假设 n ? k ? k ??, k ? 2? 时,不等式成立 2 2 2 2 即 ?a1b1 ? a2b2 ??? ak bk ? ? a1 ? a2 ??? ak b12 ? b2 ??? bk2 2 ? ?? ? 当 bi ? mai ,m 为常数, i ? 1,2? k 或 a1 ? a2 ? 1 ? ak ? 0 时等号成立 设 A= a1 ? a2 ? ? ? ak 2 2 2 2 B= b12 ? b2 ? ? ? bk2 C ? a1b 1? a b 2 ? 2 ? ak bk ? AB ? C 2 2 2 2 2 2 2 则 A ? ak ?1 B ? bk ?1 ? AB ? Ab k ?1 ? Bak ?1 ? ak ?1bk ?1 2 2 ? C 2 ? 2Cak ?1bk ?1 ? ak ?1bk ?1 ? ? C ? ak ?1bk ?1 ? 2 ? ? a12 ? a2 ? 2 2 2 2 ? ak ? ak ?1 ?? b1 ? b2 ? 2 ? ?? ? ? bk2 ? bk2?1 ? ? ? a1b1 ?

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利用柯西不等式证明不等式

应用柯西不等式证明竞赛... 3页 免费 3.6 柯西、排序不等式及... 20页 免费...2,利用柯西不等式证明不等式 柯西( Cauchy )不等式:设 a1 , a2 , ???an...

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(? , ? )(? , ? ) 四.应用: 柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据,我们在教学 中应给予极大的重视,技巧以拆常数,凑常...

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柯西不等式的九种证法_数学_自然科学_专业资料。龙源期刊网 http://www.qikan...[2]张勇华.柯西不等式证明及其在最值问题中的应用.上海中学数学,2003(6). (...

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