nbhkdz.com冰点文库

柯西不等式的证明及相关应用

时间:


柯西不等式的证明及相关应用 摘要:柯西不等式是高中数学新课程的一个新增内容,也是高中数学的一个重要知识点,它不仅历史悠久,形式优 美,结构巧妙,也是证明命题、研究最值问题的一个强有力的工具。 关键词:柯西不等式 柯西不等式变形式 一、柯西(Cauchy)不等式: 最值 ?a1b1 ? a2b2 ??? anbn ?2 ? ?a12 ? a22 ??? an2 ??b12 ? b22 ??? bn2 ? ?ai , bi ? R, i ? 1,2?n? 等号当且仅当 a1 ? a2 ? ? ? an ? 0 或 bi ? kai 时成立(k 为常数, i ? 1,2? n ) 现将它的证明介绍如下: 方法 1 证明:构造二次函数 2 2 2 f ( x) ? ?a1x ? b1 ? ? ?a2 x ? b2 ? ? ?? ?an x ? bn ? 2 2 2 2 2 = a1 ? a2 ??? an x2 ? 2?a1b1 ? a2b2 ??? anbn ?x ? b12 ? b2 ??? bn ? ? ? ? 由构造知 又 f ?x ? ? 0 恒成立 n ? an ?0 2 a12 ? a2 ? 2 2 2 2 ?? ? 4?a1b1 ? a2b2 ??? anbn ? ? 4 a12 ? a2 ??? an b12 ? b2 ??? bn ?0 2 2 2 2 2 2 即 ?a1b1 ? a2b2 ??? anbn ? ? a1 ? a2 ??? an b12 ? b2 ??? bn 2 ? ?? ? ? ?? ? 当且仅当 ai x ? bi ? 0?i ? 1,2?n? 方法 2 证明:数学归纳法 左式= ? a1b1 ? 显然 当n ? 2时 2 即 a1 a2 ? ? b1 b2 ? an 时等号成立 bn (1) 当 n ? 1 时 右式= ? a1b1 ? 2 左式=右式 右式 ? a1 ? a2 2 2 ? 2 ??b 2 1 2 ? b2 ? ? ? a1b1 ? ? ? a2b2 ? ? a22b12 ? a12b22 2 2 2 2 ? ? a1b1 ? ? ? a2b2 ? ? 2a1a2b1b2 ? ? a1b2 ? a2b2 ? ? 左式 故 n ? 1, 2 时 不等式成立 (2)假设 n ? k ? k ??, k ? 2? 时,不等式成立 2 2 2 2 即 ?a1b1 ? a2b2 ??? ak bk ? ? a1 ? a2 ??? ak b12 ? b2 ??? bk2 2 ? ?? ? 当 bi ? mai ,m 为常数, i ? 1,2? k 或 a1 ? a2 ? 1 ? ak ? 0 时等号成立 设 A= a1 ? a2 ? ? ? ak 2 2 2 2 B= b12 ? b2 ? ? ? bk2 C ? a1b 1? a b 2 ? 2 ? ak bk ? AB ? C 2 2 2 2 2 2 2 则 A ? ak ?1 B ? bk ?1 ? AB ? Ab k ?1 ? Bak ?1 ? ak ?1bk ?1 2 2 ? C 2 ? 2Cak ?1bk ?1 ? ak ?1bk ?1 ? ? C ? ak ?1bk ?1 ? 2 ? ? a12 ? a2 ? 2 2 2 2 ? ak ? ak ?1 ?? b1 ? b2 ? 2 ? ?? ? ? bk2 ? bk2?1 ? ? ? a1b1 ?

赞助商链接

柯西不等式的证明及相关应用

柯西不等式的证明及相关应用 摘要:柯西不等式是高中数学新课程的一个新增内容,也是高中数学的一个重要知识点,它不仅历史悠久,形式优 美,结构巧妙,也是证明命题、...

柯西不等式的证明及其应用

柯西不等式的证明及其应用_理学_高等教育_教育专区。主要介绍柯西不等式的证明以及应用 柯西不等式的证明及其应用赵增林 (青海民族大学,数学学院,青海,西宁,810007) ...

柯西不等式的证明及其应用

柯西不等式的证明及其应用_数学_自然科学_专业资料。柯西不等式的证明及其应用 基础知识: 定理:如果 a1 , a2 ,……, an ; b1 , b2 ,……, bn 为两组...

柯西不等式的应用(整理篇)

b1 b2 bn 柯西不等式有许多证明方法,这里就不作证明,仅就如何利用柯西不等式解题作一些介绍。 二、柯西不等式在解题中的应用 a) 利用柯西不等式证明恒等式 利用...

归纳柯西不等式的典型应用

本文用五种不同的 :方法证明柯西不等式,介绍了如何利用柯西不等式技巧性解题,在 证明不等式或等式,解方程,解三角形相关问题,求函数最值等问题 的应用方面给出...

应用柯西不等式及其变式证明不等式

应用柯西不等式及其变式证明不等式 - 应用柯西不等式及其变式证明不等式 [摘要]柯西不等式是高等数学教学中的一个非常重要的不等式,灵活应用 它, 可使一些比较...

柯西不等式证明及应用1

柯西不等式是一个非常重要的不等式,灵活巧妙的应用它,可以使一些较为困难的问题迎刃而解。本文在证明不等式,解三角形相关问题,求函数最值,解方程等问题的应用方面...

柯西不等式的证明及应用

可以使一些较为困难的问题 迎刃而解,这个不等式结构和谐,应用灵活广泛,利用柯西不等式可处理以下问题: 1) 证明相关命题 例1. 用柯西不等式推导点到直线的距离公...

第三讲《柯西不等式的证明及应用》教案(新人教选修4-5)

可以使一些较为困难的问题 迎刃而解,这个不等式结构和谐,应用灵活广泛,利用柯西不等式可处理以下问题: 1) 证明相关命题 例1. 用柯西不等式推导点到直线的距离公...

柯西不等式的证明

柯西不等式的证明及应用(河西学院数学系 01(2)班 甘肃张掖 734000) 摘要:柯西不等式是一个非常重要的不等式,灵活巧妙的应用它,可以使一些较为困难的问 摘要 题...