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2013-2014学年高中数学人教A版必修三同步辅导与检测:1.3.3算法综合问题


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算法初步

1 .3

算法案例

1.3.3算法综合问题

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1.熟悉算法的三种基本结构:顺序、条件和循环, 以及基本的算法语句. 2.能熟练运用辗转相除法与更相减损术、秦九韶算 法、进位制等典型的算法知识解决同类问题.

3.在复习旧知识的过程中把知识系统化,通过模仿、
操作、探索,经历设计程序框图表达解决问题的过程.在 具体问题的解决过程中进一步理解程序框图的三种基本逻 辑结构:顺序结构、条件结构、循环结构.

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基础梳理 1.教材为我们介绍了四个著名的算法案例,它们首 先是算法初步知识的应用,又是古代数学中算法思想的体 现,我们应把重点放在通过四个案例的算法分析、程序框 图或程序语言设计上,加深对算法思想的理解,至于它们 所含算法的应用应以简单题型训练为主.

2.辗转相除法与更相减损术本质是相同的,常用来 求两个或多个整数的公约数;秦九韶算法用以解决多项式 求解问题;各种进位制的转化基本方法是“除k取余法”. 3.除这几类问题之外,我国古代以及生活中还有许 多有名的算法案例,如:割圆术、韩信点兵、孙子问题等, 同学们若有兴趣,可搜集相关资料,了解其算法思想.
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思考应用 1.如何理解现代意义上的算法思想?其基本要求 有哪些? 解析:算法思想通常是指可以用计算机来解决某一 类问题的程序或步骤,指按照一定的步骤,一步一步去 解决某个问题的程序化思想.我们将要学习的很多知识 都可以运用算法思想,设计出程序框图,能使解答过程 一目了然.其基本要求有:①步骤有限步完成;②步骤 确定有效;③步骤有顺序.当然,一类问题的算法往往 不唯一.

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2.学习算法不但能发展同学们有条理的思考与表 达的能力,而且能提高逻辑思维能力.程序框图与算法 语句的学习中应注意哪些问题? 解析:在程序框图与算法语句的学习中应注意的问 题主要有:各种框图有其固定的格式和作用,不要乱 用.条件结构中不要忘了“是”与“否”,流程线不要 忘记画箭头,条件分支结构的方向要准确.还有,程序 或程序框图不要出现死循环(无限步的循环),进位制中, n进位制的数中不会出现大于等于n的数字,等.

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3.一些复杂的算法问题常常用到循环结构,循环 结构在算法设计、程序设计中显得尤为重要.写好一个 循环语句应注意哪些问题? 解析: 算法问题中循环结构用循环语句来实 现.应注意的是,循环结构中,计数变量要赋初值,计 数变量的自加不要忘记,自加多少不能弄错.另外计数 变量一般只负责计数任务,在程序中若对其进行调用, 需注意不要让其值发生改变(除自加以外的).循环结构 中循环的次数要严格把握,区分“<”与“<=” 等.循环变量的取值与循环结构(当型与直到型)有关, 需区分清楚.另外,同一问题用两种不同的结构解决时, 其判断条件恰是相反的.

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自测自评 1. 在赋值语句中,“N=N+1”是( C A.没有意义的 B.N与N+1相等 C.将N的原值加1再赋给N,N的值增加1 )

D.无法运行
2. 在算法当中,有时需要进行判断,判断的结果决定 后面的步骤,像这样的结构称为( B ) A.顺序结构 C.循环结构 金品质?高追求 B.条件结构 D.以上都不对 我们让你更放心!

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3.已知一个三角形的三边长分别是a,b,c,利用公 式S= p?p-a??p-b??p-c? ,其中p= a+b+c ,计算面积, 2 设计一个算法,其框图只需( B ) A.条件结构 C.循环结构 B.顺序结构 D.至少含两个结构 )

4.以下给出的各数中不可能是八进制数的是( C A.312 B.1010 C.82 D.74

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多层条件结构的嵌套 设计一个计算方程ax2+bx+c=0解的

程序框图.

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跟踪训练
1.求正数 a 平方根近似值的一种算法思路是这样的: 第一步:确定平方根的首次近似值:a1 (a1 可以任取一个正数); a 第二步:由代数式 b1= 求出 b1; a1 a1+b1 第三步:取二者的算术平均值 a2= 为第二次近似值; 2 a 第四步:由方程 b2= 求出 b2 ; a2 a2+b2 第五步:取算术平均值 a3= 作为第三次近似值; 2 ?? 反复进行上述步骤,直到获得满足误差在 0.1 以内的数为止. 请依照上述思路,画出相应的算法流程图.

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解析:流程图如下:

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确定循环的控制条件 某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投 进三分球个数如下表所示:

队员i
三分球个数

1 a1

2 a2

3 a3

4 a4

5 a5

6 a6

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如图是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分 球总数的程序框图,则图中判断框应填________,输出的 S=________.(注:框图中的赋值等号“=”也可以写成 “←”或“:=”) 解析:由题意该程序框图是求该6名队员在最近

三场比赛中投进三分球的总数.故判断框应填:i≤6?
或i<7?输出s为a1+a2+a3+a4+a5+a6. 答案:i<7?(或i≤6?)
i=1

?ai.

6

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跟踪训练 2.请将下边算法流程框图填充完整:设计计算y= x2的算法流程图,其中x=-10,-9,…,0,1,…, 9,10.

①________ x≤10? ;②x ________. =x+1 金品质?高追求 我们让你更放心!

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算法案例的分析应用 用算法语句描述:把k进制数a(共有n位) 转换为十进制数b的过程. 解析:语句为: INPUT a,k,n i=1 b=0 WHILE i<=n t=GET a[i] b=b+t*k∧(i-1) i=i+1 WEND PRINT b END 金品质?高追求 我们让你更放心!

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跟踪训练 3.三个数72,120,168的最大公约数是________. 解析:先求72与120的最大公约数,120=72×1+ 48,72=48×1+24,48=24×2,所以72与120的最大公 约数是24,24与168的最大公约数是24,所以72,120,168 的最大公约数是24. 答案:24

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误用循环语句的错解分析 编写程序求12+22+…+992+1002的值. 错解:i=1 sum=0 DO sum=sum+i∧2 i=i+1 LOOP UNTIL i>=100 PRINT sum END 金品质?高追求 我们让你更放心!

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错解分析:这是直到型循环,直到条件“i>=100”成立时, 执行循环.由程序可知,执行第一次循环时,sum=0+12,随 着循环的继续,当i的值增加到100时结束循环,但此时sum=0 +12+22+…+992,显然少执行了一次循环. 正解:把条件“i>=100”修改为“i>100”. 点评:避免以上错误的关键是对循环控制条件进行检验. 对一个循环语句的检验,不可能像执行循环体那样一次一次地 去检验.如例4,循环次数达100次,若检验循环100次是不可 取的.对循环的检验可分为两步进行:首先,检验第一次循环 能否执行,既然是一个循环,那么它至少得循环一次,所以第 一次循环必定能执行,这样就可避免类似的错误;第二步,检 验最后一次循环,如例4中,若条件为“i>=100”,则执行最后 一次循环时语句“sum=sum+i∧2”中i的值是99,显然少执行了 一次循环. 金品质?高追求 我们让你更放心!

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跟踪训练 4.用循环语句写出求1+2+22+23+…+263的 值的程序. 解析:程序如下:

i=0 S=0 WHILE i<=63 S=S+2∧I i=i+1 WEND PRINT S END
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1.算法目前考试形式主要是选择与填空,但不排 除在解答题中用到画框图和写算法语句.

2.编写程序要注意科学性与简洁性.
3.特别注意算法语言的标点使用,切不可随意添 加或省略.

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