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[精选+详解2013届高三数学名校试题汇编(第1期)专题06 数列

时间:2014-01-12


专题 06 数列
一.基础题
1.【山东省青岛市 2013届高三上学期期中考试】已知等差数列{ an }的前 n 项和为 S n ,且

S10 ? 12 ,则 a5 ? a6 ?
A.

12 5

B. 12

C. 6

D.

6 5

2. 【 山 东 省 青 岛 市 2013 届 高 三 上 学 期 期 中 考 试 】 已 知 等 比 数 列 {an } 的 前 n 项 和 为

S n ? 3n ? a , n ? N? ,则实数 a 的值是
A. ?3 B. 3 C. ?1 D. 1

3. 【 湖 北 省 黄 冈 中 学 2013 届 高 三 十 月 月 考 】 等 差 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 S n , 若

a3 ? a9 ? a15 ? a17 ? 0 ,则 S 21 的值是(
A. 1 B. ?1

) C. 0 D.不能确定

4.【2012-2013 学年度河北省普通高中高三 11 月教学质量监测】已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n , a4 ? 15 , S5 ? 55 ,则数列 {an } 的公差是( A. )

1 4

B.4

C. ?4

D. ?3

∴公差 d ? a4 ? a3 ? 4

5. 【山东省潍坊市四县一校 2013 届高三 11 月期中联考】 设等比数列 ?an ? 中, 前 n 项和为 S n , 已知 S3 ? 8,S 6 ? 7 ,则 a7 ? a8 ? a9 ? A.

1 8

B. ?

1 8

C.

57 8

D.

55 8

6、 【2012-2013 华中师大一附中高三期中检测数学 (理) 】 设 S n 是等差数列 ?a n ? 的前 n 项和, 若

S3 1 S ? ,则 6 ? ( S6 3 S12
A.



3 10

B.

1 3

C.

1 8

D.

1 9

7、 【2013 届安徽省示范高中高三 9 月模底考试】已知 Sn 是等差数列{ an }的前 n 项和,且 S3=S8,S7=Sk,则 k 的值为( A、3 B、4 C、5 D、6 )

8. 【 2012 河 北 省 名 校 名 师 俱 乐 部 高 三 第 二 次 调 研 考 试 】 在 等 差 数 列 {an } 中 ,

an ? an ?1 ? 4n(n ? N * ) ,则其公差 d 等于
A.2 B.4 C. ?2 D. ?4

a1 ? 1 , 9. 【2012-2013 学年度河北省普通高中 11 月高三教学质量监测】 已知数列 {an } 满足:

an ?1 ?

an , ( n? N* ) ,则数列 {an } 的通项公式为( an ? 2
B. an ? 2 ?



A. an ? 2n ? 1

1 2n ?1

C. an ?

1 2 ?1
n

D. an ?

1 3 ?2
n

10.【山东省泰安市 2013 届高三上学期期中考试数学】在等差数列 ?an ? 中,a9 ? 则数列 ?an ? 的前 11 项和 S11 等于 A.24 B.48 C.66 D.132

1 a12 ? 6 , 2

11.【山西大学附属中学 2013 届高三 10 月月考】 已知 {an } 为等比数列, s n 是它的前 n 项 和。若 a2 ? a3 ? 2a1 , 且 a4 与 2a7 的等差中项为 A. 35 B. 33 C. 31

5 ,则 S5 =( 4
D. 29

) 。

?答案?? C ?解析???设数列?an ? 公比为q,则a1q ? a1q 2 ? 2a1 ? a4 ? 2,? a7 ? a4 ? q 3 ? 2q 3 5 1 1 ? 2,? q ? , a1 ? a4 ? q 3 ? 2 ? ( )3 ? 16, 4 2 2 1 5 a1 (1 ? q 5 ) 16 ? [1 ? ( 2 ) ] ? S5 ? ? ? 31. 1 1? q 1? 2 ? 考点定位???本题考查等比数列通项公式和前n项和公式、等差中项公式, ? 2 ? 2 ? 2q 3 ? 考查学生的基本计算能力。
12.【山东省青岛市 2013 届高三上学期期中考试】设正项等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 若 S 3 ? 3, S 9 ? S 6 ? 12 ,则 S 6 ? 【答案】9 ;

【解析】在等比数列 {an } 中, S3 , S6 ? S3 , S9 ? S6 也成等比数列,即 3, S6 ? 3,12 成等比,所 以 ( S6 ? 3) 2 ? 3 ? 12 ? 36 ,所以 S6 ? 3 ? ?6 ,所以 S6 ? 9 或 S6 ? ?3 (舍去). 13. 【山东省泰安市 2013 届高三上学期期中考试】设数列 ?an ? 的前 n 项的和为 sn ,且

a1 ? 1, an ?1 ? 3S n ? n ? 1, 2, ???? ,则 log 2 S 4 等于_

_.

14. 【 江 西 省 2013 届 百 所 重 点 高 中 阶 段 性 诊 断 考 试 】 等 差 数 列

中,

S9 ? ?36, S13 ? ?104 ,等比数列 {bn } 中, b5 ? a5 , b7 ? a7 ,则 a6 ? ____.

15.【2013 届河北省重点中学联合考试】己知数列{ an }为等比数列,且 a3 ? a2 ? 2a5 ,设等 差数列{ bn }的前 n 项和为 Sn,若 b5 ? a5 ,则 S9 =____

16. 【2012 河北省名校名师俱乐部高三第二次调研考试】 设等比数列 {an } 的前 n 项积为 Tn , ( n? N* ) ,已知 am ?1am ?1 ? 2am ? 0 ,且 T2 m ?1 ? 128 ,则 m=

二.能力题

1.【湖北省黄冈中学 2013 届高三十月月考】 设数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,令 Tn ?

S1 ? S 2 ? ? ? S n ,称 Tn 为数列 a1 ,a2 ,??,an 的 n

“平均和” , 已知数列 a1 ,a2 , ??,a500 的 “平均和” 为 2004, 那么数列 2, a1 ,a2 , ??,

a500 的“平均和”为(
A.2002

) B.2004 C.2006 D.2008

2.【山东省潍坊市四县一校 2013 届高三 11 月期中联考】已知 an ? ( ) n ,把数列 ?an ? 的各 项排列成如下的三角形状,

1 3

记 A(m, n) 表示第 m 行的第 n 个数,则 A( = 10,12)
93 A. ( )

1 3

92 B. ( )

1 3

94 C.( )

1 3

112 D. ( )

1 3

3. 【山东省青岛市 2013 届高三上学期期中考试】 已知函数 f (n) ? n cos(n? ) , 且 an ? f (n) ,
2

则 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a100 ? A. 0 B. 100 C. 5050 D. 10200

4.【2012-2013 学年度河北省普通高中高三 11 月教学质量监测】已知数列满足: a1 ? 1 ,

an ?1 ?

an 1 , ( n? N* ) ,若 bn ?1 ? (n ? ? )( ? 1) , b1 ? ?? ,且数列 {bn } 是单调递增数 an ? 2 an
) D. ? ? 3

列,则实数 ? 的取值范围为( A. ? ? 2 B. ? ? 3

C. ? ? 2

5.【江西省 2013 届百所重点高中阶段性诊断考试】 已知 {an } 是等比数列, a2 ? 2, a5 ? ( ) C. [8,

1 ,则 a1a2 ? a2 a3 ? ? ? an an ?1 (n ? N ? ) 的取值范围是 4

A. [12,16) B.[8,16)

32 16 32 ) D. [ , ) 3 3 3

6.【湖北省黄冈中学 2013 届高三 11 月月考】已知各项为正的等比数列 {an } 中,a4 与 a14 的 等比中项为 2 2 ,则 2a7 ? a11 的最小值为( A.16 B.8 ) C. 2 2 D.4

7.【江西省 2013 届百所重点高中阶段性诊断考试】

已知分别以 d1 和 d 2 为公差的等差数列 {an } 和 {bn } 满足 a1 ? 18 , b14 ? 36 , ak ? bk ? 0 , 且 数 列 a1 , a2 ,? , ak , bk ?1 , bk ? 2 ,? , b14 ,? (k ? 14) 的 前 w 项 和 S n 满 足 S14 ? 2 S k , 则

an ? bn ? ____ .
【答案】 7 n ? 70 【解析】由 S14 ? 2 S k ,得 S k ? S14 ? S k ,∵ ak ? bk ? 0 , S k ? S14 ? S k ?1 ∴

18 ? 0 36 ? 0 0 ? 18 ?k ? ? (14 ? k ? 1) ,则 9k ? 18 ? (15 ? k ) ,得 k ? 10 , d1 ? ? ?2 , 2 2 9 36 ? 0 d2 ? ? 9 则 an ? ?2n ? 20 , bn ? 9n ? 90 ,即有 an ? bn ? 7n ? 70 14 ? 10
每一横行成等差数列,每一纵列成等比数列,则 a ? b ? c 的 值为_________.

8.【湖北省黄冈中学 2013 届高三 11 月月考】在如图的表格中,每格填上一个数字后,使得 1 0. 5 2 1

a b c

9. 【湖北省黄冈中学 2013 届高三十月月考】 对于各项均为整数的数列 ?an ? , 如果 ai ? i ( i =1, 2, 3, ?)为完全平方数, 则称数列 ?an ? 具有 “ P 性质” . 不论数列 ?an ? 是否具有 “ P 性质” ,

如果存在与 ?an ? 不是同一数列的 ?bn ? , 且 ?bn ? 同时满足下面两个条件: ① b1 , b2 , b3 ,..., bn 是 ,则称数列 ?an ? 具有“变换 P 性 a1 , a2 , a3 ,..., an 的一个排列;②数列 ?bn ? 具有“ P 性质” 质” .下面三个数列:①数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? 2,3,?,11.具有“ P 性质”的为

n 2 (n ? 1) ;②数列 1,2,3,4,5;③1, 3
.

;具有“变换 P 性质”的为

10.【重庆市部分重点中学 2012—2013 年高三上学期第一次联考】 设 Sn 是正项数列{an}的前 n 项和,且 an 和 S n 满足: 4 S n ? (an ? 1) 2 ( n ? 1, 2,3,?) ,则

Sn=



三.拔高题

1.【2013 届浙江省重点中学协作体高三摸底测试】 已知定义在 R 上的函数 f ( x) 是奇函数且满足 f ( ? x) ? f ( x) , f (?2) ? ?3 , 数列 ?a n ? 满 足 a1 ? ?1 ,且 S n ? 2a n ? n , (其中 S n 为 ?a n ? 的前 n 项和) 。则 f (a5 ) ? f (a6 ) ? A. 3 【答案】A 【解析】因为 S n ? 2a n ? n ,则 S n ?1? 2an ?1 ? n ? 1 ,l 两式相减得 an ? 2an ?1 ? 1 ,通过拼凑 的 an ? 1 ? 2?an ?1 ? 1? ,所以 ?an ? 1?是等比数列,因此 an ? 1 ? ?2 n ,因此 an ? 1 ? 2 n 所以 a5 ? ?31, a6 ? ?63 。 由 f ( ? x) ? f ( x) 且函数 f ( x) 是奇函数,用 ? x 代替 x 得到 f ? B. ? 2 C. ? 3 D. 2

3 2

3 2

?3 ? ? x ? ? f ?? x ? ? ? f ? x ? ?2 ?



3 ? x 代替 x 得到 f ?3 ? x ? ? f ? x ? 所以函数 f ( x) 得周期为 3. 2

则 f (a5 ) ? f (a6 ) ? f ?? 31? ? f ?? 63? ? f ?? 1? ? f ?0 ? ? f ?2 ? ? 0 ? ? f ?? 2 ? ? 3 2.【四川省资阳市 2013 届高三第一次诊断性考试】 在数列 {an } 中,如果对任意的 n ? N* ,都有
an ? 2 an ?1 ,则称数列 {an } 为比 ? ? ? ( ? 为常数) an ?1 an

等差数列, 现给出以下命题: ①若数列 {Fn } 满足 F1 ? 1 , ? 称为比公差. F2 ? 1 ,Fn ? Fn ?1 ? Fn ? 2 ( n ? 3) ,则该数列不是比等差数列;②若数列 {an } 满足 an ? (n ? 1) ? 2n ?1 ,则数列 {an } 是比 等差数列,且比公差 ? ? 2 ;③等比数列一定是比等差数列,等差数列不一定是比等差数列; ④若 {an } 是等差数列, {bn } 是等比数列,则数列 {an bn } 是比等差数列. 其中所有真命题的序号是_________________.

3.【2013 届浙江省重点中学协作体高三摸底测试】 已知等差数列 ?an ? 首项为 a ,公差为 b ,等比数列 ?bn ? 首项为 b ,公比为 a ,其中 a, b 都 是大于 1 的正整数, 且 a1 ? b1 , b2 ? a3 , 对于任意的 n ? N * , 总存在 m ? N * , 使得 am ? 3 ? bn 成立,则 an ? 【答案】5n-3 【解析】∵ a1 ? b1 , b2 ? a3 ∴ a ? b 以及 ab ? a ? 2b ,则 b?a ? 2 ? ? a ? b , ∴ a ? 2 ? 1 ? a ? 3 , a 是大于 1 的正整数得 a=2. 又因为 am ? 3 ? bn ? a ? ?m ? 1?b ? 3 ? b ? a 又∵a=2, ?m ? 1?b ? 5 ? b ? 2
n ?1 n ?1



,则 b 2

?

n ?1

? m ?1 ? 5

?

又 b≥3,由数的整除性,得 b 是 5 的约数. 故 2 n ?1 ? m ? 1 ? 1 , b ? 5 ∴ an ? a ? b?n ? 1? ? 2 ? 5?n ? 1? ? 5n ? 3 . 故答案为 5n-3. 4. 【四川省资阳市 2013 届高三第一次诊断性考试】 已知数列 {an } 是公比为 q 的等比数列,且 a1 , a3 , a2 成等差数列,则 q= A.1 或 ?
1 2

B.1

C. ?

1 2

D.-2

5.【重庆市部分重点中学 2012—2013 年高三上学期第一次联考】 (本题满分 12 分) 已知等差数列{an}的首项 a1 为 a (a ? R, a ? 0) . 设数列的前 n 项和为 Sn , 且对任意正整数 n 都有

a2 n 4n ? 1 . ? an 2n ? 1

(1) 求数列{an}的通项公式及 Sn ; (2) 是否存在正整数 n 和 k,使得 Sn , Sn+1 , Sn+k 成等比数列?若存在,求出 n 和 k 的 值;若不存在,请说明理由.

6. 【2013 届浙江省重点中学协作体高三摸底测试】
n (本小题满分 14 分)已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 ,且 an ? 2an ?1 ? 2 (n ? 2 且 n∈N*) .

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式;

(Ⅱ)设数列 ?an ? 的前 n 项之和 S n ,求 S n ,并证明:

Sn >2n ? 3 . 2n

(19) 本题主要考查等差数列通项、求和公式、数列前 n 项和与通项的关系等基础知识,同 时考查运算求解能力及抽象概括能力。满分 14 分。

7. 【四川省资阳市 2013 届高三第一次诊断性考试】 (本小题满分 12 分) 已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 a2 ? 3 , S15 ? 225 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? 2an ? 2n ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . 【答案】 (Ⅰ)设数列 {an } 的公差为 d,依题意得:
?a1 ? d ? 3, ?a ? 1, ? 解得 ? 1 ∴数列 {an } 的通项公式 an ? 2n ? 1 . ······ 4 分 ? 15 ? 14 15a1 ? d ? 225, ?d ? 2, ? ? 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 bn ?

1 n ? 4 ? 2n , 2

1 ∴ Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? (4 ? 42 ? ? ? 4n ) ? 2(1 ? 2 ? ? ? n) ··········· 6 分 2

?

4n ?1 ? 4 2 2 ? n 2 ? n ? ? 4n ? n 2 ? n ? . ··················· 12 分 6 3 3

8. 【四川省资阳市 2013 届高三第一次诊断性考试】 (本小题满分 12 分) 设 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) 是函数 f ( x) ?
x1 ? x2 ? 1 .

3 2 图象上任意两点,且 ? x 2 2 ? 2

(Ⅰ)求 y1 ? y2 的值;
1 2 n (Ⅱ)若 Tn ? f (0) ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( ) (其中 n ? N* ) ,求 Tn ; n n n

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,设 an ?

2 ( n ? N* ) ,若不等式 an ? an ?1 ? an ? 2 ? ? ? a2 n ?1 > Tn

1 log a (1 ? 2a) 对任意的正整数 n 恒成立,求实数 a 的取值范围. 2

(Ⅲ)由(Ⅱ)得, an ?

1 2 2 ,不等式 an ? an ?1 ? an ? 2 ? ? ? a2 n ?1 ? log a (1 ? 2a ) 即为 ? 2 Tn n ? 1

2 2 2 2 2 2 1 , ? ?? ? ? log a (1 ? 2a ) ,设 H n ? ? ??? n ?1 n ? 2 2n 2 n ?1 n ? 2 2n
则 H n ?1 ?

2 2 2 2 2 , ? ?? ? ? ? n?2 n?3 2n 2n ? 1 2n ? 2
2 2 2 2 2 ? ? ? ? ?0, 2n ? 1 2(n ? 1) n ? 1 2n ? 1 2n ? 2

∴ H n ?1 ? H n ?

∴数列 {H n } 是单调递增数列,∴ ( H n ) min ? T1 ? 1 , ············ 10 分
1 要使不等式恒成立,只需 log a (1 ? 2a) ? 1 ,即 log a (1 ? 2a) ? log a a 2 , 2

?0 ? a ? 1, ?a ? 1, ? ? ∴ ?1 ? 2a ? 0, 或 ?1 ? 2a ? 0, 解得 0 ? a ? 2 ? 1 . ? ? 2 2 ?1 ? 2a ? a ?1 ? 2a ? a ,
故使不等式对于任意正整数 n 恒成立的 a 的取值范围是 (0, 2 ? 1) . ····· 12 分 9.【山东省潍坊市四县一校 2013 届高三 11 月期中联考】 (本小题满分 12 分) 已知各项均为正数的数列 ?an ? 前 n 项和为 S n ,首项为 a1 ,且 (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式;
2 (Ⅱ)若 an ? ( ) n ,设 cn ?

1 , an , S n 等差数列. 2

1 2

b

bn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn . an

1 1 ( 1 ? n ?1 ) 2 16 ? 8n 2 ? 4 ? 8? 2 ? n ?1 1 2 1? 2 1 16 ? 8n ? 4?( 4 1 ? n ?1 ) ? n ?1 2 2 4n ? n .?????????????????????11 分 2 8n ?Tn ? n . ?????????????????????????12 分 2
10. 【浙江省温州八校 2013 届高三 9 月期初联考】 (本题满分 14 分)等差数列 ?an ? 的首项 为 a1 ,公差 d ? ?1 ,前 n 项和为 S n (Ⅰ)若 S 5 ? ?5 ,求 a1 的值; (Ⅱ)若 S n ? an 对任意正整数 n 均成立,求 a1 的取值范围。 本题满分 14 分)

11.【河北省唐山市 2012-2013 学年度高三年级摸底考试】 已知数列{ an }的前 n 项和 Sn=

2 n (8 ? 1) . 7

(I)求数列{ an }的通项公式 an ;

(II)设 bn ? log 2 an ,求 解:

1 1 1 。 ? ?? ? ?? b1b2 b2b3 bnbn ?1

2 (Ⅰ)a1=S1= (81-1)=2. 7 2 2 - - 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= (8n-1)- (8n 1-1)=23n 2. 7 7 当 n=1 时上式也成立,所以 an=23n 2(n∈N*) .


…1 分

…6 分 …7 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,bn=log2 23n 2=3n-2,


所以 1 1 1 1 1 1 + +…+ = + +…+ b1b2 b2b3 1× 4 4× 7 bnbn+1 (3n-2)(3n+1) = = 1 1 n 1- = . 3 3n+1 3n+1 1 1 1 1 1 1 1- + - +…+ - 3 4 4 7 3n-2 3n+1

[(

) (

)

(

)]

(

)

…12 分

12.【湖北省黄冈中学 2013 届高三十月月考】(本小题满分 12 分) 已知数列 ?a n ? 满足 a1 ? 1 , a 2 ? ?13 , a n ? 2 ? 2a n ?1 ? a n ? 2n ? 6 (Ⅰ)设 bn ? a n ?1 ? a n , 求数列{bn } 的通项公式; (Ⅱ)求 n 为何值时, a n 最小(不需要求 a n 的最小值)

13. 【山东省青岛市 2013 届高三上学期期中考试】 (本小题满分 12 分) 设 {an } 是公差大于零的等差数列,已知 a1 ? 2 , a3 ? a2 2 ? 10 .

(Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 {bn } 是以函数 y ? 4sin 列 ?an ? bn ? 的前 n 项和 S n . 解: (Ⅰ)设 ?an ? 的公差为 d ,则
2

? x 的最小正周期为首项,以 3 为公比的等比数列,求数

? a1 ? 2 ? ? 2 ? ?a1 ? 2d ? ? a1 ? d ? ? 10
解得 d ? 2 或 d ? ?4 (舍)?????????????????????????5 分 所以 an ? 2 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ????????????????????????6 分 (Ⅱ)? y ? 4sin 2 ? x ? 4 ? 其最小正周期为

2? ? 1 ,故首项为 1;????????????????????7 分 2?
???????????????????????8 分

1 ? cos 2? x ? ?2 cos 2? x ? 2 2

因为公比为 3,从而 bn ? 3n ?1 所以 an ? bn ? 2n ? 3n ?1

故 S n ? 2 ? 30 ? 4 ? 31 ? ? ? 2n ? 3n ?1

?

? ?

?

?

?

?

? 2 ? 2n ? n ? 1 ? 3n
2 1? 3

? n2 ? n ?

1 1 n ? ? 3 ??????????????????12 分 2 2

14.【2013 届安徽省示范高中高三 9 月模底考试】 (本小题满分 12 分) 递增的等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn,且 S 2 ? 6, S 4 ? 30 (I)求数列{ an }的通项公式。 (II)若 b n = an log 1 an ,数列{ bn }的前 n 项和为 Tn,求 Tn ? n ? 2 n ?1 ? 50 成立的最小正
2

整数 n 的值。18.解析: (Ⅰ) S 2 ? 6, S 4 ? 30 ? q ? ?2 ,????????????2 分 ∵数列 ?a n ? 递增,∴ q ? 2 ? a1 ? 2 ,∴ a n ? 2 n ?????????????5 分 (Ⅱ) bn ? 2 log 1 2 ? ? n ? 2 , Tn ? ?(1 ? 21 ? 2 ? 2 2 ? 3 ? 2 3 ? ? ? n ? 2 n )
n n n 2

设 H n ? 21 ? 2 ? 2 2 ? 3 ? 2 3 ? ? ? n ? 2 n ????..①

2 H n ? 2 2 ? 2 ? 2 3 ? 3 ? 2 4 ? ? ? n ? 2 n ?1 ???..②

①-②得: ? H n ? 21 ? 22 ? 23 ? ? ? ?2n ? n ? 2n ?1 ,

?

2(1 ? 2n ) ? n ? 2n ?1 ? ?n ? 2n +1 ? 2n ?1 ? 2=Tn ,??????????????10 分 1? 2

Tn ? n ? 2 n ?1 ? 50 ,即 ?n ? 2n +1 ? 2n ?1 ? 2 ? n ? 2n ?1 ? 50 , 2 n ?1 ? 52
∴正整数 n 的最小值是 5???????????????????12 分 15.【广东省珠海市 2012 年 9 月高三摸底考试】 (本小题满分 14 分) 已知正项数列 ?a n ? 中, a1 ? 6, 点An (a n ? 1, a n ?1 ) 在抛物线 y ? x 上;数列 ?bn ? 中,
2

点 Bn (n, bn ) 在过点(0,1) ,以 k ? 2 为斜率的直线上。 (1)求数列 ?a n ?, ?bn ?的通项公式; ( 2 )若 f (n) ? ?

?a n , (n为奇数) ,问是否存在k ? N , 使f (k ? 27) ? 4 f (k ) 成立,若存 ?bn , (n为偶数)

在,求出 k 值;若不存在,请说明理由; (3)对任意正整数 n,不等式

a n ?1 an ? ? 0 恒成立, 1 1 1 n ? 2 ? a n (1 ? )(1 ? ) ? (1 ? ) b1 b2 bn

求正数 a 的取值范围。

(Ⅲ)由

a n ?1 an ? ? 0, 1 1 1 n ? 2 ? a n (1 ? )(1 ? ) ? (1 ? ) b1 b2 bn
1 2n ? 3 (1 ? 1 1 1 )(1 ? ) ? (1 ? ) ??????????9 分 b1 b2 bn

即a ?

记 g ( n) ?

1 1 1 1 (1 ? )(1 ? ) ? (1 ? ) b1 b2 bn 2n ? 3 1 1 1 1 1 (1 ? )(1 ? )? (1 ? )(1 ? ) b1 b2 bn bn ?1 2n ? 5

? g (n ? 1) ?

? ? ?

g (n ? 1) 2n ? 3 1 ? (1 ? ) g ( n) bn ?1 2n ? 5 2n ? 3 2n ? 4 2n ? 4 ? ? 2n ? 5 2n ? 3 2n ? 5 ? 2n ? 3 4n 2 ? 16n ? 16 4n 2 ? 16n ? 15 ?1

? g (n ? 1) ? g (n), 即g(n) 递增????????13 分

? g (n) min ? g (1) ?

1 4 4 5 ? 5 3 15

?0 ? a ?

4 5 ?????????????14 分 15

16.【湖北省黄冈中学 2013 届高三 11 月月考】 (本小题满分 12 分)已知数列 ?a n ? 的前 n 项 和为 S n ,且 4 S n ? an ? 1(n ? N* ) . (1)求 a1 , a2 ; (2)设 bn ? log 3 | an | ,求数列 ?bn ? 的通项公式.

17.【2013 届海淀区高三年级第一学期期中练习】 已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 且 a2 ? ?5 ,S5 ? ?20 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)求使不等式 S n ? an 成立的 n 的最小值.

18.【北京市朝阳区 2012-2013 学年度高三年级第一学期期中统一考试】 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n .已知 a1 ? 1 , an ?1 ? 3S n ? 1 , n ? N? . (Ⅰ)写出 a2 , a3 的值,并求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)记 Tn 为数列 ?nan ? 的前 n 项和,求 Tn ; (Ⅲ)若数列 ?bn ? 满足 b1 ? 0 , bn ? bn ?1 ? log 2 an (n ? 2) ,求数列 ?bn ? 的通项公式.

1 9.【北京市朝阳区 2012-2013 学年度高三年级第一学期期中统一考试】 给定一个 n 项的实数列 a1 , a2 ,? , an (n ? N ? ) ,任意选取一个实数 c ,变换 T (c) 将数列

a1 , a2 ,? , an 变换为数列 | a1 ? c |,| a2 ? c |,? ,| an ? c | ,再将得到的数列继续实施这样的变
换,这样的变换可以连续进行多次,并且每次所选择的实数 c 可以不相同,第 k (k ? N ) 次 变换记为 Tk (ck ) ,其中 ck 为第 k 次变换时选择的实数.如果通过 k 次变换后,数列中的各项
?

均为 0 ,则称 T1 (c1 ) , T2 (c2 ) ,?, Tk (ck ) 为 “ k 次归零变换”. (Ⅰ)对数列:1,3,5,7,给出一个 “ k 次归零变换”,其中 k ? 4 ; (Ⅱ)证明:对任意 n 项数列,都存在“ n 次归零变换”;

(Ⅲ)不存在“ n ? 1 次归零变换”.

??????????????????10分

证明:首先,“归零变换”过程中,若在其中进行某一次变换 T j (c j ) 时,

c j ? min{a1 , a2 ,? , an } ,那么此变换次数便不是最少.这是因为,这次变换并不是最后的
一次变换(因它并未使数列化为全零),设先进行 T j (c j ) 后,再进行 T j ?1 (c j ?1 ) ,由

|| ai ? c j | ?c j ?1 |?| ai ? (c j ? c j ?1 ) | ,即等价于一次变换 T j (c j ? c j ?1 ) ,同理,进行某一步 T j (c j ) 时, c j ? max{a1 , a2 ,? , an } ;此变换步数也不是最小.

由以上分析可知,如果某一数列经最少的次数的“归零变换”,每一步所取的 ci 满足

min{a1 , a2 ,? , an } ? ci ? max{a1 , a2 ,? , an } .
以下用数学归纳法来证明,对已给数列,不存在“ n ? 1 次归零变换”. (1)当 n ? 2 时,对于1,4,显然不存在 “一次归零变换” ,结论成立. (由(Ⅱ)可知,存在 “两次归零变换”变换: T1 ( ), T2 ( ) ) (2)假设 n ? k 时成立,即 1, 2 ,3 ,? , k 不存在“ k ? 1 次归零变换”.
2 3 k

5 2

3 2

当 n ? k ? 1 时,假设 1, 2 ,3 ,? , k , ( k ? 1)
2 3 k 2 3 k

k ?1

存在“ k 次归零变换”.

此时,对 1, 2 ,3 ,? , k 也显然是“ k 次归零变换”,由归纳假设以及前面的讨论 不难知 1, 2 ,3 ,? , k 不存在“ k ? 1 次归零变换”,则 k 是最少的变换次数,每一次变
2 3 k

换 ci 一定满足 1 ? ci ? k k , i ? 1, 2,? , k . 因为 | ? || ( k ? 1) k ?1 ? c1 | ?c2 | ? ? ? ck |? ( k ? 1) k ?1 ? (c1 ? c2 ? ? ? ck )

? (k ? 1) k ?1 ? k ?k k ? 0
所以, (k ? 1)
k ?1

绝不可能变换为 0,与归纳假设矛盾.

所以,当 n ? k ? 1 时不存在“ k 次归零变换”. 由(1)(2)命题得证. ???????????????13 分

20. 【浙江省绍兴一中 2013 届高三 10 月学习质量诊断】 )试题在等比数列 {a n } 中,

a n ? 0(n ? N *) ,公比 q ? (0,1) ,且 a1 a5 ? 2a3 a5 ? a 2 a8 ? 25 ,
又 2 是 a 3 与 a 5 的等比中项。设 bn ? 5 ? log 2 a n . (Ⅰ) 求数列 {bn } 的通项公式; (Ⅱ) 已知数列 {bn } 的前 n 项和为 S n , Tn ?

1 1 1 ,求 Tn . ? ??? S1 S 2 Sn

21.【河南省南阳市 2012 届高中三年级期终质量评估】 数列{ an }的前 n 项和记为 S n ,a1=t, an+1 =2 S n +1(n∈N+) . (Ⅰ)当 t 为何值时,数列{ an }是等比数列; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若等差数列{ bn }的前 n 项和 Tn 有最大值,且 T3 =15,又 a1+b1,a2+b2,a3+b3 成等比数列,求 Tn .

(II)设 {bn } 的公差为 d,由 T3 ? 15 得 b1 ? b2 ? b3 ? 15 ,于是 b2 ? 5 , 故可设 b1 ? 5 ? d , b3 ? 5 ? d ,又 a1 ? 1 , a 2 ? 3 , a 3 ? 9 , 由题意可得 (5 ? d ? 1)(5 ? d ? 9) ? (5 ? 3) ,解得 d1 ? 2 , d 2 ? ?10 ,?10 分
2

∵等差数列 {bn } 的前 n 项和 Tn 有最大值,∴ d ? 0 , d ? ?10 ∴ Tn ? 15n ?

n( n ? 1) ? ( ?10) ? 20n ? 5n 2 . 2

???12 分

22.【湖北省武汉市 2013 届高三 11 月调研测试】在等差数列{an}中,a1=3,其前 n 项和为 S2 Sn,等比数列{bn}的各项均为正数,b1=1,公比为 q,且 b2+S2=12,q= . b2 (Ⅰ)求{an}与{bn}的通项公式; 1 1 1 1 2 (Ⅱ)证明: ≤ + +?+ < . 3 S1 S2 Sn 3

23.【湖北省黄冈中学 2013 届高三十月月考】(本小题满分 14 分) 已知数列 {an } , a1 ? a2 ? 2 , an ?1 ? an ? 2an ?1 (n ? 2) (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式 an ; (Ⅱ)当 n ? 2 时,求证:

1 1 1 ? ? ... ? ? 3 a1 a2 an

(Ⅲ)若函数 f ( x) 满足: f (1) ? a1 , f (n ? 1) ? f 2 (n) ? f (n). (n ? N * ) 求证:

? f (k ) ? 1 ? 2 .
k ?1

n

1

1

【解析】? an ?1 ? an ? 2an ?1 ,两边加 an 得: an ?1 ? an ? 2(an ? an ?1 ) (n ? 2) ,

? {an ?1 ? an } 是以 2 为公比, a1 ? a2 ? 4 为首项的等比数列.

? an ?1 ? an ? 4?2n ?1 ? 2?2n ---------①
由 an ?1 ? an ? 2an ?1 两边减 2an 得: an ?1 ? 2an ? ?(an ? 2an ?1 ) ( n ? 2)

? {an ?1 ? 2an } 是以 ?1 为公比, a2 ? 2a1 ? ?2 为首项的等比数列.
? an ?1 ? 2an ? ?2?(?1) n ?1 ? 2?(?1) n -----------②
①-②得: 3an ? 2[2n ? ( ?1) n ] 所以,所求通项为 an ?

2 n [2 ? (?1) n ] 3

?
(2) 当 n 为偶数时,

1 1 3 1 1 3 2n ?1 ? 2n ? ? [ n ?1 ? n ] ? ? n ?1 n an ?1 an 2 2 ? 1 2 ? 1 2 2 ?2 ? 2 n ? 2 n ?1 ? 1

3 2n ?1 ? 2n 3 2n ?1 ? 2n 3 1 1 ? ? n ?1 n ? ? n ?1 n ? ( n ?1 ? n )(n ? 2) n ?1 2 2 ?2 ? 2 ? 1 2 2 ?2 2 2 2

1 1? n 1 1 1 3 1 1 1 3 1 ? ? ? ... ? ? (1 ? ? 2 ? ... ? n ) ? ? 2 ? 3 ? 3? n ? 3 1 a1 a2 an 2 2 2 2 2 1? 2 2
当 n 为奇数时,? an ?

2 n 1 [2 ? (?1) n ] ? 0 ,? an ?1 ? 0, ? 0 ,又 n ? 1 为偶数 3 an ?1

? 由(1)知,

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ... ? ? ? ? ... ? ? ?3 a1 a2 an a1 a2 an an ?1
2

(3)证明:? f (n ? 1) ? f (n) ? f (n) ? 0

? f (n ? 1) ? f (n),? f (n ? 1) ? f (n) ? f (n ? 1) ? ??? ? f (1) ? 2 ? 0


1 1 1 1 1 ? 2 ? ? ? f (n ? 1) f (n) ? f (n) f (n)[ f (n) ? 1] f (n) f (n) ? 1 1 1 1 ? ? f (n) ? 1 f (n) f (n ? 1)
n

?

??
k ?1

1 1 1 1 1 1 1 ?[ ? ]?[ ? ] ? ??? ? [ ? ] f (k ) ? 1 f (1) f (2) f (2) f (3) f (n) f (n ? 1) 1 1 1 1 ? ? ? ? . f (1) f (n ? 1) f (1) 2

24 【湖北省孝感高中 2013 届高三 9 月调研考试】 国家助学贷款是由财政贴息的信用贷款 (即 无利息贷款),旨在帮助高校家庭经济困难学生支付在校学习期间所需的学费、住宿费及生

活费.每一年度申请总额不超过 6000 元.某大学 2010 届毕业生小飞在本科期间共申请了 2400 0 元助学贷款,并承诺在毕业后 3 年内(按 36 个月计)全部还清. 签约的单位提供的工资标准为第一年内每月 1500 元, 第 13 个月开始, 每月工资比前一 个月增加 5% 直到 4000 元.小飞计划前 12 个月每个月还款额为 500,第 13 个月开始,每月 还款额比前一月多 x 元. (Ⅰ)用 x 和 n 表示小飞第 n 个月的还款额 an ; (Ⅱ)若小飞恰好在第 36 个月(即毕业后三年)还清贷款,求 x 的值; (Ⅱ)当 x ? 40 时,小飞将在第几个月还清最后一笔贷款?他当月工资的余额是否能满 足每月 3000 元的基本生活费?(参考数据: 1.0520 ? 2.653 )


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