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假期作业

时间:2015-01-20


寒假作业 1.在 三 棱 锥 S ? ABC 中 , △ ABC 是 边 长 为 4 的 正 三 角 形 , 平 面 SAC ? 平 面

ABC , S? A
的中点。

,M 、N 分别为 AB, SB S ?C2 3

(Ⅰ)证明: AC ⊥ SB ; (Ⅱ)求二面角 N - CM - B 的大小; (Ⅲ

)求点 B 到平面 CMN 的距离。

2.已知一圆经过点 A(2,-3)和 B(-2,-5) ,且圆心 C 在直线 l: x ? 2 y ? 3 ? 0 上, 求此圆的方程.

1

3. 如图 1 所示,在四面体 P—ABC 中,已知 PA=BC=6,PC=AB=10,AC=8,PB= 2 34 .F 是线段 PB 上一点, CF ?

15 34 ,点 E 在线段 AB 上,且 EF⊥PB. 17

(Ⅰ)证明:PB⊥平面 CEF; (Ⅱ)求二面角 B—CE—F 的大小.

P F E A
如图 1

B C

2 4.已知圆 C: ? x ? 1? ? y ? 9 内有一点 P(2,2) ,过点 P 作直线 l 交圆 C 于 A、B 两点. 2

(1) 当 l 经过圆心 C 时,求直线 l 的方程; (2) 当弦 AB 被点 P 平分时,写出直线 l 的方程; (3) 当直线 l 的倾斜角为 45? 时,求弦 AB 的长.

2

5.如图,在五棱锥 S—ABCDE 中,SA⊥底面 ABCDE,SA=AB=AE=2, BC ? DE ? 3 ,

?BAE ? ?BCD ? ?CDE ? 120 ?

王新敞
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S

⑴ 求异面直线 CD 与 SB 所成的角的余弦值。 ⑵ 证明:BC⊥平面 SAB; ⑶ 用三角函数值表示二面角 B—SC—D 的大小

王新敞
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A B C D

E

6.已知动点 M 到点 A(2,0)的距离是它到点 B(8,0)的距离的一半,求: (1)动点 M 的轨迹方程; (2)若 N 为线段 AM 的中点,试求点 N 的轨迹.

3

7.如图, 在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,AC ? 3, BC ? 4, AB ? 5, AA 点 D 为 AB 的 1 ?4 , 中点
王新敞
奎屯 新疆

(Ⅰ)求证 AC ? BC1 ; (Ⅱ) 求证 AC1 平面CDB1 ; (Ⅲ)求异面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值
王新敞
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C1 A1

B1

C A D

B

8.椭圆

3 x2 y 2 ,椭圆与直线 x ? 2 y ? 8 ? 0 相交于点 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 2 a b

P,Q ,且 PQ ? 10 ,求椭圆的方程.

4

9 . 如 图 : S 是 平 行 四 边 形 ABCD 平 面 外 一 点 , M , N 分 别 是 SA, BD 上 的 点 , 且

AM BN = , 求证: MN // 平面 SBC 。 SM ND

10.在平面直角坐标系 xOy 中,点 B 与点 A(-1,1)关于原点 O 对称,P 是动点, 且直线 AP

1 与 BP 的斜率之积等于 3 . ?
(Ⅰ)求动点 P 的轨迹方程; (Ⅱ)设直线 AP 和 BP 分别与直线 x=3 交于点 M,N,问:是否存在点 P 使得△PAB 与△PMN 的 面积相等?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由。

5

11.如图,PA⊥平面 ABC,AE⊥PB,AB⊥BC,AF⊥PC,PA=AB=BC=2。 (1)求证:平面 AEF⊥平面 PBC; (2)求三棱锥 P—AEF 的体积. (3)求二面角 P—BC—A 的大小。
P F E A B C

12 已知椭圆 C 经过点 A (1, ) ,两个焦点为 (?1, 0), (1, 0) . (1)求椭圆 C 的方程; (2)E、F 是椭圆 C 上的两个动点,如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数,证明直 线 EF 的斜率为定值.并求出这个定值.

3 2

6

13. 如图, 正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的底面边长是 2, 侧棱长是 3, D 是 AC 的中点.求证: B1C // 平面 A1 BD .
A1 C1

B1

C D A B

14. 设椭圆 E:

x2 y 2 ? ? 1 (a,b>0)过 M(2, 2 ) ,N( 6 ,1)两点,O 为坐标原点, a 2 b2

(I)求椭圆 E 的方程; (II)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且

OA ? OB ?若存在,写出该圆的方程,并求|AB |的取值范围,若不存在说明理由。

7

15.如图,在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,M,N,G 分别是 AA1,CD,CB,CC1 的中 点, 求证: (1)MN//B1D1 ; (2)AC1//平面 EB1D1 ; (3)平面 EB1D1//平面 BDG.

16.已知椭圆 C 的中心为直角坐标系 xOy 的原点,焦点在 s 轴上,它的一个顶点到两个焦点 的距离分别是 7 和 1. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若 P 为椭圆 C 上的动点,M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的点, 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线。

OP =λ ,求点 M OM

8

17.如图,四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC, ∠BCD=90° (1)求证:PC⊥BC (2)求点 A 到平面 PBC 的距离.

18.已知双曲线经过点 M( 6 , 6 ) . (1)如果此双曲线的右焦点为 F(3,0) ,右准线为直线 x= 1,求双曲线方程; (2)如果此双曲线的离心率 e=2,求双曲线标准方程.

9

19.如图,已知三棱锥 A-BPC 中,AP⊥PC,AC⊥BC,M 为 AB 的中点,D 为 PB 中点,且 △PMB 为正三角形. (1)求证:DM∥平面 APC; (2)求证:平面 ABC⊥平面 APC; (3)若 BC=4,AB=20,求三棱锥 D-BCM 的体积.

2 2 20.P 为椭圆 x ? y ? 1 上一点, F1 、 F2 为左右焦点,若 ?F1 PF2 ? 60? 25 9 (1)求△ F1 PF2 的面积; (2)求 P 点的坐标.

10

参考答案: 1略
2. 解:因为 A(2,-3) ,B(-2,-5), 所以线段 AB 的中点 D 的坐标为(0,-4) , 又 k AB
?5 ? (?3) 1 ,所以线段 AB 的垂直 ? ? ?2 ? 2 2
y x-2y-3=0 O A x

平分线的方程是 y ? ?2 x ? 4 .
x ? 2y ? 3 ? 0 x ? ?1 联立方程组 ? ,解得 ? . ? ? ? y ? ?2 x ? 4 ? y ? ?2
B

所以,圆心坐标为 C(-1,-2),半径 r ?| CA | ? (2 ? 1) 2 ? (?3 ? 2) 2 ? 10 , 所以,此圆的标准方程是 ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 10 3[解](I)证明:∵ PA ? AC ? 36 ? 64 ? 100 ? PC
2 2 2

∴△PAC 是以∠PAC 为直角的直角三角形,同理可证 △PAB 是以∠PAB 为直角的直角三角形,△PCB 是以∠PCB 为直角的直角三角形 故 PA⊥平面 ABC 又∵ S ?PBC ?

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1 1 | PC || BC |? ?10 ? 6 ? 30 2 2
P



1 1 15 34 | PB || CF |? ? 2 34 ? ? 30 ? S ?PBC 2 2 17

F 故 CF⊥PB,又已知 EF⊥PB E ∴PB⊥平面 CEF F1 (II)由(I)知 PB⊥CE, PA⊥平面 ABC A C ∴AB 是 PB 在平面 ABC 上的射影,故 AB⊥CE 在平面 PAB 内,过 F 作 FF1 垂直 AB 交 AB 于 F1,则 FF1⊥平面 ABC, EF1 是 EF 在平面 ABC 上的射影,∴EF⊥EC
故∠FEB 是二面角 B—CE—F 的平面角 tan ?FEB ? cot ?PBA ?
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B

AB 10 5 ? ? AP 6 3

二面角 B—CE—F 的大小为 arctan

5 . 3

2 4.解: (1)已知圆 C: ? x ? 1? ? y ? 9 的圆心为 C(1,0) ,因直线过点 P、C,所以直线 2

l 的斜率为 2,直线 l 的方程为 y ? 2( x ? 1) ,即 2 x ? y ? 2 ? 0 . (2) 当弦 AB 被点 P 平分时, l⊥PC, 直线 l 的方程为 y ? 2 ? ? ( x ? 2) , 即 x ? 2 y ? 6 ? 0 .

1 2

11

(3)当直线 l 的倾斜角为 45? 时,斜率为 1,直线 l 的方程为 y ? 2 ? x ? 2 ,即 x ? y ? 0 ,

圆心 C 到直线 l 的距离为

1 ,圆的半径为 3,弦 AB 的长为 34 . 2

5[解] (Ⅰ)连结 BE,延长 BC、ED 交于点 F,则∠DCF=∠CDF=600, ∴△CDF 为正三角形,∴CF=DF 又 BC=DE,∴BF=EF 因此,△BFE 为正三角形, ∴∠FBE=∠FCD=600,∴BE//CD 所以∠SBE(或其补角)就是异面直线 CD 与 SB 所成的角 ∵SA⊥底面 ABCDE,SA=AB=AE=2,
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S

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A D C F

E

∴SB= 2 2 ,同理 SE= 2 2 , 又∠BAE=1200,所以 BE= 2 3 ,从而,cos∠SBE=

B
6 , 4

所以异面直线 CD 与 SB 所成的角的余弦值是

6 4

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(Ⅱ) 由题意,△ABE 为等腰三角形,∠BAE=1200,∴∠ABE=300,又∠FBE =600, ∴∠ABC=900,∴BC⊥BA∵SA⊥底面 ABCDE,BC ? 底面 ABCDE, ∴SA⊥BC,又 SA ? BA=A, ∴BC⊥平面 SAB
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(Ⅲ)二面角 B-SC-D 的大小 ? ? arccos

7 82 82

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6.解: (1)设动点 M(x,y)为轨迹上任意一点,则点 M 的轨迹就是集合 P ? {M || MA | ?

1 | MB |} . 2
( x ? 2) 2 ? y 2 ? 1 ( x ? 8) 2 ? y 2 , 平 方 后 再 2

由两点距离公式,点 M 适合的条件可表示为
2 2

整理,得 x ? y ? 16 . 可以验证,这就是动点 M 的轨迹方程. (2)设动点 N 的坐标为(x,y) ,M 的坐标是(x1,y1) . 由于 A(2,0) ,且N为线段 AM 的中点,所以

x?

2 ? x1 0 ? y1 , y? .所以有 x1 ? 2 x ? 2 , y1 ? 2 y 2 2
2 2


2 2

由 (1) 题知, M 是圆 x ? y ? 16 上的点, 所以 M 坐标 (x1, y1) 满足:x1 ? y1 ? 16 ②,将①代入②整理,得 ( x ? 1) ? y ? 4 .
2 2

所以 N 的轨迹是以(1,0)为圆心,以 2 为半径的圆.

7 [解](I)直三棱柱 ABC-A1B1C1,底面三边长 AC=3,BC=4,AB=5,
12

∴ AC⊥BC,且 BC1 在平面 ABC 内的射影为 BC,∴ AC⊥BC1; (II)设 CB1 与 C1B 的交点为 E,连结 DE, ∵ D 是 AB 的中点,E 是 BC1 的中点, ∵ DE ? 平面 CDB1,AC1 ? 平面 CDB1, (III)∵ DE//AC1, 在△CED 中,ED= ∴ DE//AC1, ∴ AC1//平面 CDB1;

∴ ∠CED 为 AC1 与 B1C 所成的角, AC 1=

1 2

5 2

,CD=

1 2

AB=

5 2

,CE=

1 2

CB1=2

2,



cos ?CED ?

8 5 2?2 2 ? 2

?

2 2 5



C1 A1
E

B1

∴ 异面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值

2 2 5

C A D

B

8.解: e ?

3 c 3 ? ,则 c ? a . 2 a 2

由 c 2 ? a 2 ? b2 ,得 a 2 ? 4b 2 .
? x2 y2 , ? 2 ? 2 ?1 由 ? 4b b ? x ? 2 y ? 8 ? 0, ?

消去 x ,得 2 y 2 ? 8 y ? 16 ? b2 ? 0 . 由根与系数关系,得 y1 ? y2 ? ?4 , y1 y2 ?
2

16 ? b2 . 2

PQ ? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 ? 5( y1 ? y2 )2 ? 5[( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 ] ? 10 ,

即 5[16 ? 2(16 ? b2 )] ? 10 ,解得 b 2 ? 9 ,则 a 2 ? 36 . 所以椭圆的方程为
x2 y 2 ? ?1 36 9

9略
10 解: (1)因点 B 与(-1,1)关于原点对称,得 B 点坐标为(1,-1) 。 y ?1 y ?1 y ?1 y ?1 1 k AP ? , kBP ? ? ?? x, y ? ? x ? 1 x ? 1 x ? 1 x ? 1 3 ,[来 设 P 点坐标为 ,则 ,由题意得 源:Zxxk.Com]
2 2 化简得: x ? 3 y ? 4,( x ? ?1) 。 2 2 即 P 点轨迹为: x ? 3 y ? 4,( x ? ?1)

13

(2)因 ?APB ? ?MPN ? 180? ,可得 sin ?APB ? sin ?MPN ,
S?APB ? 1 1 PA PB sin ?APB, S?MPN ? PM PN sin ?MPN 2 2 ,[来源:学&科&网 Z&X&X&K]
PA PM PA PB ? PM PN 若 S?APB ? S?MPN ,则有 , 即 ? PN PB



设 P 点坐标为 ?
x0 ?

x0 , y0 ?

x0 ? 1

,则有:

3 ? x0

?

3 ? x0 x0 ? 1

解得:

33 5 y0 ? ? 2 2 x ? 3 y ? 4 9 。 3 ,又因 0 0 ,解得

? 5 33 ? , ? ?3 9 ? ? ? PMN ? ?或 故存在点 P 使得 ?PAB 与 的面积相等,此时 P 点 坐标为 ?5 33 ? ,? ? ? ?3 9 ? ? ?.
11(3)45° 12 解: (1)由题意, c ? 1, 可设椭圆方程为

x2 x2 ? ? 1, 1 ? b2 b2

∵A 在椭圆上,∴

1 9 3 ? 2 ? 1 ,解得 b2 ? 3 , b 2 ? ? (舍去) 2 1? b 4b 4

∴椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ?1 4 3

3 x2 y 2 ? ? 1 得: (2)设 AE 的方程为: y ? k ( x ? 1) ? ,代入 2 4 3

3 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 4k (3 ? 2k ) x ? 4( ? k ) 2 ? 12 ? 0 , 2 3 设 E ( xE , yE ) ,F ( xF , yF ) ,∵点 A (1, ) 在椭圆上, 2 3 4( ? k )2 ? 12 3 ∴ xE ? 2 , yE ? kxE ? ? k , 2 3 ? 4k 2
又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率互为相反数,在上式以 ? k 代 k ,可得

3 4( ? k )2 ? 12 3 xF ? 2 , yF ? ?kxF ? ? k 2 3 ? 4k 2
∴直线 EF 的斜率 kEF ?

yF ? yE ?k ( xE ? xF ) ? 2k 1 ? ? , xF ? xE xF ? xE 2
14

即直线 EF 的斜率为定值

1 。 2

13 证明:设 AB1 与 A1 B 相交于点 P,连接 PD,则 P 为 AB1 中点,

? D 为 AC 中点,? PD// B1C .
又? PD ? 平面 A1 B D,? B1C //平面 A1 B D 。

x2 y 2 14 解:(1)因为椭圆 E: 2 ? 2 ? 1 (a,b>0)过 M(2, 2 ) ,N( 6 ,1)两点, a b

2 ?4 ?1 1 ? 2 ?1 ? 2 ? ? ?a 2 ? 8 x2 y 2 ?a b ? a2 8 ? ?1 所以 ? 解得 ? 所以 ? 2 椭圆 E 的方程为 8 4 ?b ? 4 ? 6 ? 1 ?1 ?1 ?1 ? ? ? a 2 b2 ? b2 4
(2)假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,

? y ? kx ? m ? 且 OA ? OB , 设 该 圆 的 切 线 方 程 为 y ? kx ? m 解 方 程 组 ? x 2 y 2 得 ? ? 1 ? 4 ?8

x2 ? 2(kx ? m)2 ? 8 ,即 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 8 ? 0 ,
2 2 2 2 2 2 则△= 16k m ? 4(1 ? 2k )(2m ? 8) ? 8(8k ? m ? 4) ? 0 ,即 8k ? m ? 4 ? 0
2 2

4km ? x1 ? x2 ? ? ? ? 1 ? 2k 2 ? 2 ? x x ? 2m ? 8 ? 1 2 1 ? 2k 2 ?

,

y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k 2 x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2 ?

k 2 (2m2 ? 8) 4k 2 m2 m2 ? 8k 2 2 ? ? m ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

要 使 O A ?

O, B 需 使 x1 x2 ?

y1 ? y0 2 , 即

2m2 ? 8 m2 ? 8k 2 ? ?0 , 所 以 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

3m2 ? 8k 2 ? 8 ? 0 , 所以 k 2 ?

? m2 ? 2 3m2 ? 8 ? 0 又 8k 2 ? m2 ? 4 ? 0 , 所以 ? 2 , 所以 8 ?3m ? 8

m2 ?

8 2 6 2 6 ,即 m ? 或m? ? ,因为直线 y ? kx ? m 为圆心在原点的圆的一条切 3 3 3

15

m2 m2 8 2 6 ? ? ,r ? 线 , 所以圆的半径为 r ? ,r ? , 所求的圆 2 2 2 3m ? 8 3 1? k 3 1? k 1? 8

m

2

为x ? y ?
2 2

8 2 6 2 6 ,此时圆的切线 y ? kx ? m 都满足 m ? 或m ? ? ,而当切线的 3 3 3

斜率不存在时切线为 x ? ?

x2 y 2 2 6 2 6 2 6 ? ? 1 的两个交点为 ( 与椭圆 ,? )或 8 4 3 3 3

(?

8 2 6 2 6 ,? ) 满足 OA ? OB ,综上, 存在圆心在原点的圆 x 2 ? y 2 ? ,使得该圆 3 3 3

的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且 OA ? OB .

4km ? x1 ? x2 ? ? ? ? 1 ? 2k 2 因为 ? , 2 ? x x ? 2m ? 8 ? 1 2 1 ? 2k 2 ?
所以 ( x1 ? x2 )2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? (?

4km 2 2m2 ? 8 8(8k 2 ? m2 ? 4) , ) ? 4 ? ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 (1 ? 2k 2 )2
8(8k 2 ? m 2 ? 4) (1 ? 2k 2 ) 2

| AB |? ( x1 ? x2 ) 2 ? ? y1 ? y2 ? ? (1 ? k 2 )( x1 ? x2 ) 2 ? (1 ? k 2 )
2

?

32 4k 4 ? 5k 2 ? 1 32 k2 ? 4 ? [1 ? ], 3 4k ? 4k 2 ? 1 3 4k 4 ? 4k 2 ? 1
32 1 [1 ? ] 1 3 4k 2 ? 2 ? 4 k

①当 k ? 0 时 | AB |?

因为 4k ?
2

1 ? 4 ? 8 所以 0 ? k2

1 1 ? , 1 4k 2 ? 2 ? 4 8 k

所以

32 32 1 ? [1 ? ] ? 12 , 1 3 3 2 4k ? 2 ? 4 k
4 2 6 ?| AB |? 2 3 当且仅当 k ? ? 时取”=”. 3 2

所以

② 当 k ? 0 时, | AB |?

4 6 . 3
16

③ 当 AB 的斜率不存在时 , 两个交点为 (

2 6 2 6 2 6 2 6 ,? ) 或 (? ,? ) , 所以此时 3 3 3 3

| AB |?

4 6 , 3

4 4 6 ?| AB |? 2 3 即: | AB |? [ 6, 2 3] 3 3 15. 证明: (1)? M、N 分别是 CD、CB 的中点,? MN//BD
综上, |AB |的取值范围为 又? BB1 // DD1,? 四边形 BB1D1D 是平行四边形. 所以 BD//B1D1.又 MN//BD,从而 MN//B1D1 (2) (法 1)连 A1C1,A1C1 交 B1D1 与 O 点 ? 四边形 A1B1C1D1 为平行四边形,则 O 点是 A1C1 的中点 E 是 AA1 的中点,? EO 是 ? AA1C1 的中位线,EO//AC1. AC1 ? 面 EB1D1 ,EO ? 面 EB1D1,所以 AC1//面 EB1D1 (法 2)作 BB1 中点为 H 点,连接 AH、C1H,E、H 点为 AA1、BB1 中点, 所以 EH // C1D1,则四边形 EHC1D1 是平行四边形,所以 ED1//HC1 又因为 EA // B1H,则四边形 EAHB1 是平行四边形,所以 EB1//AH

?

AH ? HC1=H,? 面 AHC1//面 EB1D1.而 AC1 ? 面 AHC1,所以 AC1//面 EB1D1

(3)因为 EA // B1H,则四边形 EAHB1 是平行四边形,所以 EB1//AH 因为 AD // HG,则四边形 ADGH 是平行四边形,所以 DG//AH,所以 EB1//DG 又? BB1 // DD1,? 四边形 BB1D1D 是平行四边形. 所以 BD//B1D1.

? BD ? DG=G,? 面 EB1D1//面 BDG
16 解: (Ⅰ)设椭圆长半轴长及半焦距分别为 a,c ,由已知得

?a ? c ? 1 , 解得a ? 4, c ? 3 , ? ?a ? c ? 7
所以椭圆 C 的标准方程为

x2 y 2 ? ?1 16 7

(Ⅱ)设 M ( x, y ) ,其中 x ?? ?4, 4? 。由已知

OP OM

2 2

? ? 2 及点 P 在椭圆 C 上可得

9 x 2 ? 112 ? ?2 。 2 2 16( x ? y )

17

整理得 (16? 2 ? 9) x2 ? 16? 2 y 2 ? 112 ,其中 x ?? ?4, 4? 。 (i) ? ?

3 时。化简得 9 y 2 ? 112 4

所以点 M 的轨迹方程为 y ? ?

4 7 (?4 ? x ? 4) ,轨迹是两条平行于 x 轴的线段。 3
x2 y2 ? ? 1 ,其中 x ?? ?4, 4? 112 112 16? 2 ? 9 16? 2

(ii) ? ?

3 时,方程变形为 4

当0 ? ? ? 分。 当

3 时,点 M 的轨迹为中心在原点、实轴在 y 轴上的双曲线满足 ?4 ? x ? 4 的部 4

3 ? ? ? 1 时,点 M 的轨迹为中心在原点、长轴在 x 轴上的椭圆满足 ?4 ? x ? 4 的部分; 4 当 ? ? 1 时,点 M 的轨迹为中心在原点、长轴在 x 轴上的椭圆。

17 略 18 解: (1)∵双曲线经过点 M( 6 , 6 ) , 且双曲线的右准线为直线 x= 1,右焦点为 F(3,0) ∴由双曲线定义得:离心率 e ?

MF 6 ?1

?

( 6 ? 3) 2 ? ( 6 ? 0) 2 = 6 ?1

3

设 P(x,y)为所求曲线上任意一点, ∴由双曲线定义得:

PF ( x ? 3) 2 ? ( y ? 0) 2 = ? x ?1 x ?1

3

x2 y2 ? ?1 化简整理得 3 6
(2)? e ?

c ? 2 ? c ? 2a , a

又 ? c 2 ? a 2 ? b 2 ,? b ? 3a
①当双曲线的焦点在 x 轴上时,设双曲线标准方程为 ∵点 M( 6 , 6 )在双曲线上,∴

x2 y2 ? ?1, a 2 3a 2

6 6 ? 2 ?1, 2 a 3a

2 2 解得 a ? 4 , b ? 12 , 则所求双曲线标准方程为

x2 y2 ? ?1 4 12

18

2 2 ②当双曲线的焦点在 y 轴上时,设双曲线标准方程为 y ? x ? 1 , 2 2

a

3a

∵点 M( 6 , 6 )在双曲线上,∴ 解得 a
2

6 6 ? 2 ?1, 2 a 3a

? 4 , b 2 ? 12 ,
2 2

y x x2 y2 ? ?1 或 故所求双曲线方程为 ? ? 1. 4 12 4 12
19 略 20.[解析]:∵a=5,b=3? c=4 (1)设 | PF1 |?t 1 , | PF2 |? t 2 ,则 t1 ? t 2 ? 10
2 t12 ? t 2 ? 2t1t 2 ? cos60? ? 82



②,由①2-②得 t1t 2 ? 12

? S ?F1PF2 ?

1 1 3 t1t 2 ? sin 60? ? ? 12 ? ?3 3 2 2 2
1 2

(2)设 P ( x, y ) ,由 S ?F PF ? 1 ? 2c? | y |? 4? | y | 得
2

4 | y |? 3 3 ?| y |? 3 3
4

? y??

3 3 4

, 或



3 3 代入椭圆方 4 5 13 3 3 或 5 13 3 3 . P( ? , ) P( ? ,? ) 4 4 4 4 y??

程解得

x??

5 13 4

, ? P( 5

13 3 3 , ) 4 4



P(

5 13 3 3 ,? ) 4 4

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