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2010-2011第一学期线性代数试题(A及答案)

时间:2014-03-31


山东科技大学 2010—2011 学年第一学期

《线性代数》考试试卷(A 卷)
班级 题号 得分 一、填空题(每小题5分,共15分)
1、设为 A 为 3 阶矩阵, A ?

姓名 一 二 三 四

学号 总得分 评卷人 审核人

1 ?1 ,则 ? 2 A? ? 5 A* ?

2



? 1 2 ?2 ? ?a? ? ? ? ? ? ? ? 2、设 A ? ? 2 1 2 ? , x ? ? 1 ? ,已知 Ax 与 x 线性相关,则 a = ?3 0 4 ? ?1 ? ? ? ? ?
3、 已知四阶矩阵 A 与 B 相似,A 的特征值为 2 , 则 B?E = 3, 5, 4,





二、选择题(每小题5分,共15分)
1、设 A , B 均为 n 阶矩阵,则( ( A) A? B ? A ? B ; ( C ) AB ? BA ; 2、下列矩阵中不一定可逆的是( ( A )伴随矩阵; ( C )正交矩阵; 3、下列命题正确的是( ) ) ( B )正定矩阵; ( D )初等矩阵. ) ( B ) AB ? BA ; ( D ) ( A ? B)
?1

? A?1 ? B ?1 .

( A )若向量组 a1 , a2 ,? , ar 可由向量组 b1 , b2 ,? , bs 线性表示,则 r ? s ; ( B )设 A , B 均为 m ? n 矩阵,则 A 与 B 等价的充分必要条件是 R( A) ? R( B) ; ( C )若向量 a1 , a3 线性无关,向量 a2 , a3 线性无关,则 a1 , a2 一定线性无关; ( D )设 A 为 n 阶矩阵,若 A ? 0 ,则 A ? 0 .
2

? ?

?

? ?

?

? ?

? ?

? ?

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三、解答题(共 62 分)
1、 (每小题 7 分,共 14 分)计算下列行列式:

3
(1) D ?

0 2 ?7 1

4 2 0

0 2 0


0 1 1 ? 1 1 0 1 ? 1
(2) Dn ? 1

2 0 ?1

1 0 ? 1. ? ? ?

?1 1

?

1 1 1 ? 0

? 1 ?1 0 ? ? ? 1 ?1? , AX ? 2 X ? A ,求 X . 2、 (12 分)设 A ? ? 0 ? ?1 0 1 ? ? ?

?2 x1 ? 3x2 ? x3 ? 4 ? x ? 2 x ? 4 x ? ?5 ? 1 2 3 3、 (12 分)求非齐次线性方程组 ? 的通解. 3 x ? 8 x ? 2 x ? 13 2 3 ? 1 ? 4 x ? x ? 9 x 3 ? ?6 ? 1 2
? 1 ?2 2 ?1 ? ? ? 2 ?4 8 0 ? ? 4、 (12 分)求矩阵 A ? 的列向量组的秩和一个最大无关组,并把其 ? ?2 4 ?2 3 ? ? ? ? 3 ?6 0 ?6 ?
余列向量用最大无关组表示. 5、 (12 分) 设二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) ? x Ax ? 2 x1 ? 3x2 ? 3x3 ? 4 x2 x3 , 求正交变换 x ? Py ,
2 2 2

?T ?

?

?

把二次型 f 化为标准形;判断 f 是否为正定二次型.

四、证明题(共 8 分) ? ? ? ? ? ? ? ? ? 证明: ?1 , ? 2 , ? 3 线性无关的充要条件是 ?1 ? ? 2 , ? 2 ? ? 3 , ? 3 ? ?1 线性无关.

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山东科技大学 2010—2011 学年第一学期

《线性代数》考试试卷(A 卷)答案与评分标准
一、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 1、 ?16 ; 2、 ?1 ; 3、 24 . 二、选择题(每小题 5 分,共 15 分) 1、C ; 2、A ; 3、B . 三、解答题(共 62 分) 1、解:

3
( 1 )

0 2 ?7 1

4 2 0

0 2 0
? (?1)
3? 2

D?

2 0 ?1

3 (?7) 2

4 2

0 2 ? ?28


?1 1

? 1 ?1 1
( 7 分 )

0 1 1? 1 1 0 1? 1
(2) Dn ? 1 1 0? 1
r1 ??? rn

n ?1 n ?1 ? n ?1 ? 1 ? 1 ? 1 0 ? ? ?1 ? (?1) n ?1 ( n ? 1) 0 ? 1 ? ? 1 ? 0 ? (n ? 1)

1 1 ? 1 1 0 ? 1 ? ? ? 1 1 ? 0

????? 1 1 1? 0
1 ? (n ? 1) ? 0
(7 分)

1 ? 0

0 ?1 ?

.

1 ?? ?1? ? 1 1 0 ?1 1 0 ? ? ?1 ?1 0 1 ?1 0 ? r r2 ?? ?1? ? ? ? ? 1 ?1? ? ? 0 1 1 0 ?1 1 ? 2、解: ( A ? 2 E , A) ? ? 0 ?1 ?1 0 r3 ? r1 ? ?1 0 ?1 ?1 0 1 ? r3 ? r2 ? 0 0 ?2 ?2 2 0 ? ? ? ? ?

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r3 ?? ?2 ? r2 ? r3

? 1 0 0 0 1 ?1 ? ? ? ? 0 1 0 ?1 0 1 ? r1 ? r2 ? ? 0 0 1 1 ?1 0 ? ? ? ? 0 ? X ? ? ?1 ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? 1 0 1
.

(9 分)

1 1 0







(12 分) 3、解:对增广矩阵 B 施以初等行变换,得

4? ?2 3 1 ? 1 ?2 4 1 ? r2 ? ? ?r 1 ?2 4 ?5 ? r2 ? 2 r1 ? 0 7 ?7 B?? ? ? 3 8 ?2 13 ? r3 ?3r1 ? 0 14 ?14 r4 ? 4 r1 ? ? ? ? 4 ?1 9 ?6 ? ? 0 7 ?7
(8 分)

?5 ? ?1 r3 ? 2 r2 ?r ? 14 ? 4 ? r2 ? 0 ? 28 ? 1 r2 ? 0 7 ? r ?2r ? 14 ? 1 2 ? 0

?1? ? 1 ?1 2 ? 0 0 0? ? 0 0 0? 0 2



? x1 ? ? ?2 ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? 所 以 , 方 程 组 的 通 解 为 ? x2 ? ? c ? 1 ? ? ? 2 ? ,( c 为 任 意 实 数 ) . ?1 ? ? 0 ? ?x ? ? ? ? ? ? 3?
(12 分) 4、解:

? 1 ?2 2 ?1 ? ? 1 ?2 2 ?1 ? 1 r2 ? 1 ?2 2 ?2r 1? ? ?r ?2 ? r ? 2 r 2 ?4 8 0 ? 3 1 ?0 0 4 2 ? r3 ? r2 ? 0 0 ?? ?? ? A ? ? a1a2 a3 a4 ? ? ? ? ? ?2 4 ?2 3 ? r4 ?3r1 ? 0 0 2 1 ? r4 ?3r2 ? 0 0 ? ? ? ? ? ? 3 ?6 0 ?6 ? ? 0 0 ?6 ?3 ? ?0 0

2 ?1? ? 2 1? 0 0? ? 0 0?

? 1 ?2 ? r1 ? r2 ? 0 0 ? ? 1 r2 ? ? 2 0 0 ? ?0 0 ?
(6 分)

0 ?2 ? ? 1? 1 2? 0 0? ? 0 0? ?
? ?

所 以 , R( A) ? 2 , 最 大 无 关 组 为 a1 , a3 , a2 ? ?2a1 , a4 ? ?2a1 ? (12 分)

?

? ?

?

1? a3 2

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5













f







?2 ? A ? ?0 ?0 ?

0? ? 3? 2? ?

0 2 ; 3

(2 分)

2??
由 A ? ?E ?

0 3?? 2

0 2 3??


0 0

? ?(? ? 2)(? ? 5)(? ? 1) ,得 A 的特征值为

?1 ? 2
(4 分)

?2 ? 5



?3 ? 1



?0 0 0? ?0 1 0? ? ? ? ? ? ? 对应于 ?1 ? 2 ,解方程组 ( A ? 2 E ) x ? 0 ,由 A ? 2 E ? ? 0 1 2 ? ? ? 0 0 1 ? , ?0 2 1? ?0 0 0? ? ? ? ? ?1 ? ?? ? ? ? p1 ? ? 0 ? ?0? ? ?













(6 分)

0 ? ?1 0 0 ? ? ?3 0 ? ? ? ? ? ? 对应于 ?2 ? 5 ,解方程组 ( A ? 5 E ) x ? 0 ,由 A ? 5 E ? ? 0 ?2 2 ? ? ? 0 1 ?1 ? , ?0 ? ? 2 ?2 ? ? ? ?0 0 0 ? ?0? ? ? 得 基 础 解 系 ? 2 ? ?1 ? ?1 ? ? ? ?? ?
(8 分)

?0? ?? ? 1 ? ? 1? , 将 其 单 位 化 , 得 p2 ? 2? ?1 ? ? ?



?1 0 0? ?1 0 0? ? ? ? ? ? ? 对应于 ?3 ? 1 ,解方程组 ( A ? E ) x ? 0 ,由 A ? E ? ? 0 2 2 ? ? ? 0 1 1 ? , ?0 2 2? ?0 0 0? ? ? ? ? ?0 ? ?0 ? ?? ? 1 ? ? ? ? 得 基 础 解 系 ? 3 ? ? 1 ? , 将 其 单 位 化 , 得 p3 ? ?1 ? ; 2 ? ?1 ? ? ?1 ? ? ? ? ? ?? ?
(10 分)
第5页 / 共2页

? ?1 ? x1 ? ? ? ? ? ? ? ? 于是, 正交变换为 x ? P y , 即 ? x2 ? ? ? 0 ?x ? ? ? 3? ? ?0 ?
由 于

0 1 2 1 2

? 0 ? ? ? y1 ? 1 ?? ? 2 2 2 y2 ? , 且有 f ? 2 y1 ? 5 y2 ? y3 . ? ? 2 ?? ? y 1 ?? 3 ? ? ? 2?

A 的 特 征 值 全 为 正 , 故

f

是 正 定 二 次 型 .

(12 分) 四、证明题(共 8 分) 证明:必要性 设

? ? ? ? ? ? ? k1 ??1 ? ? 2 ? ? k2 ?? 2 ? ? 3 ? ? k3 ?? 3 ? ?1 ? ? 0 ? ??
1





? k1 ? ? ? k?3

? ?? ? ? k

1

? k 0.

? ? 2?

k ? 2

k

2

?

3

3

? k1 ? k3 ? 0 ? ? ? ? 已知 ?1 , ? 2 , ? 3 线性无关 , 上式成立当且仅当 ? k1 ? k 2 ? 0 ?k ? k ? 0 ? 2 3 1 0 1

( 1 ) . 由于系数行列式

1 1 0 ? 2 ? 0 . 故 方 程 组 ( 1 ) 只 有 惟 一 零 解 , 则 k1 ? k2 ? k3 ?0 . 故 向 量 组 0 1 1

?1 ? ? 2, ? 2? ? , . 3? ? 3 ? 线性无关 1
充分性(反证法)

?

? ?

? ?

?

(4 分)

假设 ?1 , ? 2, ? 3 线性相关,则向量组 ?1 , ? 2 , ? 3 的秩 R ??1 , ? 2 , ? 3? ? 2 ,又向量组

? ? ?

? ? ?

? ?

?

?1 ? ? 2 , ? 2 ? ? 3 , ? 3 ? ?1 可由 ?1 , ? 2, ? 3 线 性表示 ,故其秩也必 不超 过 2 ,这与已知 ?1 ? ? 2, ? 2 ? ? 3, ? 3? ? 1 线 性 无 关 矛 盾 , 故 ?1 , ? 2 , ? 3 线 性 无 关 .
(8 分)

? ?

? ? ? ?

? ? ? ?

? ?

? ? ?

? ? ?

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