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柯西不等式的证明及相关应用

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柯西不等式的证明及相关应用 摘要:柯西不等式是高中数学新课程的一个新增内容,也是高中数学的一个重要知识点,它不仅历史悠久,形式优 美,结构巧妙,也是证明命题、研究最值问题的一个强有力的工具。 关键词:柯西不等式 柯西不等式变形式 一、柯西(Cauchy)不等式: 最值 ?a1b1 ? a2b2 ??? anbn ?2 ? ?a12 ? a22 ??? an2 ??b12 ? b

22 ??? bn2 ? ?ai , bi ? R, i ? 1,2?n? 等号当且仅当 a1 ? a2 ? ? ? an ? 0 或 bi ? kai 时成立(k 为常数, i ? 1,2? n ) 现将它的证明介绍如下: 方法 1 证明:构造二次函数 2 2 2 f ( x) ? ?a1x ? b1 ? ? ?a2 x ? b2 ? ? ?? ?an x ? bn ? 2 2 2 2 2 = a1 ? a2 ??? an x2 ? 2?a1b1 ? a2b2 ??? anbn ?x ? b12 ? b2 ??? bn ? ? ? ? 由构造知 又 f ?x ? ? 0 恒成立 n ? an ?0 2 a12 ? a2 ? 2 2 2 2 ?? ? 4?a1b1 ? a2b2 ??? anbn ? ? 4 a12 ? a2 ??? an b12 ? b2 ??? bn ?0 2 2 2 2 2 2 即 ?a1b1 ? a2b2 ??? anbn ? ? a1 ? a2 ??? an b12 ? b2 ??? bn 2 ? ?? ? ? ?? ? 当且仅当 ai x ? bi ? 0?i ? 1,2?n? 方法 2 证明:数学归纳法 左式= ? a1b1 ? 显然 当n ? 2时 2 即 a1 a2 ? ? b1 b2 ? an 时等号成立 bn (1) 当 n ? 1 时 右式= ? a1b1 ? 2 左式=右式 右式 ? a1 ? a2 2 2 ? 2 ??b 2 1 2 ? b2 ? ? ? a1b1 ? ? ? a2b2 ? ? a22b12 ? a12b22 2 2 2 2 ? ? a1b1 ? ? ? a2b2 ? ? 2a1a2b1b2 ? ? a1b2 ? a2b2 ? ? 左式 故 n ? 1, 2 时 不等式成立 (2)假设 n ? k ? k ??, k ? 2? 时,不等式成立 2 2 2 2 即 ?a1b1 ? a2b2 ??? ak bk ? ? a1 ? a2 ??? ak b12 ? b2 ??? bk2 2 ? ?? ? 当 bi ? mai ,m 为常数, i ? 1,2? k 或 a1 ? a2 ? 1 ? ak ? 0 时等号成立 设 A= a1 ? a2 ? ? ? ak 2 2 2 2 B= b12 ? b2 ? ? ? bk2 C ? a1b 1? a b 2 ? 2 ? ak bk ? AB ? C 2 2 2 2 2 2 2 则 A ? ak ?1 B ? bk ?1 ? AB ? Ab k ?1 ? Bak ?1 ? ak ?1bk ?1 2 2 ? C 2 ? 2Cak ?1bk ?1 ? ak ?1bk ?1 ? ? C ? ak ?1bk ?1 ? 2 ? ? a12 ? a2 ? 2 2 2 2 ? ak ? ak ?1 ?? b1 ? b2 ? 2 ? ?? ? ? bk2 ? bk2?1 ? ? ? a1b1 ?

柯西不等式的证明及应用论文

南京师范大学泰州学院 毕业论文(设计)( 一三 届) 题 目: 柯西不等式的证明及应用 数学科学与应用学院 数学与应用数学 院(系、部) :专姓学业: 名: 号 指导...

柯西不等式的证明

柯西不等式的证明_数学_高中教育_教育专区。柯西不等式的证明及应用(河西学院数学系 01(2)班 甘肃张掖 734000) 摘要:柯西不等式是一个非常重要的不等式,灵活巧妙...

柯西不等式的证明及其应用

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柯西不等式及证明

(? , ? )(? , ? ) 四.应用: 柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据,我们在教学 中应给予极大的重视,技巧以拆常数,凑常...

柯西不等式的证明

柯西不等式的证明及应用(河西学院数学系 01(2)班 甘肃张掖 734000) 摘要:柯西不等式是一个非常重要的不等式,灵活巧妙的应用它,可以使一些较为困难的问 摘要 题...

利用柯西不等式证明不等式

应用柯西不等式证明竞赛... 3页 免费 3.6 柯西、排序不等式及... 20页 免费...2,利用柯西不等式证明不等式 柯西( Cauchy )不等式:设 a1 , a2 , ???an...

第三讲《柯西不等式的证明及应用》教案(新人教选修4-5)

可以使一些较为困难的问题 迎刃而解,这个不等式结构和谐,应用灵活广泛,利用柯西不等式可处理以下问题: 1) 证明相关命题 例1. 用柯西不等式推导点到直线的距离公...

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柯西不等式的证明与赫尔德不等式_图文

柯西不等式的证明与赫尔德不等式_数学_自然科学_专业资料。安振平的30个有趣不...柯西不等式的证明应用... 5页 免费 柯西不等式的证明 6页 1下载券 关于...

柯西不等式

并通过列举了几种类型的例子来对 柯西不等式进行应用,如在证明不等式、恒等式方面的应用以及在三角函数、解 析几何和数列等方面的应用。 通过这些例子来说明柯西不...